1.2.1函数的概念(第一课时)

1.2.1 函数的概念（第一课时）

课 型：新授课 教学目标：

（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的三要素；

（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学过程：

一、问题链接：

1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、合作探究展示： 探究一：函数的概念： 思考1：（课本P 15）给出三个实例：

A ．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）

与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-。

B ．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空

臭氧层空洞面积的变化情况。（见课本P 15图）

C ．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的

高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见课本P 16表）

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着

怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对

应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：

:f A B → 函数的定义：

设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：

(),y f x x A =∈

其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。

注意：

① “y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x )”；

②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 思考2：构成函数的三要素是什么？

答：定义域、对应关系和值域

小试牛刀．1下列四个图象中，不是函数图象的是（ B ）.

x

A. B. C.

D.

2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ B ）.

归纳：（1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ；

（2）二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域

2

44ac b B y y a ??-?

?=≥

?????

?；当a ﹤0时，值域2

44ac b B y y a ??-?

?

=≤

?????

?

。 （3）反比例函数(0)k y k x

=

≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。

探究二：区间及写法：

设a 、b 是两个实数，且a

（1） 满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； （2） 满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；

（3） 满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为

[)(],,,a b a b ； 这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P 17表格） 符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞

(](),,,b b -∞-∞。

小试牛刀：

用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0}

（三）例题讲解： 例1

．已知函数1()2

f x x =

+，

（1） 求()()2(3),(),33

f f f

f --的值；

（2） 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。 （答案见P17例一）

练习．已知函数f(x)=x 2+2,求f(-2),f(-a),f(a+1), f(f(x)). 答案:f(-2)=6 f(-a)=a 2

+2 f(a+1)=a 2

+2a+3 f(f(x))=x 4

+4x 2

+6

【例2】已知函数22

(),1x

f x x R x

=

∈+.

（1）求1

()()f x f x

+的值；（2）计算：1

1

1

(1)(2)(3)(4)()()()2

3

4

f f f f f f f ++++++.

解：（1）由2222

2

2

2

2

2

1

111()()1111111x

x

x x f x f x

x

x x

x x

++=

+

=

+

=

=+++++

.

（2）原式1

1

1

17(1)((2)())((3)())((4)())32

3

4

2

2

f f f f f f f =++++++=

+=

点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.

（四）随堂检测：

1． 用区间表示下列集合：

{}{}{}{}4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或

2． 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2

)、f(a)、f(a+1)的值；

3． 课本P 19练习2。

4．已知()f x ＝2x ＋x ＋1

，则f ＝__3+2____；f ［(2)f ］＝_57_____．

5．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = —1 .

归纳小结：

函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示 作业布置：

习题1.2A 组，第4，5，6；

1.2.1函数的概念（第二课时）

课 型：新授课 教学目标：

（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示； （2）掌握复合函数定义域的求法；

（3）掌握判别两个函数是否相同的方法。 教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。 教学难点：复合函数定义域的求法。 教学过程：

一、问题链接：

1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y ＝

x

x

2

与y ＝x 是不是同一个函数？为什么？

2. 用区间表示函数y ＝ax ＋b （a ≠0）、y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）、y ＝x

k (k ≠0)的定义域与值

域。

二、合作探究展示：

探究一：函数定义域的求法：

函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。 例1：求下列函数的定义域

① 2

1)(-=

x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x

x x f -+

+=211)(.

解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2

1-x 无意义，

而2≠x 时，分式

21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .

②∵3x+2<0，即x<-3

2时，根式23+x 无意义，

而023≥+x ，即3

2-≥x 时，根式23+x 才有意义，

∴这个函数的定义域是{x |3

2-≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x

-21 同时有

意义，

∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }

另解：要使函数有意义，必须： ??

?≠-≥+0

201x x ? ??

?≠-≥2

1x x

∴这个函数的定义域是： {x |1-≥x 且2≠x }

学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式） 说明：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组） 引导学生小结几类函数的定义域：

（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .

（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .

（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

（4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义.

探究二：复合函数的定义域求法： （1）已知f(x)的定义域为（a,b ），求f(g(x))的定义域；

求法：由a

求法：由a

练习．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ C ）.

A ．[1,2)-

B ．[0,2)-

C ．[0,3)-

D ．[2,1)-

例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。 答案：[]2,3--

巩固练习：

1．求下列函数定义域： （1

）()f x =； （2）1()11f x x

=

+

答案：（1）(]1,4- （2）{}1x 0/-≠≠且x x

2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求2

(1)f x +的定义域； （2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。 答案：（1）{}0 （2）???

??

?

3

2,0

探究三：求函数的值域

已知函数,542

--=x x y 求 （1）时的函数值域R x ∈

（2）x {}时的值域，，，，，

432101-∈ （3）x []时的值域，

12-∈

答案：（1）[)+∞-,9（2）{}9,8,5,0---（3）[]7,8-

探究四：函数相同的判别方法：

例5．（课本P 18例2）下列函数中哪个与函数y=x 相等？

（1）2y =； （2）y =；

（3）y =

（4） 2

x

y x

=

。

分析：

○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

○

2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

解：⑴()

2

x y =＝x （0≥x ）,0≥y ，定义域不同且值域不同，不是；

⑵3

3

x y =＝x （R x ∈）,R y ∈，定义域值域都相同，是同一个函数；

⑶2

x

y =

＝|x |=?

??-x x ,00

<≥x x ,0≥y ；值域不同，不是同一个函数。

（4）)0(≠=x x y 定义域不同，不是同一个函数。 练习1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）.

A. 1,x y y x

==

B. y y =

=

C. ,y x y ==

2||,y x y ==

2 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？

①3)

5)(3(1+-+=x x x y 2-

=x y （定义域不同）

②11

1-+=

x x y )1)(1(2-+=

x x y （定义域不同）

③2

1)52()(-=x x f 52)(2-=x x f （定义域、值域都不同）

（三）随堂检测：

1．课本 P 19练习1，3；

2．求函数y ＝－x 2＋4x －1 ，x ∈[-1,3) 的值域。 归纳小结：

本堂课讲授了函数定义域值域的求法以及判断函数相等的方法。 作业布置：

习题1.2A 组，第1，2；