三角函数的定义学案

学习目标：理解任意角的三角函数的定义，了解终边相同的角的同一三角函数值相等，掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域，会运用任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。课前预习

阅读课本P14—P17，填充下列空格 1.三角函数的定义（如图所示）设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是r （=r ），如上图所示，那么 ①比值叫做α的正弦，记作，即； ②比值叫做α的余弦，记作，即； ③比值叫做α的正切，记作，即； ④比值叫做α的余切，记作，即； ⑤比值叫做α的正割，记作，即； ⑥比值叫做α的余割，记作，即。 2.三角函数的定义域

3.三角函数在各象限的符号

合作探究展示

角的终边

y 0

αsin x

y 0

αcos

tan

探究一

.已知角α的终边经过点P(4,－3)，求sin α、cos α、tan α的值；

变式一已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；

探究二求下列各角的六个三角函数值：⑴0； ⑵π； ⑶2

3π。

求

43π和56

π角的正弦、余弦和正切值．

引申填表：

探究三确定下

列各三角函数值的符号： ⑴516cos π； ⑵??

? ??-34sin π； ⑶21556tan '

已知点p （tan tan ,cos αα ）在第四象限，则角α 在第象限

当堂练习

（一）选择题

1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为（） A ．－

55 B ．－ 5 C ．552 D ．2

2、α是第二象限角，P （x , 5 ）为其终边上一点，且cos α=

x ，则sin α的值为（） A ．

410 B ．46 C ．4

2 D ．－410 3.若0sin <α且0tan >α，则α是（）

A.第一象限的角

B.第二象限的角

C.第三象限的角

D.第四象限的角 4.设角θ终边上一点()()06,8<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值为（）

52 B.52或52- C.52

- D.与a 无关二．填空题

5、角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13

cos ≠=

m m

α，则sin α+cos α=______． 6、已知角θ的终边在直线y =

x 上，则sin θ= ；θtan = ． 7.已知角θ终边上一点()()03,≠x x P ，且x 10

cos =θ，求θθtan ,sin 的值。

课后巩固作业

1.下列各三角函数值：① 1125sin ；②12

37sin

1237tan ππ?；③4tan 4

sin ；④1cos 1sin -，其中为负值的个数是（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 2.点() 2008cos ,2008tan P 位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 3.若三角形的两内角βα,满足0cos sin

4.角α的终边上存在一点??

??-m m P 53,54，且0tan cos <αα，求ααcos sin +的值。

锐角三角函数的定义

锐角三角函数的定义锐角的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。下面是小编为大家整理的关于锐角三角函数的定义，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习! 锐角三角函数的定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边余割等于斜边比对边正切与余切互为倒数它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

它有六种基本函数(初等基本表示)：函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有正弦函数sin=y/r 余弦函数cos=x/r 正切函数tan=y/x 余切函数cot=x/y 正割函数sec=r/x 余割函数csc=r/y (斜边为r，对边为y，邻边为x。) 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versin=1-cos 余矢函数covers=1-sin 同角三角函数间的关系：平方关系： sin^2()+cos^2()=1 tan^2()+1=sec^2() cot^2()+1=csc^2() 积的关系： sin=tancos cos=cotsin

初中数学锐角三角函数定义大全

初中数学：锐角三角函数定义大全锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1

sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα

sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα

三角函数基本概念

三角函数基本概念 1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． (3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|β=α＋k ·360°，k ∈Z }(或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z })． 2．象限角 3．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示． (2)角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么l ＝rα，角α的弧度数的绝对值是|α| ＝ l r . (3)角度与弧度的换算①1°＝π 180rad ；②1 rad ＝?π 180 (4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为 S ＝12lr ＝12 |α|·r 2 . 4.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 y 叫做的正弦，记作sin x 叫做的余弦，记作cos x y 叫做的正切，记作tan α 三角函数正弦余弦正切各象限符号 Ⅰ 正正正 Ⅱ 正负负 Ⅲ 负负正 Ⅳ 负正负各象限符号口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦 5.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM ，sinα＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．

锐角三角函数的认识

星火教育一对一辅导教案学生姓名性别年级9年级学科数学授课教师李碧瑶上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：课时教学课题锐角三角函数的认识教学目标1.掌握锐角三角函数(sin A，cos A，tan A）的定义； 2.记牢30°、45°、60°角的三角函数值； 3.能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4. 运用三角函数的关系化简或求值。教学重点与难点1.理解正切、正弦和余弦的意义，并用它来表示两边的比. 2.添加辅助线解直角三角形课后作业详见教案提交时间 2014 年 12 月 12 日学科组长检查签名：

（注意咯，下面可是黄金部分！）知识点1 正切定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tan A ，即的邻边的对边 A A A ∠∠=tan . ①tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tan A 没有单位，它表示一个比值，其大小只与锐角A 的大小有关，与所在直角三角形的大小无关； ③tan A 不表示“tan ”乘以“A ”； ④任意锐角A ，都有tanA>0，且锐角的正切值随着角的度数的增大而增大； ⑤tan A 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tan A 的值越大．【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90o,AC=5,AB=13,求tanA 和tanB. 【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90o,BC=3,tanA=12 5 ，求AC. ★坡度（或坡比）定义：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比），用字母i 表示，即i =l h 坡度即为坡角α的正切值tan α，即i =tan α= l h （1）坡角与坡度是两个不同的概念，坡角是坡面与水平面的夹角，是个角度，单位是度. （2）坡度描述的是坡面的陡峭程度，当tan α的值越大时，坡度越大，坡面也就越陡. （3）坡度一般写成1:m 的形式（比例的前项为1），后项可以是小数. 锐角三角函数的认识典例

5.1锐角三角函数的概念(2016年)

A B C D 图3 1. (2016 福建省龙岩市) 】．如图，若点A 的坐标为，则sin ∠1= ．答案：】．考点锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．分析根据勾股定理，可得OA 的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．解答解：如图，，由勾股定理，得 OA= =2． sin ∠1= =，故答案为：． 20160927091226406001 5.1 锐角三角函数的概念填空题基础知识 2016/9/27 2. (2016 四川省乐山市) 】．如图3，在Rt ABC ?中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确．．．的是 ()A sin AD B AB = ()B sin AC B BC = ()C sin AD B AC = ()D sin CD B AC =

答案：】．答案：C 考点：考查正弦函数的概念。解析：由正弦函数的定义，知：A、B正确，又∠CAD＝∠B，所以，sin sin CD B CAD AC =∠=，D也正确，故不正确的是C。20160925143801781255 5.1 锐角三角函数的概念选择题双基简单应用2016/9/25 3. (2016 湖北省襄阳市) 】．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A． B． C． D．答案：】．考点勾股定理；锐角三角函数的定义．分析直接根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理得出DC，AC的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．解答解：如图所示：连接DC，由网格可得出∠CDA=90°，则DC=，AC=，故sinA===．故选：B．点评此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确构造直角三角形是解题关键．

(完整版)三角函数定义练习题

三角函数的定义练习题一、选择题 1．已知a 是第二象限角,5 sin ,cos 13 a a ==则（） A ．1213 B ．513 - C ．513 D ．-1213 2．已知角的终边上一点（），且，则的值是( ) A. B. C. D. 3．已知点P(sin ，cos )落在角θ的终边上，且θ∈［0，2π),则θ值为( ) A. B. C. D. 4．把表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A. B. C. D. 5．若α是第四象限角，则π－α是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 6．cos （）－sin( )的值是( )． A. B ．－ C ．0 D. 7．4tan 3cos 2sin 的值（） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 8．已知3α=-，则角α的终边所在的象限是() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．设角θ的终边经过点(3,4)P -，那么sin 2cos θθ+=（） A ． 15 B ．15- C ．2 5 - D ．25 10．若0sin <α，且0tan >α，则α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 11．若cos α=-,且角α的终边经过点P(x,2),则P 点的横坐标x 是( ) (A)2 (B)±2 (C)-2 (D)-2 12．若α是第四象限角，5 tan 12 α=-，则sin α= (A)15. (B)15-. (C)513. (D)513 -.

锐角三角函数教案

第一章直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数（2）一、知识点 1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦 2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标知识与技能 1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考：（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是；（2）的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ；（3）如果改变B 2在斜边上的位置，则的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ；思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. B 1 B 2 A C 1 C 2

第1节锐角三角函数的概念

第1节锐角三角函数的概念 ※知识要点 1．正切的概念如图，在Rt △ABC 中，我们把锐角A 的与的叫做角A 的正切，记作： = = ．注意：(1)表示锐角三角函数时，用顶点字母表示角时，角的符号“∠”可以，其他情况，不可； (2)正切的实质是，大小，单位； (3)正切的几何意义是反映斜边的大小； (4)正切的大小只与有关，相等的两个角的正切值． 2．与坡有关的概念 (1)坡的构成：、、； (2)坡角：与所成的角； (3)坡度：又称，是斜坡上两点间与水平距离的比，常用表示，即坡角的值．注：坡角越大，坡度，坡面． 3．正弦与余弦的概念 (1)正弦：如上图，在Rt △ABC 中，我们把锐角A 的与的叫做角A 的正弦，记作： = = ． (2)余弦：如上图，在Rt △ABC 中，我们把锐角A 的与的叫做角A 的余弦，记作： = = ．注：互余关系：若A +B =90°，则有下列关系成立： ※题型讲练【例1】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，求tanB 和tan ∠BCD 的值．变式训练1： 1．如图，E 是BC 上一点，∠B ＝∠C =90°，连接AE 、DE 且 AE ⊥DE ，若tanA =3 4 ． (1)求tanD ； (2)若BC =AE =10，求DC 的长．【例2】如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD ，根据图中的数据，回答下列问题(单位：m )： (1)求坡面AB 的坡度； (2)求出坝底宽AD ．变式训练2： 1．如图是拦水坝的横断面，坡AB 长65米，坡度为1∶2，另一侧堤坡DE 长8米． (1)求坡AB 的水平距离AC 的长； (2)求堤坡DE 的坡度．【例3】如图，Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，cosB ＝45 ． (1)求sinB 和tanB 的值； (2)求AC 和BC 的长度．变式训练3： 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA =2，AC =4，求cosB 、 sinB 、sinA 、cosA 、tanB 的值并思考它们之间的关系．【例4】如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，sinA =1 3 ． (1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tanB ． ※课后练习 1．△ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，AB ＝5，则tanB =( ) A ．45 B ．35 C ．34 D ．43 2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝3 5 ，则cosB 的值是( ) A ．45 B ．35 C ．34 D ．43 3．如图是教学用的直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°， tan ∠BAC ＝3 3 ，则边BC 的长为( ) A ．303cm B ．203cm C ．103cm D ．53cm 4．如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:3，堤高BC ＝5 m ，则坡面AB 的长度是( ) A ．10 m B ．103m C ．15 m D ．53m 5．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( ) A ． 31010 B ．12 C ．13 D ．1010 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，sinA ＝25，则BC 的长为，tanA ＝． 7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD = ． 8．如图，是拦水坝的横断面，斜坡AB =125米，BD =10米，AE =38米，若斜面AB 坡度为1∶2，则坡DE 的坡度为． 9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论： ①sinA ＝32； ②cosB ＝12； ③tanA ＝3 3 ； ④tanB ＝ 3 其中正确的是．(填序号) 10．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，tanA ＝3 4 ．求AC 、AB 和cosB ． 11．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB ＝4，BC ＝5，求tan ∠AFE 和sin ∠BCE 的值． 12．如图是一个大坝的横断面，它是一个梯形ABCD ，其中坝顶AB ＝3米，经测量背水坡AD ＝20米，坝高10米，迎水坡BC 的坡度i ＝1：0.6，求坡AD 的坡度和坝底宽CD ． 13．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积第3题图第5题图第4题图第8题图第7题图

理解锐角三角函数的定义

理解锐角三角函数的定义 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 知识网络考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；．要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．， (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值 (1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若则锐角．，

三角函数的定义

高三第一轮复习材料2009-10-20 三角函数的概念一、基本知识 1. 角的概念的推广（1）终边相同的角；（2）象限角；（3）象限界角 2.弧度制（1）1弧度的角的定义；（2）弧度与角度的互换；（3）弧长公式与扇形的面积公式 3．任意角的三角函数（1）定义：（建系、取点、定比）（2）三角函数在各象限内的符号（3 （4）填表 4．用单位圆中的三角函数线来表示三角函数值二、典型例题例1 （1）若角α的终边和函数x y -=的图像重合，试写出角α的集合；（2）已知角α是第Ⅰ象限角，试确定2 α 所在象限. 感悟：

例2已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R . （1）若cm R 10,60==ο α，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积. （2）若扇形的周长是一定值)0(>C C ，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积. 例3已知角α终边经过点)0(),2,(≠-x x P 且x 6 3 cos =α，求ααcot sin +的值. 例4解答下列问题（1）若∈θⅣ,试判断)sin(cos θ、)cos(sin θ的符号. （2）若0)cot(sin )tan(cos >?θθ，试指出θ所在象限，并用图形表示出 2 θ 所取值的范围. 例5 已知)2 , 0(π α∈，求证：αααtan sin <<.（提示：用三角函数线证明）例6写出满足下列条件的角α的范围（1）0cos sin >-αα；（2）ααcos sin >；

（3）0cos sin >+αα；（4）0cos sin <+αα. 三、课堂练习 1．钟表的分针和时针在3点到5点40分这段时间里，分针转过了_______弧度的角，时针转过了_______弧度的角. 2．已知α是锐角，那么α2是（） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 小于ο180的正角 .D 不大于直角的正角 3．（05全国）已知α是第三象限角，则2 α 是（） .A 第一象限或第二象限 .B 第一或第三象限 .C 第二或第三象限 .D 第二或第四象限 4． 2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对的扇形面积的数值是（） . A 1 sin 1 . B 1 sin 1 2 . C 2 cos 11 - .D 1tan 5．下列命题中正确的是（） .A 若两扇形面积的比是1：4，则它们弧长的比是1：2 .B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 .C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小值 .D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系 6．点P 从)0,1(出发，沿单位圆12 2 =+y x 逆时针方向运动 3 2π 弧长达到Q 点，则Q 的坐标为（） .A )2 3,21(- .B )21,23(-- .C )2 3 ,21(-- .D )2 1 ,23(- 7．（07北京）已知 cos tan 0θθ?<，则角θ是______ .A 第一象限或第二象限 .B 第一或第四象限 .C 第二或第三象限 .D 第三或第四象限 8．函数x x x x x x x x x f cot cot tan tan cos cos sin sin )(+++=的值域是（） .A }4,2{- .B }2,0,2,4{- .C }4,0,2{- .D }4,0,2,4{-- 四、规范训练 1.已知扇形的面积为2 25cm .求该扇形周长的最小值.

8.锐角三角函数的定义

8.锐角三角函数的定义 (20070911190543578657)第1题. （2007甘肃陇南非课改，3分）如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点P 的坐标为（3，4），则sin α= ( ) A ． 35 B ． 4 5 C ． 34 D ． 43 答案：B (20070911190544421885)第2题. （2007福建厦门课改，4分）已知在Rt ABC △中，90C ∠= ，直角边AC 是直角边BC 的2倍，则sin A ∠的值是． (2007091119054531242)第3题. （2007甘肃兰州课改，4分）把Rt ABC △各边的长度都扩大3倍得Rt A B C '''△，那么锐角A ，A '的余弦值的关系为（）Ａ．cos cos A A '= Ｂ．cos 3cos A A '= Ｃ．3cos cos A A '= Ｄ．不能确定答案：Ａ (20070911190546140878)第4题. （2007甘肃兰州课改，4分）下列函数中，自变量x 的取值范围是2x >的函数是（）Ａ．y = Ｂ．y = Ｃ．y = Ｄ．y = 答案：Ｃ (20070911190546843991)第5题. （2007广西河池课改，2分）已知在Rt ABC △中，∠C 为直角，AC = 4cm ，BC = 3cm ，sin A = ．答案：5 3 (20070911190547625356)第6题. （2007海南课改，2分）在Rt ABC △中， 90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么B sin 的值是（） A ． 2 1 B ．23 C ．33 D ．3 答案：B (20070911190548859809)第7题. （2007山西太原课改，3分）在正方形网格中，α∠的位置如图所示，则sin α的值为（） α

锐角三角函数知识点及试题(含答案).

锐角三角函数一.知识框架二.知识概念 1.Rt △ABC 中 (1∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦,记作sinA = ∠A 的对边斜边 (2∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦,记作cosA = ∠A 的邻边斜边 (3∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切,记作tanA = ∠A 的对边

∠A 的邻边 (4∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切,记作cota = ∠A 的邻边∠A 的对边 2.特殊值的三角函数: 锐角三角函数(1 基础扫描 1. 求出下图中sinD ,sinE 的值. 2.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′ C ′,那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为( . A . sinA =sinA ′ B . sinA =2sinA ′ C . 2sinA =sinA ′ D . 不能确定 3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AB =5,AC =4,则sinB 的值是( A . 35

B . 45 C . 34 D . 4 3 4. 如图,△ABC 中,AB=25,BC=7,CA=24.求sinA 的值. 25 24 7C B A 5. 计算:sin30°·sin 60°+sin45°. 能力拓展 6. 如图,B 是线段AC 的中点,过点C 的直线l 与AC 成60°的角,在直线上取一点P ,连接AP 、PB ,使sin ∠APB=1 2,则满足条件的点P 的个数是( A 1个 B 2个 C 3个

D 不存在 7. 如图,△ABC 中,∠A 是锐角,求证:1 sin 2 ABC S AB AC A ?= ?? 8.等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,求sinA 、sinB . l C B A (第7题图 85 F E D 创新学习 9. 如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠BAC等于( A. B C.

三角函数的定义教案

教学设计课题：《任意角的三角函数》教学目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别； 3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关； 4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域； 5.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。教学重点： 1. 任意角的三角函数的定义； 2. 运用任意角的三角函数的定义求函数值。教学难点：理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；教学方法： 1. 情境教学法； 2. 问题驱动教学法。教学过程：一、复习引入（情境1）前面我们学习了角的概念的推广，通过推广，使角动了起来，同时把角的范围也突破了0度和360度的界限，角可为任意大小。这节课我们要研究的问题是任意角的三角函数。初中阶段我们学习了锐角的三角函数。【问题1】在直角三角形中，锐角的三角函数是怎样定义的？（学生回答）二、新授知识【目标一】任意角的三角函数的定义是什么？【情境二】事实上，锐角的三角函数定义，可以看作是在角的锐角的一边上任取一点，构造一个直角三角形，用直角三角形的边之比来定义。我们可以看出，取的点不同，所构造的三角形的大小也不一样。α的各三角函数值与所构造的三角形的大小有关吗？（无关，由三角形相似的性质可以得到。） A C B α sin B C AB α=cos AC AB α=tan BC AC α=α

【情境三】角的概念推广之后，角可以是任意大小，把角放在直角三角形中定义它的三角函数显然已经达不到要求，必须寻求一种新的方法！前面我跟同学们暗示过：今后在研究任意角的相关时，我们常常把角放在坐标系里进行研究！【问题2】任意角在坐标系中是如何放置的？（学生回答）将角的顶点放在原点，始边与x轴正半轴重合。角的终边可能会落在某一象限内，也可能在坐标轴上。出示PPT。我们在角的终边上任取除顶点以外的一点P，则P有一确定的坐标，（x,y），P点到原点的距离也是确定的， >0。在有意义的前提下这样我们可以得到三组比值：y r ，x r ，y x 。由相似三角形可以得到这些比值和取的点的位置无关，比值只和终边的位置有关！定义：y r 为α的正弦，sinα=y r ; x r 为α的余弦，cosα=x r ; y x 为α的正切，tanα=y x 。取以上各比值的倒数，又可相应得到α的另外三个三角函数，即： cscα=1 sinα=r y , secα=1 cosα =r x , cotα=1 tanα =x y 课本上没有这三个，作为高中生这也是必须了解的，同学们把它写在书上！这就是任意三角函数的定义，这种定义的方法称为坐标法，希望同学你们记牢固！【情境四】根据任意角的三角函数的定义，已知角终边上一点

任意角的三角函数知识点

2.1任意角的三角函数课前复习： 1. 特殊角的三角函数值记忆新课讲解：任意点到原点的距离公式： 1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r == >，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=；说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α 的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z π απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α= 无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T . 由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有 sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。（Ⅳ）（Ⅲ）

锐角三角函数定义

一锐角三角函数定义（2011.1.24）学习要求：理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．一、填空题 1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而 AC B A B C C B ) ()(= '=''，又可得 ① ='' 'B A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比是一个___值； ②='' B A C A ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______； ③=' ' 'C A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比还是一个_____．第1题图第2题图 2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ①斜边)(sin =A ＝______，斜边)(sin =B ＝______； ②斜边 ) (cos =A ＝______，斜边) ( cos = B ＝______； ③的邻边 A A ∠= ) (tan ＝______， ) (tan 的对边 B B ∠=＝______． 3．因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它______，所以 sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 7．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．

理解锐角三角函数概念应注意的问题

茨竹学校陈兴超在09年12月25日三、四片区数学教研会上，有老师曾提出一个问题：书写三角函数时，有时加角的符号，有时没有加角的符号，那么该怎样判定加与不加呢？笔者带着这个问题，查阅了有关资料，结合教学实践，作了一些探究。现就理解锐角三角函数概念应注意的问题作如下例举，供同行们参考. 1、初中阶段的所说的锐角三角函数是锐角的正弦、余弦、正切、余切四种函数的统称. 2、锐角三角函数表示的是两个正数的比值，因而，锐角三角函数没有单位. 3、理清锐角三角函数中的自变量与因变量对于上述四种函数来说，以∠A为例，自变量都是锐角A，因变量就是锐角A的四种三角函数。这说明，当锐角A的大小不变时，锐角A的正弦值、余弦值、正切值、余切值也将保持不变. 4、锐角三角函数中自变量的取值范围锐角三角函数的自变量是锐角，所以，自变量∠A的范围就是0°＜∠A＜90°. 5、理解锐角三角函数的整体性 sinA是∠A的正弦函数，cosA是∠A的余弦函数，tanA是∠A的正切函数，cotA是∠A的余切函数，其中，sin A、cos A、tan A、cotA分别是四个不同的整体，不能错误地认为是sin、cos、tan、cot分别与A的乘积，否则，就没有意义了. 6、在书写锐角三角函数时，要因角的不同表示方法而采用不同的书写方式，不能随意改变。具体要求如下：

（1）用顶点字母法表示锐角，在书写锐角三角函数时，可以省略角的符号“∠”。例如∠B的锐角三角函数，可以分别记作： sin B、cos B、tan B、cot B. （2）用希腊字母法表示锐角，在书写锐角三角函数时，可以省略角的符号“∠”。例如∠β的锐角三角函数，可以分别记作： sinβ、cosβ、tanβ、cotβ. （3）用三个英文字母法表示锐角，在书写锐角三角函数时，不可以省略角的符号“∠”。例如∠ABC的锐角三角函数，可以分别记作： sin∠ ABC、cos∠ ABC、tan∠ ABC、cot∠ ABC. （4）用数字法表示锐角，在书写锐角三角函数时，不可以省略角的符号“∠”。例如∠1的锐角三角函数，可以分别记作： sin∠ 1、cos∠

三角函数基本概念和表示

第三章三角函数第一节三角函数及概念复习要求： 1．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。知识点： 1.任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。 2.角的分类为了区别起见，我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。（1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合：。 O

（3）第三象限角的集合：。（4）第四象限角的集合： 4.轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα? ??? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变，与r 无关弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量（1）角的度量制有：角度制，弧度制（2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。

锐角三角函数—知识讲解

锐角三角函数—知识讲解责编：康红梅【学习目标】 1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义； 2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b A c ∠= =的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 C a b

，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成 “tanAEF”；另外，、

锐角三角函数的概念

锐角三角函数的概念教学目标： 1、理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表示法； 2、能根据锐角三角函数的定义计算一个锐角的各个三角函数的值； 3、掌握直角三角形中的锐角三角函数的表示： sinA= 斜边的对边 A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠，tanA=的邻边的对边A A ∠∠，cotA=的对边的邻边A A ∠∠ 4、掌握锐角三角函数的取值范围； 5、通过经历三角函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法．教学重点：锐角三角函数相关定义的理解及根据定义计算锐角三角函数的值．教学难点：锐角三角函数概念的形成．教学过程：一、创设情境：鞋跟多高合适？美国人体工程学研究人员卡特·克雷加文调查发现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7厘米左右的高跟鞋．但专家认为穿6厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等处的肌肉非常容易疲劳．据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11度左右时，人脚的感觉最舒适．假设某成年人脚前掌到脚后跟长为15厘米，不难算出鞋跟在3厘米左右高度为最佳．问：你知道专家是怎样计算的吗？显然，高跟鞋的鞋底、鞋跟与地面围城了一个直角三角形，回顾直角三角形的已学知识，引出课题．二、探索新知： 1、下面我们一起来探索一下．实践一：作一个30°的∠A ，在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C ．量出AB ，AC ，BC 的长度（精确到1mm ）． A C B

⑴计算 AB BC ，AB AC ，AC BC ，BC AC 的值，并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较． ∠A=30°时 AB BC AB AC AC BC BC AC 学生1结果学生2结果学生3结果学生4结果 ⑵将你所取的AB 的值和你的同伴比较．实践二：作一个50°的∠A ，在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C ．量出AB ，AC ，BC 的长度（精确到1mm ）．（1）计算 AB BC ，AB AC ，AC BC ，BC AC 的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较． ∠A=50°时 AB BC AB AC AC BC BC AC 学生1结果学生2结果学生3结果学生4结果（2）将你所取的AB 的值和你的同伴比较． 2、经过实践一和二进行猜测猜测一：当∠A 不变时，四个比值与B 在AM 边上的位置有无关系？猜测二：当∠A 的大小改变时，相应的四个比值会改变吗？ 3、理论推理观察图中的Rt △11C AB 、Rt △22C AB 和Rt △33C AB ，易知 Rt △11C AB ∽Rt △_________∽Rt △________，所以 1 1 1AC C B ＝_________＝____________． 4、归纳总结得到新知：（1）在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．