第十六章 学案6

学案6习题课：动量和能量的综合应用

[学习目标定位]1.熟练掌握动量守恒定律的运用.2.利用动量守恒定律结合能量守恒解决相关功能关系问题．

1．处理动量守恒问题时，应注意：

(1)适用条件：①系统不受外力或所受合外力为零；②系统在某一方向上不受外力或分量为零；③系统内力远大于外力．

(2)确定状态：分析对应过程的初、末状态及对应动量．

(3)列表达式：选取恰当的动量守恒表达式，结合常用的机械能守恒、动量定理或能量守恒的公式列式．

(4)分析讨论：根据题意讨论结果是否符合题意．

2．处理动量和能量结合问题时，应注意：

(1)守恒条件：动量守恒条件是F合＝0，而机械能守恒条件是W外＝0.

(2)分析重点：动量研究系统的受力情况，而能量研究系统的做功情况．

(3)表达式：动量为矢量式，能量为标量式．

(4)相互联系：没有必然联系，系统动量守恒，其机械能不一定守恒，反之亦然．

一、滑块—木板模型

1．把滑块、木板看作一个整体，摩擦力为内力，则在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒．

2．由于摩擦生热，把机械能转化为内能，则系统机械能不守恒．应由能量守恒求解问题．3．注意：滑块不滑离木板时最后二者有共同速度．

例1如图1所示，在光滑的水平面上有一质量为M的长木板，以速度v0向右做匀速直线运动，将质量为m的小铁块轻轻放在木板上的A点，这时小铁块相对地面速度为零，小铁块相对木板向左滑动．由于小铁块和木板间有摩擦，最后它们之间相对静止，已知它们之间的动摩擦因数为μ，问：

图1

(1)小铁块跟木板相对静止时，它们的共同速度多大？ (2)它们相对静止时，小铁块与A 点距离多远？ (3)在全过程中有多少机械能转化为内能？

解析 (1)木板与小铁块组成的系统动量守恒．以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得， M v 0＝(M ＋m )v ′，则v ′＝M v 0

M ＋m

.

(2)由功能关系可得，摩擦力在相对位移上所做的功等于系统动能的减少量，μmgx 相＝1

2M v 20－

1

2

(M ＋m )v ′2. 解得x 相＝M v 20

2μg (M ＋m )

(3)由能量守恒定律可得， Q ＝12M v 20－12(M ＋m )v ′2 ＝Mm v 20

2(M ＋m ) 答案 (1)M v 0M ＋m (2)M v 202μg (M ＋m ) (3)Mm v 202(M ＋m )

例2 如图2所示，光滑水平桌面上有长L ＝2 m 的挡板C ，质量m C ＝5 kg ，在其正中央并排放着两个小滑块A 和B ，m A ＝1 kg ，m B ＝3 kg ，开始时三个物体都静止．在A 、B 间放有少量塑胶炸药，爆炸后A 以6 m/s 的速度水平向左运动，A 、B 中任意一块与挡板C 碰撞后，都粘在一起，不计摩擦和碰撞时间，求：

(1)当两滑块A 、B 都与挡板C 碰撞后，C 的速度是多大； (2)A 、C 碰撞过程中损失的机械能．

图2

解析 (1)A 、B 、C 系统动量守恒，有 0＝(m A ＋m B ＋m C )v C ， 解得v C ＝0.

(2)炸药爆炸时A 、B 系统动量守恒，有 m A v A ＝m B v B

解得：v B ＝2 m/s

A 、C 碰撞前后系统动量守恒，有 m A v A ＝(m A ＋m C )v 解得v ＝1 m/s

A 、C 碰撞过程中损失的机械能ΔE ＝12m A v 2A －12(m A ＋m C )v 2

＝15 J.

答案 (1)0 (2)15 J 二、子弹打木块模型

1．子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒． 2．在子弹打木块过程中摩擦生热，则系统机械能不守恒，机械能向内能转化． 3．若子弹不穿出木块，则二者最后有共同速度，机械能损失最多．

例3 如图3所示，在水平地面上放置一质量为M 的木块，一质量为m 的子弹以水平速度v 射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：

图3

(1)子弹射入后，木块在地面上前进的距离； (2)射入的过程中，系统损失的机械能．

解析 因子弹未射出 ，故碰撞后子弹与木块的速度相同，而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差．

(1)设子弹射入木块时，二者的共同速度为v ′，取子弹的初速度方向为正方向，则有：m v ＝(M ＋m )v ′，①

二者一起沿地面滑动，前进的距离为s ，由动能定理得： －μ(M ＋m )gs ＝0－1

2(M ＋m )v ′2，②

由①②两式解得：s ＝m 2v 2

2(M ＋m )2

μg (2)射入过程中损失的机械能 ΔE ＝12m v 2－1

2

(M ＋m )v ′2，③

解得：ΔE ＝Mm v 2

2(M ＋m )

.

答案 (1)m 2v 22(M ＋m )2μg (2)Mm v 2

2(M ＋m )

三、弹簧类模型

1．对于弹簧类问题，在作用过程中，系统合外力为零，满足动量守恒．

2．整过程涉及到弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题．

3．注意：弹簧压缩最短时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大． 例4 如图4所示，A 、B 、C 三个木块的质量均为m ，置于光滑的水平面上，B 、C 之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连．将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B 和C 紧连，使弹簧不能伸展，以至于B 、C 可视为一个整体，现A 以初速度v 0沿B 、C 的连线方向朝B 运动，与B 相碰并粘合在一起．以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C 与A 、B 分离．已知C 离开弹簧后的速度恰为v 0，求弹簧释放的势能．

图4

解析 设碰后A 、B 和C 的共同速度的大小为v ，以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得 3m v ＝m v 0①

设C 离开弹簧时，A 、B 的速度大小为v 1，由动量守恒定律得3m v ＝2m v 1＋m v 0② 设弹簧的弹性势能为E p ，从细线断开到C 与弹簧分开的过程中机械能守恒，有 12(3m )v 2＋E p ＝12(2m )v 21＋12m v 2

③ 由①②③式得，弹簧所释放的势能为E p ＝13m v 20.

答案 13m v 20

1．(滑块—木板模型)质量为M 、内壁间距为L 的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m 的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ，初始时小物块停在箱子正中间，如图5所示．现给小物块一水平向右的初速度v ，小物块与箱壁碰撞N 次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止．设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为

( )

图5

A.1

2

m v 2

B.mM v 22(m ＋M )

C.1

2NμmgL

D ．NμmgL

答案 BD

解析 根据动量守恒，小物块和箱子的共同速度v ′＝m v M ＋m ，损失的动能ΔE k ＝12m v 2－1

2(M

＋m )v ′2

＝mM v 2

2(m ＋M )，所以B 正确．根据能量守恒，损失的动能等于因摩擦产生的热量，而

计算热量的方法是摩擦力乘以相对位移，所以ΔE k ＝fNL ＝NμmgL ，所以D 正确． 2．(子弹打木块模型)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射进一半厚度，如图6所示，上述两种情况相比较( )

图6

A ．子弹对滑块做功一样多

B ．子弹对滑块做的功不一样多

C ．系统产生的热量一样多

D ．系统产生的热量不一定多 答案 AC

解析 两次都没射出，则子弹与滑块最终达到共同速度，设为v

共，由动量守恒定律可得

m v ＝(M ＋m )v 共，得v 共＝m

M ＋m v ；子弹对滑块所做的功等于滑块获得的动能，故选项A 正

确；系统损失的机械能转化为热量，故选项C 正确． 3．(子弹打木块模型)

图7

如图7所示，质量为M 的小车静止在光滑水平轨道上，下面用长为L 的细线悬挂着质量为

m 的沙箱，一颗质量为m 0的子弹以v 0的水平速度射入沙箱，并留在其中，在以后的运动过程中，求沙箱上升的最大高度．

答案 m 20M v 2

2(m 0＋m )2(m 0＋m ＋M )g

解析 子弹打入沙箱过程中动量守恒，以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得 m 0v 0＝(m 0＋m )v 1

摆动过程中，子弹、沙箱、小车组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒． 沙箱到达最大高度时，系统有相同的速度，设为v 2，则有(m 0＋m )v 1＝(m 0＋m ＋M )v 2 12(m 0＋m )v 21＝12(m 0＋m ＋M )v 22＋(m 0＋m )gh 联立以上各式可得沙箱上升的最大高度 h ＝m 20M v 20

2(m 0＋m )2

(m 0＋m ＋M )g

.

4．(弹簧类模型)如图8，光滑水平直轨道上有三个质量均为m 的物块A 、B 、C .B 的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)．设A 以速度v 0朝B 运动，压缩弹簧；当A 、B 速度相等时，B 与C 恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设B 和C 碰撞过程时间极短．求从A 开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，

图8

(1)整个系统损失的机械能； (2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能． 答案 (1)116m v 20 (2)1348m v 2

解析 (1)从A 压缩弹簧到A 与B 具有相同速度v 1时，对A 、B 与弹簧组成的系统，动量守恒，有 m v 0＝2m v 1①

此时B 与C 发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v 2，损失的机械能为ΔE ，对B 、C 组成的系统，由动量守恒和能量守恒得 m v 1＝2m v 2② 12m v 21＝ΔE ＋1

2

(2m )v 22③ 联立①②③式，得ΔE ＝116m v 20

④

(2)由②式可知，v 2＜v 1，A 将继续压缩弹簧，直到A 、B 、C 三者速度相同，设此速度为v 3，此时弹簧被压缩到最短，其弹性势能为E p ，由动量守恒和能量守恒得： m v 0＝3m v 3⑤

12m v 20－ΔE ＝1

2(3m )v 23＋E p ⑥ 联立④⑤⑥式得E p ＝1348m v 20

题组一 滑块—木板模型 子弹打木块模型

1.如图1所示，一个木箱原来静止在光滑水平面上，木箱内粗糙的底板上放着一个小木块．木

箱和小木块都具有一定的质量．现使木箱获得一个向右的初速度v 0，则( )

图1

A ．小木块、木箱最终都将静止

B ．小木块最终将相对木箱静止，二者一起向右运动

C ．小木块在木箱内壁将始终来回往复碰撞，而木箱一直向右运动

D ．如果小木块与木箱的左壁碰撞后相对木箱静止，则二者将一起向左运动 答案 B

解析 木箱和小木块组成的系统，所受合外力为零，故系统动量守恒．系统初动量向右，故小木块相对木箱静止后，系统总动量也向右，故B 正确，A 、D 、C 错误．

2．两质量分别为M 1和M 2的劈A 和B ，高度相同，放在光滑水平面上，A 和B 的倾斜面都是光滑曲面，曲面下端与水平面相切，如图2所示，一质量为m 的物块位于劈A 的倾斜面上，距水平面的高度为h ，物块从静止滑下，然后又滑上劈B ，求物块在B 上能够达到的最大高度．

图2

答案

M 1M 2

(M 1＋m )(M 2＋m )

h

解析 设物块到达劈A 的底端时，物块和A 的速度大小分别为v 和v 1，由机械能守恒定律和动量守恒定律得 mgh ＝12m v 2＋12M 1v 21 M 1v 1＝m v

设物块在劈B 上达到的最大高度为h ′，此时物块和B 的共同速度大小为v 2，由机械能守恒定律和动量守恒定律得 mgh ′＋12(M 2＋m )v 22＝12m v 2 m v ＝(M 2＋m )v 2

解得h ′＝M 1M 2(M 1＋m )(M 2＋m )

h

3.如图3所示 ，质量m 1＝0.3 kg 的小车静止在光滑的水平面上，车长L ＝1.5 m ，现有质量

m 2＝0.2 kg 可视为质点的物块，以水平向右的速度v 0＝2 m /s 从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止．物块与车面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g ＝10 m/s 2，求：

图3

(1)物块在车面上滑行的时间t ；

(2)要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v 0′不超过多少． 答案 (1)0.24 s (2)5 m/s

解析 (1)设物块与小车相对静止时的共同速度为v ，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律有

m 2v 0＝(m 1＋m 2)v

设物块与车面间的滑动摩擦力大小为F ，对物块应用牛顿运动定律有 F ＝m 2·v 0－v t

又F ＝μm 2g 解得t ＝m 1v 0

μ(m 1＋m 2)g

代入数据得t ＝0.24 s.

(2)要使物块恰好不从小车右端滑出，须使物块到达车面最右端时与小车有共同的速度，设其为v ′，则 m 2v 0′＝(m 1＋m 2)v ′ 由功能关系有

12m 2v 0′2＝1

2(m 1＋m 2)v ′2＋μm 2gL 代入数据解得v 0′＝5 m/s

故要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v 0′不超过5 m/s.

4.如图4所示，一不可伸长的轻质细绳，静止地悬挂着质量为M 的木块，一质量为m 的子弹，以水平速度v 0击中木块，已知M ＝9m ，不计空气阻力．问：

图4

(1)如果子弹击中木块后未穿出(子弹进入木块时间极短)，在木块上升的最高点比悬点O 低的情况下，木块能上升的最大高度是多少？(设重力加速度为g )

(2)如果子弹在极短时间内以水平速度v 0

4穿出木块，则在这一过程中子弹、木块组成的系统损

失的机械能是多少？ 答案 (1)v 20

200g (2)716

m v 20

解析 (1)因为子弹与木块作用时间极短，子弹与木块间的相互作用力远大于它们的重力，所以子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹与木块开始上升时的速度为v 1，则m v 0＝(m ＋M )v 1

因不计空气阻力，所以系统上升过程中机械能守恒，设木块上升的最大高度为h ，则 12(m ＋M )v 2

1＝(m ＋M )gh h ＝v 20

200g

(2)子弹射穿木块前后，子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹穿出时木块的速度为v 2，则m v 0＝m ·v 0

4

＋M v 2，

在这一过程中子弹、木块组成的系统损失的机械能为 ΔE ＝12m v 20－12m (v 04)2－12M v 22＝716m v 2

0 题组二 弹簧类模型

5．如图5所示，A 、B 两个木块用轻弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，A 和B 的质量分别是99m 和100m ，一颗质量为m 的子弹以速度v 0水平射入木块A 内没有穿出，则在以后的过程中弹簧弹性势能的最大值为( )

图5

A.m v 20400

B.m v 20

200

C.99m v 20200

D.199m v 20400

答案 A

解析 子弹射入木块A 的过程中，动量守恒，有m v 0＝100m v 1，子弹、A 、B 三者速度相等时，弹簧的弹性势能最大，100m v 1＝200m v 2，弹性势能的最大值E p ＝12×100m v 21－12

×200m v 2

2

＝m v 20400

. 6．如图6所示，粗糙斜面与光滑水平面通过半径可忽略的光滑小圆弧平滑连接，斜面倾角α＝37°，A 、B 是两个质量均为m ＝1 kg 的小滑块(可看做质点)，C 为左端附有胶泥的薄板(质量不计)，D 为两端分别连接B 和C 的轻质弹簧．当滑块A 置于斜面上且受到大小F ＝4 N ，方向垂直斜面向下的恒力作用时，恰能向下匀速运动．现撤去F ，让滑块A 从斜面上距斜面底端L ＝1 m 处由静止下滑．(g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：

图6

(1)滑块A 到达斜面底端时的速度大小；

(2)滑块A 与C 接触后粘连在一起，求此后两滑块和弹簧构成的系统在相互作用过程中，弹簧的最大弹性势能． 答案 (1)2 m/s (2)1 J

解析 (1)施加恒力F 时，μ(F ＋mg cos α)＝mg sin α 未施加力F 时，(mg sin α－μmg cos α)L ＝m v 212

代入数据，解得v 1＝2 m/s.

(2)滑块A 与C 接触后，A 、B 、C 、D 组成的系统动量守恒，能量守恒，所以当A 、B 具有共同速度时，系统动能最小，弹簧弹性势能最大，设为E p ，有 m v 1＝2m v 2 12m v 21＝E p ＋12·2m v 22 代入数据，得E p ＝1 J.

题组三 动量和能量的综合应用

7．如图7所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块B 上，另一端与滑块C 接触但不连接，该整体静止在光滑水平地面上，并且C 被锁定在地面上．现有一滑块A 从光滑曲面上离地面h 高处由静止开始下滑，与滑块B 发生碰撞并粘连在一起压缩弹簧，当速度减为碰后速度一半时滑块C 解除锁定．已知m A ＝m ，m B ＝2m ，m C ＝3m .求：

图7

(1)滑块A 与滑块B 碰撞结束瞬间的速度； (2)被压缩弹簧的弹性势能的最大值． 答案 (1)132gh (2)7

24

mgh

解析 (1)滑块A 下滑过程中机械能守恒，设A 到达水平面时速度为v 1，由机械能守恒定律有

m A gh ＝1

2

m A v 21，解得v 1＝2gh . A 、B 碰撞过程动量守恒，设滑块A 与滑块B 碰撞结束瞬间的速度为v 2，由动量守恒定律有 m A v 1＝(m A ＋m B )v 2，解得v 2＝

m A v 1

m A ＋m B ＝1

32gh .

(2)滑块C 解除锁定后，滑块A 、B 继续压缩弹簧，被压缩弹簧的弹性势能最大时，滑块A 、B 、C 速度相等，设为速度v 3，由动量守恒定律有： (m A ＋m B )v 2

2＝(m A ＋m B ＋m C )v 3.

故v 3＝14v 2＝1

12

2gh .

滑块A 、B 发生碰撞后到弹簧压缩最大，A 、B 、C 及弹簧组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律有：

E pmax ＝12(m A ＋m B )v 22－12(m A ＋m B ＋m C )v 23， E pmax ＝

7

24

mgh . 8．如图8所示，带有半径为R 的1

4光滑圆弧的小车其质量为M ，置于光滑水平面上，一质

量为m 的小球从圆弧的最顶端由静止释放，则小球离开小车时，小球和小车的速度分别为多少？

图8

答案

2MgR

M ＋m

，方向水平向左 2m 2gR

M (M ＋m )

，方向水平向右

解析 小球和小车组成的系统虽然总动量不守恒，但在水平方向动量守恒，且全过程满足机

械能守恒，设小球和小车分离时，小球的速度为v 1，方向水平向左，小车的速度为v 2，方向水平向右． 则：m v 1－M v 2＝0 mgR ＝12m v 21＋12M v 2

2 解得v 1＝

2MgR M ＋m

，方向水平向左，v 2＝

2m 2gR

M (M ＋m )，方向水平向右．

9．如图9所示，一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab 段水平，bcde 段光滑，cde 段是以O 为圆心、R 为半径的一小段圆弧．可视为质点的物块A 和B 紧靠在一起，静止于b 处，A 的质量是B 的3倍．两物块在足够大的内力作用下突然分离，分别向左、右始终沿轨道运动．B 到d 点时速度沿水平方向，此时轨道对B 的支持力大小等于B 所受重力的3

4.A 与ab

段的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ，求：

图9

(1)物块B 在d 点的速度大小v ； (2)物块A 滑行的距离． 答案 (1)

gR 2 (2)R 8μ

解析 (1)设B 物块的质量为m ，在d 点的速度为v ，B 物块在d 点，受力分析得： mg －34mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR

2

.

(2)B 物块从b 到d 的过程中，由机械能守恒得： 12m v 2B ＝mgR ＋12

m v 2 A 、B 物块分离过程中，动量守恒： 即有：3m v A ＝m v B

A 物块减速运动到停止，由动能定理得 －3μmgs ＝0－1

2×3m v 2A 联立以上各式解得：s ＝R 8μ.