立体几何中线面平行的经典方法+经典习题(附详细解答
立体几何中线面平行的经典方法
高中立体几何证明平行的专题(基本方法) 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：(1)通过“平移”。
(2)利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分别为棱AB、PD 的中点．求证：AF∥平面PCE；（第1题图）A B C A B2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；3、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥ CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;(2) 利用三角形中位线的性质4、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。
求证：PA∥平面BDE（.3）利用平行四边形的性质9．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O//平面A1BC1;10、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E .求证：AE ∥平面PBC(4)利用对应线段成比例12、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且SM AM =ND BN，求证：MN ∥平面SDC13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN 求证：MN∥平面BEC(5)利用面面平行14、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠= ，PB=BC=CA ，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =.（1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ；。
线面平行典型例题和练习
线面平行典型例题和练习直线与平面、平面与平面平行的判定与性质中，都隐含着直线与直线的平行，它成为联系直线与平面、平面与平面平行的纽带，成为证明平行问题的关键． 1．运用中点作平行线 例1．已知四棱锥P ABCD -的底面是距形，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点，求证ＭＮ∥平面PCD ．2．运用比例作平行线 例2．四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等正方形，且ＡＭ=ＦＮ，其中M AC ∈，N BF ∈，求证：ＭＮ∥平面BCE3. 运用传递性作平行线例3．求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行４.运用特殊位置作平行线 例4．正三棱柱ＡＢＣ－Ａ1Ｂ1Ｃ1的底面边长为2，点Ｅ、Ｆ分别是Ｃ1Ｃ、Ｂ1Ｂ上的点，点Ｍ是线段ＡＣ上的动点，ＥＣ＝2ＦＢ＝2．问当点Ｍ在何位置时ＭＢ∥平面ＡＥＦ？课堂强化：1. 1．棱长都相等的四面体称为正四面体．在正四面体A-BCD 中，点M ，N 分别是CD 和AD 的中点，给出下列命题：①直线MN ∥平面ABC ； ②直线CD ⊥平面BMN ；③三棱锥B-AMN 的体积是三棱锥B-ACM 的体积的一半． 则其中正确命题的序号为A CNP D M BG图M FNC EA D BHm αβlγσn 图4k A B CE F N MB 1 A １C 1 图52. （2012•山东）如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．3. ．（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC= 2，AA′=1，点M，N 分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）求三棱锥A′-MNC的体积．4. （2011•上城区）如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（1）若点G在AB上，试确定G点位置，使FG∥平面ADE，并加以证明；（2）求DB与平面ABE所成角的正弦值．5. ．（2009•宁夏）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．6. 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点，AB=1，PA=2．（I）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E-PAC的体积．7. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，则在四棱锥P-ABCD中，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．8. 已知平面α∥面β，AB、CD为异面线段，AB⊂α，CD⊂β，且AB=a，CD=b，AB与CD所成的角为θ，平面γ∥面α，且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q．且M、N、P、Q 为中点，（1）若a=b，求截面四边形MNPQ的周长；（2）求截面四边形MNPQ面积的最大值．9. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，棱长AA1=2，AB=1，E是AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BDE；（Ⅱ）求点A到平面BDE的距离．10. 如图，在三棱锥P-ABC中，已知AB=AC=2，PA=1，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，点D、E分别为AB、PC的中点．（1）在AC上找一点M，使得PA∥面DEM；（2）求证：PA⊥面PBC；（3）求三棱锥P-ABC的体积．11. 空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？12. 如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，BG=2CG（I）求证：PC⊥BC；（II）求三棱锥C-DEG的体积；（III）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；否则，说明理由．13. 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点，AB=1，PA=2．（I）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E-PAC的体积14. 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．（Ⅰ）求证：AC ⊥SD ；（Ⅱ）若PD ：SP=1：3，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ．若存在，求SE ：EC 的值；若不存在，试说明理由．15.如图，在五面体中，平面ABCD ⊥平面BFEC ，Rt △ACD 、RtACB 、Rt △FCB 、Rt △FCE 为全等直角三角形，AB=AD=FB=FE=1，斜边AC=FC=2． （Ⅰ）证明：AF ∥DE ；（Ⅱ）求棱锥D-BCEF 的体积．课后作业一、选择题1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2、已知直线a 与直线b 垂直,a 平行于平面α,则b 与α的位置关系是( )A.b ∥αB.bαC.b 与α相交D.以上都有可能3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ= 4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，错误的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ）A ．()12MN AC BC ≥+ B ．()12MN AC BC ≤+C ．()12MN AC BC =+ D ．()12MN AC BC <+7 ．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β8．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（ ）A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α 9．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（ ） A ．a α⊄，则//a α B ．//a α，b α⊂，则//a b C ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a b D ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂10．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.不能确定 11.下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④ 12．在下列命题中，错误的是 A. 若平面α内的任一直线平行于平面β，则α∥β B. 若两个平面没有公共点，则两个平面平行C. 若平面α∥平面β，任取直线a ⊂α，则必有a ∥βD. 若两条直线夹在两个平行平面间的线段长相等，则两条直线平行二、填空题13．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④14．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ．15．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：1A .⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;;其中正确的命题是________________.16．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BD D 1． 三、解答题17.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.18、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH ∥BD.证:；平面D BC AB 11//19、如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, D 为AC 的中点,求20.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC 上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.21、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)面111//D AB D OC 面．EP DCBAAB CA1B 1C 1D D 1ODBAC 1B 1A 1CH G FE DBAC探究习题：1.平面内两正方形ABCD与ABEF，点M，N分别在对角线AC,FB上，且AM:MC=FN:NB，沿AB折起，使得∠DAF=900(1)证明：折叠后MN//平面CBE；(2)若AM:MC=2：3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN//平面CBE?若存在，试确定点G的位置.2.设平面α∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M，N分别是AB，CD的中点，且A，C∈α，B，D∈β，求证：MN∥平面α.。
专题20立体几何中的平行与垂直问题(解析版)
专题20 立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。
直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、（2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点.已知侧面PAD丄底面ABCD,底面ABCD是矩形，DA=DP.求证：（1）MN〃平面PBC；MD丄平面PAB.【证明】（1）在四棱锥P-ABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点，所以MN〃AD.（2分）又底面ABCD是矩形，所以BC〃AD.所以MN〃BC.（4分）又BC U平面PBC，MN Q平面PBC，所以MN〃平面PBC. （6分）（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB丄AD.又侧面PAD丄底面ABCD，侧面PAD n底面ABCD=AD, AB U底面ABCD，所以AB丄侧面PAD.（8分）又MD U侧面PAD，所以AB丄MD.（10分）因为DA=DP,又M为AP的中点，从而MD丄PA. （12分）又PA，AB在平面PAB内，PA n AB=A，所以MD丄平面PAB.（14分）例2、（2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B丄平面ABC,点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点.（1）求证：EF〃平面ABC；（2）求证：BB］丄AC.规范解答（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B,四边形BB1C1C均为平行四边形，E, F分别是侧面AA1B1B, BB1C1C对角线的交点，所以E, F分别是AB1，CB1的中点，所以EF〃AC.（4分）因为EF Q平面ABC, AC U平面ABC，所以EF〃平面ABC.（8分）（2）因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1丄AB.因为平面AA1B1B丄平面ABC,且平面AA1B1B n平面ABC=AB, BB1U平面AA1B1B, 所以BB1丄平面ABC.（12分）因为AC U平面ABC，所以BB1丄AC.（14分）例3、（2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC, A1C丄BC］, AB］丄BC1，D, E 分别是AB1和BC的中点.求证：（1）DE〃平面ACC1A1；（2）AE丄平面BCC1B1.A _________ c,规范解答⑴连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1#BB1且AA1=BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形．又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点.（2分）在厶BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE〃A］C.又因为DE G平面ACC1A1，A1C U平面ACC1A1，所以DE〃平面ACC1A1.（6分）（2）由（1）知DE〃A］C，因为A1C丄BC” 所以BC］丄DE.（8 分）又因为BC］丄AB1，AB1H DE=D，AB1，DE U平面ADE，所以BC1丄平面ADE.又因为AE U平在ADE,所以AE丄BC1.（10分）在厶ABC中，AB=AC，E是BC的中点，所以AE丄BC.（12分）因为AE丄BC1，AE丄BC，BC1H BC=B，BC1，BC U平面BCC1B1，所以AE丄平面BCC1B1. （14 分）例4、（2019苏锡常镇调研）如图，三棱锥DABC中，已知AC丄BC，AC丄DC，BC=DC，E，F 分别为BD，CD 的中点．求证：（1）EF〃平面ABC；（2）BD丄平面ACE.所以EF 〃平面ABC.（6分）（2）因为AC丄BC，AC丄DC，BC H DC = C，BC，DC U平面BCD所以AC丄平面BCD，（8分）因为BD U平面BCD，所以AC丄BD，（10分）因为DC=BC，E为BD的中点，所以CE丄BD，（12分）因为AC n CE = C, AC，CE U平面ACE，所以BD丄平面ACE.（14分）例5、（2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1 丄B1C1•设A1C与AC1交于点D, B1C与BC1交于点E.求证：（1） DE〃平面ABB1A1；（2） BC］丄平面A1B1C.规范解答（1）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C 与AC1 交于点D,所以D为AC]的中点，同理，E为BC]的中点•所以DE〃AB.（3分）又AB U平面ABB]A], DE G平面ABB]A], 所以DE〃平面ABB]A].（6分）（2）因为三棱柱ABCA]B]C]为直三棱柱，所以BB]丄平面A]B]C]. 又因为A]B]U平面A]B]C],所以BB]丄A]B i.（8分）又A]B]丄B]C], BB], B]C] U 平面BCC]B], BB]n B]C1=B1，所以A]B]丄平面BCC]B].（10 分）又因为BC]U平面BCC]B1，所以A]B丄BC].（12分）又因为侧面BCC]B1为正方形，所以BC]丄BQ.又A1B1n B1C=B1，A1B1，B1C U平面A1B1C, 所以BC1丄平面A1B1C.（14分）例6、（2017苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D, E分别为BC, B1C1的中点，点F 在棱CC1上，且EF丄CD.求证：（1）直线A1E〃平面ADC1；⑴证法1连结ED,因为D, E分别为BC, B1C1的中点，所以B&/BD且B1E=BD, 所以四边形BBDE是平行四边形，（2分）所以BB/DE且BB1=DE. 又BB]〃AA]且BB]=AA], 所以AA/DE且AA1=DE, 所以四边形AA]ED是平行四边形，所以A]E〃AD.（4分）又因为AE G平面ADC, AD U平面ADC，所以直线AE〃平面ADC.（7分）1 1 1畀 ------ 1B证法2连结ED,连结A1C, EC分别交AC” DC1于点M, N,连结MM,则因为D, E分别为BC,B1C1的中点，所以C1E^CD且C、E=CD,所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点.（2分）因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，（4分）所以MN//A\E.又因为A]E G平面ADC，MN U平面ADC，，所以直线Af〃平面ADC、.（7分）（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB]丄平面ABC.又AD U平面ABC，所以AD丄BB、.又A ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD丄BC.（9分）又BB，，BC U 平面BBCC，，BB1A BC=B，所以AD丄平面B,BCC,，又EF U平面BBCC，所以AD丄EF.（11分）又EF丄CD，CD，AD U平面ADC,，C,D A AD=D，所以直线EF丄平面ADC,.（14分）题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
线面平行典型例题
线面平行典型例题和练习直线与平面、平面与平面平行的判定与性质中，都隐含着 平面平行的纽带，成为证明平行问题的关键.1.运用中点作平行线例1.已知四棱锥 P ABCD 的底面是距形，M 、N 分别是AD 、PB 的中点，求证MN//平面2•运用比例作平行线例2.四边形ABCD 与ABEF 是两个全等正方形，且AM 平面BCE3.运用传递性作平行线例3.求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行课堂强化：1. 1•棱长都相等的四面体称为正四面体•在正四面体给出下列命题： ①直线MN/平面ABC4 .运用特殊位置作平行线 例4.正三棱柱ABC-A 1B 1 C 1的底面边长为2,点E 、F 分别是C 动点，EC=2FB= 2 .问当点M 在何位置时MB//平面AEF? B i B 上的点，点M 是线段AC 上的E k1C 、B i直线与直线的平行，它成为联系直线与平面、平面与 PCDB图5A-BCD 中，点 M N 分别是CD 和AD 的中点,MN//② 直线CDI 平面BMN③ 三棱锥B-AMN 的体积是三棱锥 B-ACM 的体积的一半. 则其中正确命题的序号为2.如图，几何体 E-ABCD 是四棱锥，△ ABD 为正三角形，CB=CD EC 丄BD.(I)求证：BE=DE(n)若/ BCD=120 , M 为线段 AE 的中点，求证： DM/平面BEC3..如图，直三棱柱 ABC-A' B' C',/ BAC=90 , AB=AC=2, AA' =1,点 M , N 分别为 A'B 和 B' C'的中点.求三棱锥 A -MNC 的体积.AE 和CD 都垂直于平面 ABC 且AE=AB=2 CD=1, F 为BE 的中点.(1)若点G 在AB 上，试确定G 点位置，使FG//平面ADE 并加以证明；5.如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的(1)求证：AC 丄SD(3)在(2)的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E ,使得BE//平面PAC 若存在，求SE: EC 的值；若不存在, 试说明理由.P-ABCD 中，/ ABC=Z ACD=90 , / BAC=Z CAD=60 , PA 丄平面 ABCD E 为 PD 的中点，AB=1,2倍，P 为侧棱SD 上的点.6.如图，在四棱锥 P A=2(I )证明：直线CE//平面PAB7.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面 在DM 上取一点 G 过G 和AP 作平面交平面 BDM 于GHABCD 外卜的一点，则在四棱锥 P-ABCD 中，M 是PC 的中点,求证：AP// GH8.已知平面a//面3, AB CD 为异面线段，AB? a, 丫//面a,且平面 丫与AC BC BD AD 分别相交于点 CD? 且AB=a, CD=b AB 与CD 所成的角为 0,平面 M N 、P 、Q 且M N P 、Q 为中点，9.如图，在正四棱柱 ABCD-ABQD 中，棱长 AA=2, AB=1, E 是AA 的中点.(I)求证：AC//平面BDE10.如图，在三棱锥 P-ABC 中，已知 AB=AC=2 PA=1,/ PAB=/ PAC 玄BAC=60，点 D E 分别为 AB PC 的中 点.(1)在AC 上找一点 M 使得PA//面DEM11.空间四边形 ABCD 勺对棱AD BC 成60°的角，且 AD=BC=a 平行于 AD 与BC 的截面分别交 AB, AC, CD BD 于 E 、F 、G H.(1)求证：四边形 EFGH 为平行四边形；12.如图，四棱锥 P-ABCD 中，PD 丄平面 ABCD 底面 ABCD 为正方形，BC=PD=2 E 为PC 的中点，BG=2CG (I )求证：PC 丄BCP A=2(I )证明：直线CE//平面PAB14.如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的(I)求证：AC 丄SD(n)若PD SP=1: 3，侧棱SC 上是否存在一点 E ,使得BE//平面PAC 若存在，求 SE EC 的值；若不存在, 试说明理由.,P 从平面 ABCDE 为PD 的中点，AB=1,2倍，P 为侧棱SD 上的点.(1)若a=b ,求截面四边形 MNP 啲周长;CCAM 的长；否则，说明理由.一、选择题1下列条件中，能判断两个平面平行的是()15.如图，在五面体中，平面 AB=AD=FB=FE=1 斜边 AC=FC=2(I)证明：AF// DEABCDL 平面 BFEG Rt △ ACD RtACB Rt △ FCB Rt △ FCE 为全等直角三角形,课后作业10. 一条直线若同时平行于两个相交平面， A.异面 B.相交 11. 下列四个命题中，正确的是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等； ②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面 间的相等线段平行 A.①③B .①②C .②③ 12•在下列命题中，错误的是A.若平面a 内的任一直线平行于平面3,则a/3A. B. C. D.一个平面内的一条直线平行于另一个平面；一个平面内的两条直线平行于另一个平面 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则b 与a 的位置关系是（ 2、已知直线a 与直线b 垂直,a 平行于平面a A.b //a B.b U aC.b 与a 相交D.以上都有可能）C . a//c,b//c D，则下列结论成立的是 内不存在与 内的直线与 3. 直线a , b,c 及平面，，使a//b 成立的条件是（ A . a// ,b B.a// , b//4.若直线m 不平行于平面 ，且mA .内的所有直线与m 异面 C.内存在唯一的直线与 m 平行 .a// , I（ ）m 平行的直线m 都相交 ）①一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 条直线和这个平面平行；③ 线和同一平面平行； A. 4过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯 个平面与平行B . 3过平面外一点有且只有一 平行于同一条直线的两条直6.已知空间四边形ABCD 中, MN-AC 2BC BC. MN 7 .A .B .a , a , 1AC 2是两个不重合的平面, ,3都平行于直线 内有三个不共线点到 b 是内两条直线， b 是两条异面直线且 BC D&两条直线a , b 满足a // b , .a 与 A. a //9•设 a, b 表示直线, a，贝y a//// ,a ,b个平面与 D. 1M ,N 分别是AB,CD 的中点，则下列判断正确的是（MN MN-AC BC 2 1-AC BC 2b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定a ,a , b3的距离相等且 a /3, b /3a // ,b /, a /3, b /3，则a 与平面的关系是（ ）C. a 与不相交D.的是（ ）b W 相交a ^l表示平面， P 是空间一点，下面命题中正确的是（.a//, b，贝y a//b，贝y a//bD . P a,P ,a// , // ，则那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（C.平行D.不能确定 D .③④B .若两个平面没有公共点，则两个平面平行C. 若平面a//平面任取直线 a a,则必有a /3D. 若两条直线夹在两个平行平面间的线段长相等，则两条直线平行 二、填空题 13•如下图所示，四个正方体中， A , MNP 勺图形的序号的是 B 为正方体的两个顶点， M N, P 分别为其所在棱的中点，能得到 AB//面④ B ② I I14 .正方体 ABCD-ABiGD 中，E 为 DD 中点，贝U BD 和平面ACE 位置关系是 15 . a , ① a// c b // c // c ④//a // cb ,c 为三条不重合的直线, a " b ；②a/ IIa // ;⑤〃a,3,// ca // b;③ 〃 c // c ⑥1I I 其中正确的命题是 Y 为三个不重合的平面，直线均不在平面内, 给出六个命题: I I a II 16.如图，正四棱柱 ABCD-ABGD1中，E , 点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，贝U M 满足三、解答题 F , A l 17.如图, 正三棱柱 18、已知 求证: G H 分别是棱 CC , C 1D1, DD , 时，有MIN/平面B 1BD D 1.ABC A i B i C i 的底面边长是E 、F 、G EH// BD.H 为空间四边形 ABCD 勺边 DC 中2，侧棱长是谄,D 是AC 的中点.求证：B 1C//平面ABD.B1AB BC CD DA 上的点，且 EH//FG.19、如图，在直三棱柱 ABC-ABiC 中，D 为AC 的中点，求证：AB 1 //平面BC 1D ;20.如图，在正四棱锥 P ABCD 中，PA AB a ,点E 在棱PC 上. 加以证明. 21、已知正方体 A BCD A 1B C 1D 1, O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(1 ) C 1O// 面 AB 1D 1 ； (2)面 OC 1D// 面 AB 1D 1 . 探究习题：1.平面内两正方形 ABCD 与 ABEF 点M N 分别在对角线 AC,FB 上，且AM:MC=FN:NB 沿AB 折起，使得/ DAF=90 (1)证明：折叠后MN//平面CBE⑵若AM:MC=2 3,在线段 AB 上是否存在一点 G 使平面 MGN//平面CBE 若存在，试确定点 G 的位置. 2.设平面 //平面3, AB CD 是两条异面直线， M N 分别是AB, CD 的中点，且 A , C € , B , D C3，求证: MN/平面问点E 在何处时，PA//平面EBD ，并1C。
高中立体几何证明线面平行的常见方法
高中立体几何证明线面平行的常见方法1.通过“平移”再利用平行四边形的性质题目1：四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点。
证明AF∥平面PCE。
证明：将四棱锥P-ABCD平移，使其底面平移到平面PCE上，得到四棱锥P'-A'B'C'D'，其中A'B'C'D'与ABCD平行，且P'、E'、F'分别为A'B'、C'D'、A'D'的中点。
因为AF∥PD，所以AF'=PD'=C'F'，又因为AD'=C'D'/2=AB'/2=AF'/2，所以AD'∥B'C'。
因此，根据平行四边形的性质，AF'∥B'C'，即AF∥CE。
题目3：四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC的中点，证明EB∥平面PAD。
证明：连接PE，因为E为PC的中点，所以PE∥AD。
又因为CD⊥AD，所以CD∥PE。
又因为CD=2AB，所以AB∥PE。
因此，根据平行四边形的性质，EB∥PA，即EB∥平面PAD。
2.利用三角形中位线的性质题目4：四面体ABCD中，E、F、G、M分别是棱AD、CD、BD、BC的中点，证明AM∥平面EFG。
证明：连接EF、EG、FG，因为E、F、G分别为三角形BCD、ACD、ABD的中点，所以EF、EG、FG分别是这三个三角形的中位线。
因此，EF∥AD，EG∥BD，FG∥AC。
又因为M为BC的中点，所以AM∥FG。
因此，AM∥平面EFG。
3.利用平行四边形的性质题目7：正方体ABCD-A' B' C' D'中O为正方形ABCD的中心，M为B'B的中点，求证D'O∥平面A'BC'。
必修二立体几何线线平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习
必修二立体几何线线平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习本文档将介绍必修二立体几何中关于线线平行、面面平行、线面垂直的判定方法和性质，并提供相关练题。
一、线线平行的判定和性质1. 判定方法- 定理1：若两线的任意一对对应角相等，则这两条线平行。
定理1：若两线的任意一对对应角相等，则这两条线平行。
- 定理2：若一条直线与两平行线相交，则所成的对应角相等。
定理2：若一条直线与两平行线相交，则所成的对应角相等。
2. 性质- 平行线之间的距离相等。
- 平行线截取的两个平行线段成比例。
- 平行线相交的任意两对内错角相等，外错角相等。
- 平行线与一个横截线相交，所成的相应角、对应角均相等。
二、面面平行的判定1. 判定方法- 定理3：若两平面有一对平行线，则这两个平面平行。
定理3：若两平面有一对平行线，则这两个平面平行。
- 定理4：若两平面分别与一直线平行，则这两个平面平行。
定理4：若两平面分别与一直线平行，则这两个平面平行。
2. 性质- 平行面之间的距离相等。
三、线面垂直的判定1. 判定方法- 定理5：一条直线与平面垂直的充分必要条件是直线与平面内的任意一条短线都垂直。
定理5：一条直线与平面垂直的充分必要条件是直线与平面内的任意一条短线都垂直。
2. 性质- 垂直于同一平面的两条直线平行。
四、练题1. 若两线段的长度相等，能判断这两条线段平行吗？若能，请说明理由。
2. 若两平行线上的两点与另外一直线上的两点分别相连，那么这四条线段相交于一点还是两点？请说明理由。
3. 若两平面平行，能判断这两个平面之间的距离吗？请说明理由。
以上是必修二立体几何中关于线线平行、面面平行、线面垂直的判定方法和性质的介绍及练题。
通过理解和练这些内容，你将更好地掌握立体几何的基本概念和性质。
希望对你有帮助！。
第8章立体几何专题3 平行的证明常考题型专题练习——【含答案】
1平行的证明【方法总结】1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．3. 应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线．4. 有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，常与公理4等结合起来使用．【分题型练习】考向一 证明线面平行例1、如图，四棱锥P ABCD -中，90BAD ABC ︒∠=∠=，证明：BC ∥平面PAD1【答案】证明过程见详解；【解析】因为四棱锥P ABCD -中，90︒∠=∠=BAD ABC ，所以BC AD ∥，因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ； 例2、如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，F 是AB 的中 点，E 是PD 的中点，//PB 平面AEC【答案】证明见解析【解析】连接BD ，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO . 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点， 又因为E 为PD 的中点,所以//EO PB ，因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .1例3、如图,已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形, //AB DC 且12DCAB =,M 是PB 的中点，证明: //MC 平面PAD【答案】证明见解析【解析】证明：取PA 中点为N ，因为,N M 分别是,PA PB 中点，所以1//2MN AB ，又因为1//2DC AB ，所以MN //DC , 所以四边形MNDC 为平行四边形，所以//MC ND ，ND ⊂平面PAD ，MC ⊄平面PAD ，所以//MC 平面PAD . 例4、如图，在四面体A BCD -中，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =求证：//PQ 平面BCD .1【答案】证明见解析【解析】如下图所示，取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF FC =，连接OP 、OF 、FQ .3AQ QC =，3AQ DF QC FC ∴==，//QF AD ∴，且14QF AD =. O 、P 分别为BD 、BM 的中点，//OP AD ∴，且12OP DM =. M 为AD 的中点，14OP AD ∴=. //OP QF ∴且OP QF =，四边形OPQF 是平行四边形，//PQ OF ∴. PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，//PQ ∴平面BCD .【巩固练习】11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M 为PC 中点，证明：//PA 平面BDM ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】连接AC 交BD 于点O ，连接OM ， 因为底面ABCD 为平行四边形，所以O 为AC 中点. 在PAC ∆中,又M 为PC 中点，所以//OM PA .又PA ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以//PA 平面BDM .2．如图，在三棱锥A -BCD 中，点M ，N 分别在棱AC ，CD 的中点，求证：AD 平面BMN【答案】详见解析1【解析】证明：在ACD 中，因为M，N 分别为棱AC ，CD 的中点， 所以//MN AD ，又AD ⊄平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以AD平面BMN ．3．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，求证：//CD 平面PAB【答案】详见解析【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//CD AB , 又因为AB平面PAB ，CD ⊄平面PAB ,所以//CD 平面PAB 。
立体几何中线面平行的经典方法 经典题(附详细解答)
DB A 1A F高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。
(2)利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA（第1题图）4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点,证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。
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精心整理
F
高中立体几何证明平行的专题
(基本方法)
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：
(1)通过“平移”。
(2)利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行，等
等。
(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质
1棱则易
证2、AB 过A ADE
沿
3、
M 为4角梯
形,分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形
(2)利用三角形中位线的性质
5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。
求证：PA ∥7D 为AC
8
BAD ∠是平行四边形； 四点是否共面？为什么？
（.39为正方形ABCD 的中心，BB 1的10 A
B C
D E
F
G M
求证：AE ∥平面PBC ；
分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形
11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠?ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ; 二
（I ACB ∠在ABCD 中，又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM//平面AB 。
(4)利用对应线段成比例
12、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一
点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，
且
SM
AM =ND
BN ，
求证：MN ∥平面SDC
分析：过M 作ME//AD ，过N 作NF//AD 利用相似比易证MNFE 是平行四边形
13上的
(5)1490，PB=BC=CA ，E 为2FP =1A B C D 2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四
面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．0B ．1 C ．2D ．3
3．直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（） A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b c D ．//,a b ααβ=
4．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是（）A．α内的所有直线与m异面B．α内不存在与m平行的直线C．α内存在唯一的直线与m平行D．α内的直线与m都相交5．下列命题中，假命题的个数是（）
①一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任
过b
6
A．
C．
7，
平
8．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是
①②
③
④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1
中点，则BD 1和平
面ACE 位置关系是．
10.是AC
11.1中，E ，M ，（1平面
EB 1D 1．2．3．C
【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b αα
β=则//a b 或,a b 异面，所以
D
错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.
4．B
【提示】若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则直线m于平面α相交，α内不存在与m平行的直线.
5．B
【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平
6.
7
CD于F E，
ABD.
故AB//面MNP,对于②④，过AB找一个平面与平面MNP相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.
9．平行
，OEC平面ACE，【提示】连接BD交AC于O，连OE，∴OE∥BD
1
∴BD 1
∥平面ACE.
三、解答题
10.证明：设1
AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1
AB 中点，
D
为AC 中点，∴PD//C B 1
.
又 PD ⊂平面B A 1
D ，∴C B 1
//平面B A 1
D
11.
又 （2 E 是AC 1⊄BB 1中1
1//面
EB 1D （3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH 因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG
又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.
BD⋂DG=G，∴面EB1D1//面BDG。