2014年广州地区中考第一次模拟考试数学试题
2014广州增城区中考数学一模试卷(含答案)-已排版
2014年广州增城区中考数学一模试卷数 学第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1．比0小的数是（ ＊ ）A ．8-B ． 8C ．8±D ．812．如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的俯视图是（ ＊ ）3．如图，将面积为5的ABC ∆沿BC 方向平移至DEF ∆的位置，平移的距离是边BC 长的两倍，则图中的四边形ACED 的面积为（ ＊ ）A ．5B ．10C ．15D ．20 （第3题图） 4．计算：()32b a 的结果是 ( ＊ )A ．b a 6B ．36b aC ．35b aD ． 32b a5．下列说法正确的是( ＊ ) A ．一个游戏中奖的概率是1001，则做100次这样的游戏一定会中奖． B ．为了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式． C ．一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1．D ．若甲组数据的方差2.02=甲S ，乙组数据的方差5.02=乙S ，则乙组数据比甲组数据稳定． 6．不等式组⎩⎨⎧≤-≥+0102x x 的解集是（ ＊ ）A ．12≤≤-xB ．12<<-xC ．1≤xD ．2-≥x 7．若1<a ，则()=--112a （ ＊ ）A ．2-aB ．a -2C ．aD ．a -8．若代数式2-x x有意义，则实数x 的取值范围是（ ＊ ） A ．2≠x B ．0≥x C ．0>x D ．20≠≥x x 且9．若α，β是一元二次方程0252=--x x 的两个实数根，则22βαβα++的值为（ ＊ ）A ．1-B ．9C ．23D ．2710．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则=GT （ ＊ ） A ． 2B ． 22C ．2D ．1第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11．分解因式：=-x x 42＊ ．12．增城区城市副中心核心区规划面积是64000000平方米，将64000000用科学记数法表示为 ＊ ． 13．反比例函数xm y 2+=，若0>x 时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 ＊ ．14．点P 在线段AB 的垂直平分线上，10=PB ，则=PA ＊ ． 15. 如图，在等边ABC ∆中，10=AB ，D 是BC 的中点，将ABD ∆绕点A 旋转后得到ACE ∆，则线段DE 的长度为 ＊ ． （第15题图）16．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，︒=∠30CDB ， 过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于E ，则E sin 的值为 ＊ ．（第16题图）B三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）17．（本题满分9分）先化简，再求值：yx y y x x +-+22 ，其中32,32-=+=y x18．（本题满分9分）解方程组⎩⎨⎧=+=-1238y x y x19．（本题满分10分）在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ，20=AC ，15=BC ， （1）求AB的长； （2）求CD 的长．20．（本题满分10分）如图，在ABC ∆中，AC AB =，D 是BA 延长线上一点，E 是AC 的中点. （1）利用尺规作出DAC ∠的平分线AM ，连接BE 并延长交AM 于点F ， （要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）；（2）试判断AF 与BC 有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由．（第20题图）21．（本题满分12分）小明调查了九()1班50名学生平均每周参加课外活动的时间，把调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题： （1）求m 的值；（2）从参加课外活动时间在6～10小时的学生中随机选取2人，请用列表法或画树形图求其中至少有1人课外活动时间在8～10小时的概率．22．（本题满分12分）如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，D 是AB 边上的一点，以BD 为直径作⊙O 交AC 于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ，且BF BD =． （1）求证：AC 与⊙O 相切；（2）若6=BC ，12=AB ，求⊙O 的面积（结果保留π）.623．（本题满分12分）如图，制作某金属工具先将材料煅烧6分钟温度升到C ︒800，再停止煅烧进行锻造，8分钟温度降为C ︒600；煅烧时温度y （C ︒）与时间x （min ）成一次函数关系；锻造时温度 y （C ︒）与时间x （min ）成反比例函数关系；该材料初始温度是C ︒32．（1）分别求出材料煅烧和锻造时y 与x 的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料温度低于C ︒480时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？24．（本题满分14分） 如图，抛物线与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交点C ，点A 的坐标为()0,2A ， 点C 的坐标为()3,0C ，它的对称轴是直线21-=x ； （1）求抛物线的解析式；（2）点M 是线段AB 上的任意一点，当MBC ∆为等腰三角形时，求点M 的坐标．25．（本题满分14分） 如图，矩形纸片ABCD （AB AD >）中，将它折叠，使点A 与C 重合，折痕EF 交AD 于E ，交BC 于F ，交AC 于O ，连结AF 、CE ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）过E 作AD EP ⊥交AC 于P ，求证：AP AO AE ⋅=2；（3）若8=AE ，ABF ∆的面积为9，求BF AB +的值．AE DCFBPO增城市2014年初中毕业班综合测试数学评分标准一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分）二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）17．（本题满分9分）解：原式()()y x yx y x y x y x y x -=+-+=+-=22……………………………………5分 当32,32-=+=y x 时 ………………………………………………6分 原式()()3232323232=+-+=--+=……………………………9分18．（本题满分9分） 解：①+②得：204=x …………………………………………………………………2分 解得5=x …………………………………………………………………4分 把5=x 代入①得：85=-y …………………………………………………6分 解得3-=y …………………………………………………………………8分 ∴原方程组的解是⎩⎨⎧-==35y x ． …………………………………………………9分19．（本题满分10分） 解：（1）在Rt△ABC 中 由勾股定理得：2515202222=+=+=BC AC AB ………………………………………4分CABD（2）由ABC ∆面积公式得：CD AB BC AC S ABC ⋅=⋅=∆2121 ………………………………8分 ∴CD AB BC AC ⋅=⋅∴CD 251520=⨯ ………………………………………………9分 ∴12=CD ． ………………………………………………10分 20．（本题满分10分）解：（1）作图正确，并有清晰的作图痕迹…………………………3分 （2）BC AF // 且BC AF = …………………………………5分 证明：∵AC AB =∴C ABC ∠=∠ …………………………………6分 ∵C ABC DAC ∠+∠=∠∴C DAC ∠=∠2 …………………………………7分 由作图可知FAC DAC ∠=∠2∴FAC C ∠=∠∴BC AF // …………………………………8分 ∵E 是AC 的中点 ∴CE AE = ∵CEB AEF ∠=∠∴AEF ∆≌CEB ∆ …………………………………9分 ∴BC AF = …………………………………10分21．（本题满分12分）解：（1）142325650=----=m …………………………………………………………………4分 （2）记6～8小时的3名学生为1A ，2A ，3A ，8～10小时的两名学生为1B ，2B …………6分…………………………10分P （至少有1人课外活动时间在8～10小时）1072014==…………………………………………12分 22. （本题满分12分）证明：（1）连接OE …………………………………………………………………1分 ∵OE OD =∴OED ODE ∠=∠………………………………………………………………2分∵BF BD =∴F ODE ∠=∠ …………………………………………………………………3分 ∴F OED ∠=∠∴BF OE // …………………………………………………………………4分 ∴︒=∠=∠90ACB AEO∴AC OE ⊥ …………………………………………………………………5分 ∴AC 与⊙O 相切…………………………………………………………………6分 （2）解：由（1）得BF OE //∴AOE ∆∽ABC ∆……………………………………………………………7分 ∴ABAOBC OE = …………………………………………………………………8分 设⊙O 的半径为r ，则12126rr -=……………………………………………9分 解得：4=r …………………………………………………………………10分 ∴⊙O 的面积πππ16422=⨯==r S ． …………………………………12分 23. （本题满分12分）解：（1）材料煅烧时，设32+=kx y …………………………………………………2分 当6=x 时，800=y6∴326800+=k∴128=k …………………………………………………4分 ∴材料煅烧时，32128+=x y ．………………………………………………………5分 材料锻造时，设6分∴材料锻造时9分 11分 ∴锻造的时间为：4610=-（min ）……………………………………………………12分 答：锻造的操作时间为4分钟．24．（本题满分14分）解：（1）设抛物线的解析式k x a y +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=221…………………………………………1分把()0,2A ，()3,0C 代入得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅3210021222k a k a ……………………………………3分 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=82521k a ……………………………………………………………5分 ∴82521212+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x y ……………………………………………………………6分 即321212+--=x x y （2）由0=y 得 082521212=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x ………………………………………………7分 ∴21=x 32-=x∴B （3-，0） ……………………………………………………………8分 ①当BM CM =时，则M 在BC 的中垂线与AB 的交点………………………………9分 ∴当M 点在原点O 上，MBC ∆是等腰三角形∴M 点坐标()0,01M ……………………………………………………………10分 ②当BM BC =时 ……………………………………………………………11分 在BOC Rt ∆中，3==CO BO ， 由勾股定理得233322=+=BC ………………………………………………………12分 ∴23=BM∴M 点坐标()0,3232-M ……………………………………………………………13分 ∴当M 点坐标为()0,01M 或()0,3232-M 时，MBC ∆为等腰三角形． ……………14分25．（本题满分14分）解：（1）当顶点A 与C 重合时，折痕EF 垂直平分AC ，∴OC OA = ︒=∠=∠90COF AOE …………………………………………1分 在矩形ABCD 中，BC AD //，∴FCO EAO ∠=∠…………………………………………………………………2分∴AOE ∆≌COF ∆∴OF OE = …………………………………………………………………3分 ∴四边形AFCE 是菱形． ………………………………………………………4分（2）证明：∵AD EP ⊥∴90AEP ∠=，∵90AOE ∠=，∴AOE AEP ∠=∠ ……………………………………………………………5分 ∵EAP EAO ∠=∠∴AOE ∆∽AEP ∆…………………………………………………………………7分 ∴AEAO AP AE = ∴AP AO AE ⋅=2…………………………………………………………………9分（3）四边形AFCE 是菱形∴8==AE AF …………………………………………………………………10分 在ABF Rt ∆中，222AF BFAB =+ …………………………………………11分∴2228=+BF AB∴()6422=⋅-+BF AB BF AB ①……………………………………12分 ∵ABF ∆的面积为9 ∴921=⋅BF AB ∴18=⋅BF AB ②……………………………………………………13分 由①、②得：()1002=+BF AB ∵0>+BF AB∴10=+BF AB …………………………………………14分（第25题图） A E D C FB PO。
2014广州白云区中考数学一模试卷(含答案)-已排版
2014年广州白云区中考数学一模数学试卷第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） １．与－12互为相反数的是（＊） （Ａ）－０.５ （Ｂ）12 （Ｃ）２ （Ｄ）21２．平行四边形的对角线（＊）（Ａ）相等 （Ｂ）不相等 （Ｃ）互相平分 （Ｄ）互相垂直 ３．函数y ＝－x －２的图象不经过（＊）（Ａ）第一象限 （Ｂ）第二象限 （Ｃ）第三象限 （Ｄ）第四象限 ４．若分式244x x --的值为零，则x 的值是（＊） （Ａ）０ （Ｂ）±２ （Ｃ）４ （Ｄ）－４ ５．如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，如果ＡＢ＝１０，ＣＤ＝８，那么线段ＯＥ的长为（＊） （Ａ）６ （Ｂ）５ （Ｃ）４ （Ｄ）３６．已知三角形的两边长分别为２cm 和７cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（＊）（Ａ）３cm （Ｂ）５cm （Ｃ）８cm （Ｄ）１０cm７．在平面直角坐标系下，与点Ｐ（２，３）关于x 轴或y 轴成轴对称的点是（＊）（Ａ）（－３，２） （Ｂ）（－２，－３） （Ｃ）（－３，－２） （Ｄ）（－２，３）８．若ab =ab 的值为（＊）（Ａ）2m （Ｂ）2mn （Ｃ）m n + （Ｄ）m n - ９．下列命题中错误的是（＊）（Ａ）平行四边形的对边相等 （Ｂ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （Ｃ）对角线相等的四边形是矩形 （Ｄ）矩形的对角线相等１０．将边长为３cm 的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连结这个正六边形的各边中点，又形成一个新正六边形，则这个新正六边形的面积等于（＊）222（Ｄ）28A 图1第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） １１．方程：２（x －１）＋１＝０的解为 ＊ ．１２．把直线y ＝－２x ＋１向下平移２个单位长度，得到的直线是 ＊ ． １３．不等式组302(1)33x x x+>⎧⎨-+≥⎩的解集为 ＊ ．１４．在反比例函数23my x-=的图象上有两点Ａ（1x ，1y ），Ｂ（2x ，2y ）， 当1x ＜０＜2x 时，有1y ＞2y ，则m 的取值范围是 ＊ ．１５．多边形的内角和与它的一个外角的和为７７０°，则这个多边形的边数是 ＊ ．１６．如图２，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ＝９０°，∠Ｃ＝４５°，ＡＤ＝２，ＢＣ＝８，Ｅ为ＡＢ的中点，ＥＦ∥ＤＣ交ＢＣ于点Ｆ．则ＥＦ的长＝ ＊ ．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（本小题满分９分）分解因式：244x y xy y -+１８．（本小题满分９分）已知，如图３，点Ｂ、Ｅ、Ｆ、Ｃ在同一条直线上，∠Ａ＝∠Ｄ，ＢＥ＝ＣＦ，∠Ｂ＝∠Ｃ． 求证：ＡＦ＝ＤＥ．AB CDEF 图3１９．（本小题满分１１分）某校为了了解九年级男生１０００米长跑的成绩，从中随机抽取了５０名男生进行测试，根据测试评分标准，将他们的得分进行统计后分为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个等级，并绘制成下面的频数分布表（表一）和扇形统计图（图①）。
2014年广州市越秀区中考一模数学试卷
2014年广州市越秀区中考一模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 的平方根为A. B. C. D.2. 对于样本数据：，，，，，以下判断：平均数为；中位数为；众数为；极差为．正确的有A. 个B. 个C. 个D. 个3. 如图所示的几何体的主视图是A. B.C. D.4. 如果代数式有意义，那么的取值范围是A. B. C. D. 且5. 如图，圆锥的底面半径，高．则这个圆锥的侧面积是A. B. C. D.6. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是A. B. C. D.7. 一次函数的大致图象为A. B.C. D.8. 如图，四个边长为的小正方形拼成一个大正方形，，，是小正方形顶点，的半径为，是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于A. B. C. D.9. 关于的二次函数，下列说法正确的是A. 当时，随的增大而减小B. 图象与轴的交点坐标为C. 图象的开口向上D. 图象的顶点坐标是10. 如图，直角三角形纸片中，，，为斜边中点，第次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；；设的中点为，第次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点，则的长为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 点向右平移个单位长度后所得的点的坐标为______．12. 已知空气的单位体积质量为克厘米，将用科学记数法表示为______．13. 如图，与是位似图形，位似比为，已知，则的长为______．14. 计算： ______．15. 如图，防水堤坝的轴截面是等腰梯形，，，，，，则斜坡的坡角为______ 度．16. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是______．三、解答题（共9小题；共117分）17. 解方程：．18. 如图，已知平行四边形．（1）作图：延长，并在的延长线上截取线段，使得（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接，交于点．求证：．19. 已知且，求代数式的值．20. 小明对自己所在班级的名学生平均每周参加课外活动的时间进行了调查，由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：（1）求的值；（2）从参加课外活动时间在小时的名学生中随机选取人，请你用列表或画树状图的方法，求其中至少有人课外活动时间在小时的概率．21. 为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”，活动中筹集的部分资金购买，两种型号的学习用品共件，已知型学习用品的单价为元，型学习用品的单价为元．（1）若购买这批学习用品用了元，则购买，两种学习用品各多少件?（2）若购买这批学习用品的钱不超过元，则最多购买型学习用品多少件?22. 如图，在菱形中，，，交于点，以点为圆心的与边相切于点．（1）求的长；（2）求证：与边也相切．23. 如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点是反比例函数图象上的一点，的面积恰好等于正方形的面积，求点的坐标．24. 如图，在半径为的扇形中，，点是上的一个动点（不与点，重合），，，垂足分别为点，点．（1）当时，求线段的长；（2）在点的运动过程中，中是否存在长度保持不变的边或度数保持不变的角?如果存在，请指出并求其长度或度数（只求一种即可）；如果不存在，请说明理由；（3）作于点（如图），当取得最大值时，求的值．25. 如图，已知直线：与轴交于点，抛物线经过点，其顶点为，另一抛物线的顶点为，两抛物线相交于点，（1）求点的坐标，并判断点是否在直线上，请说明理由；（2）设交点的横坐标为．①请探究关于的函数关系式；②连接，，若，求的值．答案第一部分1. B2. C3. A4. D5. C6. B7. B8. B9. A 10. A第二部分11.12.13.14.15.16.第三部分17. 方程两边同乘以，得解这个方程，得检验：当时，．所以，是原分式方程的根．18. （1）如图所示，即为所求．（2）中，，．由（1）中作图可知，，．在和中，对顶角已证已证．19. 且，20. （1）．（2）记小时的名学生为，，，小时的名学生为，，列表如下：至少人时间在小时．21. （1）设购买型学习用品件，则购买型学习用品为件．根据题意，得解方程，得则（件）．答：购买型学习用品件，购买型学习用品件．（2）设购买型学习用品件，则购买型学习用品为件．根据题意，得解不等式，得答：最多购买型学习用品件．22. （1）四边形是菱形，，，，，，．（2）连接，过点作，垂足为点，四边形是菱形，平分，与边相切于点，，，，与边也相切．23. （1）点的坐标为，点的坐标为，．四边形为正方形，点的坐标为．．反比例函数的解析式为．（2）设点到的距离为．的面积恰好等于正方形的面积，，解得．①当点在第二象限时，，此时，，点的坐标为．②当点在第四象限时，，此时，，点的坐标为．综上所述，点的坐标为或．24. （1）点是圆心，，，．，；（2）存在，的长度是不变的．的度数是不变的．如图，连接，，点，点分别是，的中点，．或如图，连接．，，，，即；（3）如图，，由（）可知，在中，，，当，即时，取得最大值，此时，，由（）可知，是等腰直角三角形，，在中，，．25. （1）当时，，，把代入抛物线方程中，得，，抛物线方程为，，，当时，，点在直线上．（2）①点是抛物线和抛物线的交点，横坐标为，由题意得，整理得，，．②过点作轴的垂线，垂足为，过点作于点，，，又，，，，由，可将抛物线方程化为，又，，，，，，，解得：，，，．。
2014广州中考数学一模(四中)试题
2013学年下学期初三一模测试数学科测试试题（四中）第Ⅰ卷（30分）一、选择题（每题3分，共30分）1.16的算术平方根是（）A.±2B.2C. ± 2D. 22.下列运算正确的是（）A.3x-2x=1B.－2x2=－12x2C.(－a)2a3=a6D. (－a2)3=－a53.下列图形中，既是中心对称图形又是周对称图形的是（）A.等边三角形B.菱形C. 等腰三角形D. 平行四边形4.实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|b－a|－b2的结果是（）A.2b－aB. a－2bC. aD.－a5.如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°，BC=1，则⊙O的半径为（）A.1.5B.2C. 12D. 16.袋中有同样大小的4个小球，其中3个红色，1个白色，从袋中任意地同时摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是（）A. 12B.13C.23D.147抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是（）A.（1,1）B.（-1,1）C.（-1,2）D.（1,2）8.二次函数（a≠0）的图形不经过第三象限，则一次函数y=ax+b的图像不经过第（）象限A.一B.二C. 三D. 四9.在如图所示的扇形中，∠AOC=90°，面积为4πcm2，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥底面半径为（）A.1cmB.2cmC.4cmD. 15 cm第5题第9题第10题10.如图⊙O1和⊙O2内切于A，⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为2，点P为⊙O1上的任一点（与点A不重合），直线PA交⊙O2于点C，PB切⊙O2于点B，则BPPC的值为（）A. 2B. 3C. 32D.62b 0 aOAC B第Ⅱ卷（120分）二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11.若1x代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 。
12.若2x 2-6x -1=0，则3x 2-9x = 。
13.不等式组的整数解能使一元二次方程x 2+2x +k =0没有实数解的概率为 。
2014年广州一模数学试题及答案
试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2014.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为A ．2-B ．2±C ．D ．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则c b为 A ．2sin C B ．2cos B C ．2sin B D ．2cos C 3．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22121x y -++=4．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．(][),22,-∞-+∞D ．[]2,2-5．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制２成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[]80,100范围内的数据16个， 则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个 6．已知集合32A x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z 且，则集合A 中的元素个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．57．设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b 成立的一个必要非充分条件是A ．=a bB ．⊥a bC ．λ=a b ()0λ>D ．ab8．设a ，b ，m 为整数（0m >），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．若不等式1x a -<的解集为{}13x x <<，则实数a 的值为 ． 10．执行如图2的程序框图，若输出7S =，则输入k ()*k ∈N 的值为 ． 11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是 ．12．设α为锐角，若cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 侧（左）视图图3俯视图爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ３13．在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若AB =3a 的值为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图4，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆O 交于A ，B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （1）求实数a 的值；（2）设[]2()()2g x f x =-，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间．17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立． （1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）．18．（本小题满分14分）如图5，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的PEABCD 图4O 1C 1D DE1A 1B４中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =． （1）求证：11EF A C ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ， 使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长；（3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值． 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S ． （注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值．） 20．（本小题满分14分）已知双曲线E ：()222104x y a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为35，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF =．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=，证明点H 恒在一条定直线上． 21．（本小题满分14分）已知函数()()221e x f x x x =-+（其中e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可C爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ５根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．题号 1 23 4 5 6 7 8答案 A B A D B C D A二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号 9 10 11 12131415答案23421020112-1-或5- 23三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16．（本小题满分1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即302a+=． 解得3a =（2）方法1：由（1）得()sin 3f x x x =．所以2()[()]2g x f x =-()2sin 32x x=+-22sin 23cos 3cos 2x x x x =++-６2cos 2x x =+122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭ 2sin 2cos cos 2sin 66x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()g x 的最小正周期为22π=π． 因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ， 所以当πππ2π22π262k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增， 即ππππ36k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ． 方法2：由（1）得()sin f x x x =+2sin cos cos sin 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以2()[()]2g x f x =-2π2sin 23x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π4sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2π2cos 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭分所以函数()g x 的最小正周期为22π=π分 因为函数cos y x =的单调递减区间为[]2,2k k ππ+π()k ∈Z ， 所以当22223k x k ππ≤+≤π+π()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ７即ππππ36k x k -≤≤+（k ∈Z ）时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．17．（本小题满分1）（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） 解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ，由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足()()()()()113232,5611,253.10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎡⎤⎡⎤⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩解得()212P A =，()335P A =． 所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35． （2）ξ的可能取值为1，3．因为()()()1231233P P A A A P A A A ξ==+()()()()()()123123111P A P A P A P A P A P A =+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦213312525525=⨯⨯+⨯⨯625=． 所以()()113P P ξξ==-=61912525=-=． 所以ξ的分布列为所以19613252525E ξ=⨯+⨯=．ξ 1 3P1925625８18．（本小题满分1）（本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）推理论证法：（1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111A C B D ⊥． 在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11A C ⊂平面1111A B C D ，所以111A C DD ⊥．因为1111B D DD D =，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ，所以11A C ⊥平面11BB D D ．因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11EF A C ⊥． （2）解：取1C C 的中点H ，连结BH ，则BHAE ．在平面11BB C C 中，过点F 作FGBH ，则FGAE ．连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面．因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a ===， 所以1C G 116C C CH HG a =--=．故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面．（3）延长EF ，DB ，设EFDB M =，连结AM ，则AM 是平面AEF 与平面ABCD 的交线．过点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，连结FN ， 因为FB AM ⊥，FB BN B =， 所以AM ⊥平面BNF ．因为FN ⊂平面BNF ，所以AM ⊥FN ． 所以FNB ∠为平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的平面角．因为123132aMB BF MD DE a ===，23=，1D ABCD EF 1A1B1C MN1D ABCD EF 1A1B1C 1DABCDE F 1A1B 1C G H爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ９所以22MB a =．在△ABM 中，AB a =，135ABM ∠=， 所以2222cos135AM AB MB AB MB =+-⨯⨯⨯ ()222222222a aa a ⎛=+-⨯⨯⨯- ⎝⎭213a =． 即13AM a =． 因为11sin13522AM BN AB MB ⨯=⨯⨯， 所以222sin13521321313a a AB MB BN a AMa⨯⨯⨯===．所以2222121371331339FN BF BN a a ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以6cos 7BN FNB FN ∠==．故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．空间向量法：（1）证明：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,,C a a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()11,,0AC a a =-，1,,6EF a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 因为221100AC EF a a =-++=， 所以11AC EF ⊥．1D ABC D EF 1A1B1C xyz１０所以11EF A C ⊥．（2）解：设()0,,G a h ，因为平面11ADD A 平面11BCC B ，平面11ADD A 平面AEGF AE =，平面11BCC B 平面AEGF FG =，所以FGAE ．所以存在实数λ，使得FG AE λ=． 因为1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,0,3FG a h a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以11,0,,0,32a h a a a λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以1λ=，56h a =． 所以1C G 15166CC CG a a a =-=-=． 故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面． （3）解：由（1）知1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量． 而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量， 设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ， 则11cos DD DD θ=n n (1)爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １１()()2220302667326a a⨯+⨯-+⨯==+-+⨯． 故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．第（1）、（2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法： （1）、（2）给分同推理论证法． （3）解：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则(),0,0A a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量． 而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量， 设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ， 则11cos DD DD θ=n n (1)()()2220302667326a a⨯+⨯-+⨯==+-+⨯． 故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67． 19．（本小题满分1）（本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）1D ABC DEF 1A1B1C xyz１２解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯， 即28n a n =+．因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，所以112n n b -=⨯， 即12n n b -=．（2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =．易知当5n ≤时，n n a b >．下面证明当6n ≥时，不等式n n b a >成立．方法1：①当6n =时，616232b -==620268a >=⨯+=，不等式显然成立．②假设当n k =()6k ≥时，不等式成立，即1228k k ->+．则有()()()()122222821826218kk k k k k -=⨯>+=++++>++．这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立． 所以当6n ≥时，n n b a >． 方法2：因为当6n ≥时()()()112281128n n n n b a n n ---=-+=+-+()()01211111C C C C 28n n n n n n -----=++++-+()()012321111111C C C C C C 28n n n n n n n n n n ---------≥+++++-+ ()()0121112C C C 28n n n n ---=++-+()()236460n n n n n =--=-+->，所以当6n ≥时，n n b a >．所以{}min ,n n n c a b =12,5,28,5.n n n n -⎧≤=⎨+>⎩爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １３则()22222,5,44, 5.n n n c n n -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩当5n ≤时，2222123n n S c c c c =++++ 2222123n b b b b =++++024222222n -=++++1414n -=-()1413n=-．当5n >时，2222123n n S c c c c =++++()()22222212567n b b b a a a =+++++++()51413=-()()()222464744n ⎡⎤+++++++⎣⎦()()()222341467867165n n n ⎡⎤=+++++++++-⎣⎦ ()()()()2222223414121253267645n n n ⎡⎤=++++-++++++++-⎣⎦()()()()()121653414553264562n n n n n n +++-⎡⎤=+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦3242421867933n n n =++-． 综上可知，n S ()32141,5,3424218679, 5.33nn n n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪++->⎪⎩20．（本小题满分1）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得22354.c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得5a =．１４（2）证明：由（1）可知，直线2533a x ==，点()23,0F ．设点5,3P t ⎛⎫⎪⎝⎭,()00,Q x y ， 因为220PF QF =，所以()0053,3,03t x y ⎛⎫----= ⎪⎝⎭． 所以()00433ty x =-． 因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即()2200455y x =-． 所以20000200005533PQ OQy t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=--()()2002004453453553x x x x ---==-．所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45．（3）证法1：设点(),H x y ，且过点5,13P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则22114520x y -=，22224520x y -=，即()2211455y x =-，()2222455y x =-． 设PM MH PN HN λ==，则,.PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 即()()1122112255,1,1,33,,.x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩整理，得()()()1212121251,31,1,1.x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得()()22221222221251,31.x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩⑤⑥将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入⑥，爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １５得2221224451x x y λλ-=⨯--． ⑦ 将⑤代入⑦，得443y x =-． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在． 设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由2251,31.54y k x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=． 因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053,95425569.954k k k k k k k x x k k k x x k ⎧⎪∆=-+--+>⎪⎪-⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩设点(),H x y ，由PM MH PN HN =，得112125353x x x x x x --=--． 整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．1 将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954k k x k k x k k -++--+=--．整理得()354150x k x --+=． ④①② ③１６因为点H 在直线l 上，所以513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ⑤ 联立④⑤消去k 得43120x y --=． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．（本题（3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．） 21．（本小题满分1）（本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） 解：（1）因为()()221e x f x x x =-+，所以2()(22)e (21)e x x f x x x x '=-+-+()21e xx =-(1)(1)e x x x =+-． 当1x <-或1x >时，()0f x '>，即函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞． 当11x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 的单调递减区间为()1,1-．所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-． （2）假设函数()f x 在()1,+∞上存在“域同区间”[,](1)s t s t <<，由（1）知函数()f x 在()1,+∞上是增函数，所以(),().f s s f t t =⎧⎨=⎩ 即22(1)e ,(1)e .s ts s t t ⎧-⋅=⎨-⋅=⎩也就是方程2(1)e xx x -=有两个大于1的相异实根． 设2()(1)e (1)xg x x x x =-->，则2()(1)e 1xg x x '=--． 设()h x =2()(1)e 1xg x x '=--，则()()221e x h x x x '=+-．因为在(1,)+∞上有()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增． 因为()110h =-<，()223e 10h =->，即存在唯一的()01,2x ∈，使得()00h x =．当()01,x x ∈时，()()0h x g x '=<，即函数()g x 在()01,x 上是减函数； 当()0,x x ∈+∞时，()()0h x g x '=>，即函数()g x 在()0,x +∞上是增函数．因为()110g =-<，0()(1)0g x g <<，2(2)e 20g =->，爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １７所以函数()g x 在区间()1,+∞上只有一个零点．这与方程2(1)e xx x -=有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数()f x 在()1,+∞上不存在“域同区间”．。
2014年广州中考中考一模数学黄埔区参考答案
2014年黄埔区初中毕业生综合测试数学参考答案一．选择题（每小题3分，共30分） ABCDA CDCDB二．填空题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 11．3x 12．3≠x 13．1- 14．60 15. ＜16．45或36 （只对1个，给2分，全对3分，没写单位不扣分） 三．解答题17．（本小题满分9分）两边同时乘以)3(2+x x ……2分 得x x 43=+解得1=x ……6分 把1=x 代入)3(2+x x ，知0)31(2≠+⨯……8分所以1=x 是原方程的解 ……9分 18．（本小题满分9分） ∵AB CD ∥∴︒=∠+∠180C B ……2分 又∵B D ∠=∠∴︒=∠+∠180D C ……4分 ∴AD ∥BC ……6分 又AB CD ∥∴四边形ABCD 是平行四边形． ……9分19．（本小题满分10分）∵)1)(2()1(52+--+-x x x x ）（ =1)1)(1()1(122-=+-=+--x x x x x x ）（AD CB第18题……6分又 ∵32=x∴ )1)(2()1(52+--+-x x x x ）（ =111121322=-=-）（……10分 20．（本小题满分10分）（1）如图①所示，O 为所求．图略……3分（2）设圆心为O ，连结 OA 、OB ，OA 交BC 于D ……4分 ∵AB =AC∴弧AB =弧AC∴OA ⊥BC 且12021===BC DC BD ……6分 由题意DA=5 在Rt △BDO 中，222BD OD OB += ……8分设x OB =则222120)5(+-=x x ……9人 解得1442510=x ，14431443.5≈=x ……10分 答：略21．（本小题满分12分）（1）300 ……2分 （2）480 ……4分 （3∴李洋能参加的概率为31125P P ===的倍数）（数字和为（洋）……7分 张琳能参加的概率为311243P P ===的倍数）（数字和为（琳）……10分 ∵=（琳）P 31P =（洋） ∴公平．……12分 22．（本小题满分12分）第18题CBA第18题图②（1）∵点A （3，n ）在反比例函数12y x=的图象上， ∴4312==n ∴点A 的坐标为（3，4）……3分 （2）根据勾股定理22243+=OA 所以OA =5 ……5分 ∵OB =OA ，且点B 在y 轴的正半轴上 点B 的坐标为（0，5） ……7分 设直线AB 的解析式为b kx y +=则∴⎩⎨⎧==+543b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==531-b k 所求直线AB 的解析式为531+-=x y ……12分23．(1)当0<x ≤10,且x 是整数时, x y 8= ……2分当lO<x ≤50时，且x 是整数时，.91.02x x y +-=……4分 当x >50时，且x 是整数时，x y 4=……6分(2)利润5.202)45(91.022+--=+-=x x x y ，由二次函数图象可，当450≤<x 时，y 随x 的增大而增大．且当45=x 时达到最大值，当45>x 时，y 随x 的增大而减小．因为需要卖的越多赚的越多，即需要y 随x 的增大而增大． ，此时x ≤45，即最低售价为20-0.1(45-10)=16.5（元）……12分 答略说明：（1）漏写“且x 是整数”共扣1分 24．（本小题满分14分）（1）∵AB 、CD 、EF 都与半圆相切 ∴EH =EB ，HF=CF ∴四边形AEFD 的周长为AE+EH+HF+DF+AD=AE+ED+FC+DF+AD=AB+CD+AD=6a 故周长不变 ……2分 （2）∵AB ∥CD ∴∠BEF +∠CFE =180°又∵EB 切⊙O 于B ，EF 切⊙O 于H ，FE 切⊙O 于H ，FC 切⊙O 于C ∴∠BEO=∠FEO ，∠EFO=∠OFC ∴∠OEF +∠EFO=90° ∴∠EOF =90 ° ∴∠OEF +∠OEF =90°∵∠BOE =60°，∴∠FOC =30° ∴EFG 中，a a OB EB 3360tan =⋅=︒=a a OC FC 333330tan =⋅=︒= ∴四边形EBFC 的周长为a a a EF BC EF CF BC EB 338633822+=+=+=+++ ……6分 （3）∵EO 平分∠BEH ，FO 平分∠CFH ∴FO ⊥EO ，因此可知△EBO ∽△OCF ∴CFOBOC BE =，∴2a OB OC CF BE =⋅=⋅ ①……8分 又S S S 481321=+，即2448132121a CF OC BE OB ⨯=⋅+⋅ ∴2448132121a CF a BE a ⨯=⋅+⋅ ∴a CF BE 613=+ ② ……9分 由①、②知EF 、CF 为方程061322=+-a ax x 的两根 ……11分 解得a x 231=，a x 322= ……13分∴a BE 23=，a CF 32=或a BE 32=，a CF 23=， ……14分25．（本小题满分14分）（1） 由题意，点B 的坐标为（0，2）……1分HF ED CB A O 第24题∴OB=2，∵2tan =∠OAB ，即2=OAOB， ∴OA =1，∴点A 的坐标为（1，0） ……2分又∵二次函数22y x mx =++的图象经过点A ，∴021=++m ，解得3-=m ……3分 ∴所求二次函数的解析式为232+-=x x y ……4分 （2）由题意可得，点C 的坐标为（3，1） ……6分 所求的二次函数解析式为132+-=x x y ……8分（3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象，那么对称轴23=x 不变，且111==DD BB ……9分 ∵点P 在平移后所得的二次函数图象上， 设P 点的坐标为（x ，132+-x x ） 在1PBB ∆和1PDD ∆中，∵1PBB S ∆=21PDD S ∆ ∴边1BB 上的高是边1DD 上的高的2倍.① 点在对称轴的右侧时，)232-=x x （，得3=x ，∴P 的坐标是（3，1）……11分 ② 点在对称轴的左侧，同时在y 轴的右侧时，)232x x -=（，得1=x ， ∴P 的坐标是），（11- ……12分 ③ 点在y 轴的左侧时，0<x ，又)232x x -=-（，得03>=x （舍去），……13分 ∴所求点P 的坐标为（3，1）或），（11- ……14分。
2014年广东省中考数学模拟试卷
2014年广东省中考数学模拟试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共9小题，共27.0分)1.今天，和你一起参加全省课改实验区初中毕业学业考试的同学约有15万人，其中男生约有a万人，则女生约有()A.(15+a)万人B.(15-a)万人C.15a万人D.万人2.若x=1，，则x2+4xy+4y2的值是()A.2B.4C.D.3.如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y=()A.2B.3C.6D.x+34.已知实数x，y满足，则x-y等于()A.3B.-3C.1D.-15.有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b(b＞a)的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，则拼成的正方形的边长最长可以为()A.a+bB.2a+bC.3a+bD.a+2b6.若，，则a+b的值为()A. B. C.1 D.27.若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式．下列三个代数式：①(a-b)2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a．其中是完全对称式的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③8.若3x=4，9y=7，则3x-2y的值为()A. B. C.-3 D.9.如图，对于任意线段AB，可以构造以AB为对角线的矩形ACBD．连接CD，与AB交于A1点，过A1作BC的垂线段A1C1，垂足为C1；连接C1D，与AB交于A2点，过A2作BC的垂线段A2C2，垂足为C2；连接C2D，与AB交于A3点，过A3作BC的垂线段A3C3，垂足为C3…如此下去，可以依次得到点A4，A5，…，A n．如果设AB的长为1，依次可求得A1B，A2B，A3B…的长，则A n B的长为(用n的代数式表示)( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共3小题，共9.0分)10.下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为3时，则输出的数值为．(用科学记算器计算或笔算)11.已知代数式2a3b n+1与-3a m+2b2是同类项，则2m+3n= ．12.观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2013个单项式是．三、解答题(本大题共4小题，共24.0分)13.已知A=24+y，B=24-y，计算A2-B2．14.已知a=，b=|-2|，c=，求代数式a2+b-4c的值．15.化简得；当m=-1时，原式的值为．16.刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1，例如把(3，-2)放入其中，就会得到32+(-2)-1=6．现将实数对(-1，3)放入其中，得到实数m，再将实数对(m，1)放入其中后，得到实数是．。
2014广州广雅中学初三数学一模
2014年广州市中考数学模拟试卷(一)问 卷第一部分（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1. 35-的倒数是( )．(A) 53-(B) 53(C) 35(D) 35-2. 一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别是( )．(A) 10，10 (B) 10，12.5 (C) 11，12.5 (D) 11，10 3.与图中的三视图相对应的几何体是 ( )．4. 下列运算正确的是( )．(A)6318a a a =· (B) 325()a a =(C) 632a a a ÷=(D) 3332a a a +=5．若点A （n ，2）与B （－3，m ）关于原点对称，则n －m 等于( )．(A) －1 (B) －5 (C) 1 (D) 56．如图,在菱形ABCD 中，P 、Q 分别是AD 、AC 的中点，如果PQ =3，那么菱形ABCD 的周长是( )．(A) 6 (B) 18 (C) 24 (D) 30第3题(B)(D)(C)7. 在反比例函数3k y x-=图象的每一支曲线上，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 ( )． (A) k ＞3 (B) k ＞0 (C) k ＜3 (D) k ＜08. 亮亮想用一块铁皮制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为12cm ，底面圆的半径为5cm.那么，这个圆锥模型的侧面展开扇形铁皮的圆心角度数应为( )．(A) 90° (B) 120° (C) 150° (D) 240° 9.设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为( )． (A) 5 (B) -5 (C) 1 (D) -110. 将一正方形按如图方式分成n 个全等矩形，上、下各横排两个，中间竖排若干个，则n 的值为( )．(A) 12 (B) 10 (C) 8 (D) 6. 第二部分（非选择题 共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 11. 分解因式：34xy xy -= .12. 如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是 . 13. 如图，AM 、AN 分别切⊙O 于M 、N 两点，点B 在⊙O 上，且∠MBN =70°，则A ∠= .14. 如图，在矩形ABCD 中，16AB =，8BC =，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，且CE 与AB 交于点F ，那么AF = .15. 如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AB AC BD =-，则:C B ∠∠的值是 . 16. 二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q =| a ＋b ＋c第10题第15题ABC第14题A第12题|＋| 2a－b |，则P、Q的大小关系为*.三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分9分）解不等式组36;445(2)82.xxx x-⎧+⎪⎨⎪--<-⎩≥18．（本小题满分9分）如图，在平行四边形ABCD中，BF DE=．求证：∠BAE＝∠DCF．19. （本小题满分10分）先化简，再求值：2224124422aa a a a a⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭，其中，a是方程2310x x++=的根．C第18题20．（本小题满分10分）如图，在直角△ABC 内，以A 为一个顶点作正方形ADEF ，使得点E 落在BC 边上. (1) 用尺规作图，作出D 、E 、F 中的任意一点 (保留作图痕迹，不写作法和证明. 作出该点后，另外两点不需要用尺规作图确定)； (2) 若AB = 6，AC = 2，求正方形ADEF 的边长.21．（本小题满分12分）某中学共有1500名学生，为了了解学生课外阅读的情况，就“你最喜欢的图书类别”（只选一项）随机调查了部分学生，并将调查结果统计后绘制成如下统计表和条形统计图．请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：（1）这次随机调查了多少名学生？； （2）把统计表和条形统计图补充完整； （3）随机调查一名学生，求该学生恰好 是最喜欢文学类图书的概率.22．（本小题满分12分）如图， AB 是⊙O 的直径，∠BAC =30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF =∠E ． （1）证明：CF 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为1，且AC =CE ，求MO 的长．CBA第20题第22题23．（本小题满分12分）如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系. (1) 求出这条抛物线的函数解析式；(2) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？24．（本小题满分14分）如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分BAC ∠，交BD 于点F ． （1）求证：12EF AC AB +=； （2）点1C 从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点1A 从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点1C 与点1A 的运动速度相同，当动点1C 停止运动时，另一动点1A 也随之停止运动．如图2，11A F 平分11BAC ∠，交BD 于点1F ，过点1F 作1111F E AC ⊥，垂足为1E ，请猜想11EF ，1112A C 与AB 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当113A E =，112C E =时，求BD 的长．第23题B CDA DA25．（本小题满分14分）两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt AOB △和Rt CED △按图所示的位置放置，A 与C 重合，O 与E 重合．（1）Rt AOB △固定不动，Rt CED △沿x 轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D 点运动到与B 点重合时停止，设运动x 秒后Rt CED △和Rt AOB △重叠部分面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式． （2）当Rt CED △以（1）中的速度和方向运动，运动时间4x 秒时，AB 与CD 交于点G ，求经过A G C ，，三点的抛物线的解析式．（3）现有一半径为2，圆心P 在（2）中的抛物线上运动的动圆，试问P 在运动过程中是否存在P 与x轴或y 轴相切的情况，若存在请求出P 的坐标，若不存在请说明理由．第25题1【答案】 A 2【答案】D 3【答案】B 4【答案】D 5【答案】D 6【答案】C 7【答案】A 8【答案】C 9【答案】B 10【答案】C11【答案】(2)(2)xy y y +- 12【答案】x <2 13【答案】40° 14【答案】10 15【答案】1:2 16【答案】P <Q 17 【答案】解:由①式得:324x x --≥4 ,7x ≤ ………………………………3分 由②式得: 451082x x -+<-, 2x >……………………………6分∴原不等式组的解集为27x <≤. ……………………………9分 18． 【答案】 证明：方法一：ABCD A B C D A B ∴=∥， …………………3分BF DE = A F C E ∴= ……………………………5分在四边形AFCE 中，AF CE ∥∴四边形AFCE 是平行四边形．……………………………7分∴∠BAE ＝∠DCF ．……………………………9分方法二：可以证明△DAE ≌△BCF ，得到∠DAE ＝∠BCF ，∴∠BAE ＝∠DCF . 19. 【答案】 解：原式2(2)(2)1(2)(2)22a a a a a a ⎡⎤+--=+⨯⎢⎥--⎣⎦……………………………3分 21(2)222a a a a a +-⎛⎫=+⨯⎪--⎝⎭……………………………4分 (3)2a a +=21(3)2a a =+……………………………6分 a 是方程2310x x ++=的根，2310a a ∴++=…………………8分231a a ∴+=-…………………9分 ∴原式12=- ……………………………10分20． 【答案】⑴作图：作∠BAC 的平分线交线段BC 于E ； ………………………………………4分（痕迹清晰、准确，本步骤给满分4分，另外两点及边作的是否准确，酌情扣1至2分） ⑵如图，∵四边形ADEF 是正方形， ∴EF ∥AB ，AD = DE = EF = F A. ……5分 ∴△CFE ∽△CAB . ∴CACFBA EF =.………………………7分 ∵AC = 2 ，AB = 6， 设AD = DE = EF = F A = x ， ∴262x x -=. ………………………………………………………………………9分 ∴x ＝23.即正方形ADEF 的边长为23. ………………………………………………10分 FEDC BA第20题（本题可以先作图后计算，也可以先计算后作图；未求出AD 或AF 的值用作中垂线的方法找到D 点或F 点，给2分） 21． 【答案】解：（1）300；……………………2分（2）频数45，96，频率0.26．……………………8分 图正确 ……………………10分 （3）0.32． ……………………12分22．（本小题满分12分）如图， AB 是⊙O 的直径，∠BAC =30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF =∠E ． （1）证明：CF 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为1，且AC =CE ，求MO 的长． 【答案】（1）证明：连接OC ，……………………………1分AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=．……………………………2分30BAC ∠=，60ABC ∴∠=．又OB OC =，60OCB OBC ∴∠=∠=．……………………3分在Rt EMB △中，90E MBE ∠+∠=，30E ∴∠=．E ECF ∠=∠，30ECF ∴∠=．……………………………4分90ECF OCB ∴∠+∠=．又180ECF OCB OCF ∠+∠+∠=，90OCF ∴∠=．…………………5分CF ∴为O 的切线．……………………………6分（2）解：在Rt ACB △中，30A ∠=，90ACB ∠=，第22题7896cos3022AC AB ∴==⨯=1sin 30212BC AB ==⨯=．……………8分AC CE =，1BE BC CE ∴=+=．……………………………9分在Rt BEM △中，30E ∠=，90BME ∠=，1sin 30(12MB BE ∴==⨯=．……………………………11分11122MO MB OB ∴=-=-=． ……………………………12分23．（本小题满分12分）如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系. (1) 求出这条抛物线的函数解析式；(2) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 【答案】 (1)∵顶点P (6，6)设此函数关系式为：6)6(2+-=x a y . …………………………………………3分 ∵函数6)6(2+-=x a y 经过点(0，3)，∴6)60(32+-=a ，即121-=a . ………………4分 ∴此函数解析式为：31216)6(12122++-=+--=x x x y .………5分 (2) 设A (m ，0)，则B (12-m ，0)， C )3121,12(2++--m m m ， D )3121,(2++-m m m . …………7分 ∴“支撑架”总长AD+DC+CB = )3121()212()3121(22++-+-+++-m m m m m第23题= 18612+-m . ……………………………………………………………10分 ∵此二次函数的图象开口向下.∴当m = 0时，AD+DC+CB 有最大值为18. ……………………………………12分24．（本小题满分14分）如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分BAC ∠，交BD 于点F ． （1）求证：12EF AC AB +=； （2）点1C 从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点1A 从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点1C 与点1A 的运动速度相同，当动点1C 停止运动时，另一动点1A 也随之停止运动．如图2，11A F 平分11BAC ∠，交BD 于点1F ，过点1F 作1111F E AC ⊥，垂足为1E ，请猜想11EF ，1112A C 与AB 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当113A E =，112C E =时，求BD 的长． 【答案】（1）证明：如图1，过点F 作FM AB ⊥于点M ，在正方形ABCD 中，AC BD ⊥于点E ，12AE AC ∴=，45ABD CBD ==∠∠．AF 平分BAC ∠，EF MF ∴= ··············· 1分又AF AF =，Rt Rt AMF AEF ∴△≌△，AE AM ∴= ············································· 3分45MFB ABF ==∠∠．MF MB ∴=，MB EF ∴=． 12EF AC MB AE MB AM AB ∴+=+=+= ······················· 4分（2）11E F ，1112A C 与AB 三者之间的数量关系：图1BD图2AB CDA 1第24题图1BDM111112E F A C AB += ··································································· 5分 证明：如图2，连接11FC ，过点1F作11F P A B ⊥于点P ，1FQ BC ⊥于点Q ， 11A F 平分11BAC ∠，111E F PF ∴=，同理11QF PF =，1111E F PF QF ∴== ················· 6分 又1111A F A F =，11111Rt Rt A E F A PF ∴△≌△，111A E A P ∴=，同理11111Rt Rt QFC E FC △≌△，111C Q C E ∴= ··································································· 8分 由题意：11A A C C =，11112A B BC AB A A BC C C AB BC AB ∴+=++-=+=．11PB PF QF QB ===，111111112A B BC A P PB QB C Q A P C Q E F ∴+=+++=++，即1111111111222AB A E C E E F AC E F =++=+，111112E F A C AB ∴+= ··························· 10分 （3）设PB x =，则QB x =113A E =，112E C =，由（2）可知： 1113A P A E ==，1112QC C E ==1F在11Rt A BC △中，2221111A B BC AC +=，即222(3)(2)5x x +++=11x ∴=，26x =-（舍） ········································································································ 12分 1PB ∴=，111E F ∴=．又115AC =，由（2）的结论：111112E F A C AB +=得：72AB =，BD ∴=………………………………………………………………………14分25．（本小题满分14分）两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt AOB △和Rt CED △按图所示的位置放置，A 与C 重合，O 与E 重合．（1）Rt AOB △固定不动，Rt CED △沿x 轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D 点运动到与B 点重合时停止，设运动x 秒后Rt CED △和Rt AOB △重图2B CD1叠部分面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．（2）当Rt CED △以（1）中的速度和方向运动，运动时间4x =秒时，AB 与CD 交于点G ，求经过A G C ，，三点的抛物线的解析式．（3）现有一半径为2，圆心P 在（2）中的抛物线上运动的动圆，试问P 在运动过程中是否存在P 与x轴或y 轴相切的情况，若存在请求出P 的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】解：（1）当03x <≤时，位置如图A 所示，作GH DB ⊥，垂足为H ，可知：2OE x =，EH x =，62DO x =-，6DH x =-，22()GHD IOD IOHG y S S S ∴==-△△梯形…………1分22112(6)(62)22x x ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦223263122x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭………………………3分当36x ≤≤时，位置如图B 所示． 可知：122DB x =-2122DGBy S DB ⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭△2212)12362x x x ⎤=-=-+⎥⎣⎦……………………………5分 （求梯形IOHG 的面积及DGB △的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分）y ∴与x 的函数关系式为：22312(03)1236(36)x x x y x x x ⎧-+<⎪=⎨-+⎪⎩≤≤≤…………………………6分（2）图2中，作GH OE ⊥，垂足为H ，当4x =时，28OE x ==，1224DB x =-=122GH DH DB ∴===，1666242OH HB DB =-=-=-= ∴可知：(06)A ，，(42)G ，，(86)C ，…………………………8分 ∴经过A G C ，，三点的抛物线的解析式为：221(4)22644x y x x =-+=-+………10分图B（3）当P 在运动过程中，存在P 与坐标轴相切的情况，设P 点坐标为00()x y ，当P 与y 轴相切时，有02x =，02x =±，由02x =-得：011y =，1(211)P ∴-， 由02x =，得03y =，2(23)P ∴， 当P 与x 轴相切时，有02y =21(4)204y x =-+>，02y ∴=，得：04x =，3(42)P ∴， 综上所述，符合条件的圆心P 有三个，其坐标分别是：1(211)P -，，2(23)P ，，3(42)P ， ……………………………14分。
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2014年中考第一次模拟考试数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分，考试用
时120分钟 注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自已的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
=2
3）（（ ▲ ） A.3- B.3 C.6 D.9 2.与)2,1-（A 关于y 轴对称的点是B ，则B 点的坐标是（ ▲ ）
A.)2,1(-
B.
)2,1--（ C.)2,1( D.)1,2( 3.下列图形中，不是中心对称图形的是（ ▲ ）
4.下列计算正确的是
（ ▲ ）
A.ab b a =+
B.5
2
3)(a a = C.
y
x xy y x +=+11 D.)(c a b bc ab +=+
5.如图，平行四边形ABCD 中，3=AB ，AE 平分BAD ∠，︒=∠60B ，则=AE （ ▲ ）
A.5
B.4
C.3
D.2 6.33155+-+-=
x x y ，则=xy （ ▲ ）
A.15-
B.9-
C.9
D.15 7.已知0>+b a 且0)1(<-b a ，则下列说法一定错误．．．．的是（ ▲ ） A.1,0>>b a B.1,1>-<b a C.1,01><≤-b a D.0,0><b a
8.下列说法中正确的是（ ▲ ） A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.有一个角是︒60的等腰三角形是等边三角形
C.有一组对边相等的四边形是平行四边形
D.等腰梯形的对角线互相平分
9.一元二次方程01122
2=+++x a x a ）（
有实数根，则a 的取值范围是（ ▲ ） A.21-≤a B.21≥a C.21-≥a 且0≠a D.2
1
≤a 且0≠a 10.如图，矩形ABCD 中，AB AD 2=，F E 、分别是BC AD 、上的点，且线段EF 过矩形对角线AC 的中点，AC PF //，则BF EF :的最小值是（ ▲ ）
A.552
B.52
C.2552
D.2
1
第II 卷（非选择题 共120分）
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.1
3-x 有意义，则x 的取值范围是 ▲ 。
12.命题：“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ▲ 。
13.分解因式：=--432
x x ▲ 。
14.在平面直角坐标系中，以原点O 为其中一个顶点画平行四边形OABC ，已知），04(B 、），25(C ，则点A 的坐标是 ▲ 。
15.二次函数a ax x y ++=2
与x 轴的交点分别是)0,()0,(21x B x A 、，且102121-=-+x x x x
，
O
则抛物线的顶点坐标是 ▲ 。
16.如图所示，ABC ∆的边AC AB 、分别切大圆O 于点
C A 、，边AC 切小圆O 于点
D ，3=CD ，17
15sin =B ，若大圆O 半径是R ，小圆O 半径 是r ，则=+-2014)1203
345(r R
▲ 。
三．解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分9分） 解方程：
1
2312-=-x x
18.（本小题满分9分）
如图，E D 、分别是ABC ∆的边BC AB 、上的点，且CB
CE
AB AD =. 求证：AC DE //
19.（本小题满分10分）
已知x a a x -+-有意义，求1
2
22+-+-ax a ax x 的值。
20.（本小题满分10分）
如图，等腰梯形ABCD 中，BC AD //，2===CD AD AB ，
A C ∠=
∠2
1
（1）求BC 的长； （2）利用尺规作图画出BCD ∆的外接圆，并求出外接圆半径r 。
（不写作法，保留作图痕迹）
21.（本小题满分12分）
给出定义：若),(b a m =→
，那么22b a a +=→
，现给出一组数3,22,5,2,0,2-
现在从这组数中取出一个数记为a ，再从剩余的数中取出一个数记为b
（1）两次取出的数记为),(b a a =→
，写出两次取出的数构成的数组的所有可能性；
（2）求出两次取出的数所构成的数组),(b a 使得13=→
m 的概率。
22.（本小题满分12分）
如图所示，ABC ∆中，5=AB ，5
3
cos =B ，A AC AB sin 32=⋅
（1）求C ∠的度数； （2）求ABC ∆的面积。
23.（本小题满分12分） 反比例函数x k y =
与一次函数1+=kx y 交于点),2
1
(m P （1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若反比例函数与直线的另一个交点是Q ，反比例函数上的一点M 满足：
︒=∠60PQM ，求M 的坐标。
24.（本小题满分14分）
如图所示，正方形ABCD 的边长是cm 8，以正方形的中心O 为圆心，EF 为直径的半圆切
AB 于M 、切BC 于N ，已知C 为BG 的中点，AG 交CD 于H 。
Q P ，同时从A 出发，P 以s cm /1的速度沿折线ADCG 运动，Q 以
s cm /2
5
的速速沿线段AG 方向运动，Q P ,中有一点到达终点时，整个运动停止。
Q P ,运动的时间记为t （1）当4=t 时，求证：MEF PEF ∆≅∆； （2）当80≤≤t 时，试判断PQ 与CD 的位置关系； （3）当8>t 时，是否存在t 使得
16
5
2162
=+EF PQ ，若存在请求出所有t 的值，若不存在，请说明理由。
25.（本小题满分14分）
给出定义：mn n m = （其中n m ,是实数），已知2)(++=b x a x y ，当1-=b x 时，
1y y =；当1+=b x 时，2y y =.
（1）计算出y 的值（用x b a ,,表示）； （2）已知21y y =，求a 的值；
（3）若21y y =成立，过点)22,(+ab a 的直线2+=kx y 与函数2)(++=b x a x y 交于点N M ,，已知)0,(b A ，且︒=∠90MAN .在函数2)(++=b x a x y 的图像上是否存在一点P ，使得PMN ∆是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点。
若不存在，请说明理由。