数学概念的逻辑基础

在四边形的内涵中,增加“两组对边分别平行”这个性 质,那就得到平行四边形的概念,而平行四边形的外延比 四边形的外延小。 在等腰三角形的内涵中减少“有两边相等”这个性质, 就得到三角形的概念,而三角形的外延比等腰三角形的 外延大。
注意,只有在改变内涵的过程中一个概念的外延是另一个概念外延 的子集的情况下，概念的内涵和外延间才会出现反变关系。
物区别于另一种事物的根本依据。
数学概念是反映思考对象在空间形式和数量关系及其模式方面的本 质属性的思维形式。 （二）产生与发展途径 概念是通过概括以及与概括紧密相联系的抽象而形成的。
数学概念的产生和发展有各种不同的途径：
1）从现实模型中直接反映得来，如初等数学中的点、线、面、体、 自然数等；
2）在原有数学概念的基础上，经过多级抽象和概括而形成，如近 代数学中的群、环、域、空间等；
一是找出被定义概念的最邻近的属； 二是确定种差，即找出被定义概念与同一属中其他种概念之 间的差别。
以事物的发生和形成过程作为种差—— 2.发生式定义
“平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆”； “我们在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平 面直角坐标系。” 发生式定义通过描述被定义概念所反映对象的产生或形成过 程的特征来揭示被定义概念本质属性的定义方法.
注意： 1.数学概念区别于其他领域概念的一个重要特征是：理想化、多级 抽象； 2. 在人的意识中形成概念，同表达它的语言、书写和符号分不开， 称表达数学概念的语词为数学概念的名称或术语。

概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都是由一系列 的概念及其体系组成的。如果把人的思维比作一个有 机体，那么概念就是这个有机体上的细胞。
“正方形是”——“四个角都是直角的平行四边形” / “有一个 角是直角的菱形” / “各边相等而且四个都是直角的平行四边 形”
在定义某概念的过程中得到的一串概念，从第二个起，每 一个都是前一个的种概念，这样追到了初始概念：不定义 概念。
（二）定义的构成与形式
1.定义的构成 被定义的概念+下定义的概念+联系词 被定义的概念是其内涵被揭示的概念,而下定义的概念 是用以揭示被定义概念内涵的概念,联系词一般使用 ‘是’、 ‘叫做’,表示被定义概念和下定义概念之间的内在联系, 其 作用是把被定义概念和下定义概念联系或组织起来。 例如,“邻边相等的矩形是正方形”是正方形的一种定
四、概念的定义 （一）什么是定义
定义是揭示概念内涵的逻辑方法,即列举概念的充分和必 要的属性，并把它们总结成一个连贯的句子（语句或 用符号表示的句子）。
定义中的每一个属性对于确定的概念来说，都应当是必要 的，而所有属性加到一起应当是充分的。 定义应当揭示概念的基本内涵，它不应当有多余的词，也 不应当有遗漏。例如
（三）内涵和外延的发展变化
概念不是一成不变的，随着事物的发展变化和人类实践的不断深 入,概念的内涵和外延也会不断地发展变化。 例如：角的概念、三角函数的概念、数的概念等。
又 如 ,“绝 对 值 ”符 号 的 概念 ,它 随 着数 集 的扩 充 , 其 内容 不 断 丰 富 、充 实。在 有理 数 集 中 , 规定 有 理数 的 绝对 值 是 : 一个 正 数 和 零 的绝 对 值是 它 本身 ,一 个 负数 的 绝 对值 是 它的 相 反数 。 当 数 集 扩展 到 实数 的 绝对 值 除了 用 语 言阐 述 外 , 还表 示 为
径”与“最大的弦”等,它们之间的关系都是同一关系。
在同一个思维过程中,具有同一关系的两个概念可以相
互代替使用.
2.交叉关系（Intersection） 外延只有一部分重合的两个概念A和B之间的关系，称 为交叉关系. 这两个概念称为交叉概念。
例如,“等腰三角形”与“直角三角形”、“负数”与“整 数”、“菱形”与“矩形”等概念之间的关系都是交 叉关系。具有交叉关系的两个概念是可以互相说明的, 但是,必须用“有些”两字来限制,否则就错了。例如, 我们可以说“有些整数是负数”，也可以说“有些负 数是整数”；却不能说“整数是负数”,也不能说“负
a a 0 - a ( a 0), ( a 0), ( a 0).
把 数 集 扩展 到 复数 后 , 复 数的 绝 对值 表 示 为｜ a bi ｜
2 2 a + b = (a,b 为实 数 ) 。
在数学教学中，认识概念的内涵与外延必须放在教材和一定的数 学学科体系中。 例如，角（平面几何 / 平面三角）
二、概念的内涵与外延
概 念 的 内 涵与 外 延 明确 了 ,就 可 以 更 好地 认 识 概念 ,把 握 概 念 ,否 则 就 会 出 现 错误 。 例 如 ,若 对“ 算 术 平 方 根 ” 这 个 概 念的 内 涵 不明 确 ,往 往 会 出 现 如 下 的 错误 :
(-2) 2
=-2，
( x - 1) 2 = x - 1
（二）不相容关系 （Exclusive relation）
外延没有公共部分（或称互相排斥）的两个概念之间 的关系称为不相容关系,这两个概念称为不相容概念。 不相容关系分为对立、矛盾关系两种。
1.对立关系(反对关系Contrariety) 如果某一概念的两个种概念A和B,其外延是互相排斥的, 且这两个种概念外延之和小于它们最邻近的属概念的外延, 那么这两个种概念A和B之间的关系 称为对立关系， 这两个种概念称为对立概念。
每个概念都是以下两者的统一： 1）对象或关系的集合——这个概念的外延。
2）这个集合所固有的并且只有这个集合才具备的特征 性质——这个概念的内涵。 逻辑思有哪些。从质和量两个方面 明确概念所反映的对象。
二、概念的内涵与外延
（一） 内涵与外延的含义
（二） 给数学概念下定义的方法
1.“属+种差”式定义 给数学概念下定义常用“属（类）+种差”的方式，即实 质定义。其公式为： 属（类）+种差=被定义项 例如： “邻边相等” 的 “平行四边形” 叫做 “菱形”； “按一定顺序排列” 的 “一列数” 叫做 “数 列”； “无限不循环” 的 “小数” 叫做 “无理数”； 由此可见，用属加种差下定义，需要做好两方面的工 作：
课题1 数学概念及其逻辑结构
目标： 理解概念的内涵和外延、概念间的关系; 掌握概念定义的方法以及概念划分的方法。
一、概念与数学概念的含义与发展途径
（一）含义 概念是反映事物本质属性的思维形式。 所谓“本质属性”,就是指可以用来从其他事物中区分这个事物的 特征性质。它构成某种事物的基本特征, 只为这类事物所具有,是一种事
外延有公共部分的两个概念之间的关系称为相容关系, 这两个概念称为相容概念。
在相容关系里,又分为同一关系、交叉关系和从属关系。
1.同一关系（Identity）
外延完全重合的两个概念A和B之间的关系称为同一关系.
例如，“直线”与“一次函数的图像”这两个概念，虽然它们
是从不同的角度来说明问题的,但是,它们的外延完全重合,是指 同一类对象。 又比如,“等腰三角形底边上的中线”与 “等腰三角形底边上的 高”；“等边的矩形”与“直角的菱形”；在同一个圆中“直
三、概念间的关系
我们只研究可比较概念间的关系. 所谓可比较概念,就是指的在外延上具有某种可比较关 系的概念. 例如，“正数”和“整数”就是可比较的概念， 而“正数”和“多边形”就是不可比较的概念. 在可比较的概念间，有相容关系和不相容关系.
（一）相容关系 （Compatible relation ）
中学数学的逻辑基础
数学概念 数学命题 数学推理 数学证明
“初等数学，即常数的数学，是指形式逻辑的范围 内活动的，至少总的说来是这样。”（恩格斯） 中学数学的逻辑基础，主要指形式逻辑，部分地 涉及辩证逻辑。 形式逻辑是关于思维形式及其规律的科学。概念、 判断、推理是思维的三种基本形式。 辩证逻辑是关于思维的辩证发展规律的科学，是 唯物辩证法在思维领域中的应用。
理数”，我们称“有理数”为“整数”的最邻近的属概念。
注意一：属、种概念具有相对性。 例如,对“整数”来说，“有理数”是属概念,
对“实数”来说，“有理数”是种概念;
注意二：要区分从属关系和全体与部分的关系。有的概念之间既有 从属关系又有全体与部分的关系。有的却不然。 例如,“对数”与它的“首数”、“尾数”之间的关系是全体与部分 的关系，但不是从属关系。
。
要 对 概 念 加深 认 识 ,不 仅 要 明确 概 念 的内 涵 与 外延 ,还 要 掌 握 概 念 的 内涵 与 外 延之 间 的 关系 。
（二）内涵与外延之间的关系
概念的内涵严格确定了概念的外延；反过来，概念的外延完全 确定了概念的内涵。因此，对概念的内涵所作的改变一定 导致概念外延的改变。具体来说即：这两个方面是相互联 系、互相制约的:当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩 小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。反过来也 一样。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。\例如,
义,
在这个定义中,“正方形”是被定义概念,“邻边相等的矩形”
2.定义的形式
……，叫做 ……
定义项 （Dp）
定 义 联 项
被定义项 （Ds）
注：定义的表达形式也有多种情况，除了上述： “DP叫做DS”，其他如：“DS就是DP”，“DS等于DP”， “DS当且仅当DP”，“DP叫做DS”，“DP称为DS”等等。 例如：平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。
概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和,概 念的外延就是概念所反映的事物的总和(或范围).
例 如 ,“ 偶 数 ”这个 概 念 的内 涵 是“能 被 2 整 除的 整 数 ”这个性 质 ， 外 延 是“ 所 有 能 被 2 整 除的 整 数 构成 的 集 合” 。 “ 一 元 二 次方 程 ” 这个 概 念 的内 涵 是 “只 含 有 一个 未 知 数且 未 知 数 的 最 高次 数 是 二次 的 等 式” 这 个 性质 ,其 外 延 是 “ 一切 形 a x 2 +bx +c=0(a≠ 0)的 方 程 的全 体 ” 。