2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)导学案

§2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）

导学目标：

1．从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，求解一元二次方程． 2．从函数观点看一元二次不等式．会结合一元二次函数图像，求解一元二次不等式． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式、方程与其相应函数的联系．

（预习教材P 51~ P 53，回答下列问题）

情景：学校要在长为8，宽为6 的一块长方形地面上进行绿化， 计划四周种花卉，花卉带的宽度相同， 中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观， 现要求草坪的种植面积超过总面积的一半， 此时花卉带的宽度的取值范围是什么?

【知识点一】一元二次不等式的定义

只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式.

其一般形式可表示为：2

0ax bx c ++>或2

0ax bx c ++<()0a ≠

自我检测1：下列不等式中是一元二次不等式的是( )

A ．22

20a x x +≥ B ．

2

1

3x < C ．20x x m -+-≤ D ．32

410x x x +-+>

【知识点二】一元二次不等式的解法

下图是一元二次函数76y x x =--的图像，请根据图像回答：

（1）当x 取 时，0y = 当x 取 时，0y <

当x 取 时，0y >

由上面可知：

（2）一元二次不等式2

760x x --<的解集为

一元二次不等式2

760x x --<的解集为

有何发现：

第二章 一元二次函数、方程和不等式

- 2 -

（3）一元二次方程2760x x --=的解集为 有何发现： 请归纳求解一元二次不等式()2

00ax bx c ++><的解集的步骤？

自我检测2：一元二次不等式2

20x x -<的解集是 【知识点三】三个二次之间的关系 请根据右图回答：

一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠、

一元二次不等式()2

00ax bx c a ++>≠

与其对应的一元二次函数()2

0y ax bx c a =++≠图像的关系？

（1）一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x 是一元二次函数

()20y ax bx c a =++≠图像与x 轴 ．

（2）一元二次方程()2

00ax bx c a ++>≠的解集的端点是一元二次方程

()200ax bx c a ++=≠的 ．

（3）一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x ，则 ．

自我检测3：不等式2

50ax x c ++>的解集为1

13

2x

x ??<

A ．a ＝6，c ＝1

B ．a ＝－6，c ＝－1

C ．a ＝1，c ＝1

D ．a ＝－1，c ＝－6 【知识点四】一元二次不等式恒成立问题

（1）2

0(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是：0a >且2

40()b ac x -<∈R ． （2）2

0(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且2

40()b ac x -<∈R ．

自我检测4：若一元二次不等式2

3

208

kx kx +-<对一切实数x 都成立，

则k 的取值范围？

题型一 一元二次不等式的解法 【例1】求解下列一元二次不等式 (1)求不等式2

560x x -+>的解集． (2)求不等式2

9610x x -+>的解集． (3)求不等式2

230x x -+->的解集．

题型二 三个“二次”之间的关系

【例2】已知关于x 的不等式2

0ax bx c ++>的解集为{}

23x x <<，求关于x 的不等式2

0cx bx a ++<的解集．

题型三 一元二次不等式恒成立问题

【例3-1】要使函数2

(1)y mx mx m =++-的值恒为负值，求m 的取值范围．

【例3-2】当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围．

第二章 一元二次函数、方程和不等式

- 4 -

1．一元二次不等式2

230x x -++<的解集是（ ）

A ．{x |x

B ．3{|}2

x x > C ．3{|1}2x x -<< D ．3{|1}2

x x x <->或 2．若不等式2

02

m

x mx ++

>的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D ．(0,2) 3．求解下列一元二次不等式

(1) 27120x x -+>； (2) 2

230x x --+≥； (3) 2210x x -+<； (4) 2

2320x x -+-<

4．一元二次不等式2

0x px q ++<的解集为1123x x ??

-

<

，求不等式210qx px ++>的解集．

【参考答案】

情景：设花卉带的宽为()03x x <<，则依题意可得：

()()1

8262862

x x -->

??，整理得2760x x -+>． 【自我检测1】答案：C

（1）1x =或6x =； 16x <<；1x <或6x > （2）{

}16x x <<；{}

16x x x <>或

函数位于x 轴上方的图像对应的x 的取值即为该函数所对应的不等式大于0的解集； 函数位于x 轴下方的图像对应的x 的取值即为该函数所对应的不等式小于0的解集； （3）{}1,6

函数图像与x 轴交点的横坐标即为该函数所对应的方程的解；

解一元二次不等式的一般步骤

（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． （2）二判：计算对应方程的判别式．

（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． （4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．

第二章一元二次函数、方程和不等式

- 6 -

【自我检测2】答案：{}

02

x x

<<

（1）一元二次方程()

200

ax bx c a

++=≠的两根为

2

1

,x

x是一元二次函数

()

20

y ax bx c a

=++≠图像与x轴交点的横坐标．

（2）一元二次方程()

200

ax bx c a

++>≠的解集的端点是一元二次方程

()

200

ax bx c a

++=≠的两根

2

1

,x

x．

（3）一元二次方程()

200

ax bx c a

++=≠的两根为

2

1

,x

x，则

a

c

x

x

a

b

x

x=

-

=

+

2

1

2

1

,．【自我检测3】答案：B

（1）20(0)

ax bx c a

++>≠恒成立的充要条件是：0

a>且240()

b a

c x

-<∈R．（2）20(0)

ax bx c a

++<≠恒成立的充要条件是：0

a<且240()

b a

c x

-<∈R．【自我检测4】答案：{}

30

k k

-<<

【例1】答案：（1）{x|x<2，或x>3}；（2）

?

?

?

x??

?

?

?

x≠

1

3；（3）

?．

ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知

b

a＝－5，

c

a＝6.由a<0知c<0，

b

c＝

－5

6，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋

b

c x＋

a

c>0，即x

2－

5

6x＋

1

6>0，解得x<

1

3或x>

1

2，所以不等式cx

2

＋bx＋a<0的解集为

?

?

?

?

?

?

x??x＜

1

3或x＞

1

2．

【例3-1】函数2(1)y mx mx m =++-的值恒为负值，即不等式2

(1)0mx mx m ++-<对一切实数x 都成立，于是 ①当0m =时，10-<恒成立；

②当0m ≠时，要使其恒成立，则有2

04(1)0

m m m m ?

【例3-2】解法一：∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx

x x

+在x ∈(1,2)上是减函数，∴4

∴?5

()x x

+

解法二：设 f (x )=x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立?

(1)05

5(2)04

f m m f m ≤≤-????≤-??

≤≤-??.

1．一元二次不等式?2x 2＋x ＋3<0的解集是（ ）

A ．{x |x

B ．3{|}2

x x > C ．3{|1}2x x -<< D ．3{|1}2

x x x <->或 答案：D

2．若不等式x 2＋mx ＋m

2

>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．(－∞，2)

C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)

D ．(0,2) 答案：D

3．求解下列一元二次不等式

(1)x 2－7x ＋12>0； (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.

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