(人教版七年级数学)三元一次二3
七年级数学下册三元一次方程组的解法
3.解三元一次方程组
y
时z - x,要 5使, 运算简便,应采取的消元的方法
z x - y 1
是( )
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.以上说法都不正确
答案 D 可以同时消去两个未知数,故选D.
8.4 三元一次方程组的解法
ax-by 8,
x 1,
4.如果方程组
c
y
-
b的z 解1 ,是
设x=3k(k≠0),y=4k,z=5k,代入③,
得3k+4k+5k=36,解得k=3.
所以x=9,y=12,z=15.
所以原方程组的解为
x y
9 1
, 2
,
z 1 5 .
8.4 三元一次方程组的解法
点拨 第(1)题采用整体消元的方法得到方程组的解,这是一种比较简单 的求解方法,也可以先用方程①②消去y,把所得到的方程和③组成二元 一次方程组求解.形如第(2)题,当方程组中未知数以比例形式出现时,可 设1份为k,再根据其比例确定各未知数,然后将其代入方程组中的一个合 适方程中,求出k的值,从而求出各未知数的值,此种方法称为参数法.
司获得利润18 300元.
点拨 本题考查了三元一次方程组在实际生活中的应用.解题的关键是
找出等量关系,并列出方程组.
8.4 三元一次方程组的解法
知识点一 三元一次方程(组)
1.下列方程是三元一次方程的是 ( )
A.x+y-z=1 B.4xy+3z=7
C. 2 +y-7z=0
x
D.6x+4y-3=0
(1)方程组中共有三个未知数; (2)含未知数的项的次数是1; (3)每个方程等号两边都是整式.
人教版数学第三章知识点
人教版数学第三章知识点一、知识概述《人教版数学第三章知识点》①基本定义：由于不知道具体是哪一册书的第三章，我就先假设是初中数学七年级上册第三章《一元一次方程》。
一元一次方程简单说就是只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1的整式方程。
比如3x +1 = 7，这里的x就是未知数，整个方程就是一元一次方程。
②重要程度：它在数学学科中很重要，可以用来解决很多实际生活中的数量关系问题，像计算购物的折扣问题，工程问题等。
算是数学从简单算术走向复杂代数关系的重要一步。
③前置知识：需要掌握基本的四则运算，对数字和字母表示数有一定的理解，像知道2 + 3 = 5，也知道a + b可以代表两个数相加这种。
④应用价值：在日常生活中，当我们遇到需要找未知数量的问题时就用得上。
比如说，你去买文具，一支笔3元，你给了10元，找零4元，问你买了几支笔。
设买了x支笔，方程就是3x + 4 = 10。
二、知识体系①知识图谱：在初中数学知识里，一元一次方程是代数部分的基础内容，为后续学习二元一次方程、一元二次方程等奠定基础。
②关联知识：和有理数的运算、整式的运算都有关系。
整式是方程的组成部分，有理数运算则在解方程的计算过程中要用到。
③重难点分析：掌握的难点在于如何根据实际问题列出方程。
关键就是要找到题目里的等量关系。
比如说某工程，甲队单独做8天完成，乙队单独做10天完成，两队合作x天完成工程的一半。
这里等量关系就是甲队x天的工作量加上乙队x天的工作量等于工程的一半。
④考点分析：在考试中非常重要。
考查方式有直接解方程、根据已知条件列方程求解、以及方程在实际问题中的应用等。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：一元一次方程，首先是等式，然后只含一个未知数，并且这个未知数的次数是1，系数不为0，必须是整式方程。
比如2/x + 3 = 7就不是一元一次方程，因为它不是整式方程。
②特征分析：主要特征就是简洁明了地表示一个数量关系。
它的解是唯一的（个别特殊方程除外），而且通过移项、合并同类项等操作能求解。
全效学习七下第八章三元一次方程组的解法
(
B )
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8.4 三元一次方程组的解法
第1课时 三元一次方程组的解法 知识管理
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知识管理
1．三元一次方程组的概念 定 三个 未知数，每个方程中含未知数的项的次 义：含有________
三个 方程，像这样的方 1 ，并且一共有________ 数都是_____
程组叫做三元一次方程组． 2．三元一次方程组的解法 思 路：用代入法、加减法消去一个未知数，化成二元一次方 程组，再解这个二元一次方程组，一般步骤是：
方法二： (用加减法 )②× 2，得 6x－ 4y－ 8z＝ 16. ④ ①＋ ④，得 8x－ 11z＝ 25. ⑤
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页末页来自② × (－ 3)，得 － 9x＋ 6y＋ 12z＝－ 24. ③＋ ⑥，得－ 4x＋ 7z＝－ 17. (以下解法同方法一，略 )
⑥ ⑦
【点悟】 当三元一次方程组里的每一个方程都是三元一次方 程(即每个方程含三个未知数)时，方法一(代入法)，首先选择未知 数的系数绝对值较小的方程，在这个方程中，用其他两个未知数 表示这个系数绝对值较小的未知数，然后分别代入另外两个方 程，得到一个二元一次方程组，并解之．方法二 (加减法)，方程组 中相同未知数的系数的绝对值之间存在相等或成整数倍或最小公 倍数较小时，就可以消去这个未知数，转化为二元一次方程组．
立成一个二元一次方程组，解之．
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人教版七年级下册数学：三元一次方程组的解法2(3)
思考：用代入 法消元可以吗？ 计算会简便吗？
猜想：能用加减法消 元吗？如果能，消哪 个未知数比较好？
回顾“加减法”解 二元一次方程组
2a+3b=8①，
a
b
1② ，
②×3,得
“加减法”解三元一次方程组
3x 4z 7①， 2x 3y z 9②， 5x 9 y 7z 8③．
3x 2 x
y y
z 3①， 类比迁移解决新问题
3z 11②，
x
y
z
10③．
①+②，消y，得 ①+③，消y, 得
5x 2z 14 4x 2z 13
组成二元一次方程组， 得
5x 2z 14，
1
x 3，
所以2 原方程组的解是
y
6.5,
4x
2z 13． x 3，
z 0.5．
由⑤③，得
x 2(3 z) 9， 2z x 47．
x 2z 3， 即 2z x 47．
解这个二元一次方程组得
x z
22 z 12.5．
把 12.5,
x
2代2 入①，得y=15.5
x 22，
所以原方程组的解是： y 12.5，
z 15.5．
类比迁移解决新问题
解三元一次方程组
③
类比迁移解决新问题
对于这个方程组，消哪个元比较方便？理由是什么？
将③代入①②，得
4y y z 12， 4y 2y 5z 22．
即
5y z 12， 6y 5z 22．
解这个二元一次方程组得
y 2
z
2．
把
x 8，
人教版七年级下册数学：三元一次方程组的解法2
∴三元一次方程组的解为：
由（4）、（5）组成方程组得：
_5_x_－__y_＝__4_____
_4_x_＋__3_y_＝__7____
解这个方程组得：xy
__1___ __1___
x ___1__
y
__1___
z ___2__
四、巩固练习
仿照例2完成下列问题：
2、在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=2；当
（2）×2－（3）得：
解得：z＝____
_____x_＋_3_y_＝__1_5____（5）
∴三元一次方程组的解为：
由（4）、（5）组成方程组得：
__x_－__y_＝__－_1____ __x＋__3_y_＝__1_5____
解这个方程组得：xy
_____ __4___
x _____
y
__4___
▪ 2、方程 ▪ ▪
x 1 y,
①
x y z 14, ②
x y 2z 5 ③
中，
▪ 根据方程①的特点，用含 y的代数式表示x，所以
先消未知数 x 会比较简单，于是可把方程 ① 分 别代入方程 ②和 ③，得到关于 y 和 z 的二元
一次方程组。
▪3何观解察下回列忆方如（1）xy
y z
都是利用消元的思想：把“多元”化成“一元”，从而求出方程组的
六、作业
教科书: 第106页 习题第1、2、4题
2019年6月录制
依题意得：
2x+y+z=15 x+2y+z=16 x+y+2z=17
请观察这个三元一次方程组有何特点？与前面解过 的有何不同？如何解这个三元一次方程组呢？
七年级数学上册 第3章 一次方程与方程组 3.3 二元一次方程组及其解法(第2课时)课件
A．－1
B．3
C．－3
D．－32
第五页，共十五页。
3x－5
4．在二元一次方程 3x－2y＝5 中，用含 x 的式子表示 y，得 y＝ 2 ；
5＋2y
用含 y 的式子表示 x，得 x＝ 3
.
5．1在4方程组m2m－＋n＝ n＝6① 8② 中，由①，得 n＝ m－6 ____3_____.
，代入②，求得 m＝
.请求出 A、B、C 的值．
x＝2
2A＋B＝7
x＝8
解：把y＝1 代入方程组，得C＝1
，又∵y＝－3 是方程 Ax＋By
＝7 的解，∴8A－3B＝7，∴A＝2，B＝3，C＝1.
第十二页，共十五页。
2x＋5y＝3 ① 18．阅读材料：善于思考的小军在解方程组4x＋11y＝5② 时，采用了一种 “整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x＋10y＋y＝5 即 2(2x＋5y)＋y＝5③ 把方程①带入③得：2×3＋y＝5，∴y＝－1
x－2y＝4 (3)2x＋y－3＝0
；
x＋2y＝1 (4)3x－2y＝11 .
解：(1)xy＝＝11
x＝3 (2)y＝2
x＝2 (3)y＝－1
x＝3 (4)y＝－1
第十一页，共十五页。
Ax＋By＝7 17．小马虎和姐姐一同解方程组Cx－3y＝－1 ，姐姐正确地解出＝－8 3
13．二元一次方程组x3＋x－22y＝y＝111 的解是 y＝－1 .
14．若|a－b＋2|＋(b－3)2＝0，那么 ab＝ 3 .
15．如果12a3xby 与－a2ybx＋1 是同类项，则 x＝ 2 ，y＝ 3 .
第十页，共十五页。
16．用代入法解下列方程组：
2x＋y＝3
人教版七年级数学下册第八章第四节三元一次方程组的解法复习试题(含答案) (50)
人教版七年级数学下册第八章第四节三元一次方程组的解法复习试题（含答案)小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．（1）求x、y的值；（2）若营业员小丽某月的总收入不低于1800元，那么小丽当月至少要卖服装多少件？（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需元．【答案】（1）x的值为800，y的值为3．（2）至少要卖334件．（3）150.【解析】【分析】（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成＝1400元，小华的基本工资+提成＝1250元，列方程组求解即可；（2）根据小丽基本工资+每件提成×件数＝1800元，求得件数即可；（3）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱即可．【详解】（1）设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．由题意得20014001501250 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得8003 xy=⎧⎨=⎩即x的值为800，y的值为3．（2）设小丽当月要卖服装z件，由题意得：800+3z＝1800解得，z＝333.3由题意得，z为正整数，在z＞333中最小正整数是334．答：小丽当月至少要卖334件．（3）设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．则可列3231523285 x y zx y z++=⎧⎨++=⎩将两等式相加得4x+4y+4z＝600，则x+y+z＝150答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解；第三问的难点就在于思考的方向对不对，实际上，方向对了，做起来就方便多了．92．已知方程组354x y a y z a z x a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解使代数式x －2y ＋3z 的值等于－10，求a 的值．【答案】a ＝－53. 【解析】【分析】根据题意,用含a 的代数式表示出方程组的解23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩将方程组的解代入x －2y ＋3z=-10中即可求解.【详解】解法1：②－②，得z －x ＝2a.②②＋②，得2z ＝6a ，z ＝3a.把z ＝3a 分别代入②和②，得y ＝2a ，x ＝a.②23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩将其代入x －2y ＋3z ＝－10，得a －2×2a ＋3×3a ＝－10，解得a ＝－53. 解法2(技巧解法)：②＋②＋②，得2(x ＋y ＋z)＝12a ，即x ＋y ＋z ＝6a.②②－②，得z ＝3a ；②－②，得x ＝a ；②－②，得y ＝2a.②23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩以下同解法1.【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解与一次方程的计算,中等难度,解法1求出方程组的解是解题关键,解法2认真观察找到方程组与x＋y＋z的关系是解题关键.93．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文―→密文(加密)，接收方由密文―→明文(解密)．已知加密规则为明文x，y，z对应密文2x＋3y，3x＋4y，3z.例如：明文1，2，3对应密文8，11，9.当接收方收到密文12，17，27时，请你求出解密得到的明文．【答案】解密得到的明文是3，2，9.【解析】【分析】根据题意表示出方程组,求解三元一次方程组即可解题.【详解】依题意，得23123417327x yx yz+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩解得329xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩答：解密得到的明文是3，2，9.【点睛】本题考查了三元一次方程组的实际应用,属于简单题,正确表示出方程组,求解方程组是解题关键.94．某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组的和的14，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？【答案】甲、乙、丙三个小组分别植树25棵、10棵和15棵．【解析】【分析】根据题意表示出方程组,求解三元一次方程组即可解题.【详解】设甲、乙、丙三个小组分别植树x棵、y棵和z棵．根据题意，得501()4x y zy x z x y z++=⎧⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩解得251015 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩答：甲、乙、丙三个小组分别植树25棵、10棵和15棵．【点睛】本题考查了三元一次方程组的实际应用,属于简单题,正确表示出方程组,求解方程组是解题关键.95．解下列方程组：(1)2333215x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=-⎨⎪--=⎩；(2)2362125x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩.【答案】(1)32xyz=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩；(2)211xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.【解析】【分析】根据三元一次方程求解方法即可解题,见详解.(1)233 3215x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=-⎨⎪--=⎩，①＋③，得3x－4z＝8.④②－③，得2x＋3z＝－6⑤联立④⑤，得348236x zx z-=⎧⎨+=-⎩解得2xz=⎧⎨=-⎩把x＝0，z＝－2代入③，得y＝－3.所以原方程组的解是32 xyz=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩(2)2362125 x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩③＋①，得3x＋5y＝11.④③×2＋②，得3x＋3y＝9.⑤④－⑤，得2y＝2，解得y＝1.将y＝1代入⑤，得3x＝6，解得x＝2. 将x＝2，y＝1代入①，得z＝－1.所以原方程组的解为211 xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩【点睛】本题考查求解三元一次方程组,中等难度,熟悉解题方法是解题关键.96．已知方程组23{32x yx y m+=-=的解也满足方程x＋y＝1，求m的值．【解析】【分析】由方程组2332x y x y m +=⎧⎨-=⎩与方程x+y=1的解相同，然后将它与另外两个方程联立，组成一个关于x 、y 、m 的三元一次方程组，解此方程组即可求出x ，y ，m 的值即可．【详解】∵方程组2332x y x y m +=⎧⎨-=⎩的解也满足方程x ＋y ＝1， ∴23321x y x y m x y +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩， 解得218x y m =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴m ＝8. 【点睛】本题考查了二元一次方程的解及三元一次方程组的解法．解题的关键是联立成三元一次方程组．97．解下列方程(组): (1)123123x x +--= (2)5325273193218x y x y z x y z +=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩【答案】（1）x ＝79；（2）503x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩． 【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程组的方法可以解答此方程；（2）根据解三元一次方程组的方法可以解答此方程．【详解】（1）123123x x +--= 方程两边同乘以6，得3（x+1）-2（2-3x ）=6，去括号，得3x+3-4+6x=6，移项及合并同类项，得9x=7，系数化为1，得 x=79； （2）5325273193218x y x y z x y z +⎧⎪+-⎨⎪+-⎩＝①＝②＝③ ③×3-②，得7x-y=35④①+④×3，得26x=130，解得，x=5，将x=5代入①，得y=0，将x=5，y=0代入③，得z=-3，∴原方程组的解是503x y z ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝＝． 【点睛】本题考查解一元一次方程、解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解答本题的关键．98．解三元一次方程组：126218x y x y z x y z -=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩【答案】1097x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【解析】【分析】由题意通过消元、移项将三元一次方程组化为二元一次方程组，然后再根据二元一次方程组的解法，求出其解，从而求出三元一次方程组的解．【详解】1? 26?218x y x y z x y z -=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩①②③ 将方程①+②得：2x +z ＝27…④将方程②+③得：3x +2z ＝44…⑤将④×3﹣⑤×2得：z ＝7将z 值代入⑤得：x ＝10把x＝10代入①得：y＝9，∴三元一次方程组的解为1097xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．【点睛】本题考查了三元一次方程的解法．通过消元，先把三元一次方程化为二元一次方程组，然后求解即可．99．解方程组：（1）32 3813 x y x y=+⎧⎨-=⎩（2）1229 310x y zx y zx y z++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩．【答案】（1）12xy=-⎧⎨=-⎩；（2）185235195xyz⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．【解析】【分析】（1）先把二元一次方程组转化成一元一次方程，求出方程的解，再求出x 即可；（2）把三元一次方程组转化成二元一次方程组，求出方程组的解，再求出z即可．【详解】（1）把①代入②得：3（3+2y）﹣8y＝13，解得：y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得：x＝3﹣4＝﹣1，所以原方程组的解为；（2）①+②得：2x+3y＝21④，③﹣①得：2x﹣2y＝﹣2⑤，由④和⑤组成一元二元一次方程组，解得：，把代入①得：++z＝12，解得：z＝，所以原方程组的解为．【点睛】本题考查了解三元一次方程组和解二元一次方程组，能够消元是解此题的关键．掌握把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法.100．甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解对其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多？(多的比少的)多几道题？【答案】难题多20道【解析】【分析】本题有三个未知数：难题个数、容易题个数、正好两人解出的题（中等难度的题）的个数，有两个等量关系：（1）难度题个数+容易题个数+中等难度题个数=100．（2）难题个数+容易题个数×3+中等难度题个数×2=60×3．【详解】设难题x 道，容易题y 道，中等难度题z 道，则有10032180x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②， 由①×2-②，得20x y -=.所以难题比容易题多20题.【点睛】本题考查三元一次方程组的应用．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”．。
人教版七年级下册数学精品作业课件(RJ) 第八章 二元一次方程组 三元一次方程组的解法
x＋y＝3， 2．(5 分)三元一次方程组x＋z＝4，
的解是(
D
)
y＋z＝5
A．yx＝＝23，， z＝1
B．xy＝＝23，， z＝1
C．xy＝＝31，， z＝2
D．xy＝＝12，， z＝3
3x－y＋2z＝3， 3．(5 分)观察方程组2x＋y－4z＝11， 的系数特点，若要使求解简便，消元的
7x＋y－5z＝1 方法应选取( B )
A．先消去 x B．先消去 y
C．先消去 z D．以上说法都不对
x＋y＋z＝1，① 4．(5 分)小铃观察三元一次方程组4x＋2y＋z＝3，② 各个未知数的系数特点，先
9x＋3y＋z＝7，③
③－①
用②－①，得 3x＋y＝2，记为④，消掉未知数 z，那么下一步应完成的是______，
得到___8_x_＋__2_y_＝__6__，记为⑤，由④⑤可解得 x，y 的值，通过代入 x，y 的值求出
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第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
1．(5 分)下列是三元一次方程组的是( B )
x2＝4， A．x＝z－1，
x＋y＝0
2x＋y＝1， B．x＋z＝2，
y＋z＝0
z＝x＋3， C．x5＋y3＝12，
x＋2y＝3
3x＋4y＝1， D．x3－y2＝2，
x－y＝5
z＋x－y＝7
A．1 B．2 C．－2 D．12
二、填空题(每小题 6 分，共 12 分)
ax－by＝8， 9．如果方程组cy－bz＝1，
x＝1， 的解是y＝－2，
则 a＝__2_，b＝__3__，c＝1___．
3x＋z＝2c
z＝－1，
人教版数学七年级下册8.4.1 三元一次方程组的解法(1) 课件
15
知识点二：三元一次方程组的解法
典例讲评 3x＋4z=7， ①
2x＋3y＋z=9， ② 5x－9y＋7z=8. ③
解：由②×3＋③ ，得：11x＋10z=35 ④
在三元化二元时，
对于具体方法的选取 应该注意选择最恰当、 最简便的方法。
由①与④组成方程组
③与④组成方程组
x 4 y， 4x 3y 38．
把 x=8，y=2代入①，得 z=2.
∴这个三元一次方程组的解为 xyz＝＝＝282
这样消元有 什么好处？
解得
x
y
8， 2．
答：1元、2元和5元纸币分别为8张、2张、2张． 13
知识点二：三元一次方程组的解法
归纳总结 解三元一次方程组的基本思路是什么？
3x＋4z=7， 11x＋10z=35.
解这个方程组，得
x=5， z=-2.
把x＝5，z＝-2代入②，得y=
因此，这个三元一次方程组的解为
思考：此题还有其
他解法吗？比较一 x=5， 下哪种解法更简单？
y=
z=-2.
16
知识点二：三元一次方程组的解法
归纳总结
解三元一次方程组时如何选择消元的方法 解题前要认真观察各方程的系数特点，当方程 组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺 哪个元，就利用另两个方程用加减法消那个元；如 果这个二元一次方程系数较简单，也可以用代入法 求解．
归纳总结
思考：三元一次方程组与二元一次方程组有什么异同？
异同
二元一次方程组 三元一次方程组
区别
含未知数 几个方程
两个 两个
三个 三个
《三元一次方程组的解法》人教版七年级数学下册导学案
8.4 三元一次方程组的解法【总结解题方法提升解题能力】【知识点梳理】一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1、三元一次方程的定义含有三个未知数, 并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1, 2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．2、三元一次方程组的定义一般地, 由几个一次方程组成, 并且含有三个未知数的方程组, 叫做三元一次方程组.二、三元一次方程组的解法1、解三元一次方程组的一般步骤〔1〕利用代入法或加减法, 把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组, 消去两组中的同一个未知数, 得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；〔2〕解这个二元一次方程组, 求出两个未知数的值；〔3〕将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比拟简单的方程, 得到一个一元一次方程；〔4〕解这个一元一次方程, 求出最后一个未知数的值；〔5〕将求得的三个未知数的值用“{〞合写在一起．要点诠释：〔1〕解三元一次方程组的根本思路是：通过“代入〞或“加减〞消元, 把“三元〞化为“二元〞．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组, 进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：〔2〕有些特殊的方程组可用特殊的消元法, 解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．三、三元一次方程组的应用1、列三元一次方程组解应用题的一般步骤〔1〕弄清题意和题目中的数量关系, 用字母(如x, y, z)表示题目中的两个(或三个)未知数；〔2〕找出能够表达应用题全部含义的相等关系；〔3〕根据这些相等关系列出需要的代数式, 从而列出方程并组成方程组；〔4〕解这个方程组, 求出未知数的值；〔5〕写出答案(包括单位名称)．一、三元一次方程及三元一次方程组的概念 1、以下方程组不是三元一次方程组的是〔 〕. A 、12236x y y z y +=⎧⎪+=-⎨⎪=⎩ B 、24013x y x xy z ⎧-=⎪+=⎨⎪-=-⎩C 、2231x y x z =⎧⎪=-⎨⎪-=⎩D 、1321y x x z y z -=-⎧⎪+=⎨⎪-=⎩2、以下方程组中是三元一次方程组的是( ).A 、B 、111216y x z y x z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C 、123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D 、18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩3、以下方程组中是三元一次方程组的是〔 〕.A 、111xy yz xz =⎧⎪=⎨⎪=⎩B 、222x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩C 、111111x y z x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩D 、23121x y x z x y z ⎧+=⎪+=⎨⎪--=⎩ 二、三元一次方程组的解法1、在等式y=ax 2+bx+c 中, 当x=﹣1时, y=0；当x=2时, y=3；当x=5时, y=60．求a, b, c 的值．2、解方程组：3、解方程组23520x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②4、方程组354x y a y z a z x a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③的解使得代数式x-2y+3z 的值等于-10, 求a 的值．三、三元一次方程组的应用1、购置铅笔7支, 作业本3本, 圆珠笔1支共需3元；购置铅笔10支, 作业本4本, 圆珠笔1支共需4元, 那么购置铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需元．2、现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张, 币值共计29元, 其中面值为2元的比1元的少6张, 求三种人民币各多少张?【稳固练习】一、填空题.1、以下方程组中是三元一次方程组的是〔 〕.A 、2258232a b c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪+=⎩B 、2222225810x y y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩C 、1141171110x y y z z x⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ D 、::3:4:524x y z x y z =⎧⎨++=⎩ 2、以下四组数值中, 为方程组的解是〔 〕.A 、B 、C 、D 、3、方程组329a b b c a c +=⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩, 那么a+b+c 的值为〔 〕.A 、6B 、-6C 、5D 、-54、532y x y z x a b c ++-与254x y a b c -是同类项, 那么x-y+z 的值为 ( ) .A 、1B 、2C 、3D 、45、代数式2ax bx c ++, 当x ＝-1时, 其值为4；当x ＝1时, 其值为8；当x ＝2时, 其值为25；那么当x ＝3时, 其值为 〔 〕.A 、4B 、8C 、62D 、526、方程组35204522x y x y z ax by z -=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩与方程组85234ax by z x y z c x y -+=⎧⎪++=⎨⎪+=-⎩有相同的解, 那么a 、b 、c 的值为〔 〕.A 、231a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩B 、231a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩C 、231a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩D 、231a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩7、xyz ≠0, 且4520430x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩, 那么x ∶y ∶z 等于〔 〕. A 、3∶2∶1B 、1∶2∶3C 、4∶5∶3D 、3∶4∶5 8、关于x, y 的方程组的解是方程3x+2y=10的解, 那么a 的值为〔 〕.A 、﹣2B 、2C 、﹣1D 、1149、甲、乙、丙三个人各有一些钱, 其中甲的钱是乙的2倍, 乙比丙多1元, 丙比甲少11元, 那么三人共有〔 〕.A 、30元B 、33元C 、36元D 、39元 10、为了奖励进步较大的学生, 某班决定购置甲、乙、丙三种钢笔作为奖品, 其单价分别为4元、5元、6元, 购置这些钢笔需要花60元；经过协商, 每种钢笔单价下降1元, 结果只花了48元, 那么甲种钢笔可能购置( ) .A 、11支B 、9支C 、7支D 、5支二、填空题.11、方程组的解为.12、, 那么=.13、方程组2345216x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪-+=⎩, 假设设=234x y z k ==, 那么k =__________. 14、某车间共有86名工人, 每人平均每天可以加工甲种部件15个, 乙种部件12个或丙种部件9个, 要使加工后的部件按3个甲种部件, 2个乙种部件和1个丙种部件配套, 那么应安排__________人加工甲种部件, __________人加工乙种部件, __________人加工丙种部件.15、甲、乙、丙三数的和是26, 甲数比乙数大1, 甲数的两倍与丙数的和比乙数大18, 那么甲、乙、丙三个数分别是__________.三、解以下方程组.16、〔1〕2333215x y z x y z x y z +-=⎧⎪-+=-⎨⎪--=⎩ 〔2〕2362125x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 〔3〕126218x y x y z x y z -=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩四、应用题.1、新定义对有理数x, y 定义新运算x △y=ax+by+c, 其中a, b, c 是常数, 等式右边是通常的加法与乘法运算．1△2=9, 〔-3〕△3=6, 0△1=2, 求〔-2〕△5的值．2、在等式y =ax 2+bx +c 中, 当x =-1时, y =4；当x =2时, y =4；当x =1时, y =2．〔1〕求a , b , c 的值；〔2〕当x =-2时, 求y 的值．3、某单位职工在植树节当天去植树, 甲、乙、丙三个小组共植树50棵, 乙组植树的棵数是甲、丙两组和的 , 甲组植树的棵数恰好是乙组和丙组的和, 那么每组各植树多少棵？4、2003年全国足球甲A 联赛的前12轮(场)比赛后, 前三名比赛成绩如下表．胜〔场〕 平〔场〕 负〔场〕 积分问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分?5、某工程由甲、乙两队合作需6天完成, 厂家需付甲、乙两队共8700元, 乙、丙两队合作需10天完成, 厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的23, 此时厂家需付甲、丙两队共5500元． (1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)假设要不超过15天完成全部工程, 问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由． 参考答案一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1、以下方程组不是三元一次方程组的是〔 〕.A 、12236x y y z y +=⎧⎪+=-⎨⎪=⎩B 、24013x y x xy z ⎧-=⎪+=⎨⎪-=-⎩C 、2231x y x z =⎧⎪=-⎨⎪-=⎩D 、1321y x x z y z -=-⎧⎪+=⎨⎪-=⎩【答案】B 【解析】解：由题意知, 含有三个相同的未知数, 每个方程中含未知数的项的次数都是1次, 并且一共有三个方程, 叫做三元一次方程组．A 、满足三元一次方程组的定义, 故A 选项错误；B 、x 2-4=0, 未知量x 的次数为2次, ∴不是三元一次方程, 故B 选项正确；C 、满足三元一次方程组的定义, 故C 选项错误；D 、满足三元一次方程组的定义, 故D 选项错误； 应选B ．2、以下方程组中是三元一次方程组的是( ).A 、2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩B 、111216y xz y x z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C 、123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D 、18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次, 故A 选项不是；B 选项中1x , 1y , 1z 不是整式, 故B 选项不是；C 选项中有四个未知数, 故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．3、以下方程组中是三元一次方程组的是〔 〕.A 、111xy yz xz =⎧⎪=⎨⎪=⎩B 、222x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩C 、111111x y z x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩D 、23121x y x z x y z ⎧+=⎪+=⎨⎪--=⎩【答案】B【解析】A 、含有三个未知数, 但不是一次方程, 故该选项错误；B 、是三元一次方程组, 故该选项正确；C 、不是整式方程, 故该选项错误；D 、不是一次方程组, 故该选项错误, 应选B ．二、三元一次方程组的解法1、在等式y=ax 2+bx+c 中, 当x=﹣1时, y=0；当x=2时, y=3；当x=5时, y=60．求a, b, c 的值． 【解析】解：根据题意, 得,②﹣①, 得a+b=1④；③﹣①, 得4a+b=10 ⑤．④与⑤组成二元一次方程组, 解这个方程组, 得,把代入①, 得c=﹣5． 因此, 即a, b, c 的值分别为3, ﹣2, ﹣5．2、解方程组： 【答案】解：①+②得：5311x y +=④ ①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤④－⑤得：48y =, 2y =；将2y =代入⑤知：1x =将1x =, 2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③3、解方程组23520x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【解析】解法一：原方程可化为：253520x z y z x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③ 由①③得：25x z =, 35y z =④ 将④代入②得：232055z z z ++=, 得：10z =⑤ 将⑤代入④中两式, 得：2210455x z ==⨯=, 3310655y z ==⨯= 所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y z t ===, 那么2,3,5x t y t z t ===③ 将③代入②得：23520t t t ++=, 2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=, 3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩4、方程组354x y a y z a z x a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③的解使得代数式x-2y+3z 的值等于-10, 求a 的值．【解析】解法一：②-①, 得z-x ＝2a ④③+④, 得2z ＝6a, z ＝3a把z ＝3a 分别代入②和③, 得y ＝2a, x ＝a ．∴23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩．把x ＝a, y ＝2a, z ＝3a 代入x-2y+3z ＝10得：a-2×2a+3×3a ＝-10． 解得53a =-． 解法二：①+②+③, 得2(x+y+z)＝12a ；即x+y+z=6a ④④-①, 得z ＝3a, ④-②, 得x ＝a, ④-③, 得y ＝2a ．∴23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩,把x ＝a, y ＝2a, z ＝3a 代入x-2y+3z ＝10得：a-2×2a+3×3a ＝-10． 解得53a =-． 三、三元一次方程组的应用1、购置铅笔7支, 作业本3本, 圆珠笔1支共需3元；购置铅笔10支, 作业本4本, 圆珠笔1支共需4元, 那么购置铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需元．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x 元, 作业本的单价是y 元, 圆珠笔的单价是z 元．购置铅笔11支, 作业本5本, 圆珠笔2支共需a 元．那么由题意得：,由②﹣①得3x+y=1, ④由②+①得17x+7y+2z=7, ⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a, 解得：a=5.2、现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张, 币值共计29元, 其中面值为2元的比1元的少6张, 求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x 张、y 张和z 张．依题意, 得24122926x y z x y z x y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③ 把③分别代入①和②, 得21813232x z x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤ ⑤×2, 得6x+z ＝46 ⑥⑥-④, 得4x ＝28, x ＝7；把x ＝7代入③, 得y ＝13；把x ＝7, y ＝13代入①, 得z ＝4．∴方程组的解是7134x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l 元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．【稳固练习】一、填空题.1、以下方程组中是三元一次方程组的是〔 〕.A 、2258232a b c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪+=⎩B 、2222225810x y y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩C 、1141171110x y y z z x⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ D 、::3:4:524x y z x y z =⎧⎨++=⎩ 【答案】D ；2、以下四组数值中, 为方程组的解是〔 〕.A 、B 、C 、D 、【答案】D ．【解析】,①+②得：3x+y=1④,①+③得：4x+y=2⑤,⑤﹣④得：x=1, 将x=1代入④得：y=﹣2, 将x=1, y=﹣2代入①得：z=3,那么方程组的解为．3、方程组329a b b c a c +=⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩, 那么a+b+c 的值为〔 〕.A 、6B 、-6C 、5D 、-5【答案】C ；【解析】将方程组中的三个方程左右分别相加, 得2()10a b c ++=, 两边同除以2便得答案.4、532y x y z x a b c ++-与254x y a b c -是同类项, 那么x-y+z 的值为 ( ) .A 、1B 、2C 、3D 、4【答案】D ；【解析】由同类项的定义得：5235y x x y z x y +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩, 解得：211x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩, 所以4x y z -+=.5、代数式2ax bx c ++, 当x ＝-1时, 其值为4；当x ＝1时, 其值为8；当x ＝2时, 其值为25；那么当x ＝3时, 其值为 〔 〕.A 、4B 、8C 、62D 、52【答案】D ；【解析】由条件知484225a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得521a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．当x ＝3时, 2252152ax bx c x x ++=++=．6、方程组35204522x y x y z ax by z -=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩与方程组85234ax by z x y z c x y -+=⎧⎪++=⎨⎪+=-⎩有相同的解, 那么a 、b 、c 的值为〔 〕.A 、231a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩B 、231a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩C 、231a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩D 、231a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩【答案】D【解析】解方程组35202934x y x y z x y -=⎧⎪+-=⎨⎪+=-⎩, 解得120x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,代入可得方程组41022281a b a b c -⎧⎪+=⎨⎪-=⎩＝－, 解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩, 应选D ．7、xyz ≠0, 且4520430x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩, 那么x ∶y ∶z 等于〔 〕.A 、3∶2∶1B 、1∶2∶3C 、4∶5∶3D 、3∶4∶5【答案】B 【解析】∵4520430x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩①②,∴①×3+②×2, 得2x =y , ①×4+②×5, 得3x =z , ∴x ∶y ∶z =x ∶2x ∶3x =1∶2∶3, 应选B ． 8、关于x, y 的方程组的解是方程3x+2y=10的解, 那么a 的值为〔 〕.A 、﹣2B 、2C 、﹣1D 、1【答案】B ；【解析】解：此题的实质是解三元一次方程组, 用加减法或代入法来解答．〔1〕﹣〔2〕得：6y=﹣3a, ∴y=﹣,代入〔1〕得：x=2a, 把y=﹣, x=2a 代入方程3x+2y=10,得：6a ﹣a=10, 即a=2．应选B ．9、甲、乙、丙三个人各有一些钱, 其中甲的钱是乙的2倍, 乙比丙多1元, 丙比甲少11元, 那么三人共有〔 〕.A 、30元B 、33元C 、36元D 、39元 【答案】D ；【解析】解：设甲乙丙分别有,,x y z 元元元, 那么有：2111x y y z x z =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩, 解得：20109x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 所以三人共有：39x y z ++=〔元〕.10、为了奖励进步较大的学生, 某班决定购置甲、乙、丙三种钢笔作为奖品, 其单价分别为4元、5元、6元, 购置这些钢笔需要花60元；经过协商, 每种钢笔单价下降1元, 结果只花了48元, 那么甲种钢笔可能购置( ) .A 、11支B 、9支C 、7支D 、5支 【答案】D ；【解析】解：设购置甲、乙、丙三种钢笔分别为x 、y 、z 支, 由题意, 得4566034548x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②①×4-②×5得x-z ＝0, 所以x ＝z, 将z ＝x 代入①, 得4x+5y+6x ＝60．即y+2x ＝12． ∵ y ＞0, ∴ x ＜6, ∴ x 为小于6的正整数, ∴ 选D.二、填空题.11、方程组的解为．【答案】．12、, 那么=．【答案】；【解析】解：,①×7﹣②×6得：2x ﹣3y=0, 解得：x=y,①×2+②×3得：11x ﹣33z=0解得：x=3z,∵x=y, x=3z, ∴y=2z, ∴===．故答案为：．13、方程组2345216x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪-+=⎩, 假设设=234x y z k ==, 那么k =__________．【答案】2 【解析】设=,234x y zk ==那么x =2k , y =3k , z =4k , 代入5x −2y +z =16得：10k −6k +4k =16, 解得：k =2, 故答案为：2． 14、某车间共有86名工人, 每人平均每天可以加工甲种部件15个, 乙种部件12个或丙种部件9个, 要使加工后的部件按3个甲种部件, 2个乙种部件和1个丙种部件配套, 那么应安排__________人加工甲种部件, __________人加工乙种部件, __________人加工丙种部件． 【答案】36；30；20【解析】设应安排x 人加工甲种部件, y 人加工乙种部件, z 人加工丙种部件．那么由题意得8615391229x y z xz yz⎧++=⎪⎪=⎪⎨⎪⎪=⎪⎩①②③,由②得x =95z ④, 由③得y =32z ⑤,将④⑤代入①, 解得z =20, ∴x =36, y =30．故答案为：36, 30, 20．15、甲、乙、丙三数的和是26, 甲数比乙数大1, 甲数的两倍与丙数的和比乙数大18, 那么甲、乙、丙三个数分别是__________． 【答案】10, 9, 7【解析】设甲数为x , 乙数为y , 丙数为z , 根据题意得：261218x y z x y x z y ++=⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩, 解得：1097x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 那么甲数是10, 乙数是9, 丙数是7, 故答案为：10, 9, 7．三、解以下方程组.16、〔1〕2333215x y z x y z x y z +-=⎧⎪-+=-⎨⎪--=⎩ 〔2〕2362125x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 〔3〕126218x y x y z x y z -=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩【解析】〔1〕2333215x y z x y z x y z +-=⎧⎪-+=-⎨⎪--=⎩①②③,①+③, 得3x -4z =8④, ②-③, 得2x +3z =-6⑤,联立④⑤, 得348236x z x z -=⎧⎨+=-⎩, 解得02x z =⎧⎨=-⎩,把x =0, z =-2代入③, 得y =-3,所以原方程组的解是032x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．〔2〕2362125x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩①②③,1097x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩14③+①, 得3x +5y =11④, ③×2+②, 得3x +3y =9⑤, ④-⑤, 得2y =2, 解得y =1,将y =1代入⑤, 得3x =6, 解得x =2, 将x =2, y =1代入①, 得z =-1, 所以原方程组的解为211x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．〔3〕126218x y x y z x y z -=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩①②③,将方程①+②得：2x +z =27④, 将方程②+③得：3x +2z =44⑤,将④×3﹣⑤×2得：z =7, 将z 值代入⑤得：x =10, 把x =10代入①得：y =9,∴三元一次方程组的解为 ． 四、应用题.1、新定义对有理数x, y 定义新运算x △y=ax+by+c, 其中a, b, c 是常数, 等式右边是通常的加法与乘法运算．1△2=9, 〔-3〕△3=6, 0△1=2, 求〔-2〕△5的值．解：由题意得293362a b c a b c b c ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩, 解得253a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩,所以此新运算为x △y =2x +5y -3, 故〔-2〕△5=2×〔-2〕+5×5-3=18．2、在等式y =ax 2+bx +c 中, 当x =-1时, y =4；当x =2时, y =4；当x =1时, y =2．〔1〕求a , b , c 的值； 〔2〕当x =-2时, 求y 的值．3、某单位职工在植树节当天去植树, 甲、乙、丙三个小组共植树50棵, 乙组植树的棵数是甲、丙两组和的 , 甲组植树的棵数恰好是乙组和丙组的和, 那么每组各植树多少棵？解：设甲、乙、丙三个小组分别植树x 棵、y 棵和z 棵．根据题意,得501()4x y z y x z x y z++=⎧⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩, 解得251015x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：甲、乙、丙三个小组分别植树25棵、10棵和15棵．4、2003年全国足球甲A 联赛的前12轮(场)比赛后, 前三名比赛成绩如下表．胜〔场〕平〔场〕负〔场〕积分大连实德队8 2 2 26 上海申花队 6 5 1 23 北京现代队 5 7 0 22 问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分?解：设每队胜一场、平—场、负—场分别得x分, y分, z分根据题意, 得8222665235722x y zx y zx y++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩①②③；由①得4x+y+z＝13 ④②一④, 得x+2y＝5 ⑤⑤×5-③, 得y＝1．把y＝1代入⑤, 得x＝5-2×1＝3, 即x＝3．把x＝3, y＝1代入④, 得z＝0．∴310 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩答：每队胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分．5、某工程由甲、乙两队合作需6天完成, 厂家需付甲、乙两队共8700元, 乙、丙两队合作需10天完成, 厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的23, 此时厂家需付甲、丙两队共5500元．(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)假设要不超过15天完成全部工程, 问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．解：〔1〕设甲队单独做x天完成, 乙队单独做y天完成, 丙队单独做z天完成, 那么111611110112135x yy zx z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⨯⎪⎩, 解得111011151130xyz⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,∴101530xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天, 15天, 30天．〔2〕设甲队做一天应付给a元, 乙队做一天应付给b元, 丙队做一天应付给c元, 那么6()870010()80005()5500a bb ca c+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解得875575225abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩．∵ 10a＝8750〔元〕, 15b＝8625〔元〕．答：由乙队单独完成此工程花钱最少．第四单元第1课函数一、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x 和y , 并且对于变量x 的每一个值, 变量y 都有________的值与它对应, 那么我们称y 是x 的________, 其中________是自变量． 2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x 和 y , 其中y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ：正方形的面积, x ：这个正方形的周长B ．y ：等边三角形的周长, x ：这个等边三角形的边长C ．y ：圆的面积, x ：这个圆的直径D ．y ：一个正数的平方根, x ：这个正数 3．以下关系式中, y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝|x |D ．|y |＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y 是x 的函数的是( ) 5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x 表示乘公共汽车的站数, y 表示应付的票价．x /站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y /元1112233344根据此表, 以下说法正确的选项是( ) A ．y 是x 的函数 B ．y 不是x 的函数C ．x 是y 的函数D ．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h (单位：m)与上的台阶数m (单位：个)之间的函数关系式是( ) A ．h ＝6m B ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( )9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( )A ．7B ．－3C ．－3或7D ．±3或7 二、拓展提升13．在国内投寄本埠平信应付邮资如下表：信件质量x /g 0＜x ≤2020＜x ≤4040＜x ≤60邮资y /元(1)y 是x 的函数吗？为什么？(2)分别求当x 取5, 10, 30, 50时的函数值．14．某生态公园方案在园内的坡地上造一片只有A, B 两种树的混合林, 需要购置这两种树苗2 000棵, 种植 A, B 两种树苗的相关信息如下表：品种 价格(单位：元/棵)成活率 劳务费(单位：元/棵)A 15 95% 3 B2099%4设购置A 种树苗x 棵, 造这片树林的总费用为y 元, 解答以下问题： (1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵, 那么造这片树林的总费用为多少元？第26章 反比例函数实际问题与反比例函数2一、根底稳固1.某工厂现有原材料100吨, 每天平均用去x 吨, 这批原材料能用y 天, 那么y 与x 之间的函数表达式为〔 〕 A ．y ＝100x B ．y ＝C ．y ＝+100D ．y ＝100﹣x2.如图, 市煤气公司方案在地下修建一个容积为104m 3的圆柱形煤气储存室, 那么储存室的底面积S 〔单位：m 2〕与其深度d 〔单位：m 〕的函数图象大致是〔 〕A ．B ．C ．D ．3.甲、乙两地相距s 〔单位：km 〕, 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 那么汽车行驶的时间y 〔单位：h 〕关于行驶速度x 〔单位：km /h 〕的函数图象是〔 〕A．B．C．D．4.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序, 开机加热每分钟上升10℃, 加热到100℃, 停止加热, 水温开始下降,此时水温〔℃〕与开机后用时〔min〕成反比例关系, 直至水温降至30℃, 饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机, 重复上述自动程序．水温y〔℃〕和时间x〔min〕的关系如图．某天张老师在水温为30℃时, 接通了电源, 为了在上午课间时〔8：45〕能喝到不超过50℃的水, 那么接通电源的时间可以是当天上午的〔〕A．7：50B．7：45C．7：30D．7：205.在温度不变的条件下, 通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压, 测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强, 如下表：那么可以反映y与x之间的关系的式子是〔〕体积x〔mL〕100 80 60 40 20压强y〔kPa〕60 75 100 150 300A．y＝3 000x B．y＝6 000x C．y＝D．y＝6.随着私家车的增加, 交通也越来越拥挤, 通常情况下, 某段公路上车辆的行驶速度〔千米/时〕与路上每百米拥有车的数量x〔辆〕的关系如下图, 当x≥8时, y与x成反比例函数关系, 当车速度低于20千米/时, 交通就会拥堵, 为防止出现交通拥堵, 公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是〔〕A．x＜32B．x≤32C．x＞32D．x≥327.如图, 在平面直角坐标系中, 函数y＝〔k＞0, x＞0〕的图象与等边三角形OAB的边OA, AB分别交于点M, N, 且OM＝2MA, 假设AB＝3, 那么点N的横坐标为〔〕A．B．C．4D．68.如图, 反比例函数y1＝〔k1＞0〕和y2＝〔k2＜0〕中, 作直线x＝10, 分别交x轴, y1＝〔k1＞0〕和y2＝〔k2＜0〕于点P, 点A, 点B, 假设＝3, 那么＝〔〕A．B．3C．﹣3D．9.直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于A, B点, 与y＝〔x＜0〕的图象交于C、D两点, E是点C关于点A的中心对称点, EF⊥OA于F, 假设△AOD的面积与△AEF的面积之和为时, 那么k＝〔〕A．3B．﹣2C．﹣3D．﹣10.如图, 点A、B在双曲线〔x＜0〕上, 连接OA、AB, 以OA、AB为边作▱OABC．假设点C恰落在双曲线〔x＞0〕上, 此时▱OABC的面积为〔〕A．B．C．D．411.某物体对地面的压强P〔Pa〕与物体和地面的接触面积S〔m2m2时, 该物体对地面的压强是Pa．12.根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示, 售价是销量的反比例函数〔统计数据见下表〕．该运动鞋的进价为180元/双, 要使该款运动鞋每天的销售利润到达2400元, 那么其售价应定为元．售价x〔元/双〕200 240 250 400销售量y〔双〕30 25 24 1513.小刚同学家里要用1500W的空调, 家里保险丝通过的最大电流是10A, 额定电压为220V, 那么他家最多还可以有只50W的灯泡与空调同时使用．14.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体, 当改变容器的体积时, 气体的密度也会随之改变,密度ρ〔单位：kg/m3〕与体积v〔单位：m3〕满足函数关系式〔k为常数, k≠0〕其图象如下图过点〔6, 1.5〕, 那么k的值为．15.小丁在课余时间找了几副度数不同的老花镜, 让镜片正对太阳光, 上下移动镜片, 直到地上的光斑最小, 此时他测量了镜片与光斑的距离, 得到如下数据：老花镜的度数x/度…100 125 200 250 …镜片与光斑的距离y/m… 1 …m, 那么这副老花镜为度．16.为预防传染病, 某校定期对教室进行“药熏消毒〞, 药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量y〔mg〕与燃烧时间x〔分钟〕成正比例；燃烧后, y与x成反比例〔如下图〕．现测得药物10分钟燃烧完, 此时教室内每立方米空气含药量为6mgmg时, 对人体方能无毒害作用, 那么从消毒开始, 至少需要经过分钟后, 学生才能回到教室．二、拓展提升17.近似眼镜片的度数y〔度〕是镜片焦距x〔cm〕〔x＞0〕的反比例函数, 调查数据如表：眼镜片度数y〔度〕400 625 800 1000 (1250)镜片焦距x〔cm〕25 16 10 (8)〔1〕求y与x的函数表达式；〔2〕假设近视眼镜镜片的度数为500度, 求该镜片的焦距．18.y〔毫克/百毫升〕与时间x〔时〕成正比例；1.5小时后〔包括1.5小时〕y与x成反比例．根据图中提供的信息, 解答以下问题：〔1〕写出一般成人喝半斤低度白酒后, y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；〔2〕按国家规定, 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶〞, 不能驾车上路．参照上述数学模型, 假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒, 第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．19.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序, 开机加热时每分钟上升10℃, 加热到100℃停止加热, 水温开始下降,此时水温y〔℃〕与开机后用时x〔min〕成反比例关系, 直至水温降至30℃, 饮水机关机, 饮水机关机后即刻自动开机, 重复上述自动程序．假设在水温为30℃时接通电源, 水温y〔℃〕与时间x〔min〕的关系如下图：〔1〕分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；〔2〕怡萱同学想喝高于50℃的水, 请问她最多需要等待多长时间？20.某地建设一项水利工程, 工程需要运送的土石方总量为360万米3．〔1〕写出运输公司完成任务所需的时间y〔单位：天〕与平均每天的工作量x〔单位：万米3〕之间的函数关系式；〔2〕当运输公司平均每天的工作量15万米3, 完成任务所需的时间是多少？〔3〕为了能在150天内完成任务, 平均每天的工作量至少是多少万米3？21.蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时, 电流Ⅰ〔单位：A〕与电阻R〔单位：Ω〕是反比例函数关系, 它的图象如下图．〔1〕求这个反比例函数的表达式；〔2〕如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A, 那么该用电器的可变电阻至少是多少？22.某公司用100万元研发一种市场急需电子产品, 已于当年投入生产并销售, 生产这种电子产品的本钱为4元/件,在销售过程中发现：每年的年销售量y〔万件〕与销售价格x〔元/件〕的关系如下图, 其中AB为反比例函数图象的一局部, 设公司销售这种电子产品的年利润为s〔万元〕．〔1〕请求出y〔万件〕与x〔元/件〕的函数表达式；〔2〕求出第一年这种电子产品的年利润s〔万元〕与x〔元/件〕的函数表达式, 并求出第一年年利润的最大值．23.为预防传染病, 某校定期对教室进行“药熏消毒〞．药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量y〔mg〕与药物在空气中的持续时间x〔m〕成正比例；燃烧后, y与x成反比例〔如下图〕．现测得药物10分钟燃完, 此时教室内每立方米空气含药量为8mg．根据以上信息解答以下问题：〔1〕分别求出药物燃烧时及燃烧后y关于x的函数表达式mg时, 对人体方能无毒害作用, 那么从消毒开始, 在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？mg的持续时间超过20分钟, 才能有效杀灭某种传染病毒．试判断此次消毒是否有效, 并说明理由．第四单元第1课函数二、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x 和y , 并且对于变量x 的每一个值, 变量y 都有________的值与它对应, 那么我们称y 是x 的________, 其中________是自变量． 2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x 和 y , 其中y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ：正方形的面积, x ：这个正方形的周长B ．y ：等边三角形的周长, x ：这个等边三角形的边长C ．y ：圆的面积, x ：这个圆的直径D ．y ：一个正数的平方根, x ：这个正数 3．以下关系式中, y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝|x |D ．|y |＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y 是x 的函数的是( ) 5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x 表示乘公共汽车的站数, y 表示应付的票价．x /站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y /元1112233344根据此表, 以下说法正确的选项是( ) A ．y 是x 的函数 B ．y 不是x 的函数C ．x 是y 的函数D ．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h (单位：m)与上的台阶数m (单位：个)之间的函数关系式是( ) A ．h ＝6m B ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( )9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( )A ．7B ．－3C ．－3或7D ．±3或7 三、拓展提升13．在国内投寄本埠平信应付邮资如下表：(2)分别求当x 取5, 10, 30, 50时的函数值．14．某生态公园方案在园内的坡地上造一片只有A, B 两种树的混合林, 需要购置这两种树苗2 000棵, 种植 A, B 两种树苗的相关信息如下表：设购置A (1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵, 那么造这片树林的总费用为多少元？。
数学人教版七年级下册三元一次方程
三元一次方程（组）
1：怎样的方程是三元一次方程？ 答：含有三个未知数，未知项的次数为1的整式方程。
2：三元一次方程组的概念？
答：方程组中含有三个未知数，未知项的次数为1。并且一共有 三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组。
三元一次方程判断练习：
｛
｛
X=2 XY=5 X+Y+Z=6 X=2 X+Y+Z=12 2X-Y+Z=2
｛ ｛
X+Y+Z=2 Y+Z+W=3 X+Z+W=5 X+Y=3 Y+Z=4
｛
X+1／Y=3 X+Z=4 2X+3Y+Z=6
回 顾 新 知
小 结
方程的解与方程组的解
的概念？
答：使方程成立的未知数的值叫方程的解。 使方程组中的每个方程成立的求和数的值叫方程的解。
解三元一次方程组
例 ：
三元一次 方程组
练习解三元一次方程：
｛
X+Y=3 ------ Y+Z=4 ------ X+Z=5 ------
解决生活问题：
在观兴中学篮球运动会中：七（五）班胜3场平2场负1场共积14分； 七（六）班胜4场平2场共积16分；七（七）班胜2场平2场负2场共积12分。 求：胜一场积多少分？平一场积多少分？负一场积多少分？
X=4Y
----------
｛
X-Y=1 X+Y+Z=26
---------- ----------
2X-Y+Z=18
----------
3X+2Y+4Z=4 ----------
人教版七年级下册数学课件8.4 三元一次方程组
x y z 23, ①
x
y
1,
②
2x y z 20.③
能不能像以前一样“消元”， 把“三元”化成“二元”呢？
探究新知
素养考点 1 三元一次方程组的解法
例2 解三元一次方程组
3x 4z 7， ① 2x 3y z 9， ② 5x 9 y 7z 8．③
5x 5y 10z 35, ① 20x 10y 10z 70, ② 5x 15y 5z 35. ③
探究新知
(2)②-①×4,③-①,得
5x 5y 10z 35, ①
10y 30z 70, ④
10y 5z 0.
⑤
⑤+④,得
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或 “加减”进行 消元 ，把 “三元” 转化为 “二元” ， 使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再 转化为解 一元一次方程 .
三元一次 消元 二元一次 消元 一元一次
方程组
方程组
方程
巩固练习
2.解方程组
x y z 23, ①
x y 1,
关系的取值可以是:当y=2时,z=7,x=3.当y=4时,z=6,x=2.
当y=6时,z=5,x=1.所以小明妈妈有3种不同的购买方法.
课堂检测
基础巩固题
1.方程
2x 1 0 y
，3x＋y＝0,2x＋8y＝1,3x＋y－2x＝0，
x2－x＋1＝0中，二元一次方程的个数是( B )
A. 1个
用品,则小明妈妈的购买方法有( D )
A.6种
B.5种
C.4种
人教版七年级下册数学：三元一次方程组的解法2 (54)
第八章 二元一次方程组 8.4 三元一次方程组的解法（2）
甘肃省定西市岷县茶埠初级中学 林建国
一、导入 温故知新
问题1：解三元一次方程组的 基本思路是什么？ 采用哪些方法进行消元？
二、典例分析 解疑释惑
例：在等式 yax2bxc中，当x1时， y 0；当 x 2时， y 3；当 x 5时， y 60．求 a ，b ，c 的值．
x _____，
解这个方程组得
y
_____
.
进而求得z=_____.因此，原方程组的解为
x _ _____ .
三、归纳结论
1.三元一次方程组：含有三个不相同的未知数，每 个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有 三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的思想方法：
五、师生互动，课堂小结
问题2：解三个方程都含有三个未知数的三 元一次方程组时应该注意什么？
基本思路：通过“代入”或“加减”进行 消元
基本思想：消元（选择合适的未知数为消去 的对象）
作业
通过本节课的学习，你有什么收获？ 还有什么疑惑？
布置作业： 习题 8.4 第 2（2）题， 第 5 题．
学习交流 解三元一次方程组 3x 4z 7，① 2x 3y z 9，② 5x 9 y 7z 8.③
解：方程①只含_____、______，因此，可由② ③消去，得到一个只含x，y的方程____________， 与①组成一个二元一次方程组
______________ . ______________ .
思考1：这个问题怎样转化为方程组？ 思考2：这个方程组与前面见过的三元
一次方程组有何不同？ 思考3：三个方程都含有三个未知数的
人教版七年级数学下册第八章第四节三元一次方程组的解法复习试题(含答案) (56)
人教版七年级数学下册第八章第四节三元一次方程组的解法复习试题（含答案)某校在“筑梦少年正当时，不忘初心跟党走”知识竟赛中，七年级（2）班2人获一等奖，1人获二等奖，3人获三等奖，奖品价值41元；七年级（7）班1人获一等奖，3人获二等奖，3人获三等奖，奖品价值37元；七年级（13）班5人获二等奖，3人获三等奖，奖品价值_____元．【答案】33【解析】【分析】设一等奖奖品的单价为x元/个，二等奖奖品的单价为y元/个，三等奖奖品的单价为z元/个，根据“2个一等奖、1个二等奖、3个三等将奖品价值41元；1个一等奖、3个二等奖、3个三等将奖品价值37元”，即可得出关于x、y、z 的三元一次方程组，利用2×②﹣①即可求出结论．【详解】设一等奖奖品的单价为x元/个，二等奖奖品的单价为y元/个，三等奖奖品的单价为z元/个，根据题意得：23413337x y zx y z++=⎧⎨++=⎩①②，2×②﹣①，得：5y+3z=33．故答案是：33．【点睛】考查了三元一次方程组，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．52．若关于x ,y 的二元一次方程组3,-x y k x y k +=⎧⎨=⎩的解也是二元一次方程x +2y =8的解,则k 的值为____.【答案】2【解析】【分析】据题意得知，二元一次方程组的解也是二元一次方程x+2y=8的解，也就是说，它们有共同的解，及它们是同一方程组的解，列出方程组解答即可．【详解】根据题意，得()()()31{2283x y k x y k x y +-+＝＝＝由（1）+（2），得2x=4k 即x=2k （4）由（1）-（2），得2y=2k 即y=k （5）将（4）、（5）代入（3），得2k+2k=8，解得k=2.【点睛】本题考查了三元一次方程组的解，运用了加减消元法和代入消元法．通过“消元”，使其转化为二元一次方程（组）来解．53．若54413273193218x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩则5x ﹣y ﹣z ﹣1的立方根是_____． 【答案】3【解析】【分析】先③×3-③得7x -y =35③,再③×3+③×4得:23x +16y =115③,然后③×16+③求出x 的值,再把x 的值代入③求出y 的值,最后把x 、y 的值代入③求出z 的值即可.【详解】54413273193218x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩①②③, ③×3-②得: 7x -y =35③,①×3+③×4得:23x +16y =115⑤,④×16+⑤得:x =5,把x =5代入④得:y =0,把x =5,y =0代入③得:z =-3;则原方程组的解为:503x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ③5x ﹣y ﹣z ﹣1=25-0+3-1=27，③5x ﹣y ﹣z ﹣1故答案为3.【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法,关键把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想,从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法.解三元一次方程组的关键是消元.54．方程组202132x y z x y z x y z ++=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩的解是_____． 【答案】123x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩【解析】【分析】①+②得出3x+y=1④，③﹣②求x ，把x=1代入④求出y ，把x=1，y=﹣2代入①求出z 即可．【详解】202132x y z x y z x y z ++=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩①②③ ①+②得：3x+y=1④，③﹣②得：x=1，把x=1代入④得：3+y=1，解得：y=﹣2，把x=1，y=﹣2代入①得：1﹣4+z=0，解得：z=3，所以原方程组的解为123x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 故答案为：123x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程转化成二元一次方程组或一元一次方程是解此题的关键．55．甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，那么甲、乙、丙三个数分别是__________．【答案】10，9，7【解析】【分析】先设甲数为x ，乙数为y ，丙数为z ，根据甲乙丙三个数的和为26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，列出方程组，求出方程组的解即可．【详解】设甲数为x ，乙数为y ，丙数为z ，根据题意得：261218x y z x y x z y ++=⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩， 解得：1097x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 则甲数是10，乙数是9，丙数是7，故答案为：10，9，7.【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，根据题目中的数量关系，列出方程组.56．县城3路公交车每隔一定时间发车一次，一天小明在街上匀速行走，发现背后每隔15分钟开过来一辆公交车，而迎面每隔10分钟有一辆公交车驶来，则公交车每隔________分钟发车一次．【答案】12【解析】【分析】可设公交车每隔x 分钟发车一次，同时设公共汽车和小明的速度为未知数，等量关系为：15×（公共汽车的速度-小明的速度）=x ×公共汽车的速度；10×（公共汽车的速度+小明的速度）=x ×公共汽车的速度，消去x 后得到公共汽车速度和小明速度的关系式，代入任意一个等式可得x 的值．【详解】设公共汽车的速度为a ，小明的速度为b ，每隔x 分钟发车一次，依题意有 ()()1510a b ax a b ax ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 解得a=5b ，代入方程10（a+b ）=ax 得x=12，故公交车每隔12分钟发车一次，故答案为12．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用；消元是解决本题的难点；得到相遇问题和追及问题的等量关系是解决本题的关键．57．已知三个方程构成的方程组230xy y x --=，350yz z y --=，520xz x z --=，恰有一组非零解x a =，y b =，z c =，则222a b c ++=________．【答案】152【解析】【分析】先把xy-2y-3x=0，yz-3z-5y=0，xz-5x-2z=0建立三元方程组，再利用代入法求出x ，y ，z 的值，再根据x=a ，y=b ，z=c 求出a 2+b 2+c 2的值．【详解】xy 2y 3x 0--=，yz 3z 5y 0--=，xz 5x 2z 0--=组成方程组得 230350520xy y x yz z y xz x z --=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩①②③， 由①得：x=23y y -④， 把④代入③整理得：-10y+6z=0，∴z=53y ， 把z=53y 代入②得：253y -5y-5y=0， 解得：y 1=0 （舍去），y 2=6，∴z=53×6=10， x=2663⨯-=4， 又∵x=a ，y=b ，z=c ，∴a 2+b 2+c 2=x 2+y 2+z 2=42+62+102=16+36+100=152，故答案为152.【点睛】本题考查了解三元方程组；解题的关键是通过建立三元方程组，再运用代入法进行消元求出方程组的解．58．如果576x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，那么x y z++的值为______.【答案】9【解析】【分析】把三个方程相加即可．【详解】三个方程相加可得：2x+2y+2z＝18，所以x+y+z＝9，故答案为9【点睛】此题考查三元方程组的问题，关键是把三个方程相加解答．59．方程组251x yy zx z+=-⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩的解为________．【答案】423 xyz=-⎧⎪=⎨⎪=⎩【解析】分析：方程组利用加减消元法求出解即可．详解：251x yy zx z+=-⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩①②③，①-②+③，得2x=-8，解得：x=-4，把x=-4代入①得：y=2，把y=2代入②得：z=3，则方程组的解为423xyz=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故答案为：423 xyz=-⎧⎪=⎨⎪=⎩.点睛：本题考查了解三元一次方程组的应用，解三元一次方程组的基本思路是想法把三元一次方程组转化成二元一次方程组．60．方程组210285326x y zx y zx y z①②③+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩先消去z，可用①+②得3x+ ______ =18，②×2-③得______ = _____．【答案】y -x+y 10【解析】分析：先把三元一次方程组转化成二元一次方程组，消去z，①＋②和②×2−③，即可得出答案．详解：210 28 5326 x y zx y zx y z①②③+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩①＋②得：3x＋y＝18，②×2−③得：−x＋y＝10，故答案为：y，−x＋y，10．点睛：本题考查了解三元一次方程组的应用，解三元一次方程组的基本思路是想法把三元一次方程组转化成二元一次方程组．。
人教版七年级下册数学第37课三元一次方程组的解法(1)-解方程组
有方程只含有两个未知数
2x－y=4, 【例1】解方程组: 2x+y+z=1,
x－z=
2x－y=4,① 解： 2x+y+z=1,②
x－z=5.③
①+②,得4x+z=5.④
联立③④，解得
x=2, z=-3.
把x=2代入①，得y=0.
x=2， ∴原方程的解为 y=0，
z=－3.
变式训练
x+y+z=26, 2. 解方程组: x－y=1,
13x+6y=8， y=-3. 把x=2代入③，得z=
x=2， ∴原方程组的解为 y=-3，
z=
a=c－3,
5. 解方程组：b=c－1, 把c=2代入①，得a=-1.
把c=2代入①，得a=-1.
①+②，得5x-2z=-11. 把c=2代入②，得b=1.
__________________.
a+b+2c=4.
3x-y+z=4, 【例2】解方程组： 2x+3y-z=12,
x+y+z=6.
3x－y+z=4,① 解： 2x+3y－z=12,②
x+y+z=6.③ ①+②，得5x+2y=16. ④
②+③，得3x+4y=18. ⑤
联立④⑤，解得 x=2, y=3.
把x=2,y=3代入③，得2+3+z=6.
解得z=1. ∴原方程组的解是
3x－y+z=－2,①
①+③，得2x+z=1.
①+②，得5x-2z=-11.
把y=________，z=________代入________，得
人教版七年级下册数学：三元一次方程组的解法2 (57)
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组 根据题意列方程组得
｛
a＋b=1 4a＋b=10
解这个方程组，得｛
a=3 b=-2
把｛
a=3 b=-2
代入①，得
C=-5
a=3 因此 ｛ b=-2
c=-5
答：a=3, b=-2, c=-5.
尝试应用
1．甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数 的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
在等式 y ax2 bx c 中，要求a,b,c的值，需要知道几个条件？
合作探究
典型例题
例2 在等式 y ax2 bx c 中，当 x 1时, y 0 ；当 x 2时, y 3 ；
当 x 5时, y 60 ．求a，b，c的值．
解：根据题意，得三元一次方程组
a b c 0 ① 4a 2b c 3 ② 25a 5b c 60 ③
把y=2x，z=3x代入②式，得
x 2x 3x 36
解这个方程，得 x 6 所以 y=12，z=18
x 6 所以原方程组的解为： y 12
z 18
课堂小结
1.你有什么收获和体会？ 2.如何来解决此类问题？
课堂练习
x 3y 2z 13 ① 1． 解三元一次方程组 2x y z 7 ②
x 2 y 3z 12 ③
你选择消去未知数________,得到关于_____的二元一次方程组_________,
解这个二元一次方程组，得_______,原方程组的解是____________．
2． 解三元一次方程组
3x y 2z 2 2x y 3z 11 x y 4z 10
3．一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7
人教版七年级下册数学： 8.4 三元一次方程组的解法 (共23张PPT)
把x=2k,y=3k,z=5k 代入x+y﹢z=20得：
2k+3k﹢5k=20
解得：k=2 因此，这个三元一次方程组的解为
x=4 y=6 z=10
11
知识点一：三元一次方程组的解法
典例讲评
例3、解下列方程： x ∶y =1 ∶5 ① y ∶z=2 ∶3 ②
解法一：
x+y﹢z=27
③
解：由①，得： x .15 y ④
15
知识点二：三元一次方程组的应用
典例讲评
例4：在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;
当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③
a＋b=1， 4a＋b=10.
复习引用
含有 个未知数
三元一次方程
含有未知数的项的次数都是 .
三
整式方程
元
方程组中含有三个未知数
一
三元一次方程组
含有未知数的项的次数都是 . 整式方程
次
方
代入法
程
消元方法
加减法
组
思路： 三元
二元
一元
1
人教版七年级数学下册 第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
8.4.2：三元一次方程组的解法（2）
3
知识点一：三元一次方程组的解法
新知探究
在2012年伦敦奥运会时，中国健儿获得88枚奖牌,位居奖 牌榜第二名,其中金牌比银牌多11枚,银牌和铜牌的总数比金牌 多12枚，你能算出我国金、银、铜三种奖牌各多少枚吗?
解：设获得金牌x枚、银牌 y枚、铜牌 z枚， 根据题意得： x﹢y﹢z＝88， ①
人教版数学七年级下册8.4.1 三元一次方程组的解法1 课件
活动2
怎么解三元一次方程组？
活动2
观察方程组： 为了消掉x x y z 12 ① ② x 2 y 5 z 22 x 4y ③ 把③分别代入①②得
5 y z 12 6 y 5 z 22
基本思路
解三元一次方程组的基本思路是：通 过“代入”或“加减”进行消元，把“三 元”转化为“二元”，使解三元一次方程 组转化为解二元一次方程组，进而再转化 为解一元一次方程 。
活动1
解：设1元、2元、5元的纸币分别是x张、 y张、 z张。
x+y+z=12 x+2y+5z=22 x=4y
活动1
把三个方程合在一起写成
x y z 12 x 2 y 5 z 22 x 4y
三元一次方程组
三元一次方程组：这个方程组含 有三个未知数，每个方程中含未知数 的项的次数都是1，并且一共有三个方 程，像这样的方程组叫做三元一次方 程组。
人教版七年级数学下册
第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
学习目标：
1．了解三元一次方程组的概念. 2．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二 元的思路，会解三元一次方程.
重点：1、会解三元一次方程组. 2、体会“消元”的基本思想。 难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、 加减法等重要方法.
回顾知新
怎样解下列的方程组，有什么方法？ 6x-5y=3 ① x + y=22 ①
2x+y=40 ②
-6x+y= -15 ②
（代入消元法和加减消元法）
基本思路: 二元 化归思想
ห้องสมุดไป่ตู้
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2
的值。
4 x 3 y 6 z 解 : 原方程组可化为 x 2 y 7z ( 2) 4 (1) 得 11 y 22z , y 2 z 把 y 2 z 代入 ( 2) 得 x 3 z , 把 x 3z y 2 z 代入下式 2 x 2 3 y 2 6z 2
人教版七年级数学
自能作业，巩固新知
作业：《自能导学》 P83——P84
人教版七年级数学
基础过关，巩固新知
解下列方程组
x y z 2 4 7 5 x 3 y 3z 1
x : y : z 1: 2 : 3 2 x y 3z 21
人教版七年级数学
基础过关，巩固新知
x 3 y z 0 3 x 3 y 4 z 0 则x : y : z ___
代入 (2) 得 2t 2t 21t 21 x 1 z 7 y 2 z 7
人教版七年级数学
例题示范，应用新知
己知x , y , z 满足方程组 求 x : y : z的值。
x 2 y z 7 x 4 y 5 z (1) 2 (2) 2y (1) (2) 9 x 3z 故 x 4 z 3 ,
x y z 111, (1) y : x 3 : 2, (2) y : z 5 : 4. (3)
人教版七年级数学
基础过关，巩固新知
7 x 6 y 7 z 100 , (4) x 2 y z 0, 3 x y 2 z 0; (2) a : b : c 3 : 4 : 5, x y z 4, a b c 36; (5) 2 3
2 2 2
(1) ( 2)
2( 3 z ) 2 3( 2 z ) 2 6 z 2
2 2 2
36z 2
2
1
人教版七年级数学
自能拓展，能力提升
2 2 2 4 x 5 y 2 z 0 己知 ，求 x y z x 4 y 3z 0 x y y z z x
自能预习，温故知新
解方程组：
①
x 2 y 3z 11 x y 4z 10 x 3 y 2z 2
②
a b c 1 a 2b c 3 2a 3b 2c 5
人教版七年级数学
导学激趣，获取新知
x y z x y z 己知 求： 的值。 3 4 5 2x x y z 解:设 k , 3 4 5 则 x 3k , y 4k , z 5k
x y z 3k 4k 5k 2 2x 6k
人教版七年级数学
例题示范，应用新知
x : y : z 1: 2 : 7 2 x y 3z 21
(1) (2)
解 :由 (1) 设 x t 则 y 2t 故 t 1 x 1 y2
z 7t
的值。
人教版七年级数学
总结回顾，释疑解惑
解三元一次方程组一般是
消元
三元 二元
消元
一元
但若有某种特征的方程组可同时消去 两个未知数，直接转化为“一元”， 因此解三元一次方程组必须学会观察 未知数的特点，采用最简消元的方法。
人教版七年级数学
总结回顾，释疑解惑
人教版七年级数人教版七年级数学
自能拓展，能力提升
2 x 5 y 4 z 0 3 x y 7 z 0 则x y z _______
自能拓展，能力提升
2
人教版七年级数学
2 x 3 y 6 z 4 x 3 y 6 z 0 己知 ，求 2 2 2 x 5 y 7 z x 2 y 7z 0
x 2y z 0 7 x 4 y 5 z 0
解 : 把一个字母当作己知数 , 则原方程组可变形为
z z z 把 x 代入 (1) 得 2 y z 3 3 3 2 1 2 y z x : y : z z : z : z 1: 2 : 3 3 3 3
x y 16, (1) y z 12, z x 10.
2 x y 3 z 1, (3) y 2 z 4, 3 x y 9;
x 3 2 x
y z 2, 2 2 y z 4; 3 4
人教版七年级数学
人教版
七年级下册第八章
湖南师大附中博才实验中学
邓丽霞
人教版七年级数学
自能预习，温故知新
1、解三元一次方程组的基本思想是什 么？消元的方法有哪几种？ 2、填空：
a+b +c = -6 方程组 a- b +c = -8 用 4a+2b+c= -11
未知数 比较好。 法解，先消
人教版七年级数学