2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练

A．

a

a>b>0，由不等式性质知：->->0，所以<

>-

7

2

∵x-x=4a-(-2a)=6a=15，∴a=15

62

2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一一元二次不等式解法及其应用

例1若a>b>0，c

b a b a b a b

>B．D．<

c d c d d c d c 【答案】D

【解析】由c

>0，又

d c

a b a b

d c d c

例2关于x的不等式x2-2ax-8a2<0（a>0）的解集为(x,x)，且x-x=15，则a=（）

1221

A．515

B．C．D．24

15

2

【答案】A

【解析】∵由x2-2ax-8a2<0(a>0)，得(x-4a)(x+2a)<0，即-2a

12

5

=．故选A．21

例3不等式x2-9

x-2>0的解集是___________．

【答案】(-3,2)?(3,+∞)

【解析】不等式可化为(x+3)(x-2)(x-3)>0采用穿针引线法解不等式即可．

例4已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是．

【答案】(-2

2

,0)

【解析】由题意可得f(x)<0对于x∈[m,m+1]上恒成立，

?f(m+1)=2m2+3m<0

，则函数y=4x-2+1的最大值.

x<,∴5-4x>0，∴y=4x-2+=- 5-4x+?+3≤-2+3=1

1

【解析】因为y=x(8-2x)=

1

.

【答案】9,+∞)

?f(m)=2m2-1<02

即?，解得-

2

题型二应用基本不等式求函数最值

例1已知x<

【答案】1

5

44x-5

【解析】因4x-5<0，所以首先要“调整”符号，又(4x-2)1

4x-5

不是常数，

所以对4x-2要进行拆、凑项.

5?1?

44x-5?5-4x?

当且仅当5-4x=

1

5-4x，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，y max

=1.

【易错点】注意x<

5

4,则4x-5为负数，要提“-”使其变“+”.

【思维点拨】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值

例2当0

【答案】8.

12x+8-2x

[2x(8-2x)]≤()2=8

222

当且仅当2x=8-2x，即x=2时取等号，所以当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8.

【思维点拨】由00，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可.

例3函数y=

x2+7x+10

x+1

(x>-1)的值域为。

[

【解析】

当x>-1,即x+1>0时,y≥2（x+1)?

4

+5=9（当且仅当x＝1时取“＝”号）.

x+1

2

+ = 1 ，则 x + y 的最小值为

.

= 1 ，∴ x + y = (x + y ) + ? x y ? ? = +

当且仅当 y = 时，上式等号成立，又 + = 1 ，可得 x = 4, y = 12 时， (x + y ) ．．

x > 0, y > 0 ，且 + = 1 ，∴ x + y = ? 1 + 9 ?? (x + y ) ≥ 2 9 2 xy = 12

是

1

.

【思维点拨】本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离.

例 4

已知 x > 0, y > 0 ，且

【答案】16

1 9

x y

【解析】

1 9 x > 0, y > 0, +

x y ? 1

9 ? y 9x x y

+ 10 ≥ 6 + 10 = 16

9 x 1 9 x y

x y min

= 16 .

【易错点】错解：

故 (x + y )

= 12

1 9 x y

? x y ? xy

min

错因：解法中两次连用均值不等式，在x + y ≥ 2 xy 等号成立条件是 x = y ，在 1 + 9 ≥ 2 9 等号成立条件 x y

xy

9

= 即 y = 9 x ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成 x y

立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

【思维点拨】多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错

例 5 已知 a ， b 为正实数， 2b + ab + b = 30 ，则函数 y =

1

【答案】

18

1 ab

的最小值是 .

【易错点】①本题考查不等式

a +

b 2

≥ ab （a, b ∈ R +）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知

不等式 ab = a + 2b + 30（a, b ∈ R +）出发求得 ab 的范围，关键是寻找到 a + b 与ab 之间的关系，由此想到

不等式 a + b

2

≥ ab （a, b ∈ R +），这样将已知条件转换为含 a b 的不等式，进而解得 ab 的范围.

【思维点拨】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再

用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因

已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解

不等式的途径进行。

题型三 线性规划

例 1 已知 ?x + y - 4 ≥ 0 ，则： ?2 x - y - 5 ≤ 0 【答案】（1） 21 ；

（2） 9 ；

（3） ? , ?

y -?- ?

?

=

7

= ，所以 z 的取值范围为 ? ,

4 8 ? 4 2 ??

.

（2）根据点线距离求即可；（3）先确定定点 Q - 1, - ? 再利用斜率求.

例 2 已知 ? x - y + 1 ≤ 0, 则 x 2 + y 2

的最小值是

.

?2 x - y - 2 ≤ 0 ( ?x - y + 2 ≥ 0 ?

?

(1) z = x + 2 y - 4 的最大值

； (2) z = x 2 + y 2 - 10 y + 25 的最小值

；

(3) z = 2 y + 1 x + 1

的取值范围是 .

? 3 7 ?

2

? 4

2 ?

.

【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标 A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).

(1)易知直线 x + 2 y - 4 = z 过点 C 时，z 最大.

所以 x ＝7，y ＝9 时，z 取最大值 21.

(2) z = x 2 + (y - 5)2 表示可行域内任一点 (x, y )到定点 M (0,5)的距离的平方，

过点 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，

故 z 的最小值是

9

2

.

(3) z = 2 ?

? 1 ? ? 2 ? x - (- 1) 表示可行域内任一点 (x, y )与定点 Q ? - 1, - 1 ? 连线斜率的 2 ? 2 ?

倍.因为 k

， k

QB

3 ? 3 7 ? .

【易错点】作出直线图像后要熟练掌握如何找到满足条件的可行域

【思维点拨】(1)把直线直线 x + 2 y - 4 = z 变形为 y = - 1 2

x + z + 4 可知在 y 轴上你的截距越大 z 就越大;

?

1 ? ?

2 ?

? x ≥ 1,

? ?

【答案】 5

【解析】如图，只要画出满足约束条件的可行域，

而 x 2 + y 2 表示可行域内一点到原点的距离的平方，

由图易知 A 1,

2)是满足条件的最优解，

x 2 + y 2 的最小值是为 5 .

4

例1已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1。求证： -1??-1??-1?≥8.

【答案】a、b、c∈R+，a+b+c=1∴

1

同理

12ac12ab

-1??-1?≥=8，当且仅当a=b=c=

-1??

?a??b??c a b c

”

lg a?lg b,Q=1

【思维点拨】本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

题型四基本不等式的应用

?1??1??1?

?a??b??c?

1-a b+c2bc

-1==≥

a a a a

-1≥，-1≥上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得:

b b

c c

?1??1??1?2bc2ac2ab

?1

3时取等号.

【思维点拨】不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2连乘，又11-a b+c2bc

-1==≥

a a a a

，可由此变形入手.例2若a>b>1,P=a+b

(lg a+lg b),R=lg()，则P,Q,R的大小关系是.

22

【答案】R>Q>P

【解析】∵a>b>1∴lg a>0,lg b>0，则Q=1

（lg a+lg b)>lg a?lg b=p 2

R=lg(a+b1

)>lg ab=lg ab=Q∴R>Q>P.

22

【思维点拨】因为lg a>0,lg b>0所以可以利用均值不等式进行判断大小.

【巩固训练】

题型一一元二次不等式解法及其应用

1.不等式x2+x-2<0的解集为___________．

【答案】

(-2,1)

【解析】易得不等式x2+x-2<0的解集为

(-2,1).

2.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________．【答案】

(0,8)

【解析】因为不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立．∴△=(-a)2-8a<0，解得0

b + -

c = 0 的两根，由韦达定理得 2m + 6 = -a, m (m + 6) = - c, 解得 c = 9 . 4.已知函数 f ( x ) = ?? x + 1, x ≥ 0 ,则满足不等式 f (1- x 2) > f (2 x) 的 x 的范围是_____．

【解析】 xy = xy 12 = xy + ? = + + 32 ≥ 2 + 32 = 64

= = 时，即 x = 4. y = 16 ，上式取“=”，故 (xy )

min = 64

3.已知函数 f (x) = x 2 + ax + b (a ， ∈ R) 的值域为[0 ， ∞) ，若关于 x 的不等式 f ( x ) < c 的解集为 (m ，m + 6) ，

则实数 c 的值为

．

【答案】 c = 9

【解析】因为 f ( x ) 的值域为[0,+∞），所以 ? = 0, 即 a 2 = 4b ,

所以 x 2 + ax +

a

2 a 2 4 4

2 ?1,

x < 0

【答案】 (-1, 2 -1)

??1 - x 2 > 2 x

【解析】 ? ? x ∈ (-1, 2 - 1) ．

??1 - x 2 > 0

5.已知 f ( x ) 的定义域为 R 的偶函数，当 x ≥ 0 时，f ( x ) = x 2 - 4 x ，那么，不等式 f ( x + 2) < 5 的解集_____．

【答案】(－7,3)

【解析】当 x ≥0 时，令 x 2 - 4 x < 5 ，解得， 0 ≤ x < 5 ．又因为 f ( x ) 为定义域为 R 的偶函数，则不等式

f ( x + 2) < 5 等价于 -5 < x + 2 < 5 ，即－7＜ x ＜3；故解集为(－7,3)．

题型二 应用基本不等式求函数最值

1.已知 x, y , > 0,

【答案】 64

2 8

+ = 1 ，则 xy 的最小值是 。 x y

? 2 8 ?2

4 y 64x 4 y 64x ? x y ?

x y x y

.

当且仅当 2 8 1

x y 2

.

2.已知 0 < x < 1 ，则函数 y = 4 1 + x 1 - x

的最小值是 .

【答案】 9

【解析】因为 0 < x < 1 ，所以1 - x > 0 。

6

(1 - x )?? ? 4 + 1 ?? = 5 + 4 1 - x + x ≥ 9

?

当且仅当 4 (1 - x ) ”

+ = 1 ( a > 0, b > 0 )， a + b = (a + b )( + ) = 7 + + ≥ 7 + 4 3 ．

1.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x - y ≥ -1 ，则 z = 2x + 3 y 的最大值为 。

? x + y ≥ 1

4 1 所以 y = + x 1 - x

= ? x +

? x 1 - x ? x 1 - x

( ) .

x 2 = 时，即 x = ，上式取“=，故 y x 1 - x 3

min = 9

.

3. 若 log (3a + 4b )= lo

g

4

2

ab

,则 a + b 的最小值是（ ）

A ． 6 + 2 3

B ． 7 + 2 3

C ． 6 + 4 3

D ． 7 + 4 3

【答案】D

【解析】由已知得 3a + 4b = ab ，且 ab > 0 ，可知 a > 0, b > 0 ，

所以

4 3 4 3 4b 3a

a b a b a b

4b 3a

当且仅当 = 时取等号．

a b

4.若 2 x + 2 y = 1 ，则 x + y 的取值范围是（

）

A ．[0,2]

B ． [-2,0]

C ． [-2,+∞)

D ． (-∞,-2]

【答案】D

【解析】因为1 = 2 x + 2 y ≥ 2 2 x ? 2 y ，即 2 x + y ≤ 2-2 ，

所以 x + y ≤ -2 ，当且仅当 2 x = 2 y ，即 x = y 时取等号．

5.若正实数 x ， y 满足 xy = 2x + y + 6 ，则 xy 的最小值是

.

【答案】18

【解析】因为 x > 0 ， y > 0 ，所以 xy = 2x + y + 6 ≥ 2 2xy + 6 ，

xy - 2 2xy - 6 ≥ 0 ，解得 xy ≥ 3 2 或 xy ≤ - 2 （舍）

等号当且仅当 2 x = y = 6 时成立，故 xy 的最小值为18 .

题型三 线性规划

?2 x - y ≤ 2 ?

?

【答案】18

2.在约束条件 ?

下，当 3 ≤ s ≤ 5 时，目标函数 z = 3x + 2 y 的最大值的变化范围是（ ）

y + x ≤ s 3.在平面直角坐标系中，不等式组 ? x - y + 2 ≥ 0 表示 ? y ≥ 0 【解析】如图，作出可行域，易知不等式组? x - y + 2 ≥ 0 表示的平面区域是一个三 ? y ≥ 0

【解析】如图，画出可行域，得在直线 2 x - y = 2 与直线 x - y = -1 的交点 A (3, 4)处，目标函数 z 最大值

为18

?x ≥ 0 ? y ≥ 0

? ?? y + 2 x ≤ 4

A. [6,15]

B. [7,15]

C. [6,8]

D. [7,8]

【答案】D

【解析】 画出可行域如图所示 ,当 3 ≤ s < 4 时, 目标函数 z = 3x + 2 y 在 B(4 - s,2 s - 4) 处取得最大值 , 即

z max = 3(4 - s) + 2(2 s - 4) = s + 4 ∈[7,8) ; 当 4 ≤ s ≤ 5 时 , 目标函数 z = 3x + 2 y 在点 E (0, 4)处取得最大值 , 即

z max = 3 ? 0 + 2 ? 4 = 8 ,故 z ∈[7,8] ,从而选 D.

? x + y - 2 ≤ 0 ? ?

(

)

A. 4 2

B.4

C. 2 2

D.2

【答案】 B

? x + y - 2 ≤ 0 ? ?

角形。容易求三角形的三个顶点坐标为 A (0, 2)， B (2, 0)，C (- 2, 0).于是三角形

的平面区域的面积是

的面积为： S = 1 2

| BC | ? | AO |= 1 2

? 4 ? 2 = 4. 从而选 B .

题型四 基本不等式的应用

1.已知 x > 0, y > 0 且 1 9

+ = 1 ，则使不等式 x + y ≥ m 恒成立的实数 m 的取值范围是 .

x y

【答案】 m ∈ ( -∞,16]

8

【解析】令x+y=k,x>0,y>0,

1

≥2?。∴k≥16，m∈(-∞,16].

x+1+32+35【答案】

(-∞,0 4,+∞).

≥4；当<0时，的取值范围是(-∞,0 4,+∞).

9x+y9x+9y10y9x

+=1，∴+=1.∴++=1 x y kx ky k kx ky

∴1-103 k k

2.若对任意x>0，

1【答案】a≥5

x

x2+3x+1≤

a恒成立，则a的取值范围是.

1

【解析】因为x>0，所以x+≥2（当且仅当x=1时取等号），所以有

x

x111

=≤=

x2+3x+1

x

即

x11

的最大值为，故a≥。x2+3x+155

3.若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(写出正确命题的编号)．

①ab≤1；②a+b≤

2；③a2+b2≥2；

11

+≥2

④a3+b3≥3；⑤

a b

【答案】①③⑤

【解析】令a=b=1，排除②④；由2=a+b≥2ab?ab≤1，

命题①正确；a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2，

11a+b2

+==≥2，命题⑤正确．命题③正确；

a b ab ab

4.已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则

][(a+b)2

cd的取值范围是.

【解析】由等差数列、等比数列的性质得a+b=x+y，cd=xy，所以(a+b)2(x+y)2y

=，当>0时，cd xy x

(a+b)2 cd y

x

(a+b)2(a+b)2

≤0，故

cd cd

][