2018年广东省高考理科数学第一次模拟考试试题与答案

2018年广东省高考理科数学 第一次模拟考试试题与答案

（ 满分150分，时长120分钟）

说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，将答案写在答题纸上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的

1. 若集合{}{1,2},2,3M N ==，则集合M N U 真子集的个数是

A. 7

B. 8

C. 15

D. 16 2. 在复平面内，复数

21i

i

-+（i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 3. 下列说法中不．正确．．

的个数是 ①“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件； ②命题“,cos 1x R x ?∈≤”的否定是“00,cos 1x R x ?∈≥”； ③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真． A. 3 B. 2 C. 1 D. 5 4. 如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线

画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．4 B ．2 C ．

43 D ．2

3

5．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且

20162015

120162015

S S =+，则数列{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．2015 D ．2016 6. 设,6.0log ,4.0log ,2.0log 3.02.01.0===c b a 则

A. a>c>b

B. a>b>c

C.b>c>a

D.c>b>a 7. 执行如图所示程序框图,则输出的S =

A.-2012

B. 2012

C. -2013

D. 2013

8. 若实数x 、y 满足??

?

??+-≥≥≥-b x y x y y x 02且y x z +=2的最小值为4,则实数b 的值为

A. 1

B. 2

C.3

D. 2

5 9. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是

A.()2x f x =

B.()sin f x x x =

C. 1

()f x x

=

D.x x x f -=)( 10. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则

sin(2)3

π

θ+=

A ．343--

B ．433--

C ．343-

D ．433

- 11. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则

这样的“吉祥数”一共有

A ．28个

B ．21个

C ．35个

D ．56个

12. 已知函数2,0,

()4

,0

x a x f x x x x ?+≤?

=?+>??

有最小值，则实数a 的取值范围是 A ．(4,)+∞ B ．(,4]-∞ C ．[4,)+∞ D ．(,4)-∞

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 共20分。请将正确答案填写在横线上。 13. 各项均为正数的等差数列}{n a 中，5836a a ?=，则前12项和12S 的最小值为 。

14．一船以每小时15km 的速度向东航行

,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60o ，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15o

，这时船与灯塔的距离 为 km 。

15. 在ABC ?中，为BC 边上的一点，.4

3,2,3π

=

∠==ADB AD BD BC 若,2AB AC =则BD=________。

16. 对于数列{}n a ，定义n

a a a Hn n

n 12122-+++=Λ为{}n a 的“优值”.现在已知某数列

{}n a 的“优值”12+=n Hn ，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的正整数n

恒成立，则实数k 的取值范围是 。

三、解答题：本大题共7小题，共70分。17-21为必做题，22-23为选做题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）

设数列{n a }的前n 项和为n S ，且12n n S a =-+. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；

（Ⅱ）若21log n n b a +=，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求12111n

T T T +++L . 18.（本小题满分12分）

已知矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，现沿对角线BD 折成二面角C BD A --，使1AC =

（I ）求证：DA ⊥面ABC （II ）求二面角B CD A --的大小。

19. （本小题满分12分）

某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在)2010[，，)30,20[，)4030[，

，)5040[，，)6050[，的市民进行问卷调查，由此得到样本占有

率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在)4030[，的人数；

（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求)6050[，年龄段抽取样品的人数；

（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在

)6050[，年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.

20.（本小题满分12分）

已知动圆P 与圆()2

21:381F x y ++=相切，且与圆()2

22:31F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作

OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点．

（Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）试探究MN 和2

OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（Ⅲ）记2QF M ?的面积为1S ，2OF N ?的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值． 21. （本小题满分12分）

函数()()

()()2

,x f x x a x b e a b R =-+∈.

（Ⅰ）当0,3a b ==-时，求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若x a =是()f x 极大值点. （ⅰ）当0a =时，求b 的取值范围；

（ⅱ）当a 为定值时，设123,,x x x 是()f x 的3个极值点.问：是否存在实数b ，可找到实数4x 使得1234,,,x x x x 的某种排列成等差数列？若存在，求出所有的b 的值及相应的

4x ；若不存在，说明理由.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?????x ＝3＋1

2t ，

y ＝3

2t

(t 为参数).以原点为极点，

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.

(1)写出⊙C 的直角坐标方程；

(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ＋，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1)求m 的值．

(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋1

3c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9

参考答案：

一、1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.C 二、13. 72；14. 230; 15． 2+5; 16. 167

[,]73

三、

17. 解：（Ⅰ）由已知，有12n n S a =-+ ①，

当1n =时，1112a a =-+，即11a =. （1分） 当2n ≥时，1112n n S a --=-+ ②，

①-②得1122n n n n n a S S a a --=-=- ，即()122n n a a n -=≥. （3分）

所以{}n a 是2为公比，1为首项的等比数列，即1

2n n a -=. （5分） （Ⅱ）由（Ⅰ），得21log ln 2n

n n b a n +===， （6分）

所以(1)

122

n n n T n +=+++=L . （8分） 所以

12111n T T T +++L ()2222122334

1n n =++++???+L （9分）

=111111*********n n ?

?-+-+-++- ?+??L （10分） =1211n ??

- ?+?

?

（11分） =

21

n

n + （12分） 18. 解：（1）由已知090=∠DAB ，又1AC =，2,1=

=DC DA ，

则有222DA AC DC +=，则AC DA ⊥，又A AC AB =?，则有DA ⊥面ABC

（2）由（I ）DA ⊥面ABC ，则ABD CAB 平面平面⊥，又BC AC =，090=∠DAB ，取

DB AB ,的中点N O ,，则直线OA ON OC ,,两两垂直，建立如图所示的直角坐标系，

则有)0,22,

0(A ，)0,22,1(D )22,0,0(C ，，)0,2

2

,0(-B ，则)22,22,1(=DC ，)0,0,1(=AD ，)0,2,1(=BD ，则求得ACD 平面的法向量)1,1,0(1=n ，

BCD 平面的法向量)1,1,

2(1-=n ，又021=?n n ， 则ACD 平面与BCD 平面垂直。即二面角B CD A --的大小为

2π

19. 解 ：（I ）由图知，随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的频率为 1-10?(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3，

即随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的人数为100?0.3=30人． ………3分

（II ）由（I ）知，年龄段在)5040[，，)6050[，的人数分别为100?0.15=15人，100?0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，

∴ 在)6050[，年龄段抽取的人数为10?

25

5

=2人． ……………………6分 （III ）由已知X =0，1，2，

P (X =0)=103252

3

=C C ，P (X =1)=53251312=C C C ，P (X =2) =101

25

22=C C ， ∴ X 的分布列为

∴ EX =0×

10+1×5

+2×10=5． ………………………………12分

20.

（II ）设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，

则直线:3MN x my =+，

由221167x my x y

=???+

=??可得：222

22112716112716m x m y m ?=??+??=?+?，∴2

232232112716112716m

x m y m ?=??+??=?+?

， ∴()222

2233222

1121112112716716716

m m OQ x y m m m +=+=+=+++ 由223

1167x my x y =+???+

=??可得：()2271642490m y my ++-=，∴

121

224249

,716716

m y y y y m m +=-

=-++， ∴

()()

()()()2

22

2

22121212121331MN x x y y my my y y m y =

-+-=+-++-=+-????

()

()22

2

2

2

1212222

56142491

414716716716m m m y y y y m m m m +????=++-=+---= ? ?+++????

．

∴() ()

2

2

22

2

561

1

716

2

1121

716

m

MN m

m

OQ

m

+

+

==

+

+

∴MN和2

OQ的比值为一个常数，这个常数为

1

2

．

21.解：（Ⅰ）当0,3

a b

==-时，()()()

232

33

x x

f x x x e x x e

=-=-，

()()()

232

363

x x

f x x x e e x x

'=-+-()(

3666

x x

e x x xe x x

=-=+

当(,6

x∈-∞-时，()

f x

'<0，()

f x单调递减；

当()

6,0

x∈-时，()0

f x

'>，()

f x单调递增；

当(6

x∈时，()

f x

'<0，()

f x单调递减；

当)

6,

x∈+∞时，()0

f x

'>，()

f x单调递增.

故函数()

f x的单调递增区间为())

6,0,6,

-+∞，单调递减区间为((

,6,6

-∞-. （Ⅱ）（ⅰ）当0

a=时，()()

2x

f x x x b e

=+，

()()()

2

2x x x

f x x x b e x e e x b

'??

=++++

??

()

232

x

xe x b x b

??

=+++

??，

令()()

232

g x x b x b

=+++，

()()

22

38180

b b b

?=+-=-+>, 故()0

g x=有两根,αβ，不妨设αβ

<，

当α与β有一个为零时，0x a ==不是()f x 的极值点，故α与β均不为0； 当0αβ<<或0βα>>时，0x a ==是函数()f x 的极小极点，不合题意； 当0αβ<0,>时，0x a ==是函数()f x 的极大值. ∴αβ<0，即b 2<0，∴b <0.∴b 的取值范围为(,0)-∞.

（ⅱ）()()()2

32x f x e x a x a b x b ab a '??=-+-++--??，令

()()2132g x x a b x b ab a =+-++--， ()()2

342a b b ab a ?=-+---

222229a b ab a b =++--+

()()[]2

2

218180a b a b a b =+-+++=+-+>，

因此，()10g x =有两根1

2,x x ''， 不妨设1

2x x ''<，又因为x a =为极大值点， 所以()f x 的三个极值点分别为1

2x a x '',,，且12x a x ''<<， 则12,,x a x ''是123,,x x x 的一个排列， 其中()

()

2

2

12

318

318a b a b a b a b x x ---

+-+--+

+-+''

①若12,,x a x ''或21,,x a x ''成等差数列即12x x a ''+=2，即3a a b 2=--也即3b a =--时有：1

42x a x '=+或 2

42x a x '=+，所以()

(

2

41231826x x a a b a b a a '=-=--+-+-=-

或()

(

2

42

231826x x a a b a b a a '=-=--++-+-=+；

②若1

2,,x a x ''不成等差数列，则需：()212x a a x ''-=-或()122a x x a ''-=-， 当()2

12x a a x ''-=-时，2

42

a x x '+=，于是()1233322a

b a x x --?''=+=，

()33a b ?=-++，故3a b ++<0时，()()2

191170a b a b +-++-+=，