复变函数课后习题答案(全)69272

习题一答案

1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）

1

32i

+

（2）

(1)(2)

i

i i

--

（3）13

1

i

i i

-

-

（4）821

4

i i i

-+-

解：（1）

132

3213

i z

i

-

==

+

，

因此：

32 Re, Im

1313 z z

==-，

232

arg arctan,

31313

z z z i

==-=+

（2）

3

(1)(2)1310

i i i

z

i i i

-+

===

---

，

因此，

31

Re, Im

1010

z z

=-=，

131

arg arctan,

31010

z z z i

π

==-=--

（3）

133335

122

i i i

z i

i i

--

=-=-+=

-

，

因此，

35

Re, Im

32

z z

==-，

535

,arg arctan,

232

i

z z z

+

==-=

（4）821

41413

z i i i i i i

=-+-=-+-=-+

因此，Re1,Im3

z z

=-=，

arg arctan3,13

z z z i

π

==-=--

2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：

（1）i（2

）1-+（3）(sin cos)

r i

θθ

+

（4）(cos sin)

r i

θθ

-（5）1cos sin (02)

i

θθθπ

-+≤≤

解：（1）2

cos

sin

2

2

i

i i e π

π

π

=+=

（2

）1-+2

3

222(cos sin )233

i i e πππ=+=

（3）(sin cos )r i θθ+()2

[cos()sin()]22

i

r i re

π

θππ

θθ-=-+-=

（4）(cos sin )r i θ

θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=

（5）2

1cos sin 2sin

2sin cos 222

i i θ

θθ

θθ-+=+ 2

2sin [cos

sin

]2sin 22

22

i

i e

πθ

θπθ

πθ

θ

---=+=

3． 求下列各式的值：

（1

）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-

（3

）(1)(cos sin )

(1)(cos sin )

i i i θθθθ-+-- （4）

23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+-

（5

（6

解：（1

）5)i -5[2(cos()sin())]66

i ππ

=-+-

5

552(cos()sin()))66

i i ππ

=-+-=-+

（2）100

100(1)

(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-

（3

）(1)(cos sin )

(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--

2[cos()sin()](cos sin )

33)sin()][cos()sin()]44

i i i i ππ

θθππ

θθ-+-+=

-+--+-

)sin()](cos2sin 2)12

12

i i π

π

θθ=-

+-

+

(2)12

)sin(2)]12

12

i

i π

θπ

π

θθ-

=-

+-

=

（4）2

3

(cos5sin 5)(cos3sin 3)

i i ????+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)

i i i ??

????+=

=+-+-

（5

=

11cos (2)sin (2)3232k i k ππ

ππ=++

+1

, 0221, 122

, 2i k i k i k +=?

??=-

+=??-=???

（6

=

11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++8

8, 0, 1

i i e k e k π

π

==?=?

4．

设12 ,z z i =

=-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1

2cos

sin

, 2[cos()sin()]4

466

z i z i π

π

ππ

=+=-+-，所以

12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212

i i ππππππ

=-+-=+，

12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212

i i ππππππ

=+++=+

5． 解下列方程： （1）5

()

1z i += （2）440 (0)z a a +=>

解：（1

）z i += 由此

2

5

k i z i e

i π=-=-， (0,1,2,3,4)k =

（2

）z

==11

[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4

(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z x iy =+

z x y

≤≤+

证明：首先，显然有z x y =≤+；

其

次

，

因

222,x y x y +≥

固此有

2222()(),x y x y +≥+

从而

z =≥

。

（2）对任意复数12,,z z 有2

2

2

1212122Re()z z z z z z +=++

证明：验证即可，首先左端2

21212()()x x y y =+++，

而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy =

+++++-

2222112212122()x y x y x x y y =+++++221212()()x x y y =+++，

由此，左端=右端，即原式成立。 （3）若a bi +是实系数代数方程101100n

n n a z

a z a z a --++

++=

的一个根，那么a bi -也是它的一个根。

证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算

规则，()n

n z

z =，由此得到：10110()()0n n n a z a z a z a --++

++=

由此说明：若z 为实系数代数方程的一个根，则z 也是。结论得证。 （4）若

1,a =则,b a ?≠皆有

1a b

a ab

-=-

证明：根据已知条件，有1aa =，因此：

1

1()a b a b a b a ab aa ab a a b a

---====---，证毕。

（5）若1, 1a b <<，则有

11a b

ab

-<-

证明：

2

2

2

()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--，

2

22

1(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--，

因为

1, 1a b <<，所以，

2

2

2

2

2

2

1(1)(1)0a b a b a b +--=--< ，

因而2

2

1a b ab -<-，即

11a b

ab

-<-，结论得证。

7．设

1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式，

其中n 为正整数，a 为复数。

解：首先，由复数的三角不等式有

1n n z a z a a +≤+≤+，

在上面两个不等式都取等号时

n z a +达到最大，为此，需要取n

z

与a 同向且1n

z =，即n

z 应为a 的单位化向量，由此，n

a

z a

=，

z =

8．试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。

解：要使三点共线，那么用向量表示时，21z z -与31z z -应平行，因而二

者应同向或反向，即幅角应相差0或π的整数倍，再由复数的除法运算规

则知21

31

z z Arg z z --应为0或π的整数倍，至此得到：

123,,z z z 三个点共线的条件是21

31

z z z z --为实数。

9．写出过121

2, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。

解：过两点的直线的实参数方程为： 121121()

()

x x t x x y y t y y =+-??

=+-?， 因而，复参数方程为：

112121121()()z x iy x iy t x x iy iy z t z z =+=++-+-=+-

其中t 为实参数。

10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t 为实参数） （1）(1)z

i t =+ （2）cos sin z a t ib t =+ （3）i

z t t

=+

解：只需化为实参数方程即可。 （1）,x t y

t ==，因而表示直线y x =

（2）cos ,sin x a t y b t ==，因而表示椭圆22

221x y a b

+=

（3）1

,x t y

t

==

，因而表示双曲线1xy = 11．证明复平面上的圆周方程可表示为 0zz az az c +++=，

其中a 为复常数，c 为实常数 证明：圆周的实方程可表示为：2

20x

y Ax By c ++++=，

代入, 22z z z z x y i

+-==，并注意到222

x y z zz +==，由此

022z z z z

zz A

B c i

+-+++=， 整理，得

022

A Bi A Bi

zz z z c -++++=

记2A Bi a +=，则2

A Bi

a -=，由此得到

0zz az az c +++=，结论得证。

12．证明：幅角主值函数arg z 在原点及负实轴上不连续。 证明：首先，arg z 在原点无定义，因而不连续。 对于00x <，由arg z 的定义不难看出，当z 由实轴上方趋

于0x 时，arg z

π→，而当z 由实轴下方趋于0x 时，arg z π→-，由此

说明0

lim arg z x z →不存在，因而arg z 在0x 点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。

13．函数1w z

=把z 平面上的曲线1x =和22

4x y +=分别映成w 平面中

的什么曲线？

解：对于1x =，其方程可表示为1z

yi =+，代入映射函数中，得

2

11111iy

w u iv z iy y

-=+===++， 因而映成的像曲线的方程为 22

1, 11y

u v y y

-=

=++，消去参数y ，得 222

1,1u v u y +=

=+即22211()(),22

u v -+=表示一个圆周。 对

于

224

x y +=，其方程可表示为