人教版高一数学必修2 空间直线的垂直关系练习题(含答案详解)

必修2 空间中的垂直关系

基础知识点

一、选择题：

1.若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是

( ).

A.60°

B.45°

C.30°

D.120°

2.直线l⊥平面α，直线m?α，则( ).

A.l⊥m

B.l∥m

C.l，m异面

D.l，m相交而不垂直

3.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有( ).

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

4.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( ).

A.α∥γ

B.α⊥γ

C.α与γ相交但不垂直

D.以上都有可能

5.已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则

( ).

A.ME⊥平面AC

B.ME ?平面AC

C.ME∥平面AC

D.以上都有可能

6.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( ).

A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直

B.它们两两垂直

C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直

D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直

二、填空题：

7.在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是________.

8.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个.

①a⊥α，b∥α?a⊥b; ②a⊥α，a⊥b?b∥α；

③a∥α，a⊥b?b⊥α；④a⊥α，b⊥α?a∥b.

9.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________.

10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为________.

三、解答题：

11.如图所示，在Rt △AOB 中，∠ABO=π

6，斜边AB=4，Rt △AOC 可以通过Rt △AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且二面角BAOC 是直二面角，D 是AB 的中点.

求证：平面COD ⊥平面AOB.

12.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F.

(1)求证：PA ∥平面EDB ；

(2)求证：PB ⊥平面EFD.

综合提高

1.已知l ，m ，n 为两两垂直的三条异面直线，过l 作平面α与直线m 垂直，则直线n 与平面α的关系是( ).

A.n ∥α

B.n ∥α或n ?α

C.n ?α或n 与α不平行

D.n ?α

2.已知平面α⊥平面β，α∩β=l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ).

A.AB ∥m

B.AC ⊥m

C.AB ∥β

D.AC ⊥β

3.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( ).

A.相等

B.互补

C.相等或互补

D.关系无法确定

4.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF 把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.

给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.

其中成立的有( ).

A.①②

B.①③

C.②③

D.③④

5.如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的________心.

6.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，若A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与ABC底面所成的角的正弦值等于________.

7.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD 所成的角为60°.

其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号).

8.如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD=________.

9.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.

求证：AE⊥SB，AG⊥SD.

10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PO⊥面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.

(1)求证：PC⊥BC.

(2)求点A到平面PBC的距离.

11.如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.

(1)求证：PA⊥平面ABC；

(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.

12.(创新拓展)已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=60°，

E ，

F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC =AF AD

=λ(0＜λ＜1). (1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；

(2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD?

参考答案

基础篇

1.答案 A ；解析 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示，∠ABO

即是斜线AB 与平面α所成的角，又AB=2BO ，所以cos ∠ABO=OB AB =1

2.所以∠ABO=60°.故选A.

2.答案 A ；解析 无论l 与m 是异面，还是相交，都有l ⊥m ，考查线面垂直的定义，故选A.

3.答案 D ；解析 ∵PO ⊥平面ABC ，∴PO ⊥AC ，又∵AC ⊥BO ，∴AC ⊥平面PBD ， ∴平面PBD 中的4条线段PB ，PD ，PO ，BD 与AC 垂直.

4.答案 D ；解析 以正方体为模型：相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.

5.答案 A ；解析 由于ME ?平面AB 1，平面AB 1∩平面AC=AB ，且平面AB 1⊥平面AC ，ME ⊥AB ，则ME ⊥平面AC.

6.答案A；解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.

又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.

由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB=A，得AD⊥平面PAB.∵AD?平面PAD，∴平面PAD ⊥平面PAB.

由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.

7.答案垂直；解析由正方体性质知AC⊥BD，BB1⊥AC，∵E，F是棱AB，BC 的中点，

∴EF∥AC，∴EF⊥BD，EF⊥BB1，∴EF⊥平面BB1O.

8.答案2；解析由线面垂直的性质定理知①④正确.

9.答案①③④?②或②③④?①；解析如图，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，α∩β=l，l∩平面PAB=O，连接OA、OB，可证明∠AOB为二面角αlβ的平面角，则∠AOB=90°?PA⊥PB.

10.答案45°；解析∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，大小为45°.

11.证明：由题意：CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角BAOC的平面角，

又∵二面角BAOC是直二面角，∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，∵CO?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.

12.证明：(1)连接AC，AC交BD于点O.连接EO，如图.

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.

在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.

而EO?平面EDB且PA?平面EDB.所以PA∥平面EDB.

(2)∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD.∴PD⊥DC.

∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC.而DE?平面PDC，∴BC⊥DE.②

由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB?平面PBC，∴DE⊥PB.

又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD.

综合提高

1.答案A；解析∵l?α，且l与n异面，∴n?α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n ∥α.

2.答案D；解析如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l?AC⊥m，AB∥l?AB∥β.故选D.

3.答案D；解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF 的大小不确定.

4.答案B；解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE=S矛盾，排除A，故选B.

5.答案垂；解析三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，可证投影是底面三角形的垂心.

6.答案：

2

3

；解析由题意知，三棱锥A1ABC为正四面体(各棱长都相等的三棱

锥)，设棱长为a ，则AB 1=3a ，棱柱的高A 1O=63

a(即点B 1到底面ABC 的距离)，故AB 1与底面ABC 所成的角的正弦值为A 1O AB 1=23

.' 7.答案 ①②④；解析 本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面的夹角.

8.答案 2；解析 取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，

因为△ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB.当平面ADB ⊥平面ABC 时，

因为平面ADB ∩平面ABC=AB ，所以DE ⊥平面ABC.又CE ?平面ABC 可知DE ⊥CE. 由已知可得DE=3，EC=1，在Rt △DEC 中，CD=DE 2＋CE 2=2.

9.证明 因为SA ⊥平面ABCD ，所以SA ⊥BC.又BC ⊥AB ，SA ∩AB=A ，所以BC ⊥平面SAB ，

又AE ?平面SAB ，所以BC ⊥AE.因为SC ⊥平面AEFG ，所以SC ⊥AE.

又BC ∩SC=C ，所以AE ⊥平面SBC ，所以AE ⊥SB.同理可证AG ⊥SD.

10.(1)证明 因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC.

因为∠BCD=90°，所以BC ⊥CD.又PD ∩CD=D ，所以BC ⊥平面PCD.

而PC ?平面PCD ，所以PC ⊥BC.

(2)解 如图，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于E ，过点E 作PC 的垂线，垂足为F ，则有AE ∥平面PBC ，所以点A 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离.

又EF ⊥PC ，BC ⊥平面PCD ，则EF ⊥BC.BC ∩PC=C ，所以EF ⊥平面PBC.

EF 即为E 到平面PBC 的距离.

又因为AE ∥BC ，AB ∥CD ，所以四边形ABCE 为平行四边形.所以CE=AB=2. 又PD=CD=1，PD ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD.所以PD ⊥CD ，∠PCD=45°. 所以EF= 2.即点A 到平面PBC 的距离为 2.

11.证明 (1)在平面ABC 内取一点D ，作DF ⊥AC 于F ，

∵平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，∴DF ⊥平面PAC.

又∵PA ?平面PAC ，∴DF ⊥PA.作DG ⊥AB 于G ，同理可证DG ⊥PA.

∵DG ∩DF=D ，∴PA ⊥平面ABC.

(2)连接BE 并延长交PC 于H.

∵E 是△PBC 的垂心，∴PC ⊥BH ，又AE ⊥平面PBC ，故AE ⊥PC ，

且AE ∩BE=E ，∴PC ⊥平面ABE.∴PC ⊥AB.

又∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，且PA ∩PC=P ，

∴AB ⊥平面PAC ，∴AB ⊥AC ，即△ABC 是直角三角形. 12.(1)证明 ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD.∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ，∴CD ⊥平面ABC.

又∵AE AC =AF AD

=λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC. 又EF ?平面BEF ，∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC.

(2)解 由(1)知，EF ⊥BE ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，AB ⊥平面BCD ，

∴BD=2，AB=2tan 60°= 6.AC=AB 2＋BC 2=7， 由AB 2

=AE ·AC 得AE=67，∴λ=AE AC =67，故当λ=67时，平面BEF ⊥平面ACD.