2018年益阳中考数学试卷及解答

益阳市2018年普通初中毕业学业考试试卷（样卷）

数 学

注意事项：

1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；

2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；

3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效； 4．本学科为闭卷考试，考试时量为120分钟，卷面满分为150分； 5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。。

试 题 卷

;

一、选择题:本题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．1

2016

-

的相反数是 A ．2016

B ．2016-

C ．

12016

D ．1

2016

-

2．下列各式化简后的结果为32的是 A ．6 B ．12 C ．18 D ．36 3．下列运算正确的是 A ．22x y xy += B ．2222x y xy ?= C ．222x x x ÷= D ．451x x -=- 4．不等式组3,

213x x -

-≤?

的解集在数轴上表示正确的是

A B C D

；

5．下列判断错误．．

的是

A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B ．四个内角都相等的四边形是矩形

C ．四条边都相等的四边形是菱形

D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

6．小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为 A ．67、68 B ．67、67 C ．68、68 D ．68、

67

7．关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为11x =，21x =-，那么

下列结论一定成立的是

A ．240b ac ->

B ．240b ac -=

C ．240b ac -<

D ．240b ac -≤

{

8．将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是

A ．360°

B ．540°

C ．720°

D ．900°

9．关于抛物线221y x x =-+，下列说法错误．．

的是 A ．开口向上 B ．与x 轴有两个重

合的交点

C ．对称轴是直线1x =

D ．当1x >时，y 随x 的增大而

减小

10．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB C 'α

=（B C '为水平线），测角仪B D '的高度为1米，则旗杆PA

的高度为 A ．

1

1sin α

-

B ．1

1sin α

+

C ．

1

1cos α-

D ．

1

1cos α

+

二、填空题：本题共8小题，每小题4分，把答案填在答题卡．．．

中对应题号后的横线上。

-

11．将正比例函数2y x =的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第

象限．

12．甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为 ．

13．如图，AB ∥CD ，CB 平分∠ACD ．若∠BCD = 28°,则∠A 的度数为 ．

B '

α

P C D

第

14．某学习小组为了探究函数2

||y x x =-的图象和性质，根据以往学习函数

的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的

m = ．

x

… –2 – –1 –

0 】 1

2 … y

…

2

0 （ –

–

m

2

…

15．我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数3

y x

=-的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标 ．

，

16．下图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为 ．（结果保留π）

【

17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，过C 点的切线与AB 的延

长线交于P 点，若∠P =40°，则∠D 的度数为 ．

18．小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第１个图案有１枚棋

子，第２个图案有３枚棋子，第３个图案有４枚棋子，第４个图案有

６枚棋子，…，那么第９个图案的棋子数是 枚．

`

（1） （2） （3） （4） （5）

三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19．（本小题满分8分）

计算：0

31

3

2

(1)223????-+---?- ? ?????

．

20．（本小题满分8分）

先化简，再求值：22

11()111x x x x -÷+--，其中1

2

x =-．

)

21．（本小题满分8分）

如图，在ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，

CF ⊥BD 于F ， 连接AF ，CE . 求证：AF =CE . 22．（本小题满分10分） ）

在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行

仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：

（1）频数分布表中a = ，b = ，并将统计图补充完整；

（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成

30或30次以上的女学生有多少人

（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，

老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少

分 组

频数 频

率

第一组（015x ≤<） 3 |

第二组（1530x ≤<） 6

a 第三组（3045x ≤<） 7 第四组（4560x ≤<）

b

》

23．（本小题满分10分）

某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．

（1）该班男生和女生各有多少人

（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能

加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生

第16题

6

4

主视图 左视图 俯视图

第17题

\

24．（本小题满分10分）

在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13，求△ABC 的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你．．按照．．他们的．．．

解题思路完成解答过程．．．．．．．．．．

．

&

~

25．（本小题满分12分）

如图，顶点为(3,1)A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ， 交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的

周长最小，求出P 点的坐标．

~

.

26．（本小题满分12分）

如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 为AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）．

（1）计算矩形EFGH 的面积；

（2）将矩形EFGH 沿AB 向右平移，F 落在BC 上时停止移动．在平移过

程中，当矩形与△CBD 重叠部分的面积为

3

时，求矩形平移的距离； （3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E FG H ，

将矩形1111E FG H 绕1G 点按顺时针方向旋转，当1H 落在CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形2212E F G H ，设旋转角为α，求cos α的值．

|

根据勾股定理，利用

AD 作为“桥梁”，建

立方程模型求出x 作AD ⊥BC 于D ，设BD = x ，用含x 的代数式表示CD 利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积

C

参考答案及评分标准

数 学

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

C

C

B

A

D

C

A

D

D

A

二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）

11．四 12.

2

3

° 14． 15．答案不唯一，如：(-3,1) 16．24π 17．115° 18．13． 三、解答题（本题共8小题，共78分）

19．（本小题满分8分）

解：原式=1

2

11()2

3

-+-?-=1

223-+=16

．…………………………………8分

20．（本小题满分8分）

解：原式22

21(1)11x x x x x --+-=?-2

x

=-． …………………………………6分 当12

x =-时，原式=4． ………………………………………………8分

21．（本小题满分8分）

证明：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD =BC ，∠ADB =∠CBD ． …………………………………2分 又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，

∴∠AED =∠CFB ，AE ∥CF ． …………4分 ∴AED ?≌CFB ?．………………………6分 ∴AE =CF ．

∴四边形AECF 是平行四边形．

∴AF =CE ． ………………………………………………………8分

22．（本小题满分10分）

解:（1）a =，b =4 ………………………………………………………2分

…………………………………4分

（2）180(0.350.20)99?+=（人） …………………………………7分 （3） 甲 乙1 乙2

甲1 甲2 甲3 乙 甲1 甲2 甲3 乙 甲1 甲2 甲3 乙

31

124

p =

= ……………………………………………………………10分 23．（本小题满分10分）

解：（1）设该班男生有x 人，女生有y 人， 依题意得：4223x y x y +=??

=-?

， 解得27

15x y =??=?．

∴该班男生有27人，女生有15人．…………………………………5分 （2）设招录的男生为m 名，则招录的女生为(30)m -名，

依题意得：5045(30)1460x x +-≥ ，解之得，22x ≥，

答：工厂在该班至少要招录22名男生．…………………………10分

24．（本小题满分10分）

解：如图，在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13，

设BD x =，∴14CD x =-． ……………………………………………2分

由勾股定理得：2222215AD AB BD x =-=-，

222213(14)AD AC CD x =-=--， ∴2215x -=2213(14)x --，

解之得：9x =．……………………………… 7分

∴12AD =． ………………………………………8分

∴12

ABC S BC AD ?=11412842

=??=．…………10分

25．（本小题满分12分）

解：（1）∵抛物线顶点为(3,1)A ，

设抛物线对应的二次函数的表达式为2(3)1y a x =-+，

将原点坐标（0，0）代入表达式，得1

3a =-．

∴抛物线对应的二次函数的表达式为：2123

3y x x =-+． …………3分

（2）将0y = 代入2123

3y x x =-+中，得B 点坐标为：(23,0)，

设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =，

将(3,1)A 代入表达式y kx =中，得3

k =

， ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为3

y x =．

∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为3

y x b =

+， 将B (23,0)代入3

y x b =

+中，得2b =- ， ∴直线BD 对应的一次函数的表达式为3

2y x =-．

由2321233y x y x x ?=-????=-+??

得交点D 的坐标为(3,3)--， 将0x =代入3

2y x =

-中，得C 点的坐标为(0,2)-， 由勾股定理，得：OA =2=OC ，AB =2=CD , 23OB OD ==．

在△OAB 与△OCD 中，OA OC AB CD OB OD =??

=??=?

， ∴△OAB ≌△OCD ．……………………8分

（3）点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2)，则C D '与x 轴的交点即为点P ，它使得△PCD 的周长最小．

过点D 作DQ ⊥y ，垂足为Q ，则PO ∥DQ ．∴C PO '?∽C DQ '?．

∴

PO C O DQ C Q '=',即25

3=，∴23

PO =， ∴ 点P 的坐标为23

(,0)-

．………………………………………………………12分 26．（本小题满分12分） 解：（1）如26题解图1，在ABC ?中， ∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，∴AB =2,

又∵D 是AB 的中点，∴AD =1，112

CD AB ==． 又∵EF 是ACD ?的中位线，∴12

EF DF ==， 在ACD ?中，AD=CD, ∠A =60°, ∴∠ADC =60°．

在FGD ?中,sin GF DF =?60°3=

， 26题解图1

∴矩形EFGH

的面积12S EF GF =?==

． ……………………………3分 （2）如26题解图2，设矩形移动的距

离为,x 则102

x <≤，

当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时， 则1

04

x <≤，

12S x =

=

∴1

4

x =>．

（舍去）． 当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，则1

142

x <≤， 重叠部分的面积

S=

1124-?=

, ∴3

8

x =． 即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD

．…………7分 （3）如26题解图3，作2H Q AB ⊥于Q ．

设DQ m =

，则2H Q =，又114DG =，2112

H G =． 在R t △H 2QG 1

中，22211)()()42

m ++= ，

解之得m =

（负的舍去）．

∴1211

164cos 12

QG H G α+

=

==．……………………………………12分

26题解图3

11

G D C

A

D

B

26题解图2