2020-2021学年江苏省启东南苑中学八年级上学期第二次单元测数学卷
2021年江苏省启东南苑中学八年级上学期第二次单元测数学
卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列运算正确的是
A ．32a a 6÷=
B ．()224ab ab =
C ．()()22a b a b a b +-=-
D ．()222a b a b +=+
3．下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A ．12++x x
B ．122-+x x
C ． 12-x
D ． 962+-x x
4．计算??? ?
?-÷-x x x x 11所得的正确结论是（ ） A ．11x - B ．1 C ． 11
x + D ．－1 5．如图，在△ACB 中，∠ACB=100°，∠A=20°，D 是AB 上一点．将△ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
A ．25°
B ．30°
C ．35°
D ．40° 6．若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为
A ．5
B ．7
C ．5或7
D ．6
7．图（1）是一个长为2a ，宽为2b （a ＞b ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A. ab
B.2()a b +
C.2
()a b - D. a 2－b 2 8．如右图，三角形纸片ABC 中，∠A=75o，∠B=60o，将纸片的角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠α=35o，则∠β等于 （ ）
A ．48o
B ．65o
C ．55o
D ．以上都不对
9．如图，在△ABC 中，AB=20 cm ，AC=12 cm ，点P 从点B 出发以每秒3 cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2 cm 的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当△APQ 是等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A ．秒
B ．秒
C ．秒
D ．秒
10．如图，在四边形 ABCD 中， AD / / BC ，若∠DAB 的角平分线 AE 交CD 于 E ，连接 BE ，且 BE 边平分∠ABC ，则以下命题不正确的个数是( )
①BC +AD = AB ；② E 为CD 中点 ③ ∠AEB = 90? ；④12ABE ABCD S S ?=
四边形；⑤ BC=CE ( )
A ．0 个
B ．1 个
C ．2 个
D ．3 个
二、填空题
11．分解因式：3269x x x -+=______；
12．已知x 2+kxy+64y 2是一个完全式，则k 的值是______________.
13．若关于x 的分式方程1322
x m x x -=+--无解，则m 的值为 . 14．化简：2222222a b a b a ab b a b
--÷+++=_____________． 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有 个．
16．如图,BD 是∠ABC 的平分线,DE ⊥AB 于E,S ?ABC=36cm 2，
AB=18cm ，BC=12cm ，则DE=______cm.
17．如图，点A 在BE 上，AD=AE ，AB=AC ，∠1=∠2=30°，则 ∠3的度数为 .
18．在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，AD=3cm ，AB=5cm ，AC 的取值范围为 .
三、解答题
19．（1）分解因式：)(4)(2y x b y x ---
（2）解方程22411
x x =--． 20．请你先化简分式22236911211
x x x x x x x +++÷+--++ ，再选取一个恰当的值代入求值． 21．化简)42(3)343(222--+-a a a a a
22．如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且∠A=∠D ，AB=DC
（1）求证：△ABE ≌DCE ；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数．
23．如图，△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD平分线上一点，EB=EC 过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．
G
F
E
D
C
B
A
（1）请你在不添加辅助线的情况下找出一对你认为全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=3，AC=5，求AF的长．
24．如图，△ABC中，∠BAD=90°，AB=AD，△ACE中，∠CAE=90°，AC=AE.
（1）求证：△ADC≌△ABE；
（2）试判断∠AFD
和∠AFE的大小关系，并说明理由
25．已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE、BD．
（1）求证：△AGE≌△DAB；
（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连接AF，求∠AFE的度数．
26．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的
2
3
；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够
用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
27．一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图6，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P，D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E.求证：△BPO≌△PDE．
理清思路，完成解答.
本题证明的思路可用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．
（2）特殊位置，证明结论.
若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．
参考答案
1．D
【解析】
根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此，A 、B ，C 不是轴对称图形；D 是轴对称图形．故选D ．
2．C
【解析】
根据整式的除法，幂的乘方与积的乘方运算法则和平方差公式，完全平方公式逐一计算作出判断：
A 、322a a 2a ÷=，故选项错误；
B 、()2224ab a b =，故选项错误；
C 、选项正确；
D 、()2
22a b a 2ab b +=++，故选项错误．
故选C ．
3．D.
【解析】
试题分析：选项A 、B 、C 不能用完全平方公式分解因式，选项D 能用.
故选D.
考点：完全平方公式.
4．C.
【解析】 试题分析：原式=211x x x x
--÷ =1(1)(1)
x x x x x -?+- =11
x + 故选C.
考点：分式的化简.
5．D
【解析】
∵在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，∴∠B=180°-100°-20°=60°，
∵△CDB′由△CDB翻折而成，∴∠CB′D=∠B=60°，
∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D-∠A=60°-20°=40°．
故选D．
点睛：本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
6．B
【分析】
因为已知长度为3和1两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：【详解】
①当3为底时，其它两边都为1，
∵1+1＜3，∴不能构成三角形，故舍去．
当3为腰时，其它两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为7．
故选B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，以及三边关系，分类讨论是关键.
7．C．
【解析】
试题分析：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b-2b=a-b，
则面积是（a-b）2．
故选：C．
考点：完全平方公式的几何背景．
8．C
【解析】
试题分析：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，整理可得∠β=55°．故选C．
考点：翻折变换（折叠问题）．
9．D．
【解析】
试题分析：设运动的时间为x，
在△ABC 中，AB=20cm ，AC=12cm ，
点P 从点B 出发以每秒3cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，
当△APQ 是等腰三角形时，AP=AQ ，
AP=20-3x ，AQ=2x
即20-3x=2x ，
解得x=4．
故选D ．
考点：等腰三角形的性质．
10．B
【分析】
在AB 上截取AF=AD ，连接EF ，通过证明,BCE BFE ADE AFE ??????，由全等的性质可判断结论.
【详解】
解：如图，在AB 上截取AF=AD ，连接EF ，
AE ∵平分DAB ∠
FAE DAE ∴∠=∠
又,AF AD AE AE ==
()ADE AFE SAS ∴???
,,,AD AF DE EF AFE ADE AEF AED ∴==∠=∠∠=∠
AD BC ∵∥
180ADE C ?∴∠+∠=
180AFE BFE ?∠+∠=
BFE C ∴∠=∠
又BE 平分ABC ∠
FBE CBE ∴∠=∠
BE BE =
()BCE BFE ASA ∴???
,,BC BF EC EF BEF BEC ∴==∠=∠
①AB AF BF AD BC =+=+ ①正确；②DE EF CE ==，所以点E 为CD 中点，②正
确；③
,AEF AED BEF BEC ∠=∠∠=∠，1180902
AEB AEF BEF ??∴∠=∠+∠=?=， ③正确；④12ABE AEF BEF ABCD S S S S ???=+=四边形，④正确；⑤BC 不一定等于CE ，⑤错误. 综上，命题不正确的只有1个.
故选B
【点睛】
本题考查了全等三角形的证明及性质，在证明线段的和差倍分题目时，可采用截长法或补短法添加辅助线，即在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以证明，熟练掌握截长补短法构造全等三角形是解题的关键.
11．2(3)x x -．
【分析】
先提取公因式x ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解：
【详解】
322269=(69)(3)x x x x x x x x -+-+=-．
12．16或-16．
【解析】
【分析】
原式利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．
【详解】
∵x 2+kxy+64y 2是一个完全平方式，
∴kxy=±2?x?8y ，
解得：k=±
16， 故答案为±
16．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．-1．
【解析】试题分析：两边都乘以（x ﹣2），得
x ﹣1=m+3（x ﹣2）．
m=﹣2x+5．
分式方程的增根是x=2，将x=2代入，得
m=﹣2×2=5=1，故答案为：1．
考点：分式方程的解．
14．12
. 【解析】
试题分析：先把分式的分子与分母进行因式分解、约分，再进行计算即可.
试题解析：原式=2()()1()2()2
a b a b a b a b a b +-+?=+-. 考点：分式的化简.
15．8
【详解】
作出图形，如图，可知使得△AOP 是等腰三角形的点P 共有8个．
故答案是：8
16．125
【分析】
首先过点D 作DF ⊥BC 于点F ，由BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，根据角平分线的性质，
可得DE=DF ，然后由1122
ABC ABD BCD S
S S AB DE BC DF =+=?+?，求得答案． 【详解】
过点D 作DF ⊥BC 于点F ，
∵BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，
∴DE =DF ，
∵AB =18cm ，BC =12cm ，
∴2111()36,222
ABC ABD BCD S S S AB DE BC DF DE AB BC cm =+=?+?=?+= ∴DE =
125
(cm ). 故答案为125. 【点睛】
考查三角形的面积公式以及角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
17．30°．
【分析】
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE ，
又∵AD=AE ，AB=AC ，
∴△ABD ≌△CAE ，
∴∠D=∠E ，
∴∠3=∠2=30°．
故答案是：30°
18．1＜AC ＜11．
【解析】
试题分析：延长AD 到E ，使ED=AD ，连BE ，则BD=DC ，∠BDE=∠ADC ，根据“SAS ”可得到△BED ≌△CAD ，根据全等三角形的性质得到BE=AC ，然后根据三角形三边的关系得到AE-AB ＜AC ＜AE+AB ，把数值代入即可得到AC 边的取值范围．
试题解析：延长AD 到E ，使ED=AD ，连BE ，如图，
∵AD 为中线，
∴BD=DC ，
在△BED 和△CAD 中，
BD DC BDE ADC ED AD =∠=∠=?????
，
∴△BED ≌△CAD ，
∴BE=AC ，
∴AE-AB ＜AC ＜AE+AB ，
而AB=5，AD=3，
∴6-5＜AC ＜6+5，
∴AB 边的取值范围为1＜AC ＜11．
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.三角形三边关系．
19．（1）（x-y ）（1+2b ）（1-2b ）;（2）原方程无解.
【解析】
试题分析：（1）先提取公因式（x-y ）,再利用平方差公式进行因式分解即可.
（2）按照解分式方程的步骤求解即可.
试题解析：（1）原式=（x-y）（1-4b2）
=（x-y）（1+2b）（1-2b）;
（2）去分母得：2（x+1）=4
解得：x=1
经检验：x=1是原方程的增根
所以，原方程无解.
考点：1.提取公因式与运用公式法的综合运用.2.解分式方程.
20．2
3
.
【解析】
试题分析：先进行分式的化简，再选取使分式有意义的x的值代入求值即可.
试题解析：原式=
2
2
3(1)1 (1)(1)(3)1
x x
x x x x
+-
?+
+-++
=
11 (1)(3)3
x
x x x
-
+
+++
=
2
3 x+
当x=0时，原式=2
3
.
考点：分式的化简求值.
21．4a2+6a.
【解析】
试题分析：先去括号，再合并同类项即可求解.
试题解析：原式=6a3-8a2+6a-6a3+12a2
=4a2+6a
考点：整式的运算.
22．见解析（2）∠EBC=25°
【分析】
（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等．
（2）根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可
【详解】
解（1）证明：∵在△ABE 和△DCE 中，A D
{AEB DEC AB DC
∠=∠∠=∠=，
∴△ABE ≌△DCE （AAS ）
（2）∵△ABE ≌△DCE ，∴BE=EC ，
∴∠EBC=∠ECB ，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°
23．（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
试题分析：已知AE 平分∠CAD ，EF ⊥AC ，EG ⊥AD 及公共边AE ，则利用AAS 判定△EGA ≌△EFA ；由△EGA ≌△EFA 可得到EG=EF ，AG=AF ，根据HL 可判定Rt △EGB ≌Rt △EFC ，从而得到BG=CF ，整理可得到2AF=AC-AB ，从而可求得AF 的长．
试题解析：（1）△EGA ≌△EFA （或△EGB ≌△EFC ）．
证明：∵AE 平分∠CAD ，
∴∠EAG=∠EAF ．
又∵EF ⊥AC ，EG ⊥AD ，
∴∠EGA=∠EFA=90°．
在△AEG 和△EFA 中：
∠EAG=∠EAF ，∠EGA=∠EFA ，AE=AE ，
∴△EGA ≌△EFA （AAS ）．
（2）∵AE 平分∠CAD 且EF ⊥AC ，EG ⊥AD ，
∴EG=EF ，∠EGB=∠EFC=90°．
在Rt △EGB 和Rt △EFC 中
EG EF EB EC
==???． ∴Rt △EGB ≌Rt △EFC （HL ）．
∴BG=CF ．
又∵BG=AB+AG ，CF=AC-AF ，
即AB+AG=AC-AF ，
又∵△EGA ≌△EFA ，
∴AG=AF ．
∴2AF=AC-AB=5-3=2．
∴AF=1．
考点：全等三角形的判定与性质．
24．（1）证明见解析；（2）∠AFD=∠AFE ．
【解析】
试题分析：过A 作AM ⊥DC 于M ，AN ⊥BE 于N ，由SAS 可证△ADC ≌△ABE ，根据全等三角形的对应高相等知DC=BE ，S △ADC =S △ABE ，于是AM=AN ，∴FA 平分∠DFE ．
试题解析：解：∠AFD=∠AFE ．
理由：过A 作AM ⊥DC 于M ，AN ⊥BE 于N ．
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ，即∠DAC=∠BAE ；
在△ABE 和△ADC 中，
()()AB AD DAC BAE AE AC ????==?
=∠∠已知已知
∴△ABE ≌△ADC （SAS ），
∴DC=BE ，
∴S △ADC =S △ABE ，即
12DC?AM=12
BE ?AN ， ∴AM=AN ，
∴FA 平分∠DFE ，
∴∠AFD=∠AFE ．
考点：1.全等三角形的判定与性质.2.角平分线的性质.
25．（1）证明见解析；（2）60°．
【解析】
试题分析：（1）根据SAS 判定△AGE 和△DAB 全等；
（2）证明四边形DEFB 是平行四边形，△AEF 是个等边三角形．
试题解析：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，DG ∥BC ，
∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，
∴△AGD 是等边三角形，
AG=GD=AD ，∠AGD=60°．
∵DE=DC ，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB ，
∴在△AGE 与△DAB 中，
GE AB AGD BAD AG DA =∠=∠=?????
∴△AGE ≌△DAB （SAS ）；
（2）解：由（1）知AE=BD ，∠ABD=∠AEG ．
∵EF ∥DB ，DG ∥BC ，
∴四边形BFED 是平行四边形．
∴EF=BD ，
∴EF=AE ．
∵∠DBC=∠DEF ，
∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF ，即∠AEF=∠ABC=60°．
∴△AFE 是等边三角形，∠AFE=60°．
考点：1.全等三角形的判定；2.等边三角形的性质．
26．（1）甲队单独完成需60天，乙队单独完成这项工程需要90天；
（2）工程预算的施工费用不够，需追加预算4万元.
【解析】
【分析】
（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解；
（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．
【详解】
（1）解:设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成需要2
x
3
填；
4030
1
2x
x
3
+=
解得：x90
=
经检验，x=90是原方程的根．
则22
x9060
33
=?=（天）
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有y(1
60
+
1
90
)=1.
解得y=36.
需要施工费用：36×(8.4+5.6)=504(万元).
∵504>500.
∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．
27．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根据AAS证△BPO≌△PDE即可；（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；
（3）设OP=CP=x，求出AP=3x，
x，即可得出答案．
试题解析：（1）证明：∵PB=PD，∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO 和△PDE 中
34BOP PED BP PD ∠=∠∠=∠=?????
∴△BPO ≌△PDE （AAS ）；
（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP 平分∠ABO ，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP 和△CPD 中
4A C ABP PB PD ∠=?∠∠=∠=????
∴△ABP ≌△CPD （AAS ），
∴AP=CD ．
（3）解：CD ′与AP ′的数量关系是CD ′=23′． 理由是：设OP=PC=x ，则AO=OC=2x=BO ，
则AP=2x+x=3x ，
由△OBP ≌△EPD ，得BO=PE ，
PE=2x ，CE=2x-x=x ，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x ，由勾股定理得：2，
即AP=3x ，2x ，
∴CD′与AP′的数量关系是CD′=′考点：全等三角形的判定与性质．