初三中考数学二次函数较难题解析

初三中考数学二次函数较难题解析

二次函数的图像考点：

开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．

二次函数：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）

一般式：y=ax 2+bx+c ，三个点

顶点式：y=a （x －h ）2+k ，顶点坐标对称轴

顶点坐标（－2b

a

，244ac b a ）．

顶点坐标（h ，k ）

a b c 作用分析

│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大，

a ，

b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－

2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b

a

>0，

即对称轴在y

c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．

交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况）

与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2

2

1x x h +=

一、二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点)

１.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为

２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x 2相同，这个函数解析式为________。

３.如果函数1)3(2

32

++-=+-kx x k y k k

是二次函数,则k 的值是______

４.（08绍兴）已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（ ）

A ．若12y y =，则12x x =

B ．若12x x =-，则12y y =-

C ．若120x x <<，则12y y >

D ．若120x x <<，则12y y >

５.(兰州10) 抛物线c bx x y ++=2

图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为

322

--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2

６.抛物线5)43()1(22+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝

７.二次函数52-+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是

8.函数245

(5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是

二次函数.

9.抛物线2)13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增大

10.抛物线42++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为

11.已知二次函数2)3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为

12.若二次函数k ax y +=2，当X 取X1和X2（21x x ≠）时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为

13.若函数2)3

a

y过（２.９）点，则当X＝４时函数值Y＝

(-

=x

14.若函数k

=2)

(的顶点在第二象限则，h 0

-

-

h

x

y-

k 0

15.已知二次函数当x=2时Y有最大值是１.且过（３.０）点求解析式

16.将12

y+

a

x

-

=2)

(的形式，则n

=x

22-

12

m

-

x

y变为n

m?=_____。

17.已知抛物线在X轴上截得的线段长为６.且顶点坐标为（２，３）求解析式（讲解对称性书写）

二、一般式交点式中考要点

18.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（）

（A）8 （B）14

（C）8或14 （D）-8或-14

19.二次函数y=x2-(12-k)x+12,当x>1时，y随着x的增大而增大，当x<1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（）

（A）12 （B）11 （C）10 （D）9

20.若0

21.不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( )

>0,△>0 >0, △<0 <0, △<0 <0, △<0

22.已知二次函数)1(3)1(2-++-=a a x x a y 的图象过原点则a 的值为

23.二次函数432--=x x y 关于Y 轴的对称图象的解析式为 关于X 轴的对称图象的解析式为

关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为

24. 二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有__个，交点坐标为_______。

25.已知二次函数222--=x ax y 的图象与X 轴有两个交点，则K 的取值范围是

26.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为 _。

27.抛物线y=(k-1)x 2+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线_________，它必定经过________和____

28.若抛物线

2

2y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ）

Ａ．1a > Ｂ．1a <

Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤

29.抛物线y=3x-x 2+4与x 轴交点为A ，B ，顶点为C ， (1)求△ABC 的面积。

(2)若在抛物线上有一点D ，使△ABD 的面积是△ABC 的面积的一半。求D 点坐标(得分点的把握)

30.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。

= ax 2+bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式

三、二次函数极值问题

58.二次函数

2

y ax bx c =++中，2b ac =，且0x =时4y =-，则（ ） A ．4y =-最大 B ．4y =-最小

C ．

3

y =-最大 D ．

3

y =-最小

59.已知二次函数2

2)3()1(-+-=x x y ，当x ＝_________时，函数达到最小值。

60.二次函数y=x2-(12-k)x+12,当x>1时，y随着x的增大而增大，当x<1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（）

（A）12 （B）11 （C）10 （D）9

61.（2008年潍坊市）若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（）

A.有最大值

B..有最大值

C.有最小值

D.有最小值

62.若二次函数

2

()y a x h k =-+的值恒为正值, 则 _____. A. 0,0a k <> B. 0,0a h >>

C. 0,0a k >>

D. 0,0a k <<

四、 形积专题.

63.(09年陕西省) 如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(－1，2)．

（1）求点B 的坐标；（相似）

（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的表达式；

（3）连接AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使得S △ABP ＝S △ABO ．

64.(09武汉)如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．

65. (０９烟台市中考变式) 如图，抛物线23

，两点，与y轴交于C

y ax bx

=+-与x轴交于A B

点，且经过点(23)a

，，对称轴是直线1

-

x=，顶点是M．

(1)求抛物线对应的函数表达式；

(2)经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理P A C N

由；

66.(3)若圆P是三角形ABM的外接圆，求外心P的坐标

(4)设直线3

，重合），经过y x

=-+与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B D

，，三点的圆交直线BC于点F，试判断AEF

A B E

△的形状，并说明理由；

五、二次函数应用利润问题

67.（贵阳市）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3分）

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3分）

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润最大利润是多少（4分）

D

C

B

A

25m

68.（2009·洛江）我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元 ∕ 件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x （元 ∕ 件） 与每天销售量y （件）之间满足如图3-4-14所示关系．

（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量； （2）①试求出y 与x 之间的函数关系式；

②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大最大利润是多少（利润=销售总价－成本总价）。

六、二次函数应用几何面积问题+存在性问题

69.（2007年韶关市）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图4）.若设绿化带的BC 边长为xm ，绿化带的面积为ym 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大

70.如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2． （1）求S 与x 的函数关系式；

（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米

（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗如果能，请求出

最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

71.(08 重庆)已知：，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

72.（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线

，使得△ODF是等腰三角形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

部分答案

57. －1＜x＜3 64

68.

解析：（1）观察图象可直接得出销售单价定为30元和40元时相应的日销售量分别为400件和500件.

（2）①因为图象过（30，500）、（40，400）两点，所以利用待定系数法可求出y与x 之间的函数关系式；

②表示出利润与销售单价之间的函数关系式，利用函数的增减性分析求解. 图3-4-14

解：（1）500件和400件；

（2）①设这个函数关系为y= k x+b

∵这个一次函数的图象经过（30，500）、（40，400）这两点，

∴

50030

40040

k b

k b

=+

?

?

=+

?

解得

10

800

k

b

=-

?

?

=

?

∴函数关系式是：y=－10x+800

②设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得

W=（x－20）（－10x+800）

=－10（x－50）2+9000

∵－10＜0，∴函数图象为开口向下的抛物线.

其对称轴为x=50，又20

在对称轴的左侧，W的值随着x值的增大而增大

∴当x=45时，W取得最大值，W最大=－10（45－50）2+9000=8750

答：销售单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为8750元。

规律小结：利用二次函数解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量，用函数表达式表示出它们之间的关系；（3）利用二次函数的有关性质求解；

（4）检验结果的合理性，写出问题的答案.

解：（1）由题意，得）解得

所求抛物线的解析式为：

．

（2）设点的坐标为

，过点作

轴于点．

由，得，

．

点的坐标为