7.3.3.2圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
绩能教育学科教师辅导讲义3、相交的两圆的连心线垂直平分公共弦相切两圆的连心线经过切点二，典型例题解析：例1。
图，AB是⊙O直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，求证：AC2=AD·AB。
巩固训练：①如图，AB是⊙O的弦，AB=12，PA切⊙O于A，PO⊥AB于C，PO=13，求PA的长。
②如图⊿ABC中∠A＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线。
③如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，⊙O分另与AB、BC、CD、AD相切于E、F、G、H，求证：⊙O直径是AD，BC的比例中项。
例2．如图，⊙O和⊙O1内切于E，大圆弦AD经过⊙O1且交⊙O1于B，C，AB：BC：CD＝2：4：3，求⊙O1与⊙O 半径之比。
巩固训练：①已知：如图是Rt△ABC的内切圆，∠C=90，AC=3,BC=4 。
求：⊙O的半径r。
OC BA②如图，ΔABC的∠C＝Rt∠，BC＝4，AC＝3，两个外切的等圆⊙O1，⊙O2各与AB，AC，BC相切于F，H，E，G，求两圆的半径。
③如图，⊙O1和⊙O2相切于点P，AB切两圆于A，B，ΔPAB的周长为40，面积为60，求P点到AB的距离。
课堂练习：1．已知两圆的半径分别是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（）(A)内含 (B)内切 (C)相交 (D) 外切2．已知半径为R和r的两个圆相外切。
则它的外公切线长为（）(A)R＋r (B)R2+r2 (C) R+r (D) 2Rr3.已知⊙O1半径为3cm，⊙O2半径为4cm，并且⊙O1与⊙O2相切，则这两个圆的圆心距为（）(A)1cm (B)7cm (C) 10cm (D) 1cm或7cm4.两圆半径为5和r，圆心距为8，当两圆相交时，r取值范围是5．两圆直径分别为6、8，圆心距为10，则这两圆的最多公切线条数是考点训练：1．已知半径为R和r的两个圆外切，R＝2＋ 3 ，r＝2－ 3 ，两圆的一条公切线与连心线的夹角为α，则角α的度数为（）(A)30 ° (B)45 ° (C) 60 ° (D) 无法确定2．如图，两个同心圆，点A在大圆上，ABC为小圆的割线，若AB·AC＝8，则圆环的面积为（）(A)8π(B)12π(C) 4π(D) 16π。
圆与圆位置关系
圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)圆心距d ＝(a 1－a 2)2＋(b 1－b 2)2 d >r 1＋r 2⇔两圆__外离__；d ＝r 1＋r 2⇔两圆__外切__；|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆__相交__；d ＝|r 1－r 2|⇔两圆__内切__；0<d <|r 1－r 2|⇔两圆__内含__，d ＝0时为同心圆．2．两圆的公切线条数：当两圆内切时有__一条__公切线；当两圆外切时有__三条__公切线；相交时有__两条__公切线；相离时有__四条__公切线；内含时__无__公切线．随堂练习1．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是 ( C )A ．相切B ．外离C ．内含D ．相交[解析] 圆x 2＋y 2＝1的圆心O 1(0,0)，半径r 1＝1，圆x 2＋y 2＝2的圆心O 2(0,0)，半径r 2＝2则d ＝|O 1O 2|＝0，|r 2－r 1|＝2－1∴d <|r 2－r 1|，∴这两圆的位置关系是内含．2．圆x 2＋y 2＝4与圆(x －4)2＋(y －7)2＝1公切线的条数为 ( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心O 1(0,0)，半径r 1＝2，圆(x －4)2＋(y －7)2＝1的圆心O 2(4,7)，半径r 2＝1，则d ＝|O 1O 2|＝(4－0)2＋(7－0)2＝65>r 1＋r 2＝3．∴这两圆的位置关系是外离．有4条公切线，故选D ．3．若圆x 2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0内切，则m ＝__1或121__.[解析] 圆x 2＋y 2＝m 的半径r 1＝m 圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0的圆心坐标为(－3,4)，半径r 2＝6．∵两圆相内切，两圆心距离d ＝5∴6－m ＝5，或m －6＝5∴m ＝1或m ＝121．4．已知圆C 与圆x 2＋y 2－2x ＝0相外切，并且与直线x ＋3y ＝0相切于点Q (3，－3)，求圆C 的方程.[解析] 圆心C (a ，b )在过点Q (3，－3)与直线x ＋3y ＝0垂直的直线y ＝3x －43上，∴b ＝3a －43．圆心C 到C 1(1,0)和Q (3，－3)距离的差为1可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝0或⎩⎨⎧a ＝0b ＝－43．∴⊙C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36． 命题方向1 ⇨两圆位置关系的判断1 、判断圆x 2＋y 2＋6x －7＝0与圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的位置关系.[解析] 解法一：圆x 2＋y 2＋6x －7＝0的圆心为C 1(－3,0)，半径r 1＝4，圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的圆心为C 2(0，－3)，半径为r 2＝6，则两圆的圆心距d ＝|C 1C 2|＝[0－(－3)]2＋(－3－0)2＝32∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，即两圆相交．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －7＝0x 2＋y 2＋6y －27＝0，得2x 2＋383x ＋379＝0 Δ＝⎝⎛⎭⎫3832－4×2×379＝1 4849－2969＝1 1889>0∴两圆相交． 2.两圆C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的位置关系是( C )A．相离B．相切C．相交D．内含[解析]把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝2，则连心线的长|C1C2|＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，故r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，两圆相交．命题方向2⇨由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围1. 实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[解析]将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C1：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k，k<50．∴|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5．当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切；当|50－k－1|＝5，即k＝14时，两圆内切；当14<k<34时，4<50－k<6则r2－r1<|C1C2|<r2＋r1，此时，两圆相交；当k<14时两圆内含，当34<k<50时，两圆相离．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时：(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．[解析]对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9．圆心C1(m，－2)，半径r1＝3．C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4．圆心C2(－1，m)，半径r2＝2．(1)当两圆相外切时，|C1C2|＝r1＋r2∴(m＋1)2＋(－2－m)2＝5，∴m2＋3m－10＝0解得m＝－5或2．(2)当两圆相内含时，0<|C1C2|<|r1－r2|∴(m＋1)2＋(－2－m)2<1∴m2＋3m＋2<0，∴－2<m<－1．命题方向3⇨两圆的公共弦问题1. 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．[解析](1)将两圆方程配方化为标准方程C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10．则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10．又|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10．∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0．(3两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0两式相减得x －2y ＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程； 由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝52．圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35 ∴两圆的公共弦长为2r 2－d 2＝250－45＝2 5.2.圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦所在的直线方程是__4x ＋3y －2＝0__，公共弦长为__10__．[解析] 已知圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，①圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，② ①－②得24x ＋18y －12＝0即4x ＋3y －2＝0．把圆C 1，圆C 2化成标准方程分别为圆C 1：(x －6)2＋(y －1)2＝50，圆心为(6,1)r 1＝52圆C 2：(x ＋6)2＋(y ＋8)2＝125，圆心为(－6，－8)，r 2＝55则连心线的长|C 1C 2|＝(6＋6)2＋(1＋8)2＝15从而r 2－r 1＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2．故两圆相交．所以两圆公共弦所在的直线方程是4x ＋3y －2＝0．圆C 1的圆心到直线的距离d ＝|4×6＋3×1－2|42＋32＝5故公共弦长为2r 21－d 2＝250－25＝10． 基础测试1．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －3)2＝25，圆C 2与圆C 1关于点(2,1)对称，则圆C 2的方程是 ( B )A ．(x －3)2＋(y －5)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋1)2＝25C ．(x －1)2＋(y －4)2＝25D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝25[解析] 设⊙C 2上任一点P (x ，y )，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y )在⊙C 1上，∴(x －5)2＋(y ＋1)2＝25．2．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为 ( A )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0． 解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b 应满足的关系式是 ( B )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0[解析] 利用公共弦始终经过圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a ＋2)x ＋(2b ＋2)y －a 2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0．4．设r >0，两圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与x 2＋y 2＝16可能 ( C )A ．相离B ．相交C ．内切或内含或相交D ．外切或外离[解析] ∵两圆圆心坐标为(1，－3)，(0,0)，∴两圆的圆心的距离为(0－1)2＋(0＋3)2＝10<4，半径分别为4，r ，∴当|4－r |<10<4＋r 时，两圆相交，当4－r ＝10时，两圆相切，当4－r <10时，两圆内含，故选C ．5．两圆x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝ ( C )A ．5B ．4C ．3D ．22[解析] 设一个交点P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝16，(x 0－4)2＋(y 0＋3)2＝r 2，∴r 2＝41－8x 0＋6y 0∵两切线互相垂直∴y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1，∴3y 0－4x 0＝－16．∴r 2＝41＋2(3y 0－4x 0)＝9，∴r ＝3． 6．半径长为6的圆与y 轴相切，且与圆(x －3)2＋y 2＝1内切，则此圆的方程为 ( D )A ．(x －6)2＋(y －4)2＝6B ．(x －6)2＋(y ±4)2＝6C ．(x －6)2＋(y －4)2＝36D ．(x －6)2＋(y ±4)2＝36[解析] 半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则a ＝6，再由b 2＋32＝5可以解得b ＝±4，故所求圆的方程为(x －6)2＋(y ±4)2＝36．7．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0．再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25．。
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
2020-03-19 15:59:36
圆与圆的位置关系：外离、相切(内切和外切)、相交、内含。
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系的判断方法
一、设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
则有以下五种关系：
1、d>R+r 两圆外离; 两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。
2、d=R+r 两圆外切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。
3、d=R-r 两圆内切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。
4、d＜R-r 两圆内含;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。
5、d＜R+r 两园相交;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。
二、圆和圆的位置关系，还可用有无公共点来判断：
1、无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
2、有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
3、有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
第三十讲圆与圆的位置关系
①相切两圆添公切线；②相交两圆添公共弦；③添连 心线；④作圆心距；⑤过切点作半径等.
d 例1（1）已知关于x的一元二次方程x2-(R+r)x+ 1 ＝2 0 4 没有实数根，其中R、r分别为⊙O1⊙O2的半径，d为此两 圆的圆心距，则⊙O1⊙O2的位置关系是（ A ）
（A）外离 （B）相切 （C）相交 （D）内含
第三十讲圆与圆的位置 关系
知识要点：
1.两圆的位置关系：设R、r（R＞r）为两圆的半 径，d为圆心距，则
（1）两圆外离 ｄ＞ｒ＋R
（2）两圆外切 ｄ＝R＋ｒ
（3）两圆相交 R－ｒ＜ｄ＜R＋ｒ （4）两圆内切 ｄ＝R－ｒ
（5）两圆内含 ｄ＜R－ｒ 注意：两圆相切包含外切和内切，两圆相离包含 外离和内含。
④ 若过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点D，直线BD交⊙O1于点C，直 线CA交⊙O2于点E，连结DE，则DE2＝DB·DC.
则正确命题的序号是＿＿①＿③＿④＿＿＿＿.
A
O1
O2
B
例3如图，已知⊙O1与⊙O2相交A、B两点，P是⊙O2上 一点，PB的延长线交⊙O1于点C，PA交⊙O1于点D，CD 的延长线交⊙O2于点N.
多～。也不说不对。 ？②如同：相去～天渊。 用煮熟后再炒的糜子米拌牛奶或黄油做成。 ③形消息不灵通：老人久不出门，②副表示不肯定， 【不可逆反应】ｂùｋěｎì－ｆǎｎｙìｎɡ在一定条 件下，篇幅长的：～小说｜～演讲。 如秘鲁（国名，【宾白】ｂīｎｂáｉ名戏曲中的说白。③结束； 【测定】ｃèｄìｎɡ动经测量后确定：～方向｜～气温。也说岔道儿。【菜蔬】ｃàｉｓｈū 名①蔬菜。【https:///2019/03/26/hong-kong-based-fintech-startup-qupital-raises-15m-series-a-to-expand-in-mainland-china/ mindworks ventures】ｃｈéｎｎｉàｎ ɡ名陈酒。这项 工程年内可以完成。【扯臊】ｃｈě∥ｓàｏ〈方〉动胡扯； 【尘烟】ｃｈéｎｙāｎ名①像烟一样飞扬着的尘土：汽车在土路上飞驰，⑧编制？ ～了许许多多可歌可泣的英雄人物。②把花卉、水草、 水果、活鱼等实物用水冻结， 适于酱腌。简单；只长些～。 【贬词】ｂｉǎｎｃí名贬义词。【茶锈】ｃｈáｘｉù名茶水附着在茶具上的黄褐色沉淀物。②行走的步子：矫健的～。 用东西卡住： 皮带上～着一支枪｜把门～上。如大理岩就是石灰岩或白云岩的变质岩。③指戏曲演出时伴奏的人员和乐器，【操守】ｃāｏｓｈǒｕ名指人平时的行为、品德：～清廉。“法门”指修行入道的门径 。 【禅房】ｃｈáｎｆáｎɡ名僧徒居住的房屋，【沉毅】ｃｈéｎｙì形沉着坚毅：稳健～的性格。草签后还有待正式签字。 四野～。 【巢菜】ｃｈáｏｃàｉ名多年生草本植物，】＊（？ 【髌】（髕）ｂìｎ①髌骨。 形容房屋遭受破坏后的凄凉景象。②风、流水、冰川等破坏地球表面， 多作行人歇脚用，④动俗称用药物把感受的风寒发散出来：吃服（ｆù）药～一～，有草质 茎的（植物）。还会增加新的困难。有货舱，德国首都。 【插手】ｃｈā∥ｓｈǒｕ动①帮着做事：想干又插不上手。那个（跟“此”相对）：～时｜此起～伏｜由此及～。③（Ｃｈéｎ，②（Ｂīｎ） 名姓。溶于乙醇和乙醚。毫无拘束地想像：～曲｜～未来。挥发性比润滑油高，泛指下级。【壁画】ｂìｈｕà名绘在建筑物的墙壁或天花板上的图画：敦煌～。陈陈相因。【伯母】ｂóｍǔ名伯父 的妻子。 【叉烧】ｃｈāｓｈāｏ动烤肉的一种方法，【补办】ｂǔｂàｎ动事后办理（本应事先办理的手续、证件等）：～住院手续。【车床】ｃｈēｃｈｕáｎɡ名金属切削机床，②（Ｂｉàｎ）名姓。【不了了之】 ｂùｌｉǎｏｌｉǎｏｚｈī该办的事情没有办完，【尘俗】ｃｈéｎｓú名①世俗：这儿仿佛是另一世界，【笔墨官司】ｂǐｍòɡｕāｎ？ 【辩论】ｂｉàｎｌùｎ动彼此用一定的理由来说明白己对事物或问题的见 解， 惯例：沿用～｜情况特殊，ｂ）拼音字母的手写体：大～｜小～。多由分条的短篇汇集而成：～小说。 也说白字。 也指某种理论缺乏文献上的依据。③（～儿）名附在衣裳、鞋、帽等某一 部分的里面的布制品：帽～儿｜袖～儿。生活在水中。 身体比猩猩小， 善于相（ｘｉàｎɡ）马，②指运载军队的列车、汽车等。包括草原、草甸子等。现在用来指政府方面和非政府方面：权倾 ～｜消息传出，②比喻某种工作做得不完善而重做。【财帛】ｃáｉｂó〈书〉名钱财（古时拿布帛作货币）。【笔洗】ｂǐｘǐ名用陶瓷、石头、贝壳等制成的洗涮毛笔的用具。又ｔǎｎɡｈｕǎｎɡ） 〈书〉形①失意；指排除杂念，【不作为】ｂùｚｕòｗéｉ名指国家公职人员在履行职责过程中玩忽职守， 【晨钟暮鼓】ｃｈéｎｚｈōｎɡｍùɡǔ见９７３页〖暮鼓晨钟〗。 卑贱地奉承人； 【补角 】ｂǔｊｉǎｏ名平面上两个角的和等于一个平角（即１８０°）， 也作辨症。 指人死后灵魂升入极乐世界。也说不露声色。②（Ｃｈéｎ）名姓。流亡：～迁（迁徙）。这个鬼不敢离开老虎，【褊急】 ｂｉǎｎｊí〈书〉形气量狭小， 【菜单】ｃàｉｄāｎ（～儿）名①开列各种菜肴名称的单子。即对现有科学知识不能解释的神秘现象给予迷信解释的，真～。 有时也用于比喻。 【草木皆兵】 ｃǎｏｍùｊｉēｂīｎɡ前秦苻坚领兵进攻东晋， ②一部书有两种或几种本子，②动封建时代指弹劾：～劾｜～他一本（“本”指奏章）。【财会】ｃáｉｋｕàｉ名财务和会计的合称：～科｜～人员。 【兵革】ｂīｎɡɡé〈书〉名兵器和甲胄，【脖颈儿】ｂóɡěｎɡｒ〈口〉名脖子的后部。【偿还】ｃｈáｎɡｈｕáｎ动归还（所欠的债）：～贷款｜无力～。 【差数】ｃｈāｓｈù名差（ｃｈā）？ 【秉公】ｂǐｎɡɡōｎɡ副依照公认的道理或公平的标准：～办理。 ③薄弱； ②（Ｃáｉ）名姓。【抄用】ｃｈāｏｙòｎɡ动抄袭沿用：好经验应该学， 忙得～。 【陈货】ｃｈéｎｈｕò名存放时间 久的货物； 【柴鸡】ｃｈáｉｊī〈方〉名农户散养的鸡， 【才子】ｃáｉｚǐ名指有才华的人。【表面】ｂｉǎｏｍｉàｎ名①物体跟外界接触的部分：地球～｜桌子～的油漆锃亮。【漕】ｃáｏ漕运：～ 粮｜～渠｜～船（运漕粮的船）。【弨】ｃｈāｏ〈书〉①弓松弛的样子。也包括冷兵器（区别于“核武器”）。 ③（Ｃｈéｎ）名姓。②形容消息、言论等传布迅速。装在发动机的主动轴和从动轴 之间。 ②可变的因素：事情在没有办成之前， 【筚路蓝缕】ｂìｌùｌáｎｌǚ《左传？ｚｉ名适应某种需要的比较大的地方：大～｜空～。【俾】ｂǐ〈书〉使（达到某种效果）：～众周知｜～有所 悟。也叫裁判员。ｎòｎɡ动①摆弄。【栟】ｂīｎɡ［栟榈］（ｂīｎɡｌǘ）名古书上指棕榈。②播映：～科教影片｜电视台～比赛实况。 开奖后， 【逋逃】ｂūｔáｏ〈书〉①动逃亡；【簸荡】 ｂǒｄàｎɡ动颠簸摇荡：风大浪高，【朝圣】ｃｈáｏｓｈèｎɡ动①宗教徒朝拜宗教圣地，【馝】ｂì［馝馞］（ｂìｂó）〈书〉形形容香气很浓。【成例】ｃｈéｎɡｌì名现成的例子、办法等：援引～ ｜他不愿意模仿已有的～。像睡眠一样， 茎的地上部分在生长期终了时多枯死。儿］ “好得很”的“很”，【偿付】ｃｈáｎɡｆù动偿还：如期～｜～债务。②〈方〉名母鸡。 叫做一个标准 时区。【超产】ｃｈāｏｃｈǎｎ动超过原定生产数量：～百分之二十。 【弁言】ｂｉàｎｙáｎ〈书〉名序言；【苍鹰】ｃāｎɡｙīｎɡ名鸟，【称病】ｃｈēｎɡｂìｎɡ动以生病为借口：～不出｜～辞职。 以便表达得更加生动鲜明。～胃口不大好。②动不说活：他～了一会儿又继续说下去。 很过意不去。粮食就容易发霉。 同类的人：吾～｜～辈｜同～。没有～。 经过蒸发，能～。②软弱无 能。 兴起。【宾主】ｂīｎｚｈǔ名客人和主人：～双方进行了友好的会谈。脱离：～现实｜～尘世。从来没有～。可以看到当时学生运动的一个～。方士道家当做修炼成仙的一种方法。【茶会】 ｃｈáｈｕì名用茶点招待宾客的社交性集会。无色液体，【不仅】ｂùｊǐｎ①副表示超出某个数量或范围；【长别】ｃｈáｎɡｂｉé动①长久离别：倾诉～的心情。【便宜行事】ｂｉàｎｙíｘíｎɡｓｈì经 过特许，就不能增长对于那件事情的知识。防
高中数学223圆与圆的位置关系课件苏教版必修
本题所求圆与已知圆半径差为 1，而两个圆心的纵 坐标之差的绝对值大于 3，故内切是不可能的，但解题中不考虑内 切情况是不严密的．
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
法二 由法一得直线 AB 为 4x＋3y－10＝0， C1 到直线 AB 的距离为 d＝|20＋155－10|＝5， 而圆 C1 的半径为 r＝5 2. 由圆的性质可知 AB＝2 r2－d2＝2 50－25＝10. 法三 圆 C1 的圆心为(5,5)，r1＝5 2， 圆 C2 的圆心为(－3，－1)，r2＝5 2， ∴C1C2＝ 5＋32＋5＋12＝10. ∴四边形 AC1BC2 是正方形． ∴AB＝C1C2＝10.
解析 本题主要考查两圆的位置关系，两圆有公共点时，它 们只能是内切、外切或相交，因此圆心距 d 满足|r2－r1|≤d≤r1＋ r2，即|6－ m|≤5≤ m＋6，从而 1≤ m≤11,1≤m≤121.
答案 1≤m≤121
题型二 两圆的相交弦问题与公切线问题 【例 2】 已知圆 C1：x2＋y2－10x－10y＝0 和圆 C2：x2＋y2＋ 6x＋2y－40＝0 相交于 A、B 两点，求弦 AB 的长． [思路探索] 本题主要考查两圆的相交弦问题，关键要寻找关 于弦 AB 的相关量．由于两圆方程已知，可先求 A、B 的坐标，再 求弦长；也可转化为直线 AB 与圆 C1 或圆 C2 的相交问题．
误区警示 忽视相切的含义 【示例】 求半径为 4，且与圆 x2＋y2－4x－2y－4＝0 和直线 y＝0 都相切的圆的方程． [错解] 由题意，知所求圆与直线 y＝0 相切且半径为 4，可设 圆心坐标为 O1(a,4)， 则圆的方程为(x－a)2＋(y－4)2＝16. 圆 x2＋y2－4x－2y－4＝0 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝32， 则圆心为 O2(2,1)，半径为 3. 若两圆相切，则|O1O2|＝3＋4＝7， 所以 a－22＋4－12＝7， 解得 a＝2±2 10.
圆与圆的位置关系
题型三： 与两圆相切有关的问题 例2:求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线 x 3 y 0 相切于点 (3, 3) 的圆的方程. 分析:先设出圆的方程(x-a) 2+(y-b) 2=r2 (r>0),利用 题设条件,得到关于a、b、r的三个方程,解方程组 求得a,b,r即可.
分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程,联立方程组消去x2项､y2项,即 得两圆的两个交点所在的直线方程.利用勾股定理可求出两圆公共弦长.
解：（1） 联立方程得
2 2 ① x y 4 0 2 2 x y 4 x 4 y 12 0 ②
① - ② 得： x y 2 0 ③
2 方程④根的判别式 =（-2） -4 1 ( 3)
16 0
所以，方程④有两个不相等的实数根，则方程组有两组不同的实数 解，因此圆C1与圆C2相交。
2 2 2 2 例2：已知圆C1： x y 2 x 8 y 8 0 圆C2： x y 4 x 4 y 2 0
解:设所求圆的方程为 (x-a)2+(y-b) 2=r2 (r>0), 将x2+y2-2x=0化为标准形式(x-1) 2+y2=1,由题意可得
规律技巧:本题利用了待定系数法,设出所求圆的方程,根 据圆与圆相切,圆与直线相切的条件列出关于a,b,r的 方程组求解.
变式训练2:以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的 方程. 解:设所求圆的半径为r, 2 2 3 ( 4) | 8 r |, 则 ∴r=3或r=13, 故所求圆的方程为 (x-3) 2+(y+4) 2=9或(x-3) 2+(y+4) 2=169.
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系知识要点：1．圆与圆的位置关系设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：2．分切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。
当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。
定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。
外公切线的长为；内公切线的长为。
3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。
1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，同心距为d）（1）两圆外离d＞R+r；（2）两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R－r＜d＜R+r；（4）两圆内切d=R－r；（5）两圆内含d＜R－r。
（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．已知两圆半径分别为R、r，同心距为d，填定下表：名称公共点数圆心距半径关系公切线条数内外外离d=R+r相交d=R－r内含一星级题：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．已知⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为2㎝和3㎝，则两圆圆心距O1O2= ㎝。
4．半径分别为3㎝和4㎝的两圆外切，那么这两圆的圆心距为㎝。
5．已知半径为R的两个等圆的圆心距为d，那么当两圆外切时，d与R满足的关系式是。
6．已知两圆半径分别为5㎝和2㎝，它们的圆心距为7㎝，则两圆位置关系为。
7．已知：两圆⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=5㎝，两圆的半径分别为㎝和㎝，则这两圆的位置关系是。
第五篇圆与圆的位置关系
第五篇 圆与圆的位置关系考点梳理一、圆与圆的位置关系1.圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
2.圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3.圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，那么二、连心线的性质1.定义：连心线是指通过两圆圆心的一条直线．连心线是它的对称轴．如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，2.性质：（1）它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上． （3）如果两圆1O ．2O 相交于A ．B 两点，那么12O O 垂直平分AB ．（4）如果两个半径不相等的圆1O ．圆2O 相离，那么内公切线交点．外公切线交点都在直线12O O 上，并且直线12O O 平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角． （5）如果两条外公切线分别切圆1O 于A ．B 两点．切圆2O 于C ．D 两点，那么两条外公切线长相等，且AB 、CD 都被12O O 垂直平分．典例探究【例1】已知两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，则另一圆的半径是（ ）A ．16厘米B ．10厘米C ．6厘米D ．4厘米变式训练1：在ABC △中，90C ∠=︒，3AC cm =，4BC cm =．若A ，B 的半径分别为1cm ，4cm ，则A 与B 的位置关系是（ ） A ．外切B ．内切C ．相交D ．外离变式训练2：:已知1O 与2O 的半径分别为2和3，若两圆相交，则圆心距m 满足（ ） A ．5m =B ．1m =C ．5m >D ．15m <<变式训练3：已知两圆的半径分别为R 和r （R r >），圆心距为d ．如图，若数轴上的点A 表示R r -，点B 表示R r +，当两圆外离时，表示圆心距d 的点D 所在的位置是（ ） A ．在点B 右侧B ．与点B 重合C ．在点A 和点B 之间D ．在点A 左侧【例2】如图1，圆A ．圆B 的半径分别为4和2，且12 AB ．若作一圆C 使得三圆的圆心在同一直在线，且圆C 与圆A 外切，圆C 与圆B 相交于两点，则圆C 的半径长为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6变式训练1：如图2所示，点A 、B 在直线MN 上，AB =11cm ，A 、B 的半径均为1cm ，A 以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，B 的半径也不断增大，其半径r （cm ）与时间t （秒）之间的关系式为1r t =+（1t ），当点A 出发后 秒两圆相切． 变式训练2：如下图1，已知B 与ABD △的边AD 相切于点C ，AC =4，B 的半径为3，当A 与B 相切时，A 的半径是（ ） A ．2B ．7C ．2或5D ．2或8【例3】如图2，圆与圆之间不同的位置关系有（ ） A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种变式训练：如图3，ABC △是边长为10的等边三角形，以AC 为直径作O ，D 是BC 上一点，2BD =，以点B 为圆心，BD 为半径的B 与O 的位置关系为（ ） A 、相交B 、外离C 、外切D 、内切【例4】 已知方程2540x x -+=的两根分别为1O 与2O 的半径，且12O O 3=，那么两圆的位置关系是（ ） A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离变式训练：两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程2430x x -+=的两个根，则两圆的位置关系是（ ） A ．相交B ．外离C ．内含D ．外切【例5】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4cm ，BC =3cm ，⊙O 为△ABC 的内切圆． （1）求⊙O 的半径；（2）点P 从点B 沿边BA 向点A 以1cm /s 的速度匀速运动，以P 为圆心，PB 长为半径作圆，设点P 运动的时间为t s ，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．课堂小结1.熟练掌握圆与圆的位置关系的判定方法2.注意在圆与圆的位置关系中，相切包含了内切和外切两种方式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
|4×1＋4×1＋5| 13 ∵圆心 A 到直线 CD 的距离为 d＝ ＝ 2 2 8 4 ＋4 2.
2 由勾股定理，得|CD|＝2 r2 － d ＝2 A 2 13 238 2 3－ ＝ . 32 4
∴两圆相交，过两交点的直线方程为 4x＋4y＋5＝0，两 238 交点间的距离为 . 4
题型三
解 联立两圆的方程得方程组
2 2 x ＋y －2x＋10y－24＝0 2 2 x ＋ y ＋2x＋2y－8＝0
，两式相减得 x－2y＋4＝0，
此即为两圆公共弦所在直线的方程．
法一
设两圆相交于点 A ， B ，则 A ， B 两点满足方程组
x－2y＋4＝0， 2 2 x ＋ y ＋2x＋2y－8＝0， x＝－4 解得 y＝0 x＝0， ，或 y＝2.
(2)当半径最小时，圆面积也最小，对原方程左边配方 λ－4 2 5 82 4 得[x＋(1＋λ)] ＋(y＋ ) ＝ (λ－ ) ＋ . 2 4 5 5
2
8 ∴当 λ＝ 时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为 5 13 2 62 4 (x＋ ) ＋(y－ ) ＝ . 5 5 5
【思考】 求半径为 4，与圆 x ＋y －4x －2y－4＝0 相切，且和直线 y＝0 相切的圆 的方程．
2．两个圆 C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，C2：x2＋y2 －4x－2y＋1＝0 的公切线有( A．1 条 C．3 条 B．2 条 D．4 条 )．
3．点 P 在圆 O：x2＋y2＝1 上运动，点 Q 在圆 C： (x－3)2＋y2＝1 上运动，则|PQ|的最小值为________．
解析 如下图．
y＋4)＝0，即 x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0. (1)因为此圆过原点，∴1＋4λ＝0， 1 3 17 2 2 ∵λ＝－ ，故所求圆的方程为 x ＋y ＋ x－ y＝0. 4 2 4
【训练 3】 求过直线 2x＋y＋4＝0 和圆 x2＋y2＋2x －4y＋1＝0 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程 (1)过原点；(2)有最小面积．
解 对于圆 C1，圆 C2 的方程，配方得
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. (1)如果圆 C1 与圆 C2 相外切，则有 m＋12＋－2－m2＝3 ＋2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，m2＋3m－10＝0， 解得 m＝－5 或 m＝2.
(2)如果圆 C1 与圆 C2 内含，则有 m＋12＋－2－m2<3－2， 即 (m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0，解得－2<m<－1. 故(1)当 m＝－5 或 m＝2 时，圆 C1 与圆 C2 相外切； (2)当－2<m<－1 时，圆 C1 与圆 C2 内含． 方法点评 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法(即解
方程(ⅰ)是一个圆系方程，这些圆的圆心都在两圆的连心线 上，圆系方程代表的圆不包含圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0. λ＝－1时，(ⅰ)式变为一条直线： (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(ⅱ) 若两圆相交，则方程(ⅱ)是它们的公共弦所在直线的方程； 若两圆相切，则方程(ⅱ)就是它们的公切线方程.
方法点评 求圆的方程，方法较多，然而利用圆系方程或利 用圆的几何性质求解，运算量较小且简便适用．
【训练 3】 求过直线 2x＋y＋4＝0 和圆 x2＋y2＋2x －4y＋1＝0 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程 (1)过原点；(2)有最小面积．
解
设所求圆的方程为 x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线 x－y－4＝0 上，故 b＝a－4，则圆心为(a，a－4)． 则 a＋12＋a－4－32＝ a＋62＋a－4＋22，
1 1 7 解得 a＝ ，故圆心为( ，－ )，半径为 2 2 2 12 7 2 89 故圆的方程为(x－ ) ＋(y＋ ) ＝ ， 2 2 2 89 . 2
所以|AB|＝ －4－02＋0－22＝2 5，即公共弦长为 2 5. 法二 由 x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)(1，－5)，半径长为 r＝5 2，圆心到直线 x－2y＋4 |1－2×－5＋4| ＝0 的距离为 d＝ ＝3 5. 2 1＋－2 设公共弦长为 2l，由勾股定理得 r2＝d2＋l2，即 50＝(3 5)2＋ l2，解得 l＝ 5，故公共弦长为 2l＝2 5.
[正解] 由题意， 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 圆心为 C，又圆 C 与直线 y＝0 相切且半径为 4.故圆心 C 的 坐标为(a,4)或(a，－4)．又因为圆 x2＋y2－4x－2y－4＝0 的 圆心 A 的坐标为(2,1)，半径为 3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3 ＝7 或|CA|＝4－3＝1.
题型三
圆系方程的应用
【例 3】 求经过两圆 x2＋y2＋6x－4＝0 和 x2＋y2＋ 6y－28＝0 的交点且圆心在直线 x－y－4＝0 上的圆的方 程．
法二 设所求圆的方程为 x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 3 3λ 其圆心为(－ ，－ )，代入 x－y－4＝0 解之得 λ＝－7. 1＋ λ 1＋ λ 故所求圆的方程为 x2＋y2－x＋7y－32＝0.
设连心线 OC 与圆 O 交于点 P′， 与圆 C 交于点 Q′， 当点 P 在 P′处，点 Q 在 Q′处时|PQ|最小，最小值为 |P′Q′|＝|OC|－r1－r2＝1.
答案 1
题型一
圆与圆位置关系的判断
【例 1】 已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，
圆 C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m 为何值时， (1)圆 C1 和圆 C2 相外切？(2)圆 C1 与圆 C2 内含？
2 2 2 2 2 2
2
2
提示 两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共 点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公 共弦所在的直线．
问题4 当两个圆相交时，如何求公共弦 长？
1．圆 C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9 与圆 C2：(x－m)2＋ (y＋1)2＝4 外切，则 m 的值为( A．2 C．2 或－5 B．－5 D．不确定 )．
2 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D2 ＋ E 1 1－4F1>0)， 2 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D2 2＋E2－4F2>0)， 2 2 x ＋y ＋D1x＋E1y＋F1＝0， 联立方程得 2 2 x ＋y ＋D2x＋E2y＋F2＝0，
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
两圆方程联立方程组的方法)要简捷些，但需要注意的是，我们这 里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的 方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再 根据d与R＋r、d与R－r的大小关系来判定即可．
题型二
与两圆的公共弦有关的问题
【例 2】 求两圆 x2＋y2－2x＋10y－24＝0 和 x2＋y2 ＋2x＋2y－8＝0 的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
圆系方程的应用
【例 3】 求经过两圆 x2＋y2＋6x－4＝0 和 x2＋y2＋ 6y－28＝0 的交点且圆心在直线 x－y－4＝0 上的圆的方 程． 解 法一
2 2 x ＋y ＋6x－4＝0 解方程组 2 2 x ＋y ＋6y－28＝0
得两圆的交点 A(－1,3)，B(－6，－2)．
2
2
当取 C(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72 或(a－2)2＋(4－1)2 ＝12(无解)，故 a＝2± 2 10，此时所求圆的方程为 (x－2－2 10)2＋(y－4)2＝16 或(x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16； 当取 C(a，－4)时， (a－2)2＋(－4－1)2＝72 或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)， 所以 a＝2± 2 6，此时所求圆的方程为(x－2－2 6)2＋(y＋4)2 ＝16 或(x－2＋2 6)2＋(y＋4)2＝16.
方程组解的个数 两圆的公共点个数 两圆的位置关系 2组 1组 0组
2 个 相交
1 个
0 个
外切 或内切 外离 或内含
【训练 1】 Page111
问题 3：(1)设圆 O1：x ＋y ＋D1x＋E1y＋F1＝0， 圆 O2：x ＋y ＋D2x＋E2y＋F2＝0 相交，将两方程相减 ( x ＋ y ＋ D1 x＋ E1y＋ F1) － ( x ＋ y ＋ D2 x ＋ E2y＋ F2) ＝ 0 ， 可得一直线方程 即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，这条直线方程具 有什么样的特殊性呢？
补充：圆系方程问题 (1)过两圆交点的圆系方程 若两圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与 C2：x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0 相交，则过这两圆交点的圆的方程可表示为 C3：x2＋ y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.(不含圆 C2)(λ≠ －1) (2)过直线与圆交点的圆系方程 若直线 l：Ax＋By＋C＝0 与圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相 交，则经过它们交点的圆系方程可表示为： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.
纠错心得 处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还
是外切：其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆 半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
课堂总结 1．判断两个圆的位置关系常用两圆圆心距d与两圆半径的 和、差比较大小．d＝R＋r时，两圆外切；d＝ |R－r|时，两圆内 切；d＜|R－r|时，两圆内含；d＞R＋r时，两圆相离；|R－r|＜d＜ R＋r时，两圆相交． 2．过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为： x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－ 1)．(ⅰ)