课时跟踪检测 (三十一) 任 意 角

课时跟踪检测（三十一）任意角

层级(一)“四基”落实练

1．下列命题正确的是()

A．第一象限的角都是锐角

B．小于90°的角是锐角

C．2 019°是第三象限的角

D．2 019°是第四象限的角

解析：选C当α＝390°时，位于第一象限，但α＝390°不是锐角，故A错误；

α＝0°＜90°但α不是锐角，故B错误；

2019°＝5×360°＋219°，∵219°是第三象限角，

∴2019°是第三象限的角，故C正确，D错误，故选C.

2．在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是()

A．120°B．60°

C．180°D．240°

解析：选D∵与－120°终边相同角的集合为{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}．取k＝1，可得在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是240°.

3．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()

A．第一象限角B．第一、二象限角

C．第一、三象限角D．第一、四象限角

解析：选C由题意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°＜α＜90°＋k·180°(k ∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＜α＜90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．

4．若角α＝m·360°＋60°，β＝k·360°＋120°，m，k∈Z，则角α与β的终边的位置关系是()

A．重合B．关于原点对称

C．关于x轴对称D．关于y轴对称

解析：选Dα的终边和60°的终边相同，β的终边与120°的终边相同，∵180°－120°＝60°，

∴角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称．

5．(多选)如果角α与角γ＋45°的终边重合，角β与角γ－45°的终边重合，那么α－β的可能值为()

A．90°B．360°

C．450°D．3 330°

解析：选ACD由条件知α＝γ＋45°＋k1·360°(k1∈Z)，

β＝γ－45°＋k2·360°(k2∈Z)．

将两式相减消去γ，得α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k∈Z)．

当k＝0时，α－β＝90°；当k＝1时，α－β＝450°；当k＝9时，α－β＝3 330°，故选A、C、D.

6．若角α＝2 020°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．

解析：∵2 020°＝5×360°＋220°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝220°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是220°，最大负角是－140°.

答案：220°－140°

7．已知α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.

解析：由题意知5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.

答案：270°

8．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于__________________．

解析：因为A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，

所以当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；

当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°.

又B＝{β|－180°<β<180°}，

所以A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．

答案：{－126°，－36°，54°，144°}

9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：

(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.

解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．

(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．

(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．

10．已知角α＝45°.

(1)在－720°≤β≤0°范围内找出所有与角α有相同终边的角β；

(2)集合M ＝????

??x ?? x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝??????x ??

x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么两集合的关系是什么？ 解：(1)由题意知：β＝45°＋k ·360°，k ∈Z ，

则令－720°≤45°＋k ·360°≤0°，

解得－765360≤k ≤－45360

， 从而k ＝－2或k ＝－1，

故β＝－675°或 β＝－315°.

(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合，而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)·45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而M N .

层级(二) 素养提升练

1．角α＝－60°＋k ·180°(k ∈Z )的终边落在( )

A ．第四象限

B ．第一、二象限

C ．第一象限

D ．第二、四象限

解析：选D 令k ＝0，α＝－60°，在第四象限；

再令k ＝1，α＝－60°＋180°＝120°，在第二象限．

2.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.

解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°＜α＜150°或

210°＜α＜330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．

答案：{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}

3．终边落在直线y＝3x上的角α的集合为____________．

解析：如图所示，终边落在射线y＝3x(x≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝

60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝

240°＋k·360°，k∈Z}．于是终边落在直线y＝3x上的角的集合是S＝{α|α＝

60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．

答案：{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}

4．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．

解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.

∵α，β都是锐角，

∴0°<α＋β<180°.

取k＝1，得α＋β＝80°. ①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，

∴－90°<α－β<90°.

取k＝－2，得α－β＝－50°. ②由①②，得α＝15°，β＝65°.

5．已知α为第二象限角，试判断α

3是第几象限角？

解：∵α是第二象限角，

∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，

∴30°＋k·120°<α

3<60°＋k·120°，k∈Z.

当k ＝3n ，n ∈Z 时，30°＋n ·360°<α3<60°＋n ·360°，n ∈Z ，此时α3

为第一象限角； 当k ＝3n ＋1，n ∈Z 时，150°＋n ·360°<α3<180°＋n ·360°，n ∈Z ，此时α3为第二象限角； 当k ＝3n ＋2，n ∈Z 时，270°＋n ·360°<α3<300°＋n ·360°，n ∈Z ，此时α3

为第四象限角． ∴α3

为第一、第二或第四象限角．