复杂网络第六章

① 由于网络中所有节点的度值之和等于网络中所有 边数之和的两倍， d 必须为偶数并且有
N
② di N-1,i=1,2,…,N,等号只有当一个节点与其他 所有的节点都相连时才成立。
d
i 1
N
i 1
i
i
N ( N 1)
配置模型
定理 一个非负整数序列{d1,d2,…,dN}是某个 简单图的度序列的充要条件为 N 1） d i 为偶数 i 1 2）对于每个整数k,1 k N，均有
第六章 随机网络模型
6.1 本章要点
常见的规则网络模型 随机图模型及其拓扑性质 具有任给定度分布的广义随机图模型 基于随机重连的零模型
6.2 从规则网络说起
常见的规则网络
全局耦合网络 最近邻耦合网络
星型耦合网络
6.2.1 全局耦合网络
如果一个网络中的任意两个节点之间都 有边直接相连，那么就称该网络为全局耦 合网络，简称全耦合网络。
① 因为
d
i 1
i
=28 为偶数；
k
② k=1,显然满足定理；k=2时，不满足定理条件
d
i 1
i
N
=6+6=12，
j
k(k-1) + 度序列。
所以，整数序列 {6,6,5,4,2,1}不可能为某个简单图的
j k 1
min(k , d )
= 2x1+(2+2+2+2+1) = 11.
2 k
于是，最近邻耦合网络的聚类系数为
3 (网络中三角形的数目) 网络中连通三元组的数目
3 N Ck2/2 = 2 N CK
网络中能在一步到达的最远的节点与该节点的 格子距离为K/2。两个格子间距为m的节点之间的 距离为[2m/K],即不小于2m/K的最小整数。 该网络的平均路径长度为
具有固定连边概率的ER随机图G(N,p)
6.3.2 拓扑性质 –边数分布
给定网络节点数N和连边概率p，生成的随机图恰 好具有M条边的概率为标准的二项分布：
P M C P (1 P)
M 2 CN M
2 CN M
6.3.2 拓扑性质 –边数分布
边数分布的平均值 2
M MP( M ) pN ( N 1) / 2
广义随机图
人们可以从多个角度对ER随机图进行扩 展使其更接近实际网络。其中一个自然的 推广就是具有任意给定度分布、但在其他 方面完全随机的广义随机图。
– 配置模型 – 随机重连与零模型
配置模型
在配置模型中事先给定的是网络的度序列 {d1,d2,…,dN},其中非负整数di为节点i的度。 显然的两个必要条件是：
1 N /2 N Lnc [2m / K ] ( N / 2) m1 2K
6.1 本章要点
常见的规则网络模型 随机图模型及其拓扑性质 据有人给定度分布的广义随机图模型 基于随机重连的零模型
6.3 随机图
与完全规则网络相对应的是完全随机网 络，最为经典的模型是ER随机图模型，该 模型既易于描述又可通过解析方法研究。 ER随机图模型一直是研究复杂网络拓扑的 基本理论。
M 0
CN
边数分布的方差

2 M
N ( N 1) M M p (1 p ) 2
2 2
2 方差 M 刻画了实际生成的模型的边数围绕均值<M> 的波动大小
6.3.2 拓扑性质 –边数分布
边数分布的变异系数： M 1 p 2
M p
1 N ( N 1) N
6.3.3 巨片的涌现与相变
由前述分析可得，节点i没有通过任一节点与 巨片相连的概率为
k u (1 p pu ) [1 (1 u )]N 1 N 1 k ln u ( N 1) ln[1 (1 u )] N 1 k (1 u )
6.3.1 ER随机图的两种形式定义
1.具有固定边数的ER随机图G（N,M） 算法 6.1 ER随机图的构造算法 （1）初始化：给定N个节点和待添加的边数M （2）随机连边： ①随机选取一对没有边相连的不同的节 点，并在这对节点之间添加一条边。 ②重复步骤①，直至在M对不同的节点 之间各添加了一条边。
6.3.3 巨片的涌现与相变
S定义为ER随机图的巨片的相对规模,u=1-S 为不属于巨片的节点所占的比例存在如下 两种可能： ①S=0，u=1，网络中不存在巨片 ②S＞0，u﹤1，网络中存在巨片
6.3.3 巨片的涌现与相变
网络中一个随机选择的节点i如果不属 于巨片，那么就说明它也没有通过其他任 一节点与巨片相连，也即对网络中任一其 他节点j，必有两种情形： （1）节点i和j之间没有边相连，此情形 发生的概率为1-p （2）节点i和j之间有边相连，但是节点 j不属于巨片，此情形发生的概率为pu
N 1
u e k (1u )
6.3.3 巨片的涌现与相变
将S=1-u带入上式可得 S=1-e-<k>S, 该式不存在简单的解析解。可用图示的方 法得到数值解。
6.3.3 巨片的涌现与相变
6.3.3 巨片的涌现与相变
6.3.4 随机图与实际网络的比较
ER随机图与许多实际网络相比具有一些 共性特征： （1）稀疏性 （2）有巨片 （3）小世界
以此类推，由于网络总的节点数为N，设D是 ER随机图的直径，大体上应该有N~<k>D
因此，网络的直径和平均路径长度满足
L≦D~lnN/ln<k>
6.3.3 巨片的涌现与相变—随机图的演化
ER随机图的连通性具有两个极端情形： （1）p=0对应于N个孤立节点 （2）p=1对应于全耦合网络：最大连通片 的规模为N，随着网络规模的增长而增长。 如果网络中的一个连通片的规模随着网 络规模的增长而成正比例增长，那么该连 通片就是一个巨片。
6.3.3 巨片的涌现与相变—随机图的演化
如果N=100，那么每次生成 的随机图的边数大约为 <M>=pN(N-1)/2=5000p P值每增加0.01，每次随机 图的边数就增加50条。 随着连边概率的增加，生 成的随机图中的边数也在 增加，网络的连通性也越 来越好。
6.3.3 巨片的涌现与相变—随机图的演化
配置模型的一种构造算法
A
B
C
D
A
C
B
D
A
C
B
D
6.5 随机重连与零模型
从应用角度上看，随机网络模型的价值 在于它们可以起到参照系的作用。
美国西部电力 网络
平均路径长 度 聚类系数 18.7 0.080
ER随机图பைடு நூலகம்
12.4 0.005
随机重连与零模型
零模型
一般地，我们把与一个实际网络具有相 同的节点数和相同的某些性质A的随机网络 称为该实际网络的随机化网络。 这类随机化网络模型在统计学上称为零模 型。
6.2.3 星型耦合网络
6.3 基本拓扑性质
规则网络拓扑性质总结
全耦合网 络 聚类系数 平均路径 长度 1 最近耦合网 络 3(K-2)/4(K-1)
星形网络 0
1
N/2K
2
从一个点出发的三角形数量
2 Ck /2
1 1 K ( K 1) 4 2
以任意节点为中心的连通三元组的数目为
1 C K ( K 1) 2
对于给定的连边概率p，当网络的规模增大时， 生成的模型中的边数越接近均值
M PN( N 1) / 2
6.3.2 拓扑性质 –边数分布
随机图的稀疏性:如果连边概率p与1/N同阶， 那么有
M pN( N 1) / 2 ~ O( N )
这意味着当网络规模充分大时所得到的ER随 机图为稀疏网络。
6.3.2 拓扑性质 –度分布
任一给定节点恰好与其他k个节点有边相连的概率为 k k N-1-k C p (1-p) 由于共有 N 1 种选取这k个其他节点的方 式，因此网络中任一给定节点的度为k的概率同样服 从二项分布
P(k) C
k N 1
p (1 p)
k
N 1k
6.3.2 拓扑性质 –度分布
d
i 1
k
i
k (k 1)
j k 1
min(k , d ).
j
N
配置模型
公式的几何说明 di k (k 1) min(k , d j ).
i 1 j k 1 k N
配置模型
例如，验证整数序列{6,6,5,4,2,1}是否为某
个简单图的度序列的步骤如下： 7
6.3.1 ER随机图的两种形式定义
在讨论随机图的性质时，通常是指这一簇网络的平均 性质。
1 D P(G ) D(G ) D(G ) G G
具有固定连边概率的ER随机图G(N,p)
2 ER随机图G(N,p)构造算法 （1）初始化：给定N个节点以及连边概率p∈[0,1]。 （2）随机连边： ①选择一对没有边相连的不同的节点 ②生成一个随机数r ∈（0,1） ③如果r﹤p，那么在这对节点之间添加一条边； 否则就不添加边。 ④重复步骤① ~③，直至所有的节点对都被选 择过一次。
6.3.2 拓扑性质 –聚类系数
对于ER随机图G(N,p)而言，两个节点之 间不论是否具有共同的邻居节点，其连接 概率均为p。ER随机图的聚类系数为 C=p=<k>/(N-1)
6.3.2 拓扑性质 –平均路径长度
对于ER随机图随机选取的一个点，网络中
大约有<k>个其他的点与该点之间的距离为1；
大约有<k>2个其他的点与该点之间的距离为2； ……..
大型实际网络一般 都是稀疏的，它们的边 数一般至多是O（N）而 不是O（N2）。