数学分析2期末考试题库

数学分析2期末试题库 《数学分析II 》考试试题（1）
一、叙述题：（每小题6分，共18分）
1、 牛顿-莱不尼兹公式
2、
∑∞
=1
n n
a
收敛的cauchy 收敛原理
3、 全微分 二、计算题：（每小题8分，共32分）
1、4
20
2
sin lim
x dt t x x ⎰
→
2、求由曲线2
x y =和2
y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。

3、求∑∞
=+1
)1(n n
n n x 的收敛半径和收敛域，并求和
4、已知z
y x u = ，求y
x u
∂∂∂2
三、（每小题10分，共30分）
1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数
2、讨论反常积分
⎰
+∞
--0
1dx e x x p 的敛散性
3、讨论函数列),(1)(2
2+∞-∞∈+
=
x n x x S n 的一致收敛性
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、设)2,1(1
1,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞
=1
n n x 发散 2、证明函数⎪⎩
⎪
⎨⎧
=+≠++=0
00),(22222
2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，
但它在该点不可微。

，
一、叙述题：(每小题5分，共10分）
1、 叙述反常积分
a dx x f b
a
,)(⎰
为奇点收敛的cauchy 收敛原理
2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21
2111(
lim n
n n n +++++∞
→ 2、求摆线]2,0[)cos 1()
sin (π∈⎩
⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积
3、求⎰∞+∞-++dx x x
cpv 211)
(
4、求幂级数∑∞
=-12
)1(n n
n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y
x
xy f u =， 求y x u ∂∂∂2
三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）
1、y
x y x y x f +-=2
),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？
为什么？
2、讨论反常积分
⎰
∞
+0
arctan dx x x
p
的敛散性。

3、讨论∑∞
=-+1
33))1(2(n n
n
n n 的敛散性。

四、证明题：（每小题10分，共20分）
1、 设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>⎰
b
a
dx x f
2、 设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu
五、叙述题：（每小题5分，共15分） 1、定积分 2、连通集
3、函数项级数的一致连续性 六、计算题：（每小题7分，共35分） 1、
⎰e
dx x 1
)sin(ln
2、求三叶玫瑰线],0[3sin πθθ∈=a r 围成的面积
3、求5
2cos
12π
n n n x n +=
的上下极限 4、求幂级数∑∞
=+1
2)1(n n
n
x 的和 5、),(y x f u =为可微函数， 求22)()(
y
u
x u ∂∂+∂∂在极坐标下的表达式 七、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）
1、已知⎪⎩
⎪
⎨⎧==≠≠+=0
000,01cos 1sin )(),(2
2y x y x y
x y x y x f 或，求
),(lim )
0,0(),(y x f y x →，问
),(lim lim ),,(lim lim 0
00
0y x f y x f x y y x →→→→是否存在？为什么？
2、讨论反常积分
⎰
∞
++0
1
dx x x q
p 的敛散性。

3、讨论]1,0[1)(∈++=
x x
n nx x f n 的一致收敛性。

八、证明题：（每小题10分，共20分）
1、 设f （x ）在[a ,+∞）上单调增加的连续函数，0)0(=f ，记它的反函数f --1
（y ），
证明
)0,0()()(0
10
>>≥+⎰⎰
-b a ab
dy y f dx x f b
a
2、 设正项级数∑∞
=1
n n
x
收敛，证明级数
∑∞
=1
2
n n
x
也收敛
《数学分析》（二）测试题（4）
一． 判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：
1．闭区间[]b a ,的全体聚点的集合是[]b a ,本身。

2．函数 (
)
1ln 2-+
x x 是
1
12
-x 在区间()∞+,1内的原函数。

3．若()x f 在[]b a ,上有界，则()x f 在[]b a ,上必可积。

4．若()x f 为连续的偶函数，则 ()()dt t f x F x
⎰=
亦为偶函数。

5．正项级数 ()∑
∞
=+1
!
110n n
n 是收敛的。

二．填空题（每小题3分，共15分）：
1．数列 ()
⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
+-131n n n
的上极限为 ，下极限为 。

2．
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛++++++∞→2222222211
lim n n n n n n 。

3．=⎰x t
dt e dx d tan 0。

4．幂级数
∑
∞
=⋅1
3
n n
n
n x 的收敛半径=R 。

5．将函数 ()()ππ<<-=x x
x f 展开成傅里叶级数，则 =0a ，
=n a ， =n b 。

三．计算题（每小题7分，共28分）：
1．⎰+-x
x e e dx ； 2．⎰e dx x x 0ln ；
3．
dx x
x
⎰
∞
++0
41； 4．⎰-211
x xdx
四．解答题（每小题10分，共30分）：
1．求由抛物线 x y 22
= 与直线 4-=x y 所围图形的面积。

2．判断级数
()
∑∞
=-1
1
tan
1n n
n
是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 3．确定幂级数 ∑
∞
=--1
1
21
2n n n x 的收敛域，并求其和函数。

五．证明题（12分）：
证明：函数 ()∑
∞
==
1
4
sin n n
nx
x f 在()∞+∞-,上有连续的二阶导函数，并求()x f ''。

《数学分析》（二）测试题（5）
二． 判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：
1．设a 为点集E 的聚点，则E a ∈。

2．函数 (
)
1ln 2++
x x 是
1
12
+x 在()∞+∞-,内的原函数。

3．有界是函数可积的必要条件。

4．若()x f 为连续的奇函数，则 ()()dt t f x F x
⎰=
亦为奇函数。

5．正项级数 ∑
∞
=1
2
2
n n n 是收敛的。

二．填空题（每小题3分，共15分）：
1．数列 (){
}n
12-+ 的上极限为 ，下极限为 。

2．
=⎪⎭
⎫
⎝⎛++++++∞→2222
221lim n n n n n n
n n 。

3．
=⎰x t
dt e dx
d sin 0 。

4．幂级数
∑
∞
=+1
2
1
4n n n
x n 的收敛半径=R 。

5．将函数 ()()ππ<<-=x x
x f 展开成傅里叶级数，则 =0a ，
=n a ， =n b 。

三．计算题（每小题7分，共28分）：
1．dx x x ⎰+2
3
9； 2．⎰10dx e x
；
3．⎰
∞+-+2
22
x x dx
； 4．⎰-1021x xdx。