最新河南省许昌市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年河南省许昌市高二上学期期末数学（理）试题
一、单选题
1．设命题2:,2n
P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A ．2,2n
n N n ∀∈> B ．2,2n
n N n ∃∈≤ C ．2,2n
n N n ∀∈≤ D ．2,2n n N n ∃∈=
【答案】C 【解析】【详解】
特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2
,2n
n N n ∀∈≤，即本题的
正确选项为C.
2．在ABC ∆中，若2,23,30,a b A ===︒则B 等于（ ） A ．30° B ．30150︒︒或
C ．60︒
D ．60120︒︒或
【答案】D
【解析】由正弦定理，求得sin sin b
B A a
=，再由a b <，且(0,180)B ∈o o ，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，在ABC ∆中，由正弦定理可得
sin sin a b A B
=， 即233
sin sin sin 3022
b B A a =
=︒=
， 又由a b <，且(0,180)B ∈o
o
，所以60B =︒或120B =︒，故选D. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．抛物线2
8y x =-的焦点坐标是（） A ．()0,2- B ．()2,0-
C ．10,32⎛
⎫-
⎪⎝⎭
D ．1,032⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【解析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标. 【详解】
因为2
8y x =-可化为2
1
8
=-
x y ， 所以128
=-p ，且焦点在y 轴负半轴，
因此焦点坐标为10,32⎛⎫- ⎪⎝
⎭
故选C 【点睛】
本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型. 4．已知,a b ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．220a b -> B ．cos cos 0a b -> C ．
11
0a b
-< D ．0a b e e ---<
【答案】D
【解析】举出反例即可判断A 、B 、C 选项；由a b >可得a b -<-，再根据函数x
y e =的单调性即可判断D 选项，即可得解. 【详解】
当0a =，1b =-时，2210a b -=-<，故A 错误；
当π
2
a =
，0b =时，cos cos 10a b -=-<，故B 错误； 当1a =，1b =-时，11
20a b
-=>，故C 错误；
由a b >可得a b -<-，再根据函数x
y e =的单调性可得a b e e --<即0a b e e ---<，故D 正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查了不等式和不等关系，属于基础题.
5． 已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有
46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”
是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．
【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知
4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若
p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要
条件．
6． 若x,y 满足约束条件x 0
x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪
≥=+⎨⎪≤⎩
，则的取值范围是
A ．[0,6]
B ．[0,4]
C ．[6, +∞）
D ．[4, +∞）
【答案】D
【解析】解：x 、y 满足约束条件
，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由
解得C （2，1），
目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．
7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =
A ．
1
9
B ．19
-
C ．
13
D ．13
-
【答案】A
【解析】设公比为q,则2
2
4
1
109,9a a q a q a q a q a q a ++=+⇒==∴=Q ，选
8．如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，
设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r
，1AA c =u u u r r ，则CE =u u u r
（ ）
A ．12
a b c --+r r r
B ．12a b c -+r r r
C ．12a b c --r r r
D ．12
a b c +-r r r
【答案】A
【解析】由空间向量的线性运算法则可得1111CE CC C D D E =++u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
，再根据平行六面体
的性质即可得解. 【详解】
由题意结合平行六面体的性质可得1111CE CC C D D E =++u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
111111111222
CC C D D A AA AB AD a b c =++=--=--+u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r r r r .
故选：A. 【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题.
9．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B =,且
2
b a
c =，则
a c
b
+的值为( ) A ．2 B 2
C ．
22
D ．4
【答案】A
【解析】由正弦定理，化简求得sin 30B B =，解得3
B π
=，再由余弦定理，
求得()2
24b a c =+，即可求解，得到答案． 【详解】
在ABC ∆中，因为sin 3cos 0b A a B =,且2b ac =， 由正弦定理得sin sin 3cos 0B A A B =，
所以sin 0B B =
，即tan B =3
B π
=，
由余弦定理得
222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-，
即()2
24b a c =+，解得2a c
b
+=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
10
．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，
N 两点，若MN 中点的横坐标为2
3
-，则此双曲线的方程是
A ．22
134
x y -
= B ．22
143
x y -
= C ．22
152
x y -=
D ．22
125
x y -=
【答案】D
【解析】根据点差法得
2225
a b
=，再根据焦点坐标得227a b +=，解方程组得22a =，25b =，即得结果.
【详解】
设双曲线的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，
()22,N x y ，则MN 的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且22
22221x y a b
-=，得()()12122
x x x x a +-= ()()12122
y y y y b +-，22
23a ⨯-=（）
2
5
23b ⨯-（）
，即2225a b
=，联立2
2
7a b +=，解得2
2a =，2
5b =，故所求双曲线的方程为22
125
x y -=．故选D ．
【点睛】
本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5 【答案】B
【解析】11122332211122,2(1),2(2),2(3),22,2 1.
2[1+2+3(1)]1616
16
17(4n n n n n n n n n n n a a n a a n a a n a a n a a a a a a n a a n n a n n n n
B +------=∴-=--=--=-⋅⋅⋅
-=⨯-=⨯-=⨯⋅⋅⋅+-=∴=-+=+-≥=Q Q 上面式子累加；得
当且仅当时等号成立）。

故选
12．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰有
6个不同的点使得12F F P V 为等腰三角形，则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A ．12,
33⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】D
【解析】①当点P 与短轴的顶点重合时，12F F P V 构成以12F F 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰12F F P V
②当12F F P V 构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点P 满足12F F P V 为等腰三角形即可，则1122PF F F c ==或
2122PF F F c ==
当12PF c =时，则有11PF MF >(M 是椭圆在短轴上的上边的顶点)，则1MF a =，因此2c a >，即12
c e a =
>，则1
12e <<
当22PF c =时，则有2211
{
PF F Q PF MF ><(Q 是椭圆在长轴上的右边的顶点)，即
2{12
c a c
e >-<，则11
32
e << 综上所述，椭圆的离心率取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选D
点睛：解决椭圆的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.
二、填空题
13．在ABC ∆中，120B =o ，1BC =，且ABC ∆
的面积为
2
，则AC =__________．
【解析】
根据三角形面积公式得到11 2.222
S AB AB =⨯⨯⨯=⇒=再由余弦定理得到AC 长. 【详解】
在ABC ∆中，120B =o ，1BC =，且ABC ∆
到：11 2.2S AB AB =
⨯⨯=⇒= 再由余弦定理得到22202cos1207AC AB BC AB BC =+-⨯⨯⨯=
故得到AC =
.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定
时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
14．若向量(2,1,2)a =-r
，(4,2,)b m =-r
，且a r
与b r
的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为________. 【答案】5m <且4m ≠-
【解析】由题意得0a b ⋅<r r 且a r 与b r 不共线，即可得()12020
n D C b c n EC a x b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩u u u u v v u u u v v ，即
可得解. 【详解】
由a r 与b r 的夹角为钝角可得0a b ⋅<r r 且a r 与b r 不共线，
则()120
20n D C b c n EC a x b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩
u u u u v v u u u v v 即5m <且4m ≠-. 故答案为：5m <且4m ≠-. 【点睛】
本题考查了利用空间向量数量积解决向量夹角的问题，属于基础题. 15．已知0x >，0y >
是2x 与4y 的等比中项，则1x
x y
+的最小值为__________．
【答案】
【解析】先由已知得到x+2y=1,再对1x
x y
+化简变形，再利用基本不等式求其最小值. 【详解】
由题得2242,2
2,21x
y
x y
x y +⋅=∴=∴+=.
所以
1x x y +
=22111x y x y x x y x y ++=++≥+=+
当且仅当21,2
x y =
=
时取等. 所以
1x
x y
+
的最小值为.
故答案为：
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．若钝角三角形ABC 的三边长a ，8，b ()a b <成等差数列，则该等差数列的公差d 的取值范围是________. 【答案】24d <<
【解析】由题意结合余弦定理可得22640a b +-<，再根据三角形三边关系可得
8b a -<，即可得解.
【详解】
由题意得16a b +=且8a b <<，
Q 三角形ABC 为钝角三角形，
∴222
cos 02a c b B ac
+-=<即22640a b +-<，
∴2264b a ->即()1664b a ->，
∴4b a ->，
又由三角形三边关系可得8b a -<，
∴48b a <-<即428d <<， ∴24d <<.
故答案为：24d <<. 【点睛】
本题考查了余弦定理的应用和等差数列性质的应用，属于中档题.
三、解答题
17．设命题p ：函数f （x ）=lg （ax 2-x +16a ）的定义域为R ；命题q ：不等式3x -9x ＜a 对任意x ∈R 恒成立．
（1）如果p 是真命题,求实数a 的取值范围；
（2）如果命题“p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题,求实数a 的取值范围．
【答案】(1)1
8a >．(2)11
84
a <≤． 【解析】(1)命题p 是真命题,有a ＞0，△＜0,即求解即可．
(2)命题q 是真命题,不等式3x -9x ＜a 对一切x ∈R 均成立,设y =3x -9x ,令t =3x ＞0,则
y =t -t 2,t ＞0,通过函数的最值求解a 的范围,利用复合命题的真假关系求解即可．
解：(1)命题p 是真命题,则ax 2-x +16a ＞0恒成立,得到a ＞0,△=1-64a 2＜0,即a ＞18
,或a 18<
（舍去）,所以a 的取值范围为18
a >． （2）命题q 是真命题,不等式3x
-9x
＜a 对一切x ∈R 均成立, 设y =3x
-9x
，令t =3x
＞0，则y =t -t 2
,t ＞0， 当12
t =
时,111244max y =-=,所以14a >．
命题“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题,则p ,q 一真一假．
即有1
1
8
4
a ≤＜或a ∈∅, 综上，实数a 的取值范围11
84
a <≤．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用,换元法以及二次函数的性质的应用,是基本知识的考查．
18．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和．
【答案】(1) 2
21n a n =
-；(2)221
n n +. 【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得{}n a 的通项公式. （2）将{}n a 的通项公式代入,可得数列21n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的表达式.利用裂项法即可求得前项和. 【详解】
（1）数列{}n a 满足()123212=n a a n a n ++⋯+-
2n ≥时,()()121
32321n a a n a n ++⋯+--﹣＝ ∴()212n n a -= ∴2
21
n a n =
- 当1n =时,2a =,上式也成立
∴2
21
n a n =- （2）
211
21(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+ ∴数列21n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和 1111
113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L
1212121
n
n n =-
=++ 【点睛】
本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题. 19．设函数()()2
442f x x a x a =+-+-，
（1）解关于x 的不等式()0f x >；
（2）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()0f x >恒成立，求a 的取值范围； 【答案】（1）见解析 （2）1a <
【解析】试题分析：（1）利用分类讨论思想分 00a a >=，和0a <三种情况，并结合二次函数的图像进行求解，即可求得0a >时，解集为{
2x x >或}2x a <-，0a =时，
解集为{}
2x x ≠
0a <时，解集为{2x x a >-或}2
x <；
（2）由题意得：()()2
22a x x ->--恒成立⇒ 2a x <-+恒成立⇒ ()min 21x -+= ⇒ 1.a < 试题解析：（1） 0a >时，不等式的解集为{
2x x >或}2x a
<-
0a =时，不等式的解集为{}2x x ≠
0a <时，不等式的解集为{2x x a >-或}2
x <
（2）由题意得：()()2
22a x x ->--恒成立，
[]1,1x ∈-Q []23,1x ∴-∈--
2a x ∴<-+恒成立.
易知 ()min 21x -+=，
∴ a 的取值范围为： 1.a <
20．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2
A C
a b A +=． （1）求B ；
（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3
B π
=
;(2)(
82
. 【解析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3
B π
=
.(2)根据三角形面积公式1
sin 2
ABC S ac B =
⋅V ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S V 关于C 的函数，由于ABC V 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于
2
π
来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C V 的值域. 【详解】 (1)根据题意sin
sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2
A C
A B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2
A C
B +=． 0<B π<，02A
C π+<<因为故2A C B +=或者2A C
B π++=，而根据题意A B
C π++=，故2A C B π++=不成立，所以2
A C
B +=，又因为A B
C π++=，代入得3B π=，所以3
B π
=
.
(2)因为ABC V 是锐角三角形，由（1）知3
B π
=
，A B C π++=得到2
3
A C π+=
， 故022032C C πππ
⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
，解得62C ππ<<.
又应用正弦定理
sin sin a c
A C
=，1c =， 由三角形面积公式有：
222sin(
)111sin 3sin sin sin 222sin sin ABC C a A S ac B c B c B c C C
π
-=⋅=⋅=⋅=
V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=
又因
,tan 6
2
3C C π
π
<<
>
,
故3188tan 82
C <+<，
故
33
82
ABC S <<
V . 故ABC S V 的取值范围是33
(,) 【点睛】
这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC V 是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.
21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动.
（1）证明：11D E A D ⊥；
（2）当E 为AB 的中点时，求异面直线AC 与1D E 所成角的余弦值； （3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --为
4
π
. 【答案】（1）证明见解析；（2）
15
15
；（3）23AE =-【解析】（1）以点D 为原点，如图建立空间直角坐标系，设AE x =，求出各点的坐标
后，利用110
DA D E ⋅=u u u u r u u u u r 即可得证； （2）由E 为AB 的中点可得()1,1,0E ，表示出两直线的方向向量后利用
1cos cos ,AC D E θ=u u u r u u u u r
即可得解；
（3）表示出平面ECD 和平面1D EC 的法向量后，利用cos cos ,4
m n π
=u r r
解方程即可
得解. 【详解】
Q 1111ABCD A B C D -是长方体，
∴以点D 为原点，如图建立空间直角坐标系，
设AE x =，则()0,0,0D ，()11
,0,1A ，()10,0,1D ，()1,,0E x ，()1,0,0A ，()0,2,0C ， （1）Q ()11,0,1DA =u u u u r
，()11,,1D E x =-u u u u r , ∴111010DA D E ⋅=+-=u u u u r u u u u r
，∴11D E A D ⊥.
（2）当E 为AB 的中点时，1AE x ==，()1,1,0E ，
∴()1,2,0AC =-u u u r
，()11,1,1D E =-u u u u r ，
设直线AC 与1D E 所成角为θ，
则11115
cos cos ,1553AC D E AC D
E AC D E
θ⋅====⋅⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r . （3）Q 平面ECD 为xOy 平面，∴平面ECD 的一个法向量为()0,0,1m =u r
， 设平面1D EC 的一个法向量为(),,n a b c =r
，
()10,2,1D C =-u u u u r
，()1,2,0EC x =--u u u r ，
则()12020
n D C b c n EC a x b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩u u u u v v u u u v v 令1b =得()2,1,2n x =-r . 由题意()
2
2
cos cos ,42
125
m n m n m n x π
⋅====⋅⋅
-+u r r
u r r u
r r ， 解得23x =-或23x =+（舍去）.
∴当23AE =-时，二面角1D EC D --为
4
π.
【点睛】
本题考查了空间向量的应用，考查了运算能力，属于中档题.
22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ；圆
22:20x y Dx Ω+--=过椭圆C 的三个顶点.过点2F 且斜率不为0的直线l 与椭圆C
交于,P Q 两点.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）证明：在x 轴上存在定点A ，使得2AP AP PQ +⋅u u u v u u u v u u u v
为定值；并求出该定点的坐标.
【答案】（1）22
162
x y +=（2）7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆Ω过椭圆C 的上、下、右三个顶点，可求得b =再根据椭圆的离心率求得26a =，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为
()2y k x =-，将方程与椭圆方程联立求得,P Q 两点的坐标，计算得
2AP AP PQ AP +⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ()
AP PQ AP AQ +=⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v ．设x 轴上的定点为(),0A m ，可得
()()
2222
31210613m m k m AP AQ k -++-⋅==+u u u v u u u v
，由定值可得需满足()
223121036m m m -+=-，解得m 可得定点坐标．
试题解析：
（Ⅰ）依题意，不妨设圆Ω过椭圆C 的上、下、右三个顶点，
令0x =，解得y =b =
又c e a =
=
，
∴c a =
，
∴22222
)a b c =+=+， 解得26a =．
∴椭圆C 的标准方程为22
162
x y +=.
（Ⅱ）证明：
由题意设直线l 的方程为()2y k x =-，
由()22
1,62
2,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
消去y 整理得()2222
13121260k x k x k +-+-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，
则21221213k x x k +=+，2122
126
13k x x k
-=+， 2AP AP PQ AP +⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ()
AP PQ AP AQ +=⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v
假设x 轴上的定点为(),0A m ， 则()()1122,,AP AQ x m y x m y ⋅=-⋅-u u u v u u u v
()()()()
22221212124k x x k m x x k m =+-++++
()(
)2
222
312106
13m m k m k -++-=
+.
要使其为定值，需满足(
)
2
2
3121036m m m -+=-， 解得7
3
m =
. 故定点A 的坐标为7,03⎛⎫
⎪⎝⎭
. 点睛：解析几何中定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．。