第二章2 信号与噪声傅立叶变换
信号与噪声_第二章
m jm 0t C e m
21
傅里叶变换
1 f (t ) 2
F ( )e d
j t
F ( ) f (t )e
j t
dt
F ( f )df f (0)
f (t )dt F (0)
22
富里叶变换的基本性质
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的 加权和”——傅里叶的第一个主要论点
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示
” ——傅里叶的第二个主要论点
19
傅里叶变换分析的直观说明
：把一个信号的波形分解为许多不同频率正弦波之和。
1
1.299
2
f ( t) 5 0 5
1
1 t
h( t)
4
2
0
2
在信号的产生、传输和测量过程中,探测器和电子学的噪声会叠加
在有用信号上,从而降低测量精度，甚至某些有用的微弱信号会被 噪声所淹没。
通常用信噪比S/N(信号与噪声均方值的比值)来表示系统的噪声指
标。信噪比越高，噪音引起的测量误差越小。
6
噪声的时间平均值为零。但是只要有噪声存在，其 平均功率就不为零，因此通常采用均方值（噪声电压的 平方值按时间求平均） Vn2 作为噪声大小的衡量尺度：
输出
叠加
VO
VnO
Vo S 输出信噪比表示为: N Vno
9
辐射源
能量E 探测器 等效 噪声 能量 ENE
输入信号 电压Vi
等效噪声 电压ENV
放大器 （放大倍数A）
输出 叠加
第二章3 信号与噪声傅立叶变换
f (t ) 1
0
t
-
f (t )e - jt dt
0
- ( j ) t e 1 -t - jt e e dt - (a j ) 0 a j
幅度频谱为 相位频谱为
F ( )
1 a2 2
( ) -arctg ( )
a
14
幅度频谱为 相位频谱为
dt (t )e- jt dt 1
-
单位冲激信号 及其频谱
(t )
(1)
1
F ( )
0
t
0
20
(4) 单位冲激信号δ(t)
冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个 频率范围内频谱都是均匀的。 在时域中波形变化剧烈的冲激函数包含幅度相 等的所有频率分量，这种频谱常称作"均匀谱" 或"白色谱"。
-
2p
2p
2p / T
nω
3
1．从傅立叶级数到傅立叶变换
讨论周期T增加对离散谱的影响：
周期为T的信号谱线间隔为：
1 2p / T
T 2 T 2
1 傅立叶级数的系数： Fn T
lim TFn
fT (t )e
- jn 0 t
dt
T
4
傅里叶变换 1．从傅立叶级数到傅立叶变换
8
3. 频谱函数与频谱密度函数的区别
（1）周期信号的频谱为离散频谱， 非周期信号的频谱为连续频谱。
（2）周期信号的频谱为Fn的分布， 表示每个谐波分量的复振幅； F(ω)非周期信号的频谱为T Fn 的分布，表示即频谱密度函数。 两者关系：
第二章2 信号与噪声傅立叶变换.
1
2f1
2
T1
14
三角形式傅立叶级数(续)
根据三角函数集的正交性，可确定a0 、an、bn
其中：a0
1 T
T
2 -T
f (t)dt
2
2
an T
T
2 -T
f (t) cosn1tdt
2
(n = 1,2 )
bn
2 T
T
2 -T
f (t) sin n1tdt
2
(n = 1,2 )
15
纯余弦形式傅立叶级数
D
D
+ f (kD ) (u(t - kD ) - u(t - kD - D )) D + D
f (kD ) (u(t - kD ) - u(t - kD - D )) D
k -
D
7
上 式 只 是 近 似 表 示 信 号 f(t), 且 Δτ 越 小 ， 其 误 差 越 小 。 当 Δτ→0时，可以用上式精确地表示信号f(t)。由于当Δτ→0时， kΔτ→τ，Δτ→dτ，且
4
连续信号分解为冲激函数的线性组合
f (t)
f (kD)
- D 0 D 2D
t
kD (k +1)D
连续信号表示为冲激信号的迭加
5
从 上 图 可 见 ， 将 任 意 信 号 f(t) 分 解 成许多小矩形，间隔为Δτ，各矩形 的高度就是信号f(t)在该点的函数值。 根据函数积分原理，当Δτ很小时， 可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信 号来近似表示信号f(t)；而当Δτ→0 时，可以用这些小矩形来精确表达信 号f(t)。即
第二章 信号与噪声
信号的频谱分析
1
1.信号分解 2.周期信号的傅立叶级数展开
傅里叶变换降噪
傅里叶变换降噪傅里叶变换是一种数学工具，被广泛应用于信号处理领域。
噪声是信号处理中常见的问题之一，通过傅里叶变换可以有效地降低噪声对信号的影响。
本文将介绍傅里叶变换的原理和应用，以及如何利用傅里叶变换进行降噪。
我们来了解一下傅里叶变换的基本概念。
傅里叶变换是将一个信号分解成一系列正弦和余弦函数的和的过程。
根据傅里叶变换的性质，一个信号可以表示为频谱的形式，频谱表示了信号中各个频率成分的强度和相位信息。
在信号处理中，噪声是指对信号的干扰或扰动。
噪声可以来自于各种不同的源，例如电磁干扰、传感器噪声、电路噪声等。
噪声的存在会降低信号的质量和可靠性，因此需要进行降噪处理。
傅里叶变换可以帮助我们理解信号中的噪声成分，并采取相应的处理方法。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱，从而分析信号中各个频率成分的强度和相位信息。
在频谱中，噪声通常表现为比较高的幅度，而信号通常表现为较低的幅度。
因此，我们可以通过分析频谱来判断信号中的噪声成分，并采取相应的降噪方法。
一种常用的降噪方法是滤波器。
滤波器可以通过选择性地通过或阻断信号的不同频率成分来实现降噪的目的。
根据信号的频谱特点，我们可以设计合适的滤波器来滤除噪声成分。
常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
通过将滤波器应用于信号的频谱，我们可以去除噪声成分，得到降噪后的信号。
除了滤波器，傅里叶变换还可以用于其他降噪方法的辅助。
例如，通过对信号进行傅里叶变换后，我们可以将信号从时域转换到频域，然后对频域信号进行处理。
在频域中，噪声通常表现为比较高的幅度，而信号通常表现为较低的幅度。
因此，我们可以通过滤波、平滑等方法对频域信号进行处理，从而实现降噪的目的。
最后，再将处理后的频域信号通过傅里叶逆变换转换回时域，得到降噪后的信号。
总结起来，傅里叶变换是一种有效的降噪方法。
通过将信号转换到频域，我们可以分析信号中的噪声成分，并采取相应的降噪方法。
滤波器是一种常用的降噪方法，通过选择性地通过或阻断信号的不同频率成分来实现降噪的目的。
噪声的傅里叶变换
噪声的傅里叶变换噪声是一种随机信号，它具有不确定性和波动性。
在信号处理领域中，噪声是一种常见的问题，因为它会影响信号的质量和精度。
傅里叶变换是信号处理领域中常用的技术，它可以将一个信号分解成不同频率的正弦波或余弦波的叠加。
通过对信号进行傅里叶变换，可以找到信号的频率特征，并提取需要的信息。
在信号中添加噪声会导致信噪比下降，从而降低信号的质量和精度。
因此，噪声的傅里叶变换是一种重要的信号处理技术，可以用来消除噪声的影响，提高信号的质量和精度。
噪声通常包括白噪声、高斯噪声、脉冲噪声等。
在这些噪声中，白噪声是最常见的一种。
它的功率谱密度是常数，即在所有频率上都具有相同的大小。
在进行噪声的傅里叶变换时，可以采取以下步骤：1.获取信号：首先，需要获取带有噪声的信号，通常可以通过传感器或者其他设备获取。
2.去除直流分量：由于直流分量对信号的傅里叶变换没有影响，所以需要将其去除。
3.分段采样：如果信号的持续时间较长，可以将其分成几个段，分别进行采样和傅里叶变换。
这样可以减少计算量，也可以更好地观察信号的变化。
4.选择合适的窗函数：进行傅里叶变换时，需要用到窗函数，它可以将信号限制在有限的时间和频率范围内。
常用的窗函数有汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗等。
5.进行傅里叶变换：通过使用傅里叶变换算法，将信号转换为一系列正弦波和余弦波的复合函数。
6.分析频域特征：在频域上，可以观察到信号的频率分布情况。
通过分析频域特征，可以了解信号中噪声的频率分布规律。
7.滤波处理：为了去除噪声，可以采用低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等方法进行滤波处理。
滤波器的选择和参数调整需要根据噪声的特点和信号的要求进行。
8.反变换：最后，可以通过反傅里叶变换将处理后的信号转换回时域信号，观察信号的质量和精度是否得到了提高。
总之，噪声的傅里叶变换是一项重要的信号处理技术，可以帮助我们去除信号中的噪声，提高信号的质量和精度。
在具体实践中，需要根据具体情况选择合适的方法和参数，并进行有效的控制和调整。
通信技术与系统-第二章 信号与噪声分析
信号频谱分析概述
F()
－H
0
H
(a) 低 通 型 信 号 频 谱 示 意 图 F()
－H
－L
0
L
H
(b) 带 通 型 信 号 频 谱 示 意 图
信号频谱分析概述
从频谱图中我们可以看到无论是周期信 号的频谱还是非周期信号的频谱，其频 谱曲线为偶对称，而实际上并没有负频 率，那么如何解释这个问题呢？
信号频谱分析概述
任何一个信号都具有频谱(随机信号用功率谱 描述)。 对于非周期信号，根据频谱宽度我们把信号分 为频带有限信号(简称带限信号)和频带无限信 号。 频带有限信号又包括低通型信号、带通型信号。
低通型信号的频谱从零开始到某一个频率截止，信 号能量集中在从直流到截止频率的频段上，由于频 谱从直流开始，因此称为低通型信号。 带通型信号的频谱存在于从不等于零的某一频率到 另一个较高频率的频段。
jn0t
得到傅里叶级数的复指数表达形式： f (t ) F ( n 0 )e jn0t
n
1 F ( n0 ) T0
T0 / 2
T0 / 2
f (t )e
jn0t
dt
信号频谱分析概述
傅里叶级数的复指数表达形式，表明一个周期 信号可以由无穷个复指数信号线性叠加而成。 其中F(nω0)是一个以离散变量nω0为自变量的 复变函数，具有实部和虚部，即
信号频谱分析概述
2 a0 T0 2 an T0 2 bn T0
T0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/ 2
T0 / 2 T0 / 2
f (t )dt f (t ) cos 0dt f (t )sin 0dt
信号与噪声
T/2
−∞
1 T/2 2 f ( t )dt T ∫−T / 2
1 T/2 2 1 P = lim { ∫ f ( t )dt } = − T / 2 2π T T →∞
功率谱密度 W ( ω ) = lim
T →∞
∫ lim
−∞ T →∞ 2
∞
FT ( ω ) dω T
2
FT ( ω ) T
瓦特/赫兹
k = −∞
∫
T0 / 2
−T0 / 2
f ( t )e jkω0t * k
=
k = −∞ ∞
∑C
∞
2 k
由采样性质∫ f ( t )δ ( t − t0 ) = f ( t0 )
−∞
∴∫
−∞
k =−∞ ∞
∑ Ck δ ( ω − kω 0 )dω =
2 ∞ 2 −∞ k = −∞
k =−∞
∑C
2 k
e j 2 kπτ / T0
§2.2 确定信号通过线性系统
一.卷积定理
1.时域：
δ (t)
f(t)
∞ −∞
线性系统
h (t) y(t)
Y(ω)=H(ω)F(ω)
y( t ) = ∫ f ( τ )h( t − τ )dτ = ∫ h( τ ) f ( t − τ )dτ
−∞ ∞
双边功率谱密度 单边功率谱密度
定义在（-∞，+∞） 定义在（0，+∞）
例：试求功率信号为周期性信号时的功率谱密度 解：取截短周期 T=NT0
∞
用f ( t ) =
P = lim
k = −∞
∑C e
k
jkω0t
代入
python 噪音 傅里叶变换 频率处理
Python 在噪音处理和频率处理中的应用一、噪音处理1. 噪音的定义：噪音是指环境中各种杂乱无章的声音或信号，是一种对正常信号造成干扰的不需要的信号。
2. 噪音的来源：噪音可以来自于各种各样的环境因素，比如电器设备、空气的湍流、机械设备等等。
3. 噪音的影响：噪音会对正常的信号造成干扰，影响信号的质量和可靠性。
4. Python 在噪音处理中的应用：Python 是一种高效的编程语言，拥有丰富的库和工具，可以用来对各种信号进行噪音处理，有利于提高信号的质量和可靠性。
二、傅里叶变换1. 傅里叶变换的定义：傅里叶变换是一种数学变换方法，可以将时域信号转换为频域信号，可以揭示信号中的频率成分和强度。
2. 傅里叶变换的原理：傅里叶变换是将时域信号通过正弦和余弦函数的线性组合表示，从而将信号在频域中分解成不同频率的成分。
3. 傅里叶变换的应用：傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用，可以用来分析和处理各种信号和波形。
三、频率处理1. 频率处理的概念：频率处理是指对信号中的频率成分进行分析和处理的过程，可以用来去除噪音、加强特定频率成分等。
2. 频率处理的方法：频率处理可以通过滤波、谱分析、傅里叶变换等方法实现，可以根据具体的需求选择合适的方法进行处理。
3. Python 在频率处理中的应用：Python 中的 numpy、scipy、matplotlib 等库提供了丰富的频率处理工具和函数，可以用来对信号进行频率分析和处理，有利于提取信号中的有用信息。
结论在噪音处理和频率处理中，Python 提供了丰富的工具和库，可以用来对各种信号进行分析和处理，有利于提高信号的质量和可靠性。
傅里叶变换作为频率分析的重要方法，可以帮助我们更好地理解信号中的频率成分，为后续的处理提供基础。
频率处理通过对信号的频率成分进行分析和处理，可以去除噪音、增强特定频率成分，从而得到更加清晰和有用的信号。
Python 在噪音处理和频率处理中的应用具有重要意义，为信号处理和分析提供了强大的支持和工具。
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26
n 2 A Cn an Sa( ) T 2
14
纯余弦形式傅立叶级数
同频率合并
f (t ) a0 + (an cos n1t + bn sin n1t )dt
n 1
a0 +
n 1
a b n n a +b cos n1t sin n1t 2 2 2 2 a + b a + b n n n n
1 Fn T
n A sin(n / 2) A Sa( ) T 2 T n / 2
T 2 T 2
f (t )e
- jn t
1 dt T
2 -
Ae
- jn t
dt
2
A e - jnt T (- jn )
t / 2 t - / 2
25
因此，周期方波信号的指数形式傅立叶级数展开式为
1
另外要注意的是，在指数式傅立叶级数中引入了负频率。 实际负频率是不存在的。这只不过是将第n次谐波分量的三角形 式写成两个复指数形式后出现的一种数学表示。
24
例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数 展开式，并画出频谱图。
f (t )
A
-T
- 0
T
t
解:该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅立叶级数展开式。
基波角频率
2 1 2f1 T1
13
三角形式傅立叶级数(续)
根据三角函数集的正交性，可确定a0 、an、bn
1 其中：a0 T
T 2 T 2
T 2 T 2
f (t )dt
2 an f (t ) cosn1tdt (n = 1,2) T
2 T bn 2T f (t ) sin n1tdt (n = 1,2) T -2
f (t )
n = -
Fn e
jn0t
A T
n = -
Sa(
n 2
)e
jn t
因为信号显然是实偶函数，因此其三角形式的FS展 开将只有直流分量和余弦分量。即展开形式为
可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为
f (t ) (A / T ) + (2A / T )Sa (n / 2) cosn t
7
信号分解(t)为物理意义与实际应用
物理意义：
f (t )
-
f ( ) (t - )d
不同的信号都可以分解为冲激序列， 信号不同只是它们的系数不同。
实际应用：
当求解信号通过系统产生的响应时，只需 求解冲激信号通过该系统产生的响应， 然后利用线性时不变系统的特性， 进行迭加和延时即可求得信号f(t)产生的响应。 8
•周期信号分解为直流分量、基波分量以及各次谐波分 量。 •各频率分量的振幅大小、相位的变化取决于信号的波 17 形。
2 复指数形式傅立叶级数
推导过程：利用欧拉公式
复指数形式的Fourier级数: f (t ) F e n
-
j 2n T
Fn e jnt
-
1 jn1t - jn1t 1 jn1t - jn1t cosn1t e + e , sin n1t e -e 2 j2
2 n 2 n
c0 + Cn cos （n1t + n）
n 1
其中
- bn 2 2 n arctg C n an + bn a n c0称为信号的直流分量 C0=a0
Cn cos （n1t + n）称为信号的n次谐波分量
15
根据这些计算公式可知，系数an、bn、cn及相位 φ n与n ω1是 对应的。 从图中我们可以清楚地看出各频率分量的相对大小，这种图 称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。图中每条线表示某一频 率分量的幅度称为谱线。 画出各分量的相位与n ω1的关系，这种图称为相位频谱，简 称相位谱。
5
f (t ) + f (0)(u(t ) - u(t - D )) + f ( D ) ( u(t - D ) - u (t - 2D )) + + f (k D )(u(t - k D ) - u(t - k D - D )) + (u(t ) - u(t - D )) u ( t - D ) - u ( t - 2 D ) + f (0) D + f ( D ) D + D D (u(t - k D ) - u(t - k D - D )) + f (k D ) D + D (u(t - k D ) - u(t - k D - D )) f (k D ) D D k -
20
指数形式傅立叶级数(续)
a n - jbn F (n1 ) Fn 2
1 2 2 T 1 T 1 T
T 2 T 2
2 f (t ) cos n1tdt - j T
T 2 T 2
f (t ) sin n1tdt
T 2 T 2 T 2 T 2
f (t )[cosn1t - j sin n1t ]dt f (t )e - jn1t dt(n 0, +1, + 2,......)
3
连续信号分解为冲激函数的线性组合
f ( t)
f ( kD )
- D 0 D 2D
kD (k +1)D
t
¬ Ð Á ø Ð Å Å º ± í Ê ¾ Î ª ³ å ¼ ¤Å Ð º Å µ Ä µ ü ¼ Ó
4
从上图可见，将任意信号 f(t) 分解 成许多小矩形，间隔为Δτ，各矩形 的高度就是信号f(t)在该点的函数值。 根据函数积分原理，当Δτ很小时， 可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信 号来近似表示信号 f(t) ；而当Δτ→ 0 时，可以用这些小矩形来精确表达信 号f(t)。即
幅频特性 相频特性
Fn
简称FS的幅度谱
n
简称FS的相位谱
23
三角形式的傅立叶级数中Cn是第n次谐波分量的振幅，但在指数 式傅立叶级数中，Fn要与自相对应的F-n合并，构成第n次谐波分 量的振幅和相位。 n 1 两项的基波频率为 1，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2 1，两项合起来称为信号的2次谐波分 的基波频率为N ，两项合起来称为信号的N次谐波分量 n N量
16
以上分析说明，任何满足Dirichlet条件的周期信号 ，都可以分解为直流及许多余弦分量之和，这些分量 的频率是 1=2π/T 基波频率的整数倍，2 1为二次谐 波频率， 3 1为三次谐波频率, …,n 1为n次谐波频率 ；
相应地，C0为直流分量的幅度，C1为基波振幅，C2 为二次谐波振幅， C3为三次谐波振幅, …,Cn为n次谐波 振幅。 φ1为基波初相位，φ2为二次谐波相位，φ3为三次谐 波相位, …, φn为n次谐波相位。
1.信号分解 2.周期信号的傅立叶级数展开
1
信号分解
直流分量+交流分量 信 号
偶分量+奇分量
实部分量+虚部分量
脉冲分量
正交分量
分解结果是唯一的
2
在信号分析与系统分析时，常常需要将信 号分解为基本信号的形式。这样，对信号与 系统的分析就变为对基本信号的分析，从而 将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分 析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激信 号序列就是其中的一个实例。
F0 + Fn e
n 1
jn1t
+ F- n e
- jn1t
F0 + Fn e
n 1
jn1t
+ F- n e
n 1 -1
- jn1t
F0 + Fn e jn1t +
n 1
n -
jn1t F e n
n -
jn1t F e n
信号正交分量分解
(1) 周期信号的频域分析
(2) 非周期信号的频谱 (3) 常见信号的频谱 (4) Fourier变换的性质
9
周期信号的频谱分析--傅立叶级数
周期信号的傅立叶级数展开 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
10
Hale Waihona Puke 一、周期信号的傅立叶级数分析
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 意义： (1) 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦 分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途 径。 (2) 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的 响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同 时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是 衰减还是增强一目了然。
12
三角形式傅立叶级数
若f(t) = f(t+nT)，则f(t)为周期信号，T为最小正周 期，f1=1/T是信号的基波频率。若f(t) 满足Dirichlet条 件，则f(t)可以展开为三角形式的傅立叶级数
f (t ) a0 + (an cosn1t + bn sin n1t )
n 1
an - jbn 令 : Fn 2
a- n - jb- n an + jbn 则有 : F- n , F0 a0 2 2
19
复指数形式傅立叶级数（续）
an - jbn jn1t an + jbn - jn1t f (t ) a0 + e + e 2 2 n 1