椭圆的定义与性质讲解学习

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质

1．椭圆的定义

(1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．

(2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e (0

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2

b 2

＝1(a >b >0) 图形

性质

范围 －a ≤x ≤a －b ≤y ≤b

－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) B 1(－b,0)， B 2(b,0) 焦点 F 1(－c,0) F 2(c,0) F 1(0，－c ) F 2(0，c ) 准线 l 1：x ＝－a 2c l 2：x ＝a 2

c

l 1：y ＝－a 2c l 2：y ＝a 2

c

轴 长轴A 1A 2的长为2a 短轴B 1B 2的长为2b

焦距 F 1F 2＝2c 离心率 e ＝c

a

，且e ∈(0,1) a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2－b 2 对称性 对称轴：坐标轴

对称中心：原点

1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)动点P 到两定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．( )

(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )

(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )

(4)已知点F 为平面内的一个定点，直线l 为平面内的一条定直线．设d 为平面内一动点P 到定直线l 的距离，若d ＝5

4

|PF |，则点P 的轨迹为椭圆．( )

[解析] (1)错误，|P A |＋|PB |＝|AB |＝4，点P 的轨迹为线段AB ；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1＋PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确，根据椭圆的第二定义．

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

2．(教材习题改编)焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为10

5

，则m ＝________.

[解析] 由题设知

a 2＝5，

b 2＝m ，

c 2＝5－m ，e 2＝

c 2a 2＝5－m 5＝(105)2＝2

5

，∴5－m ＝2，∴m ＝3.[答案] 3 3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____．

[解析] 椭圆的焦点在y 轴上，且c ＝6,2a ＝20，∴a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝64，故椭圆方程为

x 264＋y 2

100

＝1. [答案] x 264＋y 2

100

＝1

4．(2014·无锡质检)椭圆x 24＋y 2

3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△F AB 的周长最大

时，△F AB 的面积是________．

[解析] 直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8， 此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △F AB ＝1

2

×2×3＝3.[答案] 3

5．(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是

线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．

[解析] 设A (x 1

，y 1

)，B (x 2

，y 2

)，则???

x 21

a 2＋y 2

1b 2

＝1，x 22a 2

＋y

22b 2

＝1，

∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2

＝0，

∴y 1－y 2x 1－x 2

＝－b 2a 2·x 1＋x 2

y 1＋y 2.

∵y 1－y 2x 1－x 2

＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，

∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.[答案] 2

2

考向1 椭圆的定义与标准方程

【典例1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率

为

3

3

，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________． (2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________． [解析] (1)由条件知△AF 1B 的周长＝4a ＝43，∴a ＝ 3.

∵e ＝c a ＝33，c 2＋b 2＝a 2

，∴c ＝1，b ＝ 2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2

2

＝1.

(2)∵椭圆的一条准线为x ＝－4，∴焦点在x 轴上且a 2

c ＝4，又2c ＝4，∴c ＝2，∴a 2＝8，b 2＝4，

∴该椭圆方程为x 28＋y 24＝1.[答案] (1)x 23＋y 22＝1 (2)x 28＋y 2

4＝1,

【规律方法】

(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有两种方法

①定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．

②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．

【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1

2，

则C 的方程是________．

(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 2

25＝1(a ＞5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦

AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为________．

[解析] (1)右焦点F (1,0)，则椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.

又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2

＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)∵a ＞5，∴椭圆的焦点在x 轴上，∵|F 1F 2|＝8，∴c ＝4，∴a 2＝25＋c 2＝41，则a ＝41.

由椭圆定义，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 2|＋|BF 1|＝2a ，

∴△ABF 2的周长为4a ＝441.[答案] (1)x 24＋y 2

3

＝1 (2)441

考向2 椭圆的几何性质

【典例2】 (1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，

右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．

(2)(2014·扬州质检)已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2

＝30°，则椭圆的离心率为________．

[解析] (1)依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2

c

.又BF ＝

c 2＋b 2＝a ，所以

d 1＝bc a .由已知可得b 2c ＝6·bc

a

，所以6c 2

＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝3

3

.

(2)在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π

2

，

设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3，∴离心率e ＝2c 2a ＝33. [答案] (1)33 (2)3

3,

【规律方法】

1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．

2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

(1)求出a ，c ，代入公式e ＝c

a

；

(2)只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．

【变式训练2】 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，

F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．

(2)(2014·徐州一中抽测)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.则椭圆离心率的范围为________．

[解析]

(1)如图，在Rt △PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2|PF 2|，且|PF 2|＝

3

3|F 1F 2

|， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝23a ，于是|F 1F 2|＝233a ，因此离心率e ＝c a ＝3a 3a ＝3

3.

(2)法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a .

在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·

? ??

??m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2

(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥12. 又0

12，1.

法二：如图所示，设O 是椭圆的中心，A 是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F 1PF 2＝60°，则只需满足60°≤∠F 1AF 2即可，

又△F 1AF 2是等腰三角形，且|AF 1|＝|AF 2|，所以0°<∠F 1F 2A ≤60°，所以12≤cos ∠F 1F 2A <1，

又e ＝cos ∠F 1F 2A ，所以e 的取值范围是??????12，1. [答案] (1)33 (2)??????12，1 课堂达标练习 一、填空题

1．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为2

2

.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．

[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝1

2

.

由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8.

∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.[答案] x 216＋y

2

8

＝1

2．(2013·四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰

为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．

[解析] 设P (－c ，y 0)代入椭圆方程求得y 0，从而求得k OP ，由k OP ＝k AB 及e ＝c

a

可得离心率e .

由题意设P (－c ，y 0)，将P (－c ，y 0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得c 2a 2＋y 20b 2＝1，则y 20＝b 2????1－c 2a 2＝b 2

·a 2－c 2a 2＝b 4a

2. ∴y 0＝b 2a 或y 0＝－b 2a (舍去)，∴P ????－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac

.

∵A (a,0)，B (0，b )，∴k AB ＝b －00－a ＝－b a . 又∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，∴－b a ＝－b 2

ac ，∴b ＝c .

∴e ＝c

a

＝

c

b 2＋

c 2

＝

c 2c 2＝22

. [答案] 22

3．(2014·辽宁高考)已知椭圆C ：x 29＋y 2

4＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分

别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.

[解析] 椭圆x 29＋y 2

4

＝1中，a ＝3. 如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.

∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|， ∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12. [答案] 12

4．(2014·南京调研)如图，已知过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a,0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭

圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →

，则椭圆的离心率为________．

[解析] ∵△AOP 为等腰三角形，∴OA ＝OP ，故A (－a,0)，P (0，a )，又PQ →＝2QA →

， ∴Q ????－2a 3，a 3，由Q 在椭圆上得49＋a 2

9b 2＝1，解得b 2

a 2＝1

5

. ∴e ＝1－b 2

a 2＝1－15＝255. [答案] 255

5．(2014·南京质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为1

2，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝

0的半径，则椭圆的标准方程是________．

[解析] 由x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ?a ＝2. 又e ＝c a ＝1

2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3.

因此椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. [答案] x 24＋y 2

3

＝1

6．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于

A ，

B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝4

5

，则椭圆C 的离心率为__________．

[解析] 在△ABF 中，由余弦定理得 ，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ，

∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6，从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2，则AF ⊥BF . ∴c ＝|OF |＝1

2|AB |＝5，

利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，则|BF ′|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57. [答案] 5

7

7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△

PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.

[解析] 由定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且PF 1→⊥PF 2→

， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，

∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2. ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝1

2×2b 2＝9，

因此b ＝3. [答案] 3

8．(2013·大纲全国卷改编)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________．

[解析] 依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)．

过点F 2(1,0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3， ∴点A ????1，3

2必在椭圆上， ∴1a 2＋9

4b

2＝1.① 又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. [答案] x 24＋y 2

3＝1

二、解答题

9．(2014·镇江质检)已知椭圆C 1：x 24＋y 2

＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．

(1)求椭圆C 2的方程；

(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →

，求直线AB 的方程．

故椭圆C 2的方程为y 216＋x 2

4

＝1.

(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，

由OB →＝2OA →

及(1)知，O 、A 、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝4

1＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B

＝164＋k 2. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2

A ， 即164＋k 2＝161＋4k 2

， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，

由OB →＝2OA →

及(1)知，O 、A 、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2. 由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 2

1＋4k 2

. 将x 2B ，y 2

B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k

2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1. 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .

10．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆

E 于A ，B 两点，|A

F 1|＝3|F 1B |.

(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝3

5

，求椭圆E 的离心率．

[解] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.

因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.

(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .

由椭圆定义可得

|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.

在△ABF2中，由余弦定理可得

|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，

即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－6

5(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0.

而a＋k>0，故a＝3k.

于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.

因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，

故△AF1F2为等腰直角三角形．

从而c＝2

2a，所以椭圆E的离心率e＝c

a

＝2

2.

椭圆的定义与性质

1．椭圆的定义

(1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于 (大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个 叫做椭圆的焦点，两个 的距离叫做焦距．

(2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数 (

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2

b 2

＝1(a >b >0) 图形

性质

范围 ≤x ≤ ≤y ≤

≤x ≤ ≤y ≤

顶点 A 1( )， A 2( ) A 1( )， A 2( ) B 1( )，B 2( ) B 1( )，B 2( )

焦点 F 1( ) F 2( ) F 1( ) F 2( ) 准线 l 1：x ＝－a 2c l 2：x ＝a 2

c

l 1：y ＝－a 2c l 2：y ＝a 2

c

轴 长轴A 1A 2的长为 短轴B 1B 2的长为

长轴A 1A 2的长为 短轴B 1B 2的长为

焦距 F 1F 2＝ 离心率 e ＝c

a

，且e ∈ a ，b ，c 的关系 c 2＝ 对称性

对称轴： 对称中心：

1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)动点P 到两定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．( )

(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )

(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )

(4)已知点F 为平面内的一个定点，直线l 为平面内的一条定直线．设d 为平面内一动点P 到定直线l 的距离，若d ＝5

4

|PF |，则点P 的轨迹为椭圆．( )

2．(教材习题改编)焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为10

5

，则m ＝________.

3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____．

4．(2014·无锡质检)椭圆x 24＋y 2

3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△F AB 的周长最大

时，△F AB 的面积是________．

5．(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是

线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．

考向1 椭圆的定义与标准方程

【典例1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率

为

3

3

，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________． (2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________．

【规律方法】

(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有两种方法

①定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．

②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不

明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．

【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1

2，

则C 的方程是________．

(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 2

25＝1(a ＞5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦

AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为________．

考向2 椭圆的几何性质

【典例2】 (1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，

右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．

(2)(2014·扬州质检)已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2

＝30°，则椭圆的离心率为________．

【规律方法】

1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．

2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

(1)求出a ，c ，代入公式e ＝c a

；

(2)只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．

【变式训练2】 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，

F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．

(2)(2014·徐州一中抽测)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.则椭圆离心率的范围为________．

课堂达标练习

一、填空题

1．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为2

2

.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．

2．(2013·四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭

圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．

3．(2014·辽宁高考)已知椭圆C ：x 29＋y 2

4＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分

别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.

4．(2014·南京调研)如图，已知过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a,0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭

圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →

，则椭圆的离心率为________．

5．(2014·南京质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为1

2，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝

0的半径，则椭圆的标准方程是________．

6．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于

A ，

B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝4

5

，则椭圆C 的离心率为__________．

7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△

PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.

8．(2013·大纲全国卷改编)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________．

二、解答题

9．(2014·镇江质检)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．

(1)求椭圆C 2的方程；

(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →

，求直线AB 的方程．

10．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆

E 于A ，B 两点，|A

F 1|＝3|F 1B |.

(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝3

5

，求椭圆E 的离心率．