高等数学(下册)第10章第8讲重积分的应用
重积分的应用
2π
π
a
a5 π 3 = ρ ⋅ 2π ⋅ ∫ sin ϕ dϕ 5 0 a5 4 = ρ ⋅ 2π ⋅ ⋅ 5 3
8πρ a 5 = . 15
21
思考题
1. 求由曲面 x + y = az 和 z = 2a −
2 2
x2 + y2
(a > 0) 所围立体的表面积.
2. 设平面薄板由
⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = 1+⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2 2
a a2 − x 2 − y2
.
因这函数在闭区域 D 上无界,不能直接应用公式.
4
先取积分区域 D1 : x 2 + y 2 ≤ b 2 (0 < b < a ).
A1 = ∫∫
D1
a a −x −y
2 2 2
dxdy = ∫∫
2 D
= μ ∫ sin θ dθ ∫
2 0
4
π
a
D
0
∫
π
0
sin θ dθ
2
a π πμ a 4 =μ ⋅ = . 4 2 8
18
空间物体的转动惯量
立体对于 x 轴的转动惯量
I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρ ( x , y, z )dV .
Ω
立体对于 y 轴的转动惯量
I y = ∫∫∫ ( x + z ) ρ ( x , y, z )dV .
4 sin θ
56 π 4 sin θ dθ = ∫ 9π 0 56 π 3 − 4cos 2θ + cos 4θ = dθ ∫ 9π 0 8 56 3π 7 = . = ⋅ 3 9π 8
(完整版)同济大学高数第10章重积分
多元函数积分学是定积分概念的推广，包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分.它们所解决的问题的类型不同，但解决问题的思想和方法是一致的，都是以“分割、近似、求和、取极限”为其基本思想，它们的计算最终都归结为定积分.本章主要介绍二重积分与三重积分的概念、性质、计算方法及其应用.27610.1 二重积分的概念及性质10.1.1 二重积分的概念实例1 设函数),(y x f z =在有界闭区域D 上连续，且0),(≥y x f ．以函数),(y x f z =所表示的曲面为顶，以区域D 为底，且以区域D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面为侧面的立体叫做曲顶柱体，如图10.1.1所示．求该曲顶柱体的体积V ．图10.1.1 图10.1.2 对于平顶柱体,它的体积就等于底面积乘高.现在曲顶柱体的顶是曲面,当点),(y x 在D 上变动时,其高度),(y x f z =是一个变量,因此不能直接用上述方法求其体积，但是可以沿用求曲边梯形面积的方法和思路求其体积.具体步骤如下第一步(分割).用一组曲线网将区域D 任意分成n 个小区域1σ∆,2σ∆,…i σ∆,…n σ∆，其中记号i σ∆ (i = 1，2，…，n )也用来表示第i 个小区域的面积．分别以每个小区域的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体1V ∆，2V ∆…，i V ∆…，n V ∆，其中记号i V ∆(i = 1，2，…，n )也用来表示第i个小曲顶柱体的体积．第二步(近似)．因为),(y x f 在区域D 上连续，在每个小区域上其函数值变化很小，这个小曲顶柱体可以近似地看作平顶柱体(如图10.1.2)．分别在每个小区域i σ∆上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，i σ∆为底的小平顶柱体的体积i i i f σηξ∆),(作为第i 个小曲顶柱体体积i V ∆的近似值，即),,2,1(),(n i f V i i i i Λ=∆≈∆σηξ．第三步(求和)．这n 个小平顶柱体体积之和可作为原曲顶柱体体积V 的近似值，即i i ni i n i i f V V σηξ∆≈∆=∑∑==),(11．第四步(取极限)．对区域D 分割越细，近似程度越高，当各小区域直径的最大值0→λ(有界闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值)时，若上述和式的极限存在，则该极限值就是曲顶柱体的体积V ，即有i i ni i f V σηξλ∆=∑=→),(lim 10． 实例 2 设有一个质量非均匀分布的平面薄片，它在xOy 平面上占有有界闭区域D ，此薄片在点D y x ∈),(处的面密度为),(y x ρ，且),(y x ρ在D 上连续．求该薄片的质量M ．如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量就等于面密度与面积的乘积．现在薄片的面密度随着点),(y x 的位置而变化，我们仍然可以采用上述方法求薄片的质量．用一组曲线网将区域D 任意分成n 个小块1σ∆，2σ∆…，n σ∆；由于),(y x ρ在D 上连续，只要每个小块i σ∆ (i = 1，2，…， n )的直径很小，这个小块就可以近似地看作均匀小薄片．在i σ∆上任取一点),(i i ηξ，用点),(i i ηξ 图10.1.3处的面密度),(i i ηξρ近似代替区域i σ∆上各点处的面密度(如图10.1.3)，从而求得小薄片i σ∆的质量的近似值),(i i i M ηξρ≈∆i σ∆),,2,1(n i Λ=；整个薄片质量的近似值为i i ni i M σηξρ∆∑≈=),(1．将薄片无限细分，当所有小区域i σ∆的最大直径0→λ时，若上述和式的极限存在，这个极限值就是所求平面薄片的质量，即 i ni i i M σηξρλ∆∑==→),(lim 10． 尽管上面两个问题的实际意义不同，但解决问题的方法是一样的，而且最终都归结为求二元函数的某种特定和式的极限．在数学上加以抽象，便得到二重积分的概念．根据二重积分的定义可知，例10.1.1中曲顶柱体的体积V 是其曲顶函数),(y x f 在底面区域D 上的二重积分，即⎰⎰=Dy x f V σd ),(；例10.1.2中平面薄片的质量M 是其面密度函数),(y x ρ在其所占闭区域D 上的二重积分，即⎰⎰=Dy x M σρd ),(．关于二重积分的几点说明．(1) 如果函数),(y x f 在区域D 上的二重积分存在，则称函数),(y x f 在D 上可积．如果函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则),(y x f 在D 上可积．(2) 当),(y x f 在有界闭区域D 上可积时，积分值与区域D 的分法及点),(i i ηξ的取法无关．(3) 二重积分只与被积函数),(y x f 和积分区域D 有关．二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(的几何意义．(1) 若在闭区域D 上0),(≥y x f ，二重积分表示曲顶柱体的体积；(2) 若在闭区域D 上0),(≤y x f ，二重积分表示曲顶柱体体积的负值；(3) 若在闭区域D 上),(y x f 有正有负，二重积分表示各个部分区域上曲顶柱体体积的代数和．10.1.2 二重积分的性质二重积分有与定积分完全类似的性质，这里我们只列举这些性质，而将证明略去．280例10.1.1比较⎰⎰+D y x σd )(与⎰⎰+Dy x σd )(3的大小，其中D 是由直线0,0==y x 及1=+y x 所围成的闭区域．解 由于对任意的D y x ∈),(，有1≤+y x ，故有y x y x +≤+3)（，因此≥+⎰⎰D y x σd )(⎰⎰+Dy x σd )(3． 例10.1.2 估计⎰⎰++Dy x σd )1(的值，其中D 为矩形区域，10≤≤x ，20≤≤y ．解 被积函数在区域D 上的最大值与最小值分别为4和1，D 的面积为2，于是⎰⎰≤++≤Dy x 8d )1(2σ．习题10.11．使用二重积分的几何意义说明12231()d D I x y σ=+⎰⎰与22232()d D I x y σ=+⎰⎰的之间关系，其中D 1是矩形域-1 ≤ x ≤ 1，-1 ≤ y ≤ 1，D 2是矩形域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1．2. 比较下列积分的大小.(1)σd y x D ⎰⎰+=I 21)(与σd y x D⎰⎰+=I 32)(，其中D 由x 轴、y 轴及直线1=+y x 所围成；(2) σd y x D ⎰⎰+=I )ln(1与()[]σd y x D ⎰⎰+=I 22ln ，其中{}10,53),(≤≤≤≤=y x y x D .3．估计下列积分值的大小．(1) σd y x xy D⎰⎰+=I 4)(，其中D ：0 ≤ x ≤ 2， 0 ≤ y ≤ 2； (2) σd y x D ⎰⎰++=I )94(22，其中D ：422≤+y x ．4．一薄片(不考虑其厚度)位于xOy 平面上，占有区域D ，薄片上分布有面密度为u = u (x ，y )的电荷，且u (x ，y )在D 上连续，使用二重积分表示薄片的全部电荷Q ．10.2 二重积分的计算28210.2.1 直角坐标系下二重积分的计算我们知道，如果函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则在区域D 上的二重积分存在，且它的值与区域D 的分法和各小区域i σ∆ ),,2,1(n i Λ=上点),(i i ηξ的选取无关，故可采用一种便于计算的划分方式，即在直角坐标系下用两族平行于坐标轴的直线将区域D 分割成若干个小区域. 则除去靠区域D边界的不规则的小区域外，其余的小区域全部是小矩形区域． 图10.2.1设小矩形区域σ∆的边长分别为x ∆和y ∆(如图10.2.1)，则小矩形区域的面积为y x ∆∆=∆σ．因此，在直角坐标系下，可以把面积元素记为y x d d d =σ．则在直角坐标系下，二重积分可表示成下面我们将利用平行截面法来求曲顶柱体的体积，以获得利用直角坐标系计算二重积分的方法．设曲顶柱体的顶是曲面),(y x f z =(0),(≥y x f )，底是xOy 平面上的闭区域D (如图10.2.2)，即区域D 可用不等式组表示为{})()(,),(21x y y x y b x a y x D ≤≤≤≤=，其中函数),(y x f z = 在区域D 上连续，函数)()(21x y x y 与在区间[a ，b ]上连续，该区域的特点是：穿过区域D 内部且垂直于x 轴的直线与D 的边界的交点不多于两点．图10.2.2用过区间[a ，b ]上任意一点x 且垂直于x 轴的平面去截曲顶柱体，所得到的截面是一个以)](),([21x y x y 为底，以),(y x f z =为曲边的曲边梯形(如图10.2.3)，其面积为⎰=)( )( 21d ),()(x y x y y y x f x A ．再利用平行截面面积为已知的立体的体积公式，便得到曲顶柱体的体积为x y y x f x x A V b a b a x y x y d ]d ),([d )( )( )( 21⎰⎰⎰==． 图10.2.3根据二重积分的几何意义可知，这个体积也就是所求二重积分的值，从而有上式右端称为先对y 后对x 的二次积分．由此看到，二重积分的计算可化成计算两次单积分来进行，这种方法称为累次积分法．对y 积分时，把x 看作常数，把),(y x f 只看作y 的函数，并对y 从)(1x y 到)(2x y 进行定积分；然后把算得的结果(关于x 的函数)再对x 在区间[a ，b ]上进行定积分．在上述过程中，我们假定0),(≥y x f ，但实际上公式并不受此条件的限制．类似地，如果积分区域D 如图10.2.4所示，则区域D 可表示为{}d y c y x x y x y x D ≤≤≤≤=,)()(),(21，其中函数)()(21y x y x 与在区间[c ，d ]上连续，该区域的特点是：穿过区域D 内部且垂直于y轴的直线与D 的边界的交点不多于两点．284图10.2.4这时则有以下公式：上式右端称为先对x 后对y 的二次积分．如果积分区域D 不属于上述两种类型，如图10.2.5所示．即平行于x 轴或y 轴的直线与D 的边界的交点多于两点，这时可以用平行于x轴或平行于y 轴的直线把D 分成若干个小区域，使每个小区域都属于上述类型之一，则可利用性质3，将D 上的积分化成每个小区域上积分的和．图10.2.5 图10.2.6 例10.2.1 计算⎰⎰=Dy x xy I d d 2，其中区域D ：10≤≤x ，12y ≤≤．解 作区域D 的图形(如图10.2.6)，这是矩形区域．化成累次积分时，积分上下限均为常数．如果先对y 积分，则把x 看作常数，得y xy x y x xy I D d d d d 1 0 2 1 22⎰⎰⎰⎰==⎰⎰===1 0 10 21367d 37d ]3[x x x y x ． 如果先对x 积分，则有67d 21d ]2[d d d d 2 1 21021222 1122=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y y x y x xy y y x xy I D．例10.2.2 计算⎰⎰Dy x xy d d 22，其中D 由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成．解 画D 的图形(如图10.2.7 a )．解方程组⎩⎨⎧-==22x y xy ，得交点坐标为(1, -1)，(4, 2)．图10.2.7 a 图10.2.7 b若选择先对x 积分，这时D 可表示为{}21,2),(2≤≤-+≤≤=y y x y y x D ，从而y y y y y y x y x xy y y x xy y yy y Dd )44(d ][d 2d d d 22162342221221 2 2222⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--+-++=== 35615]7345[217345=-++=-y y y y ．若先对y 积分后对x 积分，由于下方边界曲线在区间[0，1]与[1，4]上的表达式不一致，这时就必须用直线1=x 将区域D 分成1D 和2D 两部分(如图10.2.7 b )．则1D 和2D 可分别表示为{}10,),(1≤≤≤≤-=x x y x y x D ， {}41,2),(2≤≤≤≤-=x x y x y x D ，由此得286⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=+=xx xxD D Dy xy x y xy x y x xy y x xy y x xy 224 11 02222d 2d d 2d d d 2d d 2d d 221．显然，计算起来要比先对x 后对y 积分麻烦，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键．选择积分次序与积分区域的形状及被积函数的特点有关．例10.2.3 求由两个圆柱面222R y x =+和222R z x =+相交所形成的立体的体积． 解 根据对称性，所求体积V 是图10.2.8 a 所画出的第一卦限中体积的8倍．第一卦限的立体为一曲顶柱体，它以圆柱面22x R z -=为顶，底为xOy 面上的四分之一圆(如图10.2.8 b )，用不等式组表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-≤≤=R x x R y y x D 0,0),(22，所求体积为y x R x y x x R V Rx R Dd d 8d d 8 0222222⎰⎰⎰⎰--=-=32 02 0022316d )(8d ][822R x x R x y x R RRx R=-=-=⎰⎰-．图10.2.8 a 图10.2.8 b以上我们采用的是先对y 后对x 的积分次序，如果先对x 后对y 积分，则有x x R y y x x R V Rx R Dd d 8d d 8 0222222⎰⎰⎰⎰--=-=．虽然也能得到相同的结果，但计算要复杂的多．例10.2.4 计算二重积分x xxy yyd sin d 1 0⎰⎰． 解 积分区域D 如图10.2.9所示，直接计算显然不行，因为x xxd sin ⎰不能表示为初等函数．但被积函数与y 无关，因此我们考虑交换积分次序后再计算．x y xx y x x x x x xy x x x x yyd ][sin d sin d d sin d 221 0 1 0 1 0⎰⎰⎰⎰⎰== ⎰⎰⎰-=-=111d sin d sin d )sin (sin x x x x x x x x x 1sin 1)1sin 1(cos )1cos 1(-=-+-=． 图10.2.910.2.2 极坐标系下二重积分的计算前面讨论了在直角坐标系下计算二重积分的方法．但有些二重积分，其被积函数和积分区域(如圆形、扇形、环形域等)用极坐标系表示时比较简单，这时可考虑利用极坐标计算二重积分．下面介绍在极坐标系下二重积分的计算方法．因为二重积分与积分区域D 的分法无关，所以可用极坐标系下以极点为中心的一族同心圆=r 常数以及从极点发出的一族射线=θ常数来分割区域D ．不失一般性，我们考虑极径由r 变到r r d +和极角由θ变到θθd +所得到的区域(如图10.2.10)．该小区域可近似地看作边长分别为r d 和θd r 的小矩形，于是极坐标下的面积元素θσrdrd d =．再用坐标变换θcos r x =，θsin r y =代替被积函数),(y x f 中的x 和y ，于是得到二重积分在极坐标系下的表达式图10.2.10 图10.2.11实际计算时，与直角坐标情况类似，还是化二重积分为累次积分来进行计算，这里仅介绍先r 后θ的积分次序，积分的上下限则要根据极点与区域D 的位置而定．下面分三种情况说明在极坐标系下，如何化二重积分为累次积分．(1)极点O 在积分区域D 之外(如图10.2.11)．此时区域D 界于射线αθ=和βθ=之间(βα<﴿，这两条射线与D 的边界的交点把区域边界曲线分为内边界曲线)(1θr r =和外边界曲线)(2θr r =两个部分，则{}βθαθθ≤≤≤≤=,)()(),(21r r r y x D ，(2)极点O 在积分区域D 之内(如图10.2.12)．此时极角θ从0变到π2，如果D 的边界曲线方程是)(θr r =，则{}πθθ20,)(0),(≤≤≤≤=r r y x D ，(3)极点O 在积分区域D 的边界上(如图10.2.13)此时极角θ从α变到β，设区域D 的边界曲线方程是)(θr r =，则{}βθαθ≤≤≤≤=,)(0),(r r y x D ，图10.2.12 图10.2.13特别地，当1)sin ,cos (=θθr r f 时，σσσ( =⎰⎰Dd 为区域D 的面积），即当βθαθθθ≤≤== ),()(0)(21r r r ，时，即为在定积分应用中用极坐标计算曲边扇形面积的公式．一般情况下，当二重积分的被积函数中自变量以22y x ±，xy ，x y ，y x 等形式出现且积分区域由圆弧与射线组成(如以原点为中心的圆域、扇形域、圆环域，以及过原点而中心在坐标轴上的圆域等)，利用极坐标计算往往更加简便．用极坐标计算二重积分时，需画出积分区域D 的图形，并根据极点与区域D 的位置关系，选用上述公式．例10.2.5 将二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(化为极坐标系下的累次积分，其中D 表示为{}0,2),(22≥≤+=y Rx y x y x D ，解 画出D 的图形(如图10.2.14)，在极坐标系下，D 可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,cos 20),(πθθR r y x D ，于是可得290⎰⎰⎰⎰=2cos 2 0d )sin ,cos (d d ),(πθθθθσR Dr r r r f y x f ．图10.2.14 图10.2.15例10.2.6 计算⎰⎰--Dy xy x d d e 22，其中D 是圆盘222a y x ≤+在第一象限的部分．解 画出D 的图形(如图10.2.15)，在极坐标系下，D 可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,0),(πθθa r r D ，于是可得⎰⎰⎰⎰⎰⎰----==Dar r Dy x r r r r y x 2d ed d d ed d e2222πθθ)e 1(4d ]e 21[22020 a a r ---=-=⎰πθπ．例10.2.7 求由球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+所围且含于柱面内的立体体积．图10.2.16 a 图10.2.16 b解 如图10.2.16 a 所示，由于这个立体关于xOy 面与xOz 面对称，所以只要计算它在第一卦限的部分．这是以球面2224y x a z --=为顶，以曲线22x ax y -=与x 轴所围成的半圆D 为底(如图10.2.16 b )的曲顶柱体，其体积为σd 44222⎰⎰--=Dy x a V ．在极坐标下，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,cos 20),(πθθθa r r D ，于是得到 θθθππθd )4(34d 4d 4cos 2 0223222cos 2 022a a r a r r a r V ⎰⎰⎰--=-=)43(916d )sin 1(3323233-=-=⎰πθθπa a ． 习题10.21.画出积分区域并计算下列二重积分． (1)(1)d d Dx y x y --⎰⎰，:0, 0,1D x y x y ≥≥+≤；(2) 22(),D xy d σ+⎰⎰其中D 是矩形闭区域：||1,||1;x y ≤≤；(3)cos(),Dx x y d σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0),(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域.；(4)e d d xy Dy x y ⎰⎰，1:2, 12D y x x≤≤≤≤．2.将二重积分(,)d d Df x y x y ⎰⎰化为二次积分，其中积分区域D 是:(1) 以(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域； (2) 由直线2,==x x y 及双曲线)0(1>=x xy 所围成的区域．3.交换下列二次积分的积分次序．(1)112 0 d (,)d xx x f x y y -⎰⎰； (2) 0d (,)d aa x f x y y -⎰⎰；(3)dx y x f dyeey⎰⎰10),(； (4) 1 22 0 0 1 0d (,)d d (,)d xxx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰．2924.画出下列积分区域，并把二重积分⎰⎰Dy x y x f d d ),(化成极坐标系下的二次积分．(1) D ：)0(2222b a b y x a <<≤+≤； (2) D ：x y x 222≤+.5.将积分 22 0 0d ()d Rx f x y y +⎰⎰化成极坐标形式．6.利用极坐标计算下列积分． (1)(632)d d Dx y x y --⎰⎰，D ：222R y x ≤+；(2)d Dx y ⎰⎰，D ：22224ππ≤+≤y x ；(3)D，D ：122≤+y x ．7.选择适当的坐标系计算下列积分．(1)2d d Dy x y ⎰⎰，D 由, , 0, cos 4x x y y x ππ====所围成；(2)22ln(1)d d Dx y x y ++⎰⎰；D ：222x y R +≤，0, 0x y ≥≥；(3)22d d Dx yx y x y ++⎰⎰，D ：122≤+y x ，1≥+y x ． 8.求圆锥面221y x z +-=与平面z = x ，x = 0所围成的立体体积．9. 求由平面0=x ，0=y ，1=z ，1=+y x 及y x z ++=1所围成的立体的体积.10.3 三重积分10.3.1 三重积分的概念将二重积分的概念推广，就得到三重积分的概念.在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面来划分Ω，那么除了包含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域i v ∆为长方体. 设长方体小闭区域i v ∆的边长为j x ∆、k y ∆、l z ∆,则l k j i z y x v ∆∆∆=∆.因此在直角坐标系中,有时也把体积微元dv 记作dxdydz ,而把三重积分记作⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积微元.当函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上连续时，(10.3.1)式右端的和的极限必定存在，也就是函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上的三重积分必定存在. 以后我们总假定函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上是连续的.关于二重积分的一些术语，例如，被积函数、积分区域等，也可相应地用294到三重积分上. 三重积分的性质也与二重积分的性质类似，这里不再重复了.如果(,,)f x y z 表示某物体在点),,(z y x 处的密度，Ω是该物体所占有的空间闭区域，(,,)f x y z 在Ω上连续，则i ni iiiv f ∆∑=1),,(ζηξ是该物体的质量m 的近似值，这个和当0→λ时的极限就是该物体的质量m ，所以⎰⎰⎰Ω=dv z y x f m ),,(当(,,)1f x y z ≡时，⎰⎰⎰Ωdv 积分值就等于积分区域Ω的体积.10.3.2 在直角坐标系下三重积分的计算 1 先一后二法设函数(,,)f x y z 在空间有界闭区域Ω上连续.设区域Ω在xoy 面上的投影区域为D ,如果平行于z 轴且穿过区域Ω的直线与Ω的边界曲面的交点不超过两个,此区域表示为{}D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω),(,),(),(),,(21.即过区域Ω在xoy 面上的投影区域D 内任一点),(y x ，做平行于z 轴的直线，穿进Ω的点总在曲面1∑:),(1y x z z =上，穿出Ω的点总在曲面2∑:),(2y x z z =上，且),(),(21y x z y x z ≤（如图10.3.1）.此时三重积分可化为⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z dz z y x f d dv z y x f ),(),(21),,(),,(σ即先对z 积分再计算在D 上的二重积分（先一后二法）.假如闭区域},)()(),{(21b x a x y y x y y x D ≤≤≤≤=把这个二重积分化为二次积分,于是得到三重积分的计算公式 即把三重积分化为先对z ,再对y ,最后对x 的三次积分如果平行于x 轴或y 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面S 相交不多于两点,也可把闭区域Ω投影到yoz 面上或xoz 面上,这样便可以把三重积分化为按其他顺序的三次积分.因此,在直角坐标系下的三重积分可能有6种不同顺序的三次积分.如果平行于坐标轴且穿过闭区域Ω内部的直线与边界曲面S 的交点多于两个,也可像处理二重积分那样,把Ω分成若干部分,使Ω上的三重积分化为各部分闭区域上的三重积分的和.例10.3.1 计算三重积分⎰⎰⎰Ω=z y x x I d d d ，其中积分区域Ω为平面12=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域.,)296解 积分区域Ω是如图10.3.2所示的四面体， 将Ω投影在xoy 面，投影区域D 为 }10,210),{(≤≤-≤≤=x xy y x D在D 内任取一点),(y x ,过此点作平行于z 轴的直线,该直线通过平面0=z 穿入Ω内,然后通过平面y x z 21--=穿出Ω外,所以,积分区域Ω表示为 ),,{(z y x =Ωy x z 210--≤≤，}10,210≤≤-≤≤x xy . 于是,由公式(10.3.2)得⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω--==Dyx xdz dxdyz y x x I 210d d d⎰⎰⎰---=yx x xdz dydx2102101dy y x xdx x⎰⎰---=2101)21(481)2(411032=+-=⎰dx x x x 例10.3.2 计算三重积分⎰⎰⎰Ωv x d ，其中积分区域Ω为椭圆抛物面222z x y =+及抛物柱面22z x =-所围成的闭区域.解 积分区域Ω如图10.3.3所示,Ω在xoy 坐标面上的投影区域为}1),{(22≤+=y x y x D .积分区域Ω表示为 ),,{(z y x =Ω}),(,22222D y x x z y x ∈-≤≤+于是x⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=22222d x y x Dxdz d v x σ2221212xx y dx xdz --+=⎰⎰1221(1)dx x x y dy -=--⎰0= 图10.3.32 先二后一法有时,我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分. 设空间区域Ω如图10.3.4所示,则12c z c ≤≤,12(,)z c c ∀∈,过z 点作z 轴的垂面,与区域Ω的截面为z D ,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩzDc cd z y x f dz dv z y x f σ),,(),,(21即先计算在z D 上的二重积分,再对z 积分（先二后一法）.例10.3.3 计算三重积分⎰⎰⎰Ωv z d 2,其中Ω是椭球体),,{(z y x =Ω2222221x y z a b c ++≤}. 图10.3.4 解 将Ω投影到z 轴上,则c z c -≤≤,对任意),(c c z -∈,过点),0,0(z 的平面截椭球体得到椭圆域为z D ：2222221x y z a b c+≤-,),(c c z -∈(如图10.3.5),即空间闭区域Ω可表示为{}c z c cz b y a x z y x ≤≤--≤+=Ω,1),,(222222,于是zy22y +2983222221541d abc dz z c z ab dxdy dz z v z zD cc cc ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ω但是,若采用“先一后二法” 将Ω投影到xoy 平面上得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤+=1),(2222b y a x y x D则⎰⎰⎰Ωv z d22a adx dz -=⎰⎰⎰32223222)3a a x y c dx dy a b -=--⎰⎰. 此积分很难完成. 图10.3.5 10.3.3柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算 1 利用柱坐标系计算三重积分.空间直角坐标系中，将xoy 面用极坐标系表示所建立的坐标系就是柱坐标系. 设),,(z y x M 为空间直角坐标系中一点图10.3.6此点在xoy 面上投影点)0,,(y x P 表示成相应的极坐标形式为),(θr ，则M 点的柱坐标为),,(z r θ(如图10.3.6).这里规定r ,θ,z 的变化范围为+∞<≤r 0,02θπ≤≤,+∞<<∞-z在柱坐标系中： 0r r =（常数）,表示以z 轴为中心的圆柱面；θ=0θ（常数）,表示通过z 轴的半平面，此半平面与zox 面的夹角为0θ；z =0z （常数）,表示平行于xoy 坐标面的平面.空间直角坐标与柱坐标的关系为⎪⎩⎪⎨⎧===.,sin ,cos z z r y r x θθ (10.3.2)现在要把三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(中的变量变换为柱面坐标.为此,用=r 常数，θ=常数，z =常数把Ω分成许多小闭区域,除了含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外,这种小闭区域都是柱体.考虑由r ,θ,z 各取得微小增量dr ,θd ,dz 所成的柱体的体积(如图10.3.7).这个体积等于高和底面积的乘积.现在高为dz 、底面积在不计高阶无穷小时为θrdrd (即极坐标系中的面积元素),于是得dz rdrd dv θ=，这就是柱面坐标系中的体积元素.300图10.3.7再注意到关系式(10.3.2),就得到三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式(10.3.3).设空间区域Ω在xoy 面上的投影区域}),()(),{(21βθαθϕθϕθ≤≤≤≤=r r D ， 空间区域Ω}),(),,(),(),,{(21D r r z z r z z r ∈≤≤=θθθθ 则柱坐标系下的三重积分化为三次积分为：dz rdrd z r r f θθθ⎰⎰⎰Ω),sin ,cos (⎰⎰⎰=),(),()()(2121),sin ,cos (θθθϕθϕβαθθθr z r z dz z r r f rdrd例10.3.4 计算三重积分⎰⎰⎰Ωv z d ，其中Ω是由圆锥面z =、圆柱面222x y x +=与平面0z =所围成的闭区域.解 积分区域Ω在xoy 平面上的投影区域(如图10.3.8)，20y =}2),{(22x y x y x D ≤+=,并且0z ≤≤图10.3.8于是，}22,cos 20,0),,{(πθπθθ≤≤-≤≤≤≤=Ωr r z z r . 43d 0cos 2022πθθθππ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-ΩΩrzdz rdr d dz drd zr v z . 例10.3.5 计算三重积分⎰⎰⎰Ω++221d d d yx z y x ,其中Ω是由抛物面z y x 422=+及 平面)0(>=h h z 所围成的闭区域.解 在柱坐标系下积分区域Ω表示为 (如图10.3.9)}20,20,),,{(42πθθ≤≤≤≤≤≤=Ωh r h z z r r则⎰⎰⎰Ω++221d d d yx zy x ⎰=πθ20d ⎰+hr rr202d 1⎰hr z 42d]4)41ln()41[(4h h h -++=π.图10.3.92 利用球坐标系计算三重积分除直角坐标系、柱坐标系之外,空间点还可以用球坐标系表示.设),,(z y x M 为空间直角坐标系中一点,此点在xoy 面上投影点为)0,,(y x P ，用r 表示点M 到原点o 的距离,θ表示x 轴正向按逆时针到向量OP 的转角, ϕ表示z 轴正向与向量OM 的夹角,则坐标),,(ϕθr 称为点M 的球坐标(如图10.3.10).这里r ,θ,ϕ的变化范围为0r ≤<+∞,02θπ≤≤,πϕ≤≤0302点M 的球坐标),,(ϕθr 与直角坐标),,(z y x 的关系：sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩(10.3.4)图10.3.10在球坐标系下,r =常数，表示中心在原点的球面；θ=常数,表示过z 轴的半平面；ϕ=常数,表示原点为顶点,z 轴为中心轴的圆锥面.为了把三重积分中的变量从直角坐标系变换为球面坐标,设),,(z y x f 定义在空间有界闭区域Ω上的连续函数，用r =常数,θ=常数,ϕ=常数,分割空间区域Ω,考虑由r ,θ,ϕ各取得微小增量dr ,θd ,ϕd 所成的六面体的体积(如图10.3.11).不计高阶无穷小,可把这个六面体看作长方体,其经线方向的长为ϕrd ,纬线方向的宽为θϕd r sin ,向径方向的高为dr ,于是得ϕθϕd drd r dv sin 2=.这就是球面坐标系中的体积元素.图10.3.11再注意到关系式(10.3.4),就得到三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式(10.3.5).要计算变量变换为球面坐标后的三重积分,可把它化为对r 、对θ及对ϕ的三次积分. 例10.3.6计算三重积分⎰⎰⎰Ω++z d y d x d z y x )(222,其中Ω是由圆锥面22z x y =+与球面2212z x y =--.解 在球坐标系下,圆锥面22z x y =+的方程为4πϕ=,球面2212z x y =--的方程为32=z .如图10.3.12所示，Ω表示为 图10.3.12Ω),,{(θϕr =03r ≤≤02θπ≤≤，04πϕ≤≤}于是⎰⎰⎰Ω++z d y d x d z y x )(222⎰⎰⎰Ω⋅=ϕθϕd d r d r r sin 2223r =4πϕ=ϕθϕϕθϕθϕd drd r r r r f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ= (10.3.5)304⎰=πθ20d ⎰40d sin πϕϕ⎰3204d r r)22(53288-=π. 习题 10.31.化三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(为三次积分，其中积分区域Ω分别是：(1) 由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成的闭区域；(2) 由圆柱面122=+y x 及平面1=z ,0=z ,0=x ,0=y 所围成的位于第一卦限内的闭区域.2.计算三重积分,zdxdydz Ω⎰⎰⎰其中积分区域Ω是由三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.3.利用柱面坐标计算下列积分.(1) ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(222,其中Ω是由圆柱体122=+y x 、0=z 及3=z 所围成的闭区域.(2) ⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x 22,其中Ω是由曲面229z x y =--与0z =所围成的闭区域；(3)⎰⎰⎰Ωdxdydz x 2,其中Ω是由曲面221z x y =+=与0z =所围成的闭区域.4.利用球面坐标计算下列积分.(1) 2,y dxdydz Ω⎰⎰⎰其中积分区域Ω为介于两球面2222x y z a ++=与2222x y z b ++=之间的部分()0a b ≤≤；(2) 22(),x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰其中积分区域Ω是由曲面z与z 所围成的闭区域.5.选用适当的坐标计算下列三次积分.(1) 11310;dx dz -⎰(2) 1;dx ⎰6.一个物体由旋转抛物面22y x z +=及平面1=z 所围成,已知其任一点处的密度ρ与到z 轴距离成正比,求其质量m .10.4 重积分的应用我们曾用元素法讨论了定积分的应用问题，该方法也可以推广到重积分的应用中． 假设所求量U 对区域D 具有可加性，即当区域D 分成若干小区域时，量U 相应地分成许多部分量，且量U 等于所有部分量之和．在D 内任取一直径很小的小区域σd ，设),(y x 是σd 上任一点，如果与σd 相应的部分量可以近似地表示为σd ),(y x f 的形式，那么所求量U 就可用二重积分表示为⎰⎰=Dy x f U σd ),(，其中σd ),(y x f 称为所求量U 的元素或微元，记为U d ，即σd ),(d y x f U =．10.4.1 立体体积和平面图形的面积设一立体Ω，它在xOy 面上的投影为有界闭区域D ，上顶与下底分别为连续曲面),(2y x z z =与),(1y x z z =，侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，求此立体的体积V (如图10.4.1)．在区域D 内任取一直径很小的小区域σd ，设),(y x 是σd 图 10.4.1 上任一点，以σd 的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，截立体得一个小柱形(如图10.4.1)，因为σd 的直径很小，且),(2y x z z =，),(1y x z z =在D 上连续，所以可用高为-=),(2y x z z ),(1y x z z =，底为σd 的小平顶柱体的体积作为小柱形体积的近似值，得体积元素为σd )],(),([d 12y x z y x z V -=将体积元素在D 上积分，即得立体的体积306例10.4.1 求由曲面22y x z +=及222y x z --=所围成的立体的体积．解 如图10.4.2所示，立体的上顶曲面是222y x z --=，下底曲面是22y x z +=，在xOy 面上的投影区域D 的边界曲线方程为122=+y x ，它是上顶曲面和下底曲面的交线在xOy 面上的投影，是从22y x z +=与222y x z --=中消去z 而得出的．利用极坐标，可得σσd )](1[2d ])()2[(222222y x y x y x V DD+-=+---=⎰⎰⎰⎰ππθπ=-⋅⋅=-=⎰⎰10422 010 2]42[22d )1(d 2r r r r r ．图10.4.2 图10.4.3例10.4.2 求曲线θsin 2=r 与直线6πθ=及3πθ=围成平面图形的面积(如图10.4.3)．解 设所求图形的面积为A ，所占区域为D ，则⎰⎰=DA σd ．利用极坐标可将区域D 表示为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤θπθπsin 2036r ，于是⎰⎰⎰⎰⎰===3 6 sin 202sin 2 036 d 21d d d ππθθππθθσr r r A D6d )2cos 1(d sin 23 63 6 2πθθθθππππ=-==⎰⎰．10.4.2 曲面面积假设曲面S 的方程为),(y x f z =，S 在xOy 面上的投影是有界闭区域xy D ，函数),(y x f 在xy D 上具有连续偏导数，求曲面S 的面积A ．在闭区域xy D 内任取一直径很小的小区域σd ，设),(y x p 是σd 内任一点，则曲面S 上的对应点为)),(,,(y x f y x M ．过点M 作曲面S 的切平面T ，并以小区域σd 的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的柱面，它在曲面S 和切平面T 上分别截得小块曲面A ∆和小块切平面A d (如图10.4.4)．显然，A ∆与A d 在xOy 面上的投影都是σd ，因为σd 的直径很小，所以小块曲面的面积就可以用小块切平面的面积近似代替，即有≈∆A A d ，从而A d 为曲面S 的面积元素．图10.4.4 图10.4.5设曲面S 在点M 处的法向量与z 轴正向的夹角为锐角γ，则切平面T 与xOy 面的夹角也为γ (如图10.4.5)，于是cos d d γσ⋅=A ．注意到切平面的法向量为n =}1 ),( ),({，，z y f y x f y x --，所以 ),(),(11cos 22y x f y x f yx++=γ，即得 σγσd ),(),(1cos d d 22y x f y x f A y x ++==， 这就是曲面S 的面积元素，在xy D 上积分得曲面S 的面积为这就是计算曲面面积的公式．308如果曲面S 的方程为),(z y g x =或),(x z h y =，S 在yOz 面或zOx 面上的投影区域分别记为yz D 或zx D ．类似地，可得曲面S 的面积为例10.4.3 求球面22224a z y x =++被圆柱面ax y x 222=+截下部分的面积(如图10.4.6)．图10.4.6解 利用对称性，只需求出球面在第一卦限部分的面积，再4倍即可．在第一卦限，球面方程为2224y x a z --=，投影区域xy D 为半圆形区域:0≥y ， ax y x 222≤+．2224yx a x xz ---=∂∂，2224yx a y yz ---=∂∂，2222242)()(1yx a a yz x z --=∂∂+∂∂+，利用极坐标，得到r r ra a y x yx a a A a D xyd 42d 4d d 4242cos 2 022222⎰⎰⎰⎰-=--=πθθ⎰⎰-=--=22cos 20222d )sin 1(16d ]4[8πθπθθθar a a a)12(162-=πa ．10.4.3 平面薄片的重心由力学知道，由n 个质点构成的质点组的重心坐标为．∑∑====ni ini ii y mmx MM x 11，∑∑====ni ini ii x mmy MM y 11，其中),(i i y x 是第i 个质点的位置坐标，i m 是第i 个质点的质量，M 是n 个质点的总质量，x M 和y M 分别是质点组对x 轴和y 轴的静力矩．设有一平面薄板，它占有xOy 面上的有界闭区域D ，在点),(y x 处的面密度为),(y x ρ，且),(y x ρ在D 上连续，求薄片的重心坐标(如图10.4.7)．为求薄片的重心坐标，在区域D 上任取一直径很小的小区域σd ，设),(y x 是σd 上任一点，注意到),(y x ρ在区域D 上连续且σd 的直径很小，可知σd 上的部分质量近似等于σρd ),(y x ，从而得质量元素为d (,)d M x y ρσ=．图10.4.7可将小薄片σd 视为位于点),(y x 处的一个质点，则小薄片对x 轴和y 轴的静力矩分别为σρd ),(d y x y M x =，σρd ),(d y x x M y =．将上述元素在D 上积分，即得⎰⎰=Dy x M σρd ),(，⎰⎰=Dx y x y M σρd ),(，⎰⎰=Dy y x x M σρd ),(．因此平面薄片的重心坐标为特别地，如果薄片是均匀的，则面密度ρ为常数，从而薄片的重心即为薄片占有的平。
重积分的应用
I z ( x y ) ( x , y , z )dv
2 2
x
x
y
2 2 2 2 [( x , y , z ) 到 l 的距离 ] )d (x I0 ( x , y ,z v, y , z )dv l ( x y z )
16
例 设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别为 a,b,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.
2
b
y a (1 b )
D
0
0
1 3 x dx a b . 12
17
例 求由y 2 ax及直线x a(a 0)所围图形对直线
y a的转动惯量( 1).
解
y
I ( y ( a )) d
2 D
( x, y)
y 2 ax (a , a )
xa
o x
y
x2 y2 a2 , z a
在xy 平面上的投影域为 Dxy : x 2 y 2 a 2 ,
1 2 由 z ( x y 2 )得 a
2x 2y zx , zy , a a
6
1 2 由 z ( x y 2 )得 a
Dxy : x y a ,
解 由对称性知 A 4 A1 , (A1为第一卦限图形的面积,如图) 2 2 D1 xy : x y ax ( x , y 0) 曲面方程 z a 2 x 2 y 2 于是,
2 dA 1 z x z2 y dxdy a dxdy 2 2 2 a x y
2 A 1 x 2 x y z dydz
Dxy
Dzx ３．设曲面的方程为：y h( z, x), 投影域为
重积分的应用
z
设从卫星中心到地面的距离
为 h ,地球半径为 R 。
的方程： x R sin cos
y
R
sin
sin
z R cos
y
, 为参数。
OR
x
2020/3/20
x Rsinsin Ex2y2z2
x Rcoscos R2 sin2
y Rsincos y Rcossin
z 0
Gx2y2z2 R 2
O
x
2020/3/20
y
(d )
(x, y)
(x, y)
D xy
d
cos 1
dA d
1
f
S dA
1 fx2 fy2 d z
(x,y, f(x,y))
n
dA
(x,y, f(x,y))
O
y
x
2020/3/20
(x, y)
(d )
D xy
d
(x, y)
z S dA
(x,y, f(x,y))
)2dxdy
a2 x2 y2
a2 x2 y2
D xy
a
a2 x2 y2 dxdy
z
被积函数
a a2 x2 y2
z a2x2y2 在积分区域 D xy 上
是无界的
此积分不是二重积分
y 因而，不能直接用
x
2020/3/20
D xy x2y2 a2
曲面面积公式来求。
设 0ba ，作一个小闭区域 D b :x2y2b2 分布在 D b 上的那部分球面面积为
O
曲面 S的面积
A dA
D xy
1 fx2 fy2 d
D xy
大学课件高等数学下学期8-4重积分的应用
Dz
h3(3 3h 1 h2 )
9
25
z
Mz V
h 60 30h 90 40h
4h2 5h2
质心为
0,0,
h60 90
30h 40h
4h2 5h2
.
15/19
三、转动惯量
1．质点组的转动惯量
设有n个质点,它们分别位于( x1 , y1 , z1 ) ( x2 , y2 , z2 ) , ( xn , yn , zn )处, 质量分别为
zx
2x , a
2y zy a ,
8/19
1
z
2 x
z
2 y
1
2
x
2
2
y
2
a a
1 a2 4x2 4y2, a
由 z 2a
x2 y2知
1
z
2 x
z
2 y
2,
故S 1 a2 4x2 4 y2dxdy 2dxdy
a Dxy
Dxy
2
0
d
a
0
1 a
a2 4r 2 rdr
2a 2
m1, m2 ,, mn . 则该质点组关于x，y，z轴的
转动惯量分别为：
n
n
I x ( yi2 zi2 )mi I y ( xi2 zi2 )mi
i 1
n
i 1
Iz ( xi2 yi2 )mi i 1
16/19
2．物体的转动惯量
设物体占有几何形体 ,有连续的密度函数
(M ), 则转动惯量为
rdr
0
[r
2
(z
a)2
3
]2
4 3a 2
重积分及其简单应用课件.ppt
2
[
1 xy (1 )dy]dx
——对y积分时要固定
2 1 4 3
x为常数.
2
[( y
2
x 4
y
1 6
y2
)
11]dx
2 2
(2
x)dx(2x1x2)
2
4
2 2
8
二重积分及其简单应用
解法二：
xy
(1
D
4
)dxdy 3
——先对 x再对y的累 次积分.
1
[
1
2 (1x y)dx]dy ——对x积分时要固定
f (x, y)dy]dx
D
a 1 ( x)
二重积分及其简单应用
类型2 若积分区域D用1(yc)yxd2(y)来表示. 此时D称为Y—型区域.
d
x1(y) c
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
二重积分及其简单应用
Y型区域的特点：
穿过区域且平行于 x轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点. 计算公式：
fx,ydxdy d [ 2(y) f (x, y)dx]dy c 1( y)
D
ddy2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
二重积分及其简单应用
例5
计算积分 xydxdy, 其中D由y x2 和
D
yx2,y0围成的第一象限的区域
解: 如图所示
解方程组
y x2
y x 2
解得交点 (1,1)
D
二重积分及其简单应用
n
Df(x,y)dl i0m i1f(i,i)i
其中“ ”称为二重积分符号, D称为积分区域, f (x, y) 称为被积函数,
《重积分的》课件
积分区域的可加性是重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的积分区域分解为若干个简单的积分区域， 从而简化积分的计算。
积分区域的可加性还可以用于证明一些积分公式，例如格林公式、高斯公式等。
积分区域的可加性在实际应用中也有广泛的应用，例如在物理、工程等领域中，经常需要对复杂的积分区域进行 积分，利用积分区域的可加性可以大大简化计算过程。
PPT,a click to unlimited possibilities
汇报人：PPT
目录
定义与公式
重积分：对多元函数在某一区 域内的积分
积分区域：多元函数在某一区 域内的积分区域
积分变量：多元函数在某一区 域内的积分变量
积分公式：多元函数在某一区 域内的积分公式
计算方法
确定积分区域和被积函数 计算积分上限和下限 使用积分公式进行计算 验证计算结果是否正确
引力势能的应用：在物理学、天文学、地球科学等领域都有广泛的应用
引力势能的计算方法：可以通过积分的方法来计算引力势能，例如使用重积分进行计算
地球引力场的计算
地球引力场的计算需要利用 重积分公式
地球引力场的计算需要考虑 地球的密度分布
地球引力场的计算是重积分 的实际应用之一
地球引力场的计算需要利用地 球的半径和自转角速度等信息
桥梁结构稳定性分析的基 本原理
重积分在桥梁结构稳定性 分析中的具体应用
重积分在桥梁结构稳定性 分析中的优缺点
重积分在桥梁结构稳定性 分析中的发展趋势
汇报人：PPT
质量计算公式：m=ρV
质量计算
ρ：密度，单位为kg/m³
高等数学电子教案：第10章 重积分
设曲面S由方程z = f（x，y）给出，D为曲面S在xOy面上的投影区域，函数
f（x，y）在D上具有连续偏导数fx（x，y）和fy（x，y）。我们要计算曲面S的面积A。
曲面面积的公式为：
设曲面的方程为x=g（y，z）或y=h（z，x），可分别把曲面投影到yOz面上（投影区域记作Dyz）或zOx面上（投影区域记作Dzx），类似地可得
相关
参考
资料
《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P232-P245
《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P551-P560
教
学
过
程
教学思路、主要环节、主要内容
10.3三重积分的概念及计算方法
一、三重积分的定义：二重积分的定义推广就可得到三重积分的定义。
章节
第十章重积分
习题
课时
2
教
学
目
的
通过对习题的讲解使学生掌握重积分的计算方法。
教学
重点
及
突出
方法
总习题十及补充例题。
教学
难点
及
突破
方法
相关
参考
资料
《数学复习指南》2004版（理工），陈文登，黄先开，世界图书出版社，P284-P310
教
学
过
程
教学思路、主要环节、主要内容
第十章的习题及《数学复习指南》2004版（理工）上的例题、习题。
二、性质：与二重积分性质相同。
三、三重积分的计算法
1.直角坐标系下计算三重积分（先一后二）
设 ，则有
利用直角坐标计算三重积分时，应注意以下两点：
（1）应画出积分区域的图形。当积分区域为长方体、四面体等时，宜采用直角坐标计算。
重积分的应用PPT课件
Iz ( x2 y2 ) ( x, y, z)dxd ydz,
对 x 轴的转动惯量为
Ix ( y2 z2 )μ( x, y, z)dxd ydz,
对 y 轴的转动惯量为
I y ( x2 z2 )μ( x, y, z)dxd ydz,
对原点的转动惯量为
则该物体的质心坐标为
xμ( x, y, z)d x d y d z
x
.
μ( x, y, z)d x d y d z
yμ( x, y, z)d xd yd z
y
,
μ( x, y, z)d x d yd z
zμ( x, y, z)d xd yd z
z
.
μ( x, y, z)d x d yd z
当μ( x, y, z) 常数时, 可得形心坐标：
x
1 V
xd
x
d
y
d
z
,
y
1 V
yd
x
d
y
d
z
,
z
1 V
zd
x
d
y
d
z
,
其中V d xd yd z为 的体积
.
若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片, 其面密度为μ( x, y), 则它的质心坐标为
xμ( x, y)dxd y
x D
My
Dxy
即
A
1 ( z )2 ( z )2 d xd y.
x y
Dxy
类似地，
若光滑曲面方程为 x g( y, z) , ( y, z) Dy z , 则有
A
1 ( x )2 ( x )2 d yd z .
重积分的应用解析
x2 y2 R2及x2 z2 R2 所围立体的表面积.
解 因第一卦限部分的表面积由两个相同部
分构成，故只需求出一个部分的表面积，再乘16
即得所求的表面积.
z
z R2 x2
z x , z 0
x
R2 x2 y
o
y
积分区域 D :
x2 y2 R2, x 0, y 0
x
A 16
xi
2
,
i 1
i 1
Io
n
mi
(
xi2
yi2 ).
i 1
设有一薄片，占有xoy面上的闭区域 D,在点 ( x, y) 处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在 D
* 上连续，求薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量。
薄片对于x 轴的转动惯量
I x y2( x, y)d ,
D
薄片对于2 d 0103
14 15
1
36r 2 1010
rdr
104
54
5044231,
面积比
S高 S低
09333.
练习1 求半径为 a 的球的表面积。 练习2 设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地 面的高度为 h 36000km, 运行的角速度与地球自转 的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球 表面积的比值(地球半径 R 6400 km )。
02
d
02
d
02a
cos
r
6
sin3
dr
256a7
7
02
(cos7
cos9
)d cos
32a7 .
35
练习6 求密度为 的均匀球体对于过球心的一
高等数学 第十章 重积分
紧靠D的边界的小区域的面积 i ti j L
j
y
D
o x
其中L为D的围长
f ( j , j ) j M j ML 0, ( 0) j j
则面积元素为
d dxdy
故二重积分可写为
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy D D
D
D D
2 [ln( x y )] d .
2 2 36 ( x 4 y 9 )d 100 . 四、
二重积分的计算法(1)
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为： a x b,
1 ( x ) y 2 ( x ).
y 2 ( x )
D
D
闭区域: 3 x 5,0 y 1 .
D
四、估计积分 I
2 2 ( x 4 y 9)d 的值,其中D 是圆 D 2
形区域: x 2 y 4 .
练习题答案
一、1、连续； D 为底的曲顶柱体体积 2、以 z f ( x , y ) 为曲顶,以 的代数和； . 3、>,<； 4、 2 3 三、1、 ( x y ) d ( x y ) d ； 2、 ln( x y )d
0 x2 y2 a2 ,
1 e e
0
x2 y2
e ,
( x 2 y2 )
a2
由性质 6 知
e
2
d e ,
a2
ab e
D
(x y )
2
d abe .
D
a2
d 例 2 估计 I 的值， 2 2 x y 2 xy 16 D 其中 D： 0 x 1, 0 y 2 .
重积分计算及应用.pptx
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
D
:
02
R
2
cos
原式
y Rcos o D Rx
2 R3
2 (1 sin3 ) d
30
第7页/共41页
P183 7. 把积 其中由分曲面
所围成的闭区域 . 提示: 积分域为
化为三次积分, 及平面
:
1 1 x2y2
原式 dx dy f (x, y, z)dz 1 x2 0
D2
1 x2 d x
x
dy 00
1
1
y
yx
o D2
D1
1x
1 y x
第22页/共41页
例9. 计算二重积
分 (1) I D sgn( y x2 )dxdy, D : 1 x 1，0 y 1
(2) I ( x2 y2 2xy 2) dxdy, 其中D 为圆域 D
在第一象限部分.
D
1 dx 1 x2
1 0
f ( x, y) dy.
第13页/共41页
例6. 交换下列二次积分的顺序: y
y sin x
解: 如图所示
o
D1
2
D2 x
I
dx
sin x
f (x, y) d y
2
dx
0
f (x, y) d y
00
sin x
D1 f (x, y) d D2 f (x, y) d
R
R2 x2
0 D yd x dy R d xb ydy
2 R3 R b2 3
由此解得 b 2R
y
y R2 x2
b ? Do
R
Rx
高等数学II(电子)10-8 重积分应用
Fx
GD
(x, y)
3
x
d
,
Fy
GD
(x, y)y
3
d
( x2 y2)
例8 设面密度为μ ,半径为R的圆形薄片
za。M 0
求它对位于点 处的单位质量质点的引力.
o d Ry x
所截出的面积 A .
例2 计算半径为 a 的球的表面积.
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
质点系的质心
y
静矩
设平面有n个质点
第k个质点的位置 (xk , yk ) yk
质量 mk
y
M y mk xk Mx mk yk
z z (x, y, z) d x d y d z (x, y, z) d x d y d z
例4 求均匀半球体的质心.
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
质点系的转动惯量
y 设平面有n个质点
面积元素
dσ
o
质量元素
dm (x, y)d
转动惯量元素
dIx y2(x, y)d
平面薄片的转动惯量
x
dI y x2(x, y)d
Ix
y2( x, y)d
D
Iy
x2( x, y)d
D
例5 求半径为a的均匀半圆薄片对其直径边的转动惯量.
空间物体的转动惯量 设物体占有空间域 , 有连续密度函数 物体的转动惯量
重积分的应用78864-32页PPT文档资料
F y (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 ) y 2 ( y (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
F z (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 ) z 2 ( z (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
2a
2
A 0
y(x)dx a (1 co t)d [s a (t sit)n ] 0
2a2(1cot)s2dt3a2. 0
由 于 区 域 关 于 直 线 x a 对 称 ， 所 以 形 心 在 x a 上 ， 即 x a ,
y 1
x A1 Dxd,
y A1 Dyd.
其中Ad
D
例3 设平面薄板由yxaa((1tcsiontts))，(0t2)
与x轴围成，它的面密度1，求形心坐标．
解 先 求 区 域 D 的 面 积 A ，
y(x)
D
0 t 2 ， 0 x 2 a a 2a
D
b
3h
12
.
设 物 体 占 有 空 间 有 界 闭 区 域 ,在 点 (x ,y ,z)处
的 体 密 度 为 (x ,y ,z),(x ,y ,z)在 上 连 续 ,则
对于 x轴的转动惯量
Ix(y2z2)(x,y,z)dv,
对于y轴的转动惯量
Iy(x2z2)(x,y,z)dv.
对于 z轴的转动惯量
Iz(x2y2)(x,y,z)dv.
五、引力
空间一物体对物体外一点p0(x0,y0,z0)处的
单位质量质点的引力为: F
km1m2 r3
r
F x (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 x )2 ( x (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
高等数学下册(第10章)重积分及其应用教案
作业布置
微积分标准化作业
大纲要求
理解二重积分，了解二重积分的性质，了解二重积分的中值定理.
教 学 基 本 内 容
一．二重积分的概念
1．两个引例
引例1 曲顶柱体体积
引例2 平面薄片的质量
2．二重积分定义
定义设 是有界闭区域 上的有界函数.把 任意划分成 个小闭区域 ，其中 表示第 个小区域，也表示它的面积.在每个 上任取一点 ，作乘积 ， ，并作和 .令 表示各小闭区域的直径的最大值，如果极限 存在，且极限值与区域 的分法以及点 的选取都无关，则称函数 在闭区域 上可积，此极限值为函数 在闭区域 上的二重积分，记为 ，即 ，其中 叫做被积函数， 叫做被积表达式， 叫做面积元素， 和 叫做积分变量， 叫做积分区域， 叫做积分和.
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
二重积分直角坐标系下的计算教 Nhomakorabea难点二重积分直角坐标系下的计算
参考教材
同济七版《高等数学》下册武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
大纲要求
掌握二重积分直角坐标系下的计算方法.
教 学 基 本 内 容
例2计算 , 其中 为球面 及三个坐标面所围成的位于第一卦限的立体.
=常数,表示过 轴，与半坐标面 的夹角为 的半平面族;
=常数,表示与 面平行的平面族.
点 的直角坐标 与柱面坐标 之间有关系式
2.三重积分在柱面坐标系中的计算公式
柱面坐标系下的体积元素 ，则有 .
3. 柱面坐标下求解三重积分的一般步骤
第十章-重积分的应用
第十章-重积分的应用第九章(二) 重积分的应用重积分的应用十分广泛。
尤其是在几何和物理两方面。
几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。
物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。
在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。
通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求：1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。
2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。
3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。
一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用 二、典型错误分析例1． 求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成。
如图： y 1=xy （2，2）)21,2(O 1 2 x[错解]89)2(2212221=-===⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx dy d S yDσ[分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。
问题在于区域D ，若先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题若先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。
[正确解] 2ln 2322112121-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y Ddx dy dx dy d S σ 例 2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)20(πθ≤≤与直线2πθ=所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。
[错解] 24023420320220πθθθσρπθπ====⎰⎰⎰⎰⎰d r dr r d d MD[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。
重积分的应用(重点是二重积分
3 [( a 2 4 2 ) 2 ]a 0
a
6
2
(5 5 1),
2 2
由 z 2a x y 知 z x
x x2 y2
, zy
y x2 y2
,
由 z 2a x y 知 z x
x 2 y 2 2.
x 2 y2 2 交线在xoy面上的投影： z 0
Dxy : x 2 y2 2
V
Dxy
2 y 2 ) ( x 2 2 y 2 )]dxdy [( 6 2 x
6 dxdy 3 ( x 2 y 2 ) dxdy
Dxy : x 2 y2 2
V dxdydz
dxdy
D
6 2 x 2 y 2
2 2
x 2 y
dz
D xy
2 2 2 2 [( 6 2 x y ) ( x 2 y )]dxdy
z
z 6 2 x 2 y2
6 dxdy 3 ( x 2 y 2 ) dxdy
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
(sin3 1)d
8a 3 2 ( 1 ) 3 3 2
32 3 2 V 4V1 a ( ). 3 2 3
练习题
2 2 2 2 1. 计算由曲面z x y 及z x y 所围成的立体 的体积.(要求利用三重积分计算)
解 记两曲面所围成的空间 立体为 , 则所求体积为:
V [ x 2 y 2 ( x 2 y 2 )]dxdy
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第十章 重积分及其应用
第八讲 重积分的应用
1
本讲内容
01 重积分在几何中的应用 02 重积分在物理中的应用
2
一、重积分在几何中的应用 面积 设D为坐标平面上的有界闭区域，则D的面积
d. D
3
一、重积分在几何中的应用
例 1 求由r a, a 2a cos 确定的平面图形的面积.
a2 x2 y2
S dS
a
dxdy
ar drd
Dxy a2 x2 y2
Dxy a2 r 2
a x
h O
Dxy
2
a2 r2
a d
r
2
a2 r2
dr a d
1 d(a2 r2 )
0
0
a2 r2
0
0
2 a2 r2
2 a(
a2
r2
)
| a2
0
r2
2
a(a
h).
Σ ay
d
1r 2rdr π
u2 v2 1
0
0
2
10
本讲内容
01 重积分在几何中的应用 02 重积分在物理中的应用
11
二、重积分在物理中的应用
重积分在物理中的应用包括： 质量、重心、转动惯量、引力
12
二、重积分在物理中的应用
例5
已知球体x2 y2 z2 2Rz，在任意点(x, y, z)的密度等于该点到原点
Dxz
5
一、重积分在几何中的应用 例 2 计算球面x2 y2 z2 a2被平面z h(0 h a)截出的顶部的面积.
例10.32
解 的方程z a2 x2 y2 ,
z
在xOy面上的投影区域为Dxy是圆形闭区域 : x2 y2 a2 h2.
a
dS
1
zx2
z
2 y
dxdy
a
dxdy
z(x2 y2 z2 )dV
z
(x2 y2 z2 )dV
2
d
2 sind
2R cos r 4dr 2
2
sin
1
(2R
cos
)5d
0
0
0
0
5
2 64 R5
2
cos5
sind
2
16
R5
50
15
14
二、重积分在物理中的应用
已知球体x2 y2 z2 2Rz，在任意点(x, y, z)的密度等于该点到原点 的距离的平方，求其重心.
先求曲面在点M0 (1, 1,3)处的切平面方程
在点M0 (1, 1,3)处的法向量n 2, 2, 1，切平面方程为2x 2 y z 1 0.
则切平面与曲面S的交线
z
x2
y2
,
z 2x 2y 1
交线在xOy面上的投影D：x2 y2 2x 2 y 1,即 x 12 y 12 1.
由轮换对称性知 Ix I y Iz，三式相加得
Ix I y Iz 2 (x2 y2 z2 )dV
2
Ix Iy Iz 3
9
一、重积分在几何中的应用
求曲面z x2 y2 1上点M 0 (1, 1,3)处的切平面与曲面z x2 y2 所围空间区域的体积V .
接 上
V 2x 2y 1 x2 y2 dxdy
D
1
x
12
y
12
dxdy
D
令
u v
x y
1 1
π
u2 v2
dudv π
2π
S dS
1
zx2
z
2 y
dxdy.
Dxy
(2) 若 : x x( y, z)，则 f (x, y, z)dS f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
Dyz
(3) 若 : y y(x, z)，则 f (x, y, z)dS f [x, y(x, z), z] 1 yx2 yz r
a 2a
cos
得
cos
1 ，解得交点：(a, 2
3
), (a,
),
3
d 2 3 d 0
2a cos
rdr
a
3 0
r
|2 2a a
cos
d
D
a2
3 0
4cos2 1 d a2
3 2
3
例10.31 4
一、重积分在几何中的应用
空间曲面的面积
(1) 设曲面 : z z(x, y)，则曲面的面积为
0
D
8 R (R2 x2 )dx 16 R3.
0
3
y
y
y R2 x2
z R2 x2
y R2 x2
D
O
x
O
x
x
8
一、重积分在几何中的应用
例4
求曲面z x2 y2 1上点M 0 (1, 1,3)处的切平面与曲面z x2 y2
所围空间区域的体积V .
同步习题10.5，提高1
解 记曲面：z x2 y2 1，曲面S : z x2 y2
(x2 y2 z2 )dV
z(x2 y2 z2 )dV
z
(x2 y2 z2 )dV
由对称性得 x 0, y 0,
13
二、重积分在物理中的应用
已知球体x2 y2 z2 2Rz，在任意点(x, y, z)的密度等于该点到原点 的距离的平方，求其重心.
接
分母
上
(x2 y2 z2)dV r2 r2 sindrdd
的距离的平方，求其重心.
例10.36
解 球面x2 y2 z2 2Rz，球心为(0, 0, R)，密度函数为 (x, y, z) x2 y2 z2
设的重心位置为(x, y, z，)
x(x2 y2 z2 )dV
y(x2 y2 z2 )dV
x
, y
,
(x2 y2 z2 )dV
6
一、重积分在几何中的应用 体积 设为空间有界闭区域，则的体积为
V dV.
7
一、重积分在几何中的应用 例 3 求由圆柱面x2 y2 R2和x2 z2 R2所围成的立体的体积.
例10.33
解
V 8 dV 8
R2 x2 dxdy 8 R
R2 x2 dx
R2 x2
dy
0
1
(2R cos)6d
2
64
R6
2
cos7
sin d
2
4
R6
0
6
30
3
因此球体的重心位置为(0,0, 5R ).
4
15
二、重积分在物理中的应用 例 6 求密度为1的均匀球体：x2 y2 z2 R2对各坐标轴的转动惯量.
例10.38
解 Ix ( y2 z2)dV , I y (x2 z2)dV , Iz (x2 y2)dV
接 分子
上
z(x2 y2 z2)dV r cos r2 r2 sindrdd
z(x2 y2 z2 )dV
z
(x2 y2 z2 )dV
2
d
2 cos sind
2R cos r5dr 2
2 cos sind
2R cos r5dr
0
0
0
0
0
2
2
cos
sin