高考推理与证明真题汇编理科数学(解析版)

2012高考真题分类汇编：推理与证明

1.

【

2012

高

考

真

题

江

西

理

6

】

观

察

下

列

各

式

：

221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b +=

A ．28

B ．76

C ．123

D ．199 【答案】C

【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。

【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即

21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C.

2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝

7

3

.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B

【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可.

3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，

以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d

的一个近似公式d ≈

. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是

11.d ≈ B

．d C

．d D

．d ≈ 【答案】D

【解析】

346b 69()d ,===3.37532b 16

616157611

==3==3.14,==3.142857230021

d a V A a B D πππππππ?==???由，得设选项中常数为则；中代入得，

中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。

4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式

213122+

< 231151233++<，

4

74131211222<+++

……

照此规律，第五个．．．不等式为 .

【答案】6

11

6151413121122222

<+++++

. 【解析】通过观察易知第五个不等式为6

11

6151413121122222<+++++.

5.【2012高考真题湖南理16】设N =2n

（n ∈N *

，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为

1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，

并按原顺序依次放入对应的前

2N 和后2N 个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2

N

个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n-2时，

将P i 分成2i

段，每段2

i N 个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，

此时x 7位于P 2中的第4个位置.

（1）当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置；

（2）当N=2n

（n ≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2）4

3211n -?+

【解析】（1）当N=16时,

012345616P x x x x x x x =L ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16)L ,

113571524616P x x x x x x x x x =L L ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16)L L ,

2159133711152616P x x x x x x x x x x x =L ,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)L , x 7位于P 2中的第6个

位置,；

（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第4

32

11n -?+个位置.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 6.【2012高考真题湖北理13】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则 （Ⅰ）4位回文数有 个；

（Ⅱ）21()n n ++∈N 位回文数有 个． 【答案】90，n

109?

【解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有90109=?种。 答案：90

（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n 项每项有10种情况，所以个数为n

109?.

法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此

,则答案为n

109?.

7.【2012高考真题北京理20】（本小题共13分）

【答案】解：（1）由题意可知()1 1.2r A =，()2 1.2r A =-，()1 1.1c A =，()20.7c A =，()3 1.8c A =-

∴()0.7k A =

（2）先用反证法证明()1k A ≤：

若()1k A >

则()1|||1|11c A a a =+=+>，∴0a > 同理可知0b >，∴0a b +> 由题目所有数和为0 即1a b c ++=- ∴11c a b =---<- 与题目条件矛盾 ∴()1k A ≤．

易知当0a b ==时，()1k A =存在 ∴()k A 的最大值为1 （3）()k A 的最大值为

21

2t t ++. 首先构造满足21

()2

t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+：

1,11,21,1,11,21,211

...1, (2)

t t t t t a a a a a a t +++-========-

+， 22,12,2

2,2,12,22,211

...,...1(2)

t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+.

经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且

1221

|()||()|2

t r A r A t +==

+， 2121121

|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++，

1221121

|()||()|...|()|122

t t t t t c A c A c A t t +++-+====+

=

++. 下面证明

21

2t t ++是最大值. 若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21

()2

t k A x t +=>

+. 由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中. 由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -.

设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则,1g t h t ≤≥+. 另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负.

考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）. 因此

()11|()|()1(1)(1)21(1)21(2)r A r A t t x t t x x t t x x =≤?++-=+-+=++-+<，

故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾. 因此()k A 的最大值为2

1

2++t t 。 8.【2012高考真题湖北理】（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<. 求()f x 的

最小值；

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：

设120,0a a ≥≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b b a a a b a b ≤+； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=.

【答案】（Ⅰ）11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-，令()0f x '=，解得1x =.

当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)内是减函数； 当 1x > 时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞内是增函数.

故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)r x rx r ≤+- ①

若1a ，2a 中有一个为0，则12121122b b a a a b a b ≤+成立； 若1a ，2a 均不为0，又121b b +=，可得211b b =-，于是 在①中令12a x a =

，1r b =，可得1111122

()(1)b a a

b b a a ≤?+-， 即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-，亦即12121122b b a a a b a b ≤+.

综上，对120,0a a ≥≥，1b ，2b 为正有理数且121b b +=，总有12121122b b a a a b a b ≤+. ②

（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：

设12,,,n a a a L 为非负实数，12,,,n b b b L 为正有理数.

若121n b b b +++=L ，则12

12

1122n b b b n n n a a a a b a b a b ≤+++L L . ③ 用数学归纳法证明如下：

（1）当1n =时，11b =，有11a a ≤，③成立.

（2）假设当n k =时，③成立，即若12,,,k a a a L 为非负实数，12,,,k b b b L 为正有理数，

且121k b b b +++=L ，则12

12

1122k b b b k k k a a a a b a b a b ≤+++L L . 当1n k =+时，已知121,,,,k k a a a a +L 为非负实数，121,,,,k k b b b b +L 为正有理数， 且1211k k b b b b +++++=L ，此时101k b +<<，即110k b +->，于是

111212

121121()k k k k b b b b b b b b k k k k a a a a a a a a ++++=L L =1

21111111111

2

1()

k

k k k k k b b b b b b b b k

k a

a

a

a +++++----+L .

因

12

111

1111k k k k b b b b b b ++++++=---L ，由归纳假设可得

12

1111111

2

k k k k b b b b b b k

a

a

a

+++---≤L 12

12111

111k k k k k b b b a a a b b b +++?

+?++?

---L 112211k k k a b a b a b b ++++=-L ， 从而112

12

1k k b b b b k k a a a a ++≤L 1

1

11122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++??

+++ ?

-??

L .

又因11(1)1k k b b ++-+=，由②得

1

1

11122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++??+++ ?

-??

L 11221111

(1)1k k

k k k k a b a b a b b a b b +++++++≤

?-+-L

112211k k k k a b a b a b a b ++=++++L ，

从而112

12

1k k b b b b k k a a a a ++L 112211k k k k a b a b a b a b ++≤++++L . 故当1n k =+时，③成立.

由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立.

说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对2n ≥成立，则后续证明中不需讨论1n =的情况. 9.【2012高考真题福建理17】（本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数. （1）sin 2

13°+cos 2

17°-sin13°cos17° （2）sin 2

15°+cos 2

15°-sin15°cos15° （3）sin 2

18°+cos 2

12°-sin18°cos12°

（4）sin 2

（-18°）+cos 2

48°- sin 2

（-18°）cos 2

48° （5）sin 2

（-25°）+cos 2

55°- sin 2

（-25°）cos 2

55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论. 【答案】