OFDM基础理论的数学表达和解析(end)汇总
OFDM基础理论的数学表达与解析
王海舟
10/10/2016
目录
摘要 (3)
第一章、概述 (4)
第二章、OFDM技术基础理论 (4)
2.1芝诺悖论的哲学来源与泰勒级数 (4)
2.2三角级数和三角函数的正交性 (5)
2.3周期函数的傅里叶级数的表达 (6)
2.4欧拉公式 (8)
2.5非周期连续函数的傅里叶积分变换 (10)
2.6傅里叶变换的时移特性 (11)
2.7单位脉冲函数及其筛选特性 (12)
2.8卷积积分和卷积定理 (14)
2.9奈奎斯特准则和数字滤波初步 (15)
2.10OFDM技术的实现 (17)
第三章、OFDM技术基础理论学习的意义 (18)
摘要
以OFDM技术为基础的LTE通信网络，经过近3年来的高速发展，网络的建设规模方面已经超过GSM网络。4G的Volte语音业务替代2G的步伐也正在加快，而移动数据业务的发展更是一日千里，成为各个运营商竞争的最重要的战场。更何况OFDM技术仍将在未来的5G网络中起着技术基石的作用。
我们知道，2G网络历经了10年以上的发展，大批现场工程师得到了充足的培训，同时又拥有长期的实战经验，因而在网络优化工作中得心应手。相比而言，LTE网络在短时间的发展，致使我们面临短缺具备一定深度基础理论知识的网络优化工程师的情况；尽管工程师能够从多个方面能够取得一些培训，但由于缺少连贯的理论知识对接，这些培训远远不能支持专业的工程师走的更远、走的更深入。面对这样的困境，本人对OFDM技术要点进行理论梳理，从浩瀚的高等数学、工程数学、通信理论的知识海洋中，颉取最简理论线路，创新进行理论关联和演进的串接，不仅令工程师能够夯实最基础的理论，而且用最简捷的数学理论途径，达到深入理解OFDM技术。
关键词：
OFDM、泰勒级数、欧拉公式、傅里叶变换、单位脉冲函数、卷积积分、数字滤波。
第一章、概述
做为一线的现场LTE 网络优化工程师，尤其是做为网络优化队伍中资历较深的工程师，有责任带领项目上其他工程师，在全面深入完成日常和专项优化工作的同时，与其他工程师就网络中的技术问题进行共同探讨和学习。而从相互的交流沟通中，发现LTE 网络的基础理论能力问题，是限制工程师工作有效性的关键，这也直接影响到项目优化执行力度。比如在天线权值的优化方面，在上行多用户feature 的验证等方面等等，均存在事倍功半的情况。而在回顾和反思公司的技术培训环节，愈发感觉存在数学理论学习的缺失，也促使我本人在项目内的技术交流中，无论是OFDM 理论方面、在天线和MIMO 技术理论方面、还是在SIP 信令方面等等，均基于最基本的理论，和最朴素的逻辑关系。而作为4G 移动通信网络的基本技术，我认为OFDM 应该是每一个工程师深入理解的技术。
通过回想自我学习的历程，并根据本人对于理论的认识，对庞大的数学理论和通信理论进行梳理，对OFDM 这一理论的知识要点进行整理，并用直白的语音和最简的数学推导，解析出OFDM 真正的含义，以期实现工程师的有最完整的理解。
第二章、OFDM 技术基础理论
2.1 芝诺悖论的哲学来源与泰勒级数
公元前5世纪，古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea) 曾提出了一系列关于运动的不可分性的哲学悖论，如：飞矢不动、阿喀琉斯追乌龟等。这些哲学悖论在之后的千百年期间，引起大批哲学家和数学家的研究和争论。无论是亚里士多德的哲学解释还是阿基米德的穷举法，都仅仅得到有限的结果；无论是后来的微积分计算、还是康托尔的集合论的连续统，也都依然不能完全得到所有人们的认同。即便是当前已经有公认的量子理论的实验，证明了时间和空间具有最小普朗克单位，仍能引起相应的质疑。
在此，我们注意到的是：在18世纪，泰勒公式所揭示的一些连续函数可以用离散的级数和逼近的一般的表达，也就是一个函数可由该函数在某一点的n+1次导数相加求得，或无限逼近求得。设函数()f x 在闭区间[],a b 上n 阶连续可导，且在(),a b 上n+1阶可导，任意[],∈x a b ，则泰勒公式如下：
()()()()()()()
()()()
()22
1!
2!
!
=+
-+
-+?+
'-+n n
n f a f a f a f x f a x a x a x a R x n .
此泰勒公式，是不是能够解决芝诺悖论无关紧要，但此公式所表达的意义，对于一些具有n 阶求导的连续函()f x 数来讲，当n 趋于无穷大，余项()n R x 的极限为零时，是可以用泰勒级数来表达。
进一步，如果令函数初始点为0，则该泰勒级数可以以下麦克劳林级数的形式表达：
()()()()()()()()2323000001!
2!
3!
!
=+
+
+
++'?+
n n n f f f f f x f x x x x R x n
我们可以得到这样的结论：某些特定条件下的一个连续函数可以用级数和的形式进行表达（上式中n 为正整数）。
2.2 三角级数和三角函数的正交性
我们可以用麦克劳林级数对三角函数sin =y x 进行展开：
()()sin =f x x ； ()01'=f ；
()()200=f ； ()31(0)=-f ；
()()400=f
可得：()()35211
sin 13!5!21!
--=-+-?+-+?-n n x x x x x n
同样可得： ()()242cos 112! 4.12!
=-+-?+-+?n
n x x x
x n
此两个三角函数的级数表达公式，将在后面欧拉公式的证明中用到。
三角函数，如：sin x 、cos x 、sin 2x 、cos 2x 、sin nx 、cos nx 等，在[],ππ-区间具有正交性，这一点不仅从数学的积分公式可以证明，也可以从几何图形中展示。
1、数学积分证明
()()1
cos cos d cos cos d 2ππ
π
π--??=++-????kx nx x k n x k n x x （积化和差公式）
=()()sin sin 12π
π
-??+-+??+-??k n x k n x k n k n
=0 (),1,2,3,;=?≠k n k n
2、几何示意：
上图显示，在一个完整的基波周期中，与基波一样，所有谐波正弦信号在x 轴上面的面积和在x 轴下面的面积相等。不同的若干正弦信号或若干余弦信号相乘之后的信号，依然保持此性质。
OFDM （正交频分多址）技术，就是利用了三角周期函数的正交性，从而使得若干个不同谐波的三角函数在一个整数周期叠加形成符号。解调时，再利用积分解调出不同的三角函数。
我们可以得到这样的结论：三角函数具有正交性，只要不是一个三角函数与自身相乘，其积分结果总为零。也就是说，具有正交性的函数之间，没有相关性，相互之间进行相乘之后，也可以从复合信号中被完整解析出来。这也就是LTE 技术中，具有谐波性质的所有子载波可以叠加成一个符号后，并能够在接收端再被单独解调的原理。
2.3 周期函数的傅里叶级数的表达
我们首先要了解周期函数：无论是三角函数还是方波，均可以在一个周期内，对幅度、频率、初相来进行坐标和数值定义。
以最简单正弦函数为例，并设A 为振幅，ω为角频率，φ为初相，t 为时间；
()()sin ω?=+n n f t A n t
=sin cos ωcos sin ω??+n n A n t A n t
令：
02
=a A ，sin ?=n n n a A ，cos ?=n n n b A ，ω=t x ； 则，等式右端可表达为三角级数，也称为傅里叶级数：
=()01
cos sin 2∞=++∑n n n a a nx b nx 对等式两端逐项积分，可得出0a ，n a ，n b 与函数()f x 的关系，也就是说某一个特定连续函数()f x 有着怎样的0a 、n a 、n b ，并用对应的三角级数进行无限逼近的表达？
()0
1
d d 2π
π
ππ
∞
=-
-
=+∑??n a f x x x cos d sin d ππ
ππ--??+????
??
n n a nx x b nx x 利用前面讲过的三角函数的正交性，可得：
()0
d 22
π
π
π-=
?
a f x x ()01
d π
ππ
-
=
?a f x x
分别用cos nx 和 sin nx 乘以等式两端，并在π-到π进行积分，利用正交性计算可得： ()1
cos d π
ππ
-
=
?n a f x nx x
()1
sin d π
ππ
-
=
?n b f x nx x
0a 、n a 、n b 称之为傅里叶系数。
我们可以得到这样的结论：连续周期函数可以用傅里叶级数的形式表达。也就是说，对其连续函数的分析，等同于对连续周期函数的傅里叶级数的考察。其中傅里叶系数与周期函数()f x 之间存在对应的积分关系。（如下图所示）
2.4 欧拉公式
用三角函数表示和用三角函数计算复杂的函数时，显得极为不便和复杂。做为三角函数与复函数之间相互表达的桥梁，利用著名的欧拉公式，可提供简捷的方法。用复函数进行信号分析和计算，成为了最基础和最重要的途径，这一点非常重要。
我们利用前面泰勒级数的结论：234
e 11!2!3!4!
=++
+++?x
x x x x 令变量x 为复数z ，并已知复数()i =+z x y ，当x =0时，仅余虚部i y 则：
()()()23i 111e 1i i i i 2!3!!=++
++?++?n
y y y y y n =23453!111
1i i 2!4!5!⊥+--++-?y y i y y y =243511111i 2!4!3!5!????-
+-?+-+-? ? ?????
y y y y y 再根据前面已经表达的三角级数，可得欧拉公式：
i e cos isin =+y y y 也即：i e cos isin =+x x x
另一种欧拉公式的表达方式：
e cos 2-+=ix ix
e x
sin 2--=ix ix
e e x i
运用欧拉公式，我们对前面的傅里叶级数公式进行改写：
令：()2
002
1d 2-
=
=?T T a c f t t T
i 2-=n n n a b c =()()22
22cos d i 1sin d --????-??????
??T T
T T
f t nwt t f t nwt t T
=
()()2
2
cos sin d 1ωω-
-?T T f t n t i n t t T
=
()2
2
1e d ω--
?
T in t T f t t T
()1,2,3,=?n
()2
2
2
e
d 2ω--
+=
=?T in t
n n n T
a i
b
c f t t T
()1,2,3,=?n
上述三个公式合并为一个：
n C =
()2
2
1e d ω--
?
T in t T f t t T
()0,1,2,3,=±±±?n
则，最终的该连续周期函数()T f x 的傅里叶复指数形式如下：
()01
ωω∞
--=??=++??∑n n i t
i t
T n n n f t C C e
C e
=
ω
+∞
=-∞
∑n i t
n
n C e
或者表达式为：
()22(e )1ωωττ+∞-=-∞-????
=??????
∑?n n T
j t j t T T n T
d t f f
e T
（从本公式开始，将虚数i 更改为j ，是为了更加符合工程理论的表达习惯，后面均以j 表示）
我们可以得到这样的结论：利用欧拉公式，可将连续周期函数，用复指数级数形式进行准确表达。另外，还可得出这样的结论：时域为连续周期信号，频域为离散信号。欧拉公式之所以如此重要，还在于它为后续非周期连续以及离散信号的傅里叶积分变换，提供
便利的计算方法和表达方法。而且所有通信原理的书籍和资料中，均是用复指数形式对信号进行计算和表达的。
2.5 非周期连续函数的傅里叶积分变换
将非周期信号当成周期无限大的周期信号进行分析，是傅里叶的最大贡献。傅里叶积分变换也是OFDM 技术的理论基础。
也即设：()()lim →+∞
=T T f t f t
则：()
()221lim e d e τωωτ+∞-τ
→+∞=-∞-??
??=??????
∑?n n T j j t T T n T
f
t f T 当n 取一切正整数时，ωn 所对应的频率，将均匀密集分布在表示频域的X 轴上。 此刻两个相邻的ω之间的值：ω?=1ωω--n n =
2π
T
； 当→+∞T 时，0ω?→； 则上式可改写为：
()()2021lim e d 2ωωωτωπ+∞
-τ
?→=-∞-????=τ???????
∑?n n T
j j t T n T
f t f e 此刻，假定时间可以离散化（量子力学理论中，时间和空间均存在最小的普朗克单位），在所存在的某静止时刻的t （恰如芝诺悖论所述），则对每一个(),-∞+∞区间中的n ，上式均可以确定一个唯一的值，该值为ω的函数。也就是：
()221e d e 2ωωττπ-τ
-??????????
?T j j t T T f 是ω的函数，并该周期函数的此t 时刻的函数为()φωT ，那么：()()0
lim
ωφωω+∞
?→=-∞
=?∑T
n
n f t ；由于0ω?→，即→+∞T ，周期函数的 ()φωT
无
限逼近实际的非周期函数的()φω； ()φωT =()()1e d e 2ωτ
ωφωττπ+∞
--∞
??=????
?j j t f 。
对于非周期函数()f x ，周期化或者说级数和的数学表达只是一个分析的过程，对于
非周期()f x 而言，设其满足柯西收敛条件下，更准确的计算公式，应该是在整个(),-∞+∞区间对()φω进行积分。也就是上面的()()0
lim
ωφωω+∞
?→=-∞
=?∑T
n
n f t 的表达，变成了：
()()d φωω+∞
-∞
=?f t
最终，傅里叶积分公式为：
()()1
e d e d 2ωτ
ωττωπ
+∞
+∞--∞-∞??=
????
??j j t
f t f 如前所述，()()1e d e 2ωτ
ωφωττπ+∞
--∞
??=????
?j j t f 是一个ω的函数，我们设存在关于ω函
数为：()()e d ωω+∞
--∞
=
?
j t
F f t t （傅里叶变换） ，则： ()()1
e d 2ωωωπ
+∞
-∞
=
?
j t
f t F （傅里叶逆变换） 从上面2个公式，我们可以看到并得出结论：()f t 与()ωF 可以通过积分运算进行相互表达，并分别称为原函数()f t 的傅里叶变换和像函数()ωF 的傅里叶逆变换。
也即，可以表达为：()ωF = ?()????f t （傅里叶变换）；()f t = ?()[]ωF （傅里叶逆变换）。另外，从公式中可以得到另一个结论：时域连续非周期信号，其频域是连续的，这一点与周期函数不
一样。
2.6 傅里叶变换的时移特性
傅里叶变换如此重要，还在于傅里叶变换具有一些重要的性质，比如线性性质、微分性质、积分性质、能量积分、乘积定理等，在此我们只需了解和必须要了解其位移性质（也称为时移性质）。
当一个时间函数()f t 沿时间轴向左或向右移动了0t 长度， 此刻 ()0±f t t 的傅里叶变换为：
()()00e d ω+∞
--∞
??±=
±???
j t
f t t f t t t F （令 0+=t t u ）
=
()()
0e
d ω+∞
--∞
?j u t f u u
=()0
e e d ωω+∞±--∞
?
j t j u
f u u
=()0
e
ω±????j t f t F
我们可以得到这样的结论：频域函数()ωF 沿ω轴向左或向右移动ωn 的傅里叶变换，等于时域原函数()f t 乘以因子e ωn j t
或e
ω-n j t
。或反之描述：信号在时间上移位，将在变换
中引入相移ωn t 。
2.7 单位脉冲函数及其筛选特性
单位脉冲函数（δ函数），也称为单位冲激函数、狄拉克函数。该单位脉冲函数在数学、物理、电子、通信等领域中都有着重要的分析作用。
该()δt 函数满足：当0≠t 时，()0δ=t ；当0=t 时，()()d 01δ+∞
-∞
==?t t f 。
我们利用傅里叶变换，对单位脉冲函数进行分析：
()()e d ωδδ+∞
--∞??=???j t t t t F =()i
e d ωδ+∞
--∞
?
j t t = 0e ω-=j t t =1
单位脉冲函数的筛选性质，是其最根本的性质，也是无法回避的理论，该筛选性质无
论是在连续函数的分析方面，还是在离散信号的分析方面，均有着重要作用。
比如存在一个时间连续函数()f t ，并在 (),-∞+∞上有界。 则该函数与单位脉冲函
数有：
()()()d 0δ+∞
-∞
=?t f t t f ，显而易见，对函数 ()f t 在0=t 进行的采样，也就是函数
值就是 0=t 时刻的值。
更一般地，利用单位脉冲函数对()f t 位于t =0t 时刻进行采样相乘：
()()0
d δ+∞
-∞
-?t t f t t = ()()0
d δ+∞
-∞
-?t t f t t = ()0
f t
在明晰了单位脉冲的筛选性质之后，我们开始利用此性质对连续函数进行分析，如下：
以上图为例，设有连续函数()f t ，由无限多个矩形组成。对函数的积分运算，等于我们计算所有小矩形的面积之和。
从上述筛选性质分析得出：小阴影矩形面积的高=()?f k =()()δ?-?f k t k ；阴影面积的宽=?；因此，阴影的面积=()()δ?-???f k t k 。所有的小矩形面积相加，则：
()()()δ+∞
??
=-∞
=
?-???∑k f f k t k t
此时，当0?→，τ?→k ，d τ?→，∑→?，
()()δδτ?-?→-t k t ，
()()?→f t f t 。
因此：()()()d τδττ+∞
-∞
=
-?f t x t 这就是连续时间冲激函数的筛选性质公式。
由此，我们可以得到非常清晰和重要的结论：任何连续信号()f t ，都能够以分解的加权的位移的单位脉冲信号的线性积分来表达（离散信号为积分和）。用单位脉冲信号来表
示连续的或离散的时域信号，是信号分析的重要思想和信号分析的重要数学表达。
2.8 卷积积分和卷积定理
无论是电气系统、通信系统还是计算机系统等等都是线性时不变（LTI ）系统，并且总是由各种电路来承载电子信号的传输、滤波、调制解调等等作用。
如前所述，单位脉冲函数可以表示为延迟冲激的线性组合，这样，就能够用LTI 系统对单位冲激信号()δt 的响应()h t ，来完全表征任何一个LTI 系统的线性和时不变的特性。
由于LTI 系统具有的线性叠加性质，再由已知的前面单位脉冲函数推导过程中的公式
()()()δ+∞
??
=-∞
=
?-???∑k f f k t k t ，那么，当我们设系统的响应为()?k h t 记做()
δ?
-?t k 的响应时，则对连续时间线性系统而言，其输出响应为：()()()+∞
?
=-∞
=
??∑k k y t f k h t 。
当0?→，再令()τh t 表示系统在时间t 对于发生于时间τ的单位脉冲()δτ-t 的响应，则：()()()0
lim
+∞
?
?→=-∞
=??∑k k y t f k h t = ()()d τττ+∞
-∞
?f h t 这就是系统对这些加权移位
脉冲函数响应的叠加，也就是()δτ-t 的响应()τh t 的权就是()d ττf 。
再由于LTI 系统的时不变，()()0ττ=-h t h t ；输入函数记做()x t ，则上面的公式可以改写为：()()()d τττ+∞
-∞
=
-?y t x h t
这就是卷积积分公式。该公式表明了一个连续时间LTI 系统的特性，可以用单位脉冲响应来表达。
()x t
()t
如前所述，除了上述利用卷积积分表达系统对于连续信号的分析，卷积计算也在计算信号之间的作用方面，有着非常重要的作用，这同样也是通信原理的基础理论。
设有信号()1f 与信号()2f 相乘，并进行傅里叶变换，如下：
()()()()21
2
e
d ω+∞
--∞
????*=
*?????j t
I f t f f f t f t t F
（用傅里叶变换）
= ()()12d e d ωτττ+∞
+∞--∞-∞??-????
??j t
f f t t （单位脉冲筛选公式）
=
()()()12e
e d d ωτωτ
τττ+∞+∞
----∞-∞-??j t j f f t t
（傅里叶积分位移性质） =
()()
1
2e
e d d (τ)ωτωτ
ττ+∞
+∞----∞
-∞??-????
??j t j f f t t
=()()12ωω?F F
同理还可得：()()()()12121
2ωωπ
???=
*??f t f t F F F 此时，再回到LTI 系统对输入信号的响应分析中，可以得出输出信号()y t 的傅里叶变换表达：
()()()=*y t x t h t ?F ?()()()ωωω=?Y X H
我们可以得到这样的结论：两个函数卷积的傅里叶变换，可以映射为这两个函数傅里叶变换的乘积。
另外，由卷积积分公式的数学公式的推导可以看到：没有傅里叶变换就没有单位脉冲函数的表达，没有傅里叶位移（时移）性质和单位脉冲的筛选性质，就没有卷积积分的数学表达。
2.9 奈奎斯特准则和数字滤波初步
为能最终理解OFDM 原理，以及尽可能完整的表达OFDM 基带子载波的关系，需要对码间干扰处理和数字滤波做简要的说明。
当数字基带信号按照一定间隔发送时，会引起各码元间相互串扰的问题，这一点从前面卷积的表达中能够看到。奈奎斯特在上世纪初，对码间干扰的问题进行了深入的研究，并得出无失真传输的三个准则。
奈奎斯特第一准则告诉我们，抽样值无失真的充要条件就是在抽样点上不存在码间干扰。
前面的理论知识，使我们理解到，希望在信号周期采样中，能够得到无干扰的数据信
息，就必须是使()δt 作用在()11,-+T T 时刻，以得到正确的()1x t 值，而其余时刻均为0。 （下图a ）也即：()111,0,?
=?
>??t T x t t T 进行傅里叶变换后，得：
()1
1
d ωω--=
?T j t
T X j e t =1
sin 2
ωω
T
我们可以得出系统（滤波器）的冲激响应为：
sin x
x
（下图b ） 。这意味着，用这种波形作为接收波形时，不存在码间干扰。具备此特性的滤波器称为理想低通滤波器，并称
1
2T
为奈奎斯特带宽，把T 称为奈奎斯特间隔。
很显然，理想滤波器是不存在的，抽样值无失真只有理论意义。广泛得到应用的
是以
π
T
为中心，具有奇对称升余弦形状过渡带的一类无串扰波形，也就是称之为升余弦滚降信号。其滚降因子α越小，波形的震荡起伏越大；反正α越大，波形震荡起伏越小。
通过对数字滤波器的初步理解，有助于进一步学习LTE技术中的采样和其他窗函数数字滤波原理。
2.10OFDM技术的实现
奈奎斯特准则描述了时域中的码间无干扰要求，但如果从频域坐标进行基带通信的频分复用，很显然就能够通过合理设定子载波频率间隔，以实现各个子载波的无干扰基带传输。也就是我们在OFDM技术文档中经常看到的频域中子载波的基带传输响应示意图（下图）。具体到LTE中，也就是我们学习LTE中规定的每个子载波的符号长度为66.67us，对应着系统在频域中的15Khz的带宽要求，其能量谱就是sin c函数分布。
至此，我们在对傅里叶积分变换、单位脉冲函数、卷积积分以及奈奎斯特第一准则等理论进行了数学解析之后，很自然地就应该已经能够理解OFDM的核心原理了。
第三章、OFDM技术基础理论学习的意义当前，每一个移动通信设备厂商、网优服务提供商，以及移动网络运营商，均投入了大量资源以提高公司工程师的理论水平。从诺基亚公司提供的各个培训课程中，我们能够看到：在基础的OFDM理论中，也仅仅用框图表示并配以文字说明；而对于傅里叶变换子载波调制、射频正交调制等技术要点，也都没有数学的解析。
虽然，用通俗的语言和图形示意的形式进行技术理论表达，能够让工程师快捷地理解技术的作用，但这种讲解方式无疑会对工程师后续技能提升起到严重的阻碍作用。
本论文，通过对OFDM基础理论的数学公式的解析，可以让我们将能够掌握傅里叶积分变换、单位脉冲函数、卷积积分的数学表达含义；本论文，以最简的数学理论架构，实现了对OFDM理论的完整表达。
本论文更重要的意义，还在于尝试推开无线通信理论世界的山门，让现场工程师能够依此为理论主线，为进一步拓展信号编码、调制和解调、数字滤波、离散傅里叶变换等理
论学习，打下坚实的基础。
参考文献：
[1] 同济大学数学教研室《高等数学》高等教育出版社1989年4月
[2] 西安交通大学高等数学教研室《复变函数》高等教育出版社1990年4月
[3]南京工学院数学教研组《积分变换》高等教育出版社1986年4月
[4] ALAN V.OPPENHEIM《信号与系统》刘树棠译西安交通大学出版社2009年7月
[5]曹正刚《现代通信原理》清华大学出版社1992年8月
[6] 王大伦王志新王康《数字信号处理---理论与实践》清华大学出版社2010年2月
[7]王海舟郑州移动项目内部技术交流讲座《OFDM技术交流》2015年3月
【高等数学基础】形成性考核册答案(附题目)
【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f
初中数学概念及定义总结
初中数学概念、定义总结及常用公式 1.三角形三条边的关系定理：三角形两边的和大于第三边推论：三角形两边的差小于 第三边 2.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 推论1 直角三角形的两个锐角 互余推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3 三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角 3.角的平分线性质定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定定理到 一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上 4.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等推论1 等腰三角形顶角的平分线 平分底边并且垂直于底边推论2 等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60° 5.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相 等推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 6.线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆 定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上轴对称和轴对称图形定理1 关于某条之间对称的两个图形是全等形定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3 两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称 7.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即 a2＋ b2＝ c2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形 8.四边形定理任意四边形的内角和等于360° 9.多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n － 2）·180° 推论任意多边形的外 角和等于360° 10.平行四边形及其性质性质定理1 平行四边形的对角相等性质定理2 平行四边形的 对边相等推论夹在两条平行线间的平行线段相等性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形的判定判定定理1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定定理3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形判定定理5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 11.矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角性质定理 2 矩形的对角线相等推论直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 12.菱形性质定理1 菱形的四条边都相等性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一 条对角线平分一组对角判定定理1 四边都相等的四边形是菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 13.正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等性质定理2 正方形的两 条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 14.中心对称和中心对称图形定理 1 关于中心对称的两个图形是全等形定理 2 关于 中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点
高数一基础知识
高数（一）的预备知识 第一部份 代数部份 （一）、基础知识： 1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。 2．绝对值：a a a ?=?-? 00a a ≥∠ 3．乘法公式 （a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) a 3+ b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) 4.一元二次方程 （1）标准形式：a 2+bx+c=0 (2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ??=-?? ?=-=????? 有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根 （3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x 2 +px+q=0 设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则； 1212p q x x x x +=-?? ?=? （4）十字相乘法： （二）指数和对数 1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)n n a a x x -?≠=? ?=?? 则 2．根式与分数指数： （1 ） 1 n a = （2 ） m n a = 3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）; (1)x y x y a a a +?= (2)()m n m n a a ?= (3)x y x y a a a -÷= (4)()n n n a b a b ?=? 4．对数：设,x a N X N =则称为以a 为底的对数, 记作：log a n =X, lnX ，lgX; 5．对数的性质
(1)log a M ·N=log a M+log a N (2) log log log a a M M N N =- (3) log log x a a N x N =? (4)换底公式： log log log a b a N N b = （5） log ln ,aN x a N e x =?= （三）不等式 1．不等式组的解法： （1）分别解出两个不等式，例2153241 X X X X -<-??->-? （2）求交集 2、绝对值不等式 （1）; X a a X a ≤?-≤ ≤ （2）;X a X a X a ≥?≥≤- 或 3、1元2次不等式的解法： （1）标准形式：2 00ax bx c ++≥≤（或） （2）解法：0 0122????? 解对应的一元次方程 判解： 0a a ?? ???? ①若与不等式同号，解取根外； ②若与不等式异号，解取根内； ③若无根（＜），则a 与不等式同号； 例：（1）2560;x x -+≥ （2）2320;x x -+＜ （四）函数 1、正、反比例函数：y kx = ， 1 y x = 2、1元2次函数：2 y ax bx c =++ （a ≠0） 顶点：2424b ac b a a -（-,）； 对称轴：2b x a =- ； 最值：2 44ac b y a -=； 图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数： n y x = （n=1,2,3）；
考研高数基础练习题及答案解析
考研高数基础练习题及答案解析 一、选择题： 1、首先讨论间断点： 1°当分母2?e?0时，x? 2x 2 ，且limf??，此为无穷间断点； 2ln2x? ln2x?0? 2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。 x?0? 再讨论渐近线： 1°如上面所讨论的，limf??，则x? x? 2 ln2 2 为垂直渐近线； ln2 2°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。 x??? x???
当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。 2、f?|x4?x|sgn?|x| sgn?|x|。可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。 2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文： f???|??|，当xi?yj时 为可导点，否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。 ?x ,x?0? 设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是 ? ,x?0?0 x?0 1 2 3 limf?f?0，故f在x?0处连续。 f’?lim x?0
f?f ?0，故f在x?0处一阶可导。 x?0 当x?0时，f’?? ? ?x12x’ ‘????223 ?ln?lnlnxsgnx ? 12 ，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim x?0 f’?f’ ??，故f在x?0处不二阶可导。 x?0 a b x?0 对?a,b?0，limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结论。 3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内
(word完整版)2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-解析几何,推荐文档
2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-解析几何 1.〔天津文〕18、〔本小题总分值13分〕 设椭圆2 2 22 1(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。点(,)P a b 满足212||||.PF F F = 〔Ⅰ〕求椭圆的离心率e ； 〔Ⅱ〕设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，假设直线PF 2 与圆 22(1)(16x y ++-=相 交于M ，N 两点，且 5 |||| 8 MN AB =，求椭圆的方程。 【解析】〔18〕本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公 式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，总分值13分。 〔Ⅰ〕解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =， 2c =，整理得 2 210,1 c c c a a a ?? +-==- ???得〔舍〕 或11,.22 c e a ==所以 〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知 2,a c b ==，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直线FF 2的方 程为).y x c =- A ，B 两点的坐标满足方程组 222 3412,). x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理，得2580x cx -=。解 得 1280,5x x c == ，得方程组的解21128,0,5,.5x c x y y ?=?=??? ??=??? =?? 不妨设 85A c ?? ? ??? ， (0,)B ， 所以 16||.5AB c ==
人教版初中数学概念公式与定理大全
人教版初中数学概念公式和定理大全 1.把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫旋转中心，转动的角叫旋转角，转动方向有顺时针和逆时针两种。 2.旋转的性质：①对应点到旋转中心距离相等。②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。③旋转前后图形全等。 3.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形中心对称。这个点叫对称中心，对应点叫做关于中心的对称点。 4.中心对称性质：①中心对称的两个图形全等。②中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心所平分。 5.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 6.平面直角坐标系中，A点（x,y）关于原点对称的B点坐标为（-x，-y）。 四、圆 18.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个断点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆也可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合。 19.连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦是直径，直径是最长的弦。 20.圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分三种：①大于半圆的弧，叫做优弧；②小于半圆的弧，叫做劣弧；③圆的直径所对的每一条弧，叫半圆。 21.能够重合的两个圆叫等圆。半径相等的圆是等圆，同圆或等圆半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 22.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理的推论：平分不是直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 23.顶点在圆心的角叫圆心角。在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。 24.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。圆周角定理的推论：①在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。②直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 25.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。 26.圆内接四边形对角互补。 27.如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 28.如果圆O半径为r，点P到圆心距离为d，则： 点P在圆外<=>d＞r；点P在圆上<=>d=r；点P在圆内<=>d＜r； 29.不在同一直线上的三个点确定一个圆。 30.三角形三条边垂直平分线的交点叫做三角形的外心。
高等数学基础知识点大全(94页完美打印版)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编10：平面解析几何
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编10：平面解析几何 一、选择题 1 ．（2013年高考重庆卷（文））设P 是圆2 2 (3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3 x =-上的动点,则PQ 的最小值为（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】B 2 ．（2013年高考江西卷（文））如图.已知l 1⊥l 2,圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0 时与l 2相切于点A,圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线l 2所截上方圆弧 长记为x,令y=cosx,则y 与时间t(0≤x≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为 【答案】B 3 ．（2013年高考天津卷（文））已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与 直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A ．1 2 - B ．1 C ．2 D ． 12 【答案】C
4 ．（2013年高考陕西卷（文））已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1 与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 【答案】B 5 ．（2013年高考广东卷（文））垂直于直线1y x =+且与圆2 2 1x y +=相切于第一象限的 直线方程是（ ） A ．0x y += B ．10x y ++= C ．10x y +-= D ．0x y ++= 【答案】A 二、填空题 6 ．（2013年高考湖北卷（文））已知圆O :225x y +=,直线l :cos sin 1x y θθ+=(π 02 θ<< ).设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ,则k =________.【答案】4 7 ．（2013年高考四川卷（文））在平面直角坐标系内,到点 (1,2A ,(1,5)B ,(3,6)C ,(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是__________ 【答案】(2,4) 8 ．（2013年高考江西卷（文））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆 C 的方程是_________. 【答案】2 2325 (2) ()24 x y -++= 9 ．（2013年高考湖北卷（文））在平面直角坐标系中,若点(,)P x y 的坐标x ,y 均为整数, 则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ,其内部的格点数记为N ,边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形,对应的1S =,0N =,4L =. (Ⅰ)图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是__________; (Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++,其中a ,b ,c 为常数. 若某格点多边 形对应的71N =,18L =, 则S =__________(用数值作答).
(完整word版)初中数学知识点总结及公式大全
知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y=2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y=3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. 6．抛物线2)1(2 12+-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7．反比例函数x y 2 = 的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1.
《高等数学基础》作业
高等数学基础形成性考核册 专业：建筑 学号： 姓名：牛萌 河北广播电视大学开放教育学院 （请按照顺序打印，并左侧装订）
高等数学基础形考作业1： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x - +→→=
高等数学基础例题讲解
第1章 函数的极限与连续 例1．求 lim x x x →． 解：当0>x 时，0 00lim lim lim 11x x x x x x x + ++ →→→===， 当0 解析几何单元易错题练习 (附参考答案) 一．考试内容： 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求： 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用. 【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）. 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2 x 项的分母大于2 y 项的分母， 则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质 椭圆的几何性质：设椭圆方程为122 2 2=+b y a x （a ＞b ＞0）. ⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. ⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 a c e = 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接 近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 初中数学概念、公式归纳汇总 初中数学概念、公式归纳汇总 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理 (SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理 ( ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论 (AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理 (SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 (HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 ( 即等边对等角） 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 高高等数学基本知识点 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题： 1、学校里开运动会，设A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。 一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据 《2018年高考文科数学分类汇编》 第九篇：解析几何 一、选择题 1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22 214 x y a +=的一个焦点为(20)， ，则C 的离心率为 A ．1 3 B ．12 C D 2.【2018全国二卷6】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y = D ．y = 3.【2018全国二11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥， 且2160PF F ∠=?，则C 的离心率为 A ．1 B ．2 C D 1 4.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆 () 2 222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48， C ． D ．?? 5.【2018全国三卷10】已知双曲线22 221(00)x y C a b a b -=>>：，，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 A B ．2 C ． 2 D ． 6.【2018天津卷7】已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1 d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为 A 22 1412 x y -= B 22 1124 x y -= C 22 139 x y -= D 22 193 x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线2 21 3=x y -的焦点坐标是 A ．(?2，0)，(2，0) B ．(?2，0)，(2，0) C ．(0，?2)，(0，2) D ．(0，?2)，(0，2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 25x + 23 y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A.2 B.2 C.2 D.4 二、填空题 1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则 AB =________． 2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线 段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为 5 2 ，则a =_________. 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点 初中数学公式概念汇总 一.初中数学代数公式、定理汇编 初中数学代数公式、定理汇编：一次方程(组)与一次不等式(组) 2010年中考数学代数公式、定理汇编第二章一次方程(组)与一次不等式(组) 1 算术解法与代数解法 11 两种解法的分析、对比 12 未知数和方程 用字母x、y、…等，表示所要求的数量，这些字母称为“未知数” 用运算符号把数或表示书的字母联结而成的式子，叫做代数式 含有未知数的等式，叫做方程 在一个方程中，所含未知数，又成为元; 被“+”、“-”号隔开的每一部分称为一项在一项中，数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数 某一项所含有的未知数的指数和，成为这一项的次数 不含未知数的项，成为常数项当常数不为零时，它的次数是0，因此常数项也称为零次项 13 方程的解与解方程的根据 未知数应取的值是指：把所列方程中的未知数换成这个值以后，就使方程变成一个恒等式 能是方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，也叫做根 求方程解的过程，叫做解方程 解方程的根据是“运算通性”及“等式性质” 可以“由表及里”地去掉括号，并将“含有相同未知数且含未知数的次数也相同”的各项结合起来，合并在一起——这叫做合并同类项 把方程一边的任一项改变符号后，移到方程的另一边，叫做移项简单说就是“移项变号” 把方程两边各同除以未知数的系数(或同乘以系数的倒数)，就得到未知数应取的值 综上所述，得到解方程的方法、步骤：去括号、移项变号、合并同类项，使方程化为最简形式ax=b(a!=0)、除以未知数的系数，得出x=b/a(a!=0) 2 一元一次方程 只含有一个未知数并且次数是1的方程，叫做一元一次方程一般形式:ax+b=0(a!=0，a、b是常数) 22 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤是： 1 去分母(或化为整系数); 2 去括号; 3移项变号; 4 合并同类项，化为ax=-b(a!=0)的形式; 5 方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解x=-b/a 初中数学代数公式、定理汇编(一元二次方程) 2010年中考数学代数公式、定理汇编(三)：第三章一元二次方程 1 平方与平方根 11 面积与平方 高等数学基础归类复习 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)( C.3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g 1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对 称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． A. x y = B. x 轴 C. y 轴 D. 坐标原点 .函数2 e e x x y -=-的图形关于（ A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 下列函数中为奇函数是（A ）． A. x x y -=3 B. x x e e y -+= C. )1ln(+=x y D. x x y sin = 下列函数中为偶函数的是（ D ）． A x x y sin )1(+= B x x y 2= C x x y cos = D )1ln(2x y += 2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x 2-2当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x 当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C 1e -x D 2x x .当0→x 时，变量（D ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C x 2 D )1ln(+x 下列变量中，是无穷小量的为（ B ）人教版2018最新高考文科数学解析几何练习题Word版
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