第18讲 二元一次方程组-举一反三

第18讲 二元一次方程组
二元一次方程组是在一元一次方程的基础上发展而来的，“消元”是解方程组的基本思想，即通过消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解，代入法和加减法是消元的两种基本方法． 解一些复杂的方程组（如未知数系数较大，方程个数较多等）时，需要观察方程组的系数特点，着眼于整体来解决问题，常用整体叠加、换元转化、设元引参等技巧．
对于含有字母系数的二元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、解的个数，其思路是在消元的基础上，把方程组解的讨论转化为一元一次方程解的讨论．
题1 解方程组⎩⎨⎧=+=+②
①.151617,171819y x y x
若采用常规的加减消元方法，将变得非常繁杂，观察两方程，系数虽大而对应系数的差相同， 若用①一②，得.222=+y x 即,1=+y x 再继续与其中一个组合变得简单，
解 ①一②，得,222=+y x 所以③.1=+y x
③×16，得④.161616=+y x
②一④，得.1-=x 从而得.2=y
所以方程组的解是⎩⎨⎧=-=.
2,1y x
当数式结构复杂或字母个数过多时，把某一部分看成一个整体或用一个新字母代替，从而达到化繁为简的目的，这就是换元法．换元法能简化问题的结构形式，突出问题的本质特征，实现化繁的目的.
读一题，练3题，练就解题高手
1-1．解方程组⎩⎨⎧=+=+,200020012002,200220032004y x y x 并猜测关于x ，y 的方程组)()1()2,)1()2(b a b
y b x b a y a x a ≠⎩⎨⎧=+++=+++（的解是什么？并利用方程组的解加以验证．
1-2．解下列方程组：
⎩
⎨⎧=+=++;22,4)2(2)1(y x y x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-+-.1522235,10523234)2(y
x y x y x y x l-3．已知⎩⎨⎧=++=++,
20.4104,15.373z y x z y x 求x+y+z 的值．
题2 k,b 为何值时，方程组⎩⎨⎧+-=+=②①,2)13(,x k y b kx y （1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解。

关于x ，y 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111,c y b x a c y b x a 的解的讨论，还可以按以下规律进行：
(1)若,2
121b b a a =/则方程组有唯一一组解； (2)若,2
12121c c b b a a ==则方程组有无数组解； (3)若,212121c c b b a a
=/=则方程组无解． 解 ①一②，得(2k-l)x=b-2. ③
(1)当,012=/-k 即2
1=
/k 时，方程③有唯一解． (2)当012=-k 且,2=/b 即2
1=k 且2=/b 时，方程③无解，从而原方程组也无解． (3)当012=-k 且,02=-b 即21=k 且2=b 时，方程③有无数个解，从而原方组程也有无数组解． 二元一次方程方程组的解的讨论，可将方程组消元，转化为一元一次方程解的讨论．
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2-1.当a ，c 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+②
①,2,7c y ax y x
(1)有唯一解；(2)无穷多组解；(3)无解．
2-2．解关于x ，y 的方程组⎩⎨
⎧=-=++②①.
148,0144x y ky x 2-3．当a ，b 为何值时，关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧=+=+87,46y cx by ax 无解，其中，46=+by ax 的一个解 为87,3,2=+⎩⎨⎧==y cx y x 的一个解为⎩⎨⎧==.
1,1y x 再将⎩⎨⎧-==,10,8y x ⎩⎨⎧-==13,12y x 代入有：⎩⎨⎧-=--=-,161312,16108b a b a 解得⎩
⎨⎧==.4,3b a
题3 如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个形状、大小完全一样的矩形，则矩形ABCD 的面积是 。

7个小矩形只有两个不同的量，即长和宽，正是由这两个量构成了周长为68的大矩形，可考 虑以小矩形的两边设未知数构成方程组．
解 矩形ABCD 的周长为68，
故AB+AD= 34，
设7个形状、大小完全一样的矩形长边为x ，短边为y ，则有⎩⎨⎧=++=.345,52y y x y x 解得⎩
⎨⎧==.4,10y x 于是x y x BC AB s ABCD 2)(⋅+=⋅=矩形
.2802014=⨯=
运用数形结合思想、方程的思想可以解答很多类似的问题，
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3-1．甲、乙两人解方程组⎩⎨⎧-=-=+②
①.24,155by x y ax 由于甲看错了方程①中的a ，而得方程组的解为⎩⎨⎧-=-=;1,3y x
乙看错了方程②中的b ，而得到的解为⎩
⎨
⎧==.4,5y x 假如按正确的a ，b 计算，求出原方程组的解. 题4 （希望杯）m 为正整数，已知二元一次方程组⎩⎨
⎧=-=+②①023,102y x y mx 有整数解，且x ，y 均为整数，求
2rn 的值。

此题中方程组有整数解意味着x ，y 均为整数，转化为方程去解题时，不是仅仅z 为整数，同时也必须检查y 值的情形，
先运用加减消元法消去y ，转化为关于x 的一元一次方程，再根据，m 为正整数，x ，y 为整数，确定m 的值．
解 由①+②，得,10)3(=+x m 故⋅+=
310m x 将310+=m x 代入②，得⋅+=3
15m y 要使3
10+m 为整数，且m 为正整数，所以2=m 或;7=m 要使3
15+m 为整数，且m 为正整数，所以2=m 或,12=m 故m=2，所以.42
=m
对于有些方程组中对解的限制条件，应根据实际情况进行详细分析，
因为x ，y∈N，所以要利用m+3 ｜10，以及m+3｜ 15来解此类形的题目， 读一题，练3题，冲刺奥数金牌
4-1．已知m 是整数，方程组 ⎩
⎨⎧=+=-266634my x y x 有整数解，求m 的值 4-2．方程组⎩⎨⎧=--=+-0
)12(,06y x m y mx 的解满足,0,0>>y x 求m 的取值范围．
4-3．已知关于x ，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2) y+5-2a-0，当a 取—个值时就得—个方程，而这些方
程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
题5 解方程组 ⎝
⎛=-=+)2(.3][][416.][2][3y x y x ①[a]为a 的整数部分。

把[x]，[y]看作未知数，解方程组，得方程组的解，再界定x ，y 的范围，
解 ②×2+①，得ll[x]=22.故[x]=2．
将[x]=2代入①，得[y]＝5．
故 原方程组的解为⎩
⎨⎧<≤<≤.65,32y x 对于一些特殊方程，可根据方程的特殊性，运用定义或整体换元思想，以及分类讨论等方法解决．
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5-1．解方程组：⎩
⎨⎧=+=+.2||||,1||y x y x 5-2．（第四届美国中学生数学邀请赛）已知,,,,.4321x x x x 5x 满足方程组：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++=++++.
962,482,242,122,625
432154321
543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 试确定5423x x +的值． 5-3．求满足∣m ∣+∣m-n ∣=l 的整数对(m ，n)有几个？
题6 （2006年第二届“华罗庚杯”香港中学邀请赛试题）已知方程组⎩
⎨⎧⋅-=+-=+22420,16y cx by ax 的解应为 ⎩⎨⎧-==10,8y x 小明解题时把C 抄错了。

因此得到的解是⎩⎨⎧-==,
13,12y x 则，222C b a ++的值为 把相应的解恰当地代入原方程组，先求出a ，b ，c 的值．
解 将⎩⎨⎧-==10,8y x 代入方程组⎩
⎨⎧-=+-=+22420,16y cx by ax 中，可得,2242008-=-c .3-=∴c
直接把⎩⎨⎧-==,10,8y x ⎩⎨⎧-==13,12y x 代入⎩⎨⎧-=--=-,161312,16108b a b a 解得⎩⎨⎧==.
4,3b a
.34222=++∴c b a
大胆将方程组的解代入方程组中进行求解，可起到柳岸花明的效果；
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6-1.（第7届“华罗庚杯”邀请赛试题）解方程组⎩⎨⎧=++++=+==+=+=+.
1999,1199919982119991998433221x x x x x x x x x x x x
6-2．（第7届“华杯赛”试题）下面的等式成立：
=21x x ,11101101100100994332======x x x x x x x x x x 求10110021,,,,x x x x 的值．
6-3．当m ＝-5,-4,-3,-1,O,3,23,124,1000时，从等式(2m+l)x+(2-3m)y+l-5m=0可以得到10个关于x 和
y 的二元一次方程．问这10个方程有没有公共解？如果有，求出这些公共解，
参考答案。