大学物理课本答案习题 第十三章习题解答

习题十三

13-1 如题图13-1所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长直导线平行，到两长直导线的距离分别为1r ，

2r 。已知两导线中电流都为0sin I I t ω=，其中I 0和ω为常数，t 为

时间。导线框长为a ，宽为b ，求导线框中的感应电动势。 解：无限长直电流激发的磁感应强度为02I

B r

μ=

π。取坐标Ox 垂直于

直导线，坐标原点取在矩形导线框的左边框上，坐标正方向为水平向右。取回路的绕行正方向为顺时针。由场强的叠加原理可得x 处的磁感应强度大小

00122()

2()

I

I

B r x r x μμ=

+

π+π+

方向垂直纸面向里。

通过微分面积d d S a x =的磁通量为

00m 12d d d d 2()2()I I B S B S a x r x r x μμΦππ??

=?==+??++??

通过矩形线圈的磁通量为

00m 01

2d 2()2()b I I a x r x r x μμΦ??=+??π+π+???012012ln ln sin 2a r b r b I t r r μω??

++=+ ?π?? 感生电动势

0m 12012d ln ln cos d 2i a r b r b I t t r r μωΦεω??

++=-

=-+ ?π?? 012012()()ln cos 2a

r b r b I t r r μωω??

++=-

??π??

0i ε>时，回路中感应电动势的实际方向为顺时针；0i ε<时，回路中感应电动势的实际方向

为逆时针。

13-2 如题图13-2所示，有一半径为r =10cm 的多匝圆形线圈，匝数N =100，置于均匀磁场B 中（B =0.5T ）。圆形线圈可绕通过圆心的轴O 1O 2转动，转速1

600r min n -=?

。求圆线圈自图示的初始位置转过

题图13-1

题图

13-2

解图13-1

/2π时，

(1) 线圈中的瞬时电流值（线圈的电阻为R =100Ω，不计自感）； (2) 圆心处磁感应强度。

解：(1) 圆形线圈转动的角速度12=

20(rad s )60

n

πωπ-=?。设0t =时圆形线圈处在图示位置，取顺时针方向为回路绕行的正方向。则t 时刻通过该回路的全磁通 2

cos cos NB S NBS t NB r t ψωπω=?== 感应电动势

2d sin d i NB r t t

ψ

επωω=-= 感应电流

2

s i n i

i N B r t I R R

επωω== 将圆线圈自图示的初始位置转过/2π时，2

t π

ω=

，代入已知数值得

0.99A i I =

(2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度的大小为

40 6.2210T 2i

i I B N

r

μ-==?

i B 的方向与均匀外磁场B 的方向垂直。

13-3 均匀磁场B 被限制在半径R =10cm 的无限长圆柱形空间内，方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路ABCD ，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如题图13-3所示。设磁场以

1d 1T s d B t -=?的匀速率增加，已知6cm OA OB ==，3

π

θ=，求等腰梯形回路ABCD 感生电动势的大小和方向。

解：设顺时针方向为等腰梯形回路绕行的正方向.则t 时刻通过该回路的磁通量

m B S BS Φ=?=，其中S 为等腰梯形ABCD 中存在磁场部分的面积，其值为

2211

()sin 22

S R oa θθ=

- 感应电动势

m d d d d i B S t t Φε=-

=-2211d ()sin 22d B

R oa t θθ??=--????

代入已知数值得

题图13-3

3

3.6810V i ε-=-?

“–”说明，感应电动势的实际方向为逆时针，即沿ADCBA 绕向。用楞次定律也可直接判断感应电动势的方向为逆时针绕向。

13-4 如题图13-4所示，有一根长直导线，载有直流电流I ，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度v 沿垂直于导线的方向离开导线.设t =0时，线圈位于图示位置,求： (1) 在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量m Φ； (2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势i ε。

解：(1) 设线圈回路的绕行方向为顺时针。由于载流长直导线激发磁场为非均匀分布

02I

B x

μπ=

因此，必须由积分求得t 时刻通过回路的磁通量。取坐标Ox 垂直于直导线，坐标原点取在直导线的位置，坐标正方向为水平向右，则在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量为

00m d d ln

22b t

S

a t

I Il b t

B S l x x a t

μμΦππ+++=?==+??

v v v v （2）在图示位置时矩形圈中的感应电动势

0m

()

d d 2i t Il b a t

ab

μΦεπ=-=-

=

v

感应电动势的方向沿顺时针绕向。

13-5 如题图13-5所示为水平面内的两条平行长直裸导线LM 与L M '',其间距离为l ,其左端与电动势为0ε的电源连接.匀强磁场B 垂直于图面向里，一段直裸导线AB 横嵌在平行导线间（并

可保持在导线上做无摩擦地滑动）并使电路接通，由于磁场力的作用，AB 从静止开始向右运动起来。求：

(1) AB 达到的最大速度;

(2) AB 到最大速度时通过电源的电流I 。 解：（1）电路接通，由于磁场力的作用, AB 从静止开始向右运动起来。设AB 运动的速度为

v ,则此时直导线AB 所产生的动生电动势i Bl ε=v ，方向由b 指向a .由全电路欧姆定理可得

此时电路中的电流为

0Bl i R

ε-=

v

AB 达到的最大速度时，直导线AB 不受到磁场力的作用，此时0i =。所以AB 达到的最大

速度为

题图

13-4

题图13-5

max Bl

ε=

v

（2）AB 达到的最大速度时，直导线AB 不受到磁场力的作用，此时通过电路的电流i =0。所以通过电源的电流也等于零。

13-6 如题图13-6所示，一根长为L 的金属细杆AB 绕竖直轴O 1O 2以角速度ω在水平面内旋转，O 1O 2在离细杆A 端L /5处。若已知均匀磁场B 平行于O 1O 2轴。求AB 两端间的电势差A B U U -. 解：设金属细杆AB 与竖直轴O 1O 2交于点O ,将AB 两端间的动生电动势看成AO 与OB 两段动生电动势的串联。取OB 方向为导线的

正方向，在铜棒上取极小的一段微元d l ，方向为OB 方向。微元运

动的速度大小为l ω=v 。由于,,d B l v 互相垂直。所以d l 两端的动生电动势为

d ()d d d i B l B l B l l εω=??=-=-v v

OB 的动生电动势为

2

4250

1416d d 2550L OB i AB

L Bl l B B L εεωωω??

==-=-=- ???

??

动生电动势OB ε的方向由B 指向O 。同理OA 的动生电动势为

2

250

11d d 2550L

OA i BA

L Bl l B B L εεωωω??

==-=-=- ???

??

动生电动势OA ε的方向由A 指向O 。所以AB 两端间的的动生电动势为

23

10

AB AO OB OA OB B L εεεεεω=+=-+=-

动生电动势AB ε的方向由A 指向了B ；A 端带负电，B 端带正电。 AB 两端间的电势差

23

10

A B AB U U B L εω-==- B 端电势高于A 端。

13-7如题图13-7 所示 载有电流I 的长直导线附近，放一半圆环MeN 的导线与长直导线共面，其端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度 v 平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN 两端的电势差M N U ．

题图

13-6

解：动生电动势

()d MN MN

B l ε=

??

?

v

闭合回路总电动势

0MeN NM εεε=+=总

M e N N M M εεε=-=

0()d d 2a b

MN MN

a b

I

B l x x

με+-=

??=

-π?

?

v v

0ln

2I a b

a b

μ+=-

π

-v

负号表示MN ε的方向与x 轴相反． 0ln

2MeN I a b

a b

με+=-

π

-v

方向N →M ，半圆环的两端电势差为 0ln

2M N MN I a b

U U a b

με+-=-=π

-v

13-8 如题图13-8 所示，无限长直导线，通以电流I ．有一与之共面的直角三角形线圈ABC ．已知AC 边长为b ，且与长直导

线平行，BC 边长为a ．若线圈以垂直于导线方向的速度v

向右平移，当B 点与长直导线的距离为d 时，求此时线圈ABC 内的感应电动势的大小和感应电动势的方向．

解：建立坐标系，长直导线为y 轴，BC 边为x 轴，原点在长直导线上，则斜边的方程为

a br a bx y /)/(-= 式中r 是t 时刻B 点与长直导线的距离．三角形中磁通量为

00m d ()d 22a r a r r

r

I I y

b br

x x

x a ax μμΦ++=

=-π

π?

?)ln (20r

r a a br b I +-π=μ 感应电动势为

0m d d (l n )d 2d Ib a r a r

t a r a r t

μΦε+=-=-π+ 当r =d 时，感应电动势为

0(l n )2Ib

a d a a d a d

με+=

-+πv 方向：ACBA (即顺时针)

13-9 两相互平行无限长的直导线载有大小相等、方向相反的电流，长度为b 的金属杆CD 与两导线共面且垂直，相对位置如

题图13-9所示．CD 杆以速度v

平行于长直导线运动，求CD 杆中的感应电动势大小，并判断C 、D 两端哪端电势较高？

解：建立坐标(如图)则：

21B B B

+=

题图

13-8

题图13-9