可压缩湍流边界层的基本方程-中国力学学会

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第八届全国流体力学学术会议 2014年9月18～21日 甘肃兰州

文章编号： CSTAM2014-B01-0037

标题：可压缩湍流边界层平均场的多层结构对称性

作者：吴斌*

，毕卫涛*

，张又升+

，佘振苏*

单位：*

北京大学工学院力学与工程科学系，湍流与复杂系统国家重点实验室，北京 100871

+北京应用物理和计算数学研究所，北京 100094

第八届全国流体力学学术会议 2014年9月18-21日 甘肃 兰州

CSTAM2014-S01037

1）基金资助项目：国家自然科学基金（11372008, 11221062） 可压缩湍流边界层平均场的多层结构对称性1）

吴斌*，毕卫涛*，2），张又升+，佘振苏*

*（北京大学工学院力学与工程科学系，湍流与复杂系统国家重点实验室，北京 100871）

+（北京应用物理和计算数学研究所，北京 100094）

摘要 应用佘振苏等近期创建的壁湍流结构系综理论（Structural Ensemble Dynamics 或SED ）研究了零压力梯度超音速平板湍流边界层平均场的多层结构特性。通过分析不同马赫数、雷诺数和壁面温度的可压缩湍流边界层（CTBL ）的直接数值模拟数据，证明了在CTBL 中，速度和温度混合长存在SED 理论所预言的多层结构对称性。基于该多层结构对称性给出了速度和温度混合长的解析表达式，获得了对CTBL 平均速度和平均温度剖面的误差小于1%的理论预测。测量了速度和温度混合长的多层结构参数，分析了其随马赫数、雷诺数和壁面温度的变化。结果表明，多层结构参数能够有效刻画CTBL 的马赫数效应及壁面温度效应，具有显著的物理意义。 关键词 边界层，可压缩湍流，多层结构，对称性，平均场

引 言

可压缩湍流边界层是航空航天与能源动力工程中广泛存在的基本流动。构建可压缩湍流边界层的基础理论，对发展湍流工程计算模式、提高气动设计水平具有重要意义。然而，与不可压缩湍流边界层相比，可压缩湍流边界层有着更多的复杂性，使其基础理论的研究非常困难。比如对于最简单的所谓规范湍流边界层（零压力梯度光滑平板湍流边界层），可压缩流动在雷诺数效应之上又增加了马赫数和壁面温度等效应，几种效应（或涡、声和熵模式[1]）的复杂非线性相互作用，增加了理论分析的难度。已有的理论成果主要是在不可压缩湍流边界层的理论中，以“恰当”的方式引入了气体平均物性参数变化的影响，即采用了Morkovin 假设的思想[1，2]。这些理论存在若干不足，比如通常具有唯像性和经验性的特征，定量上精确度有限、可应用的参数范围不足够明确，也难以对理论进行修正和拓展，等等。

最近，佘振苏等提出了湍流的结构系统理论（Structural Ensemble Dynamics 或SED ），为构建复杂湍流的基础理论提供了新的思路[3，4]。SED 理论认为湍流具有内在多尺度、多自由度的（第一类）复杂性和外部多状态、

多环境的（第二类）复杂性，是力学系统中典型的复杂系统，应采用复杂系统学的认识论和方法论来研究[5，6]。简言之，SED 理论构建了一元二面的湍流本体论模型和多维多层次的湍流研究方法论[7]。SED 理论认为，湍流的平均和脉动场构成了湍流的“静”“动”二面；其一元为自组织性，体现为湍流场具有的对称性。在SED 理论中，对称性被认为是湍流的基本原理，也是湍流不封闭问题中所缺失的定解原理。这种对称性由一个称为“序函数”的变量来表达。序函数是平衡态统计物理学中序参量概念在非平衡系统中的推广，是最能反映脉动场对平均场状态影响的宏观变量。在湍流中，序函数是联系脉动场（湍流未封闭项）与平均场的桥梁，尤其是反映了不同脉动结构系综的标度行为的变化[6]。因此，识别序函数、确定其对称性成为湍流研究的关键。在这方面，SED 理论提出了多维多层次的湍流研究方法论，以及湍流的序函数分析方法，为开展一系列具有工程意义的复杂湍流的研究提供了框架和解决方案。

SED 理论在规范壁湍流（不可压缩的圆管、槽道和零压力梯度平板边界层）的研究中取得了很大成功[6]。佘振苏等发现在规范壁湍流中混合长等变量具备序函数的特征。通过创新性的应用李群理论，他们构造了三类拉伸群

不变解形式，从而获得了混合长的全场多层结构形式的解析解，由此得到了平均速度剖面、表面摩阻系数等的理论预测，与直接数值模拟（DNS）和实验结果高度一致（精度达99%）。一个标志性的成果是发现了0.45的普适的卡门常数，回答了学界关于幂次律和对数律，以及关于卡门常数取值的争议。SED理论也针对规范壁湍流之外的其它复杂湍流开展了有成效的研究，包括R-B热对流，以及有粗糙度效应[8]、压力梯度效应和可压缩效应的壁湍流[9，10]等。同时，SED理论在湍流脉动场的研究、湍流模式理论研究等方面也取得了初步而重要的成果[4]。

鉴于SED理论在不可压缩的零压力梯度平板湍流边界层的研究上取得了极大成功，我们展望其会对可压缩湍流边界层的基础理论研究产生推动。该推动体现在两个层次上，其一是仍然基于Morkovin假设的框架，但由于不可压缩的湍流边界层有了精确的平均场理论，可压缩湍流边界层的理论有望得到提升。在这方面，我们已经开展了一些工作，获得了关于马赫数效应和壁面温度效应的更高精度的理论刻画[9，10]。其二是发展可压缩湍流边界层的SED理论，即辨识决定可压缩湍流边界层的各个物理维度的序函数，确认其多层结构对称性，研究多层结构参数的演化规律，并且探索背后的物理机制和原理。这个可压缩湍流边界层的SED理论有希望最终从定量上和理论深度方面对经典的Morkovin假设理论形成突破，回答既有理论未能明确的一系列关键科学问题。本研究即依据这个思路开展了初步的探索，通过对零压力梯度可压缩平板湍流边界层的DNS 数据开展序函数分析，分别研究了速度和温度混合长的多层结构对称性。

1 直接数值模拟简介

本研究基于对可压缩平板湍流边界层的DNS数据的分析。DNS采用了中科院力学所李新亮研究员等研制的CFD软件OpenCFD-SC。OpenCFD-SC是一个开源的以科学计算为目的的全N-S方程高精度有限差分求解器。利用OpenCFD-SC，我们先后在上海和天津的超算中心完成了大规模的并行计算。

计算中， N-S方程的时间推进采用了3阶TVD-RK格式；无粘对流项的求解采用了Steger-Warming分裂法和7阶JS-WENO格式；粘性项的计算采用了8阶中心差分格式。

本文计算的是空间发展的可压缩湍流边界层[11]。来流为层流边界层，经吹吸扰动后边界层发生转捩，逐步发展为充分发展的湍流边界层，之后进入出口缓冲区。壁面为无滑移等温边界条件，远场为零压力梯度无反射边界条件，出口为无反射边界条件，展向为周期性边界条件。在流向的充分发展湍流区和法向的近壁区，都对网格进行了加密。

流动控制参数、计算区域和网格参数如表1所示。

表1 DNS算例的基本参数

算例Ma Ret T w/T∞T w/T r M2.25 2.25 500-1000 1.90 1.00 M4.5T0 4.5 325-600 4.39 0.95 M4.5T1 4.5 600-860 2.50 0.54 M4.5T2 4.5 1950-2350 1.00 0.22 M6.0 6.0 275-600 6.98 0.93

算例Lx×Ly×Lz Nx×Ny×Nzδ+x×δ+yw×δ+z

M2.25 12.23×0.5×0.1754000×85×25613.23×0.9×6.15

M4.5T0 12.46×0.56×0.194500×120×300 5.25×0.43×2.74

M4.5T1 14.33×0.56×0.194500×120×3007.97×0.89×5.64

M4.5T2 10.31×0.56×0.0664600×150×30020.54×1.15×7.9

M6.0 13.57×0.6×0.205000×150×320 5.63×0.45×2.81

1）基金资助项目：国家自然科学基金（11372008, 11221062） 2 可压缩湍流边界层的基本方程

零压力梯度的可压缩平板湍流边界层的平均流向动量方程和平均能量方程可以写作[1]：

h.o.t.~""~~~~+???

? ????+-??=??+??y u v u y y u v x u u μρρρ

(1)

(2)

h.o.t. )~~~""(~~~~+??+??+-??=??+??y T k y u u v H y y H v x H u μρρρ其中上标-表示雷诺平均；上标~和”分别表示Favre 平均和相应的脉动量：ρρ/~

X X =，

X X X ~

"-=；H 为总焓：2

2

u T C H p +=；其

它量的定义遵循惯例。

从壁面(y =0)起沿壁面法向将(1)和(2)积分，有：

(3) h.o.t.)~~~~(~""0??+??+??-==??+-y

dy y

u v x u u y

u

v u ρρτ

μρ (4) h.o.t.)~~~~(~~~""0??+??+??--=-=??+??+-y

w dy y

H v x H u q q

y

T k y u u v H ρρμρ 其中τ为总应力,q 为总热流, w w y T k q ????

????-=~为壁面平均热流。由于"~""u u

T C H p +≈，将(3)代入(4)，可将(4)改写为：

(5) ~

~""q u y T k v T C p -=+??+-τρ

(3)和(5)以壁面参数无量纲化后有：

(6) ~""+

+

+

++=??+-τμρy

u v u (7)

~)1(~

Pr 1""2++

++

+++-=-+??+-q B u M y T k v T q τγρτ 其中，w RT u M γττ/=为摩擦马赫数，

)/(w w p w q T u C q B τρ=为壁面传热因子。

不可压缩湍流边界层的动量方程的无量纲形式为：

(8) ''+++

+

=??+-τy

u v u

与(8)相比，可压缩湍流边界层的平均密度和平均粘性系数是温度的函数，沿壁面法向有剧烈变化，因此，动量方程(6)需要与能量方程(7)联立求解。这是可压缩湍流边界层的复杂之处。

图 1 画出了同一雷诺数下，不同马赫数的

近绝热壁可压缩湍流边界层的无量纲总应力的剖面。总应力的马赫数效应非常微弱，这个结

果与Morkovin Scaling 相符[2]。SED 理论给出了总应力的一个近似模型（亏损标度律模型）：

(9) )(-1)Re (-1 1.299

1.2δτy

y τ==++

由图1可见，模型(9)与DNS 符合良好。(9)中的指数 1.2存在一定的雷诺数效应，需要进一步研究。

m e a n t o t a l s t r e s s

+

e n e r g y

f u n c t i o n b u d

g e t

+

y+

图2能量方程(5)中各项的剖面，其中总应力分解为粘

性应力和雷诺应力。图中DNS 为同一雷诺数(Ret=550)，不同马赫数近绝热壁可压缩湍流边界层。

能量方程(5)的各项如图2和图3所示。图2为同一雷诺数，不同马赫数的近绝热壁的情形。在近绝热等温壁的条件下，总热流近似为

图31q +

=e n e r g y f u n c t i o n b u d g e t

+

y+

图3能量方程(5)中各项的剖面，其中总应力分解为粘性应力和雷诺应力。图中DNS 为Ma=4.5，不同壁温的

可压缩湍流边界层。

3 序函数分析

不可压缩湍流边界层的SED 理论确定了Prandtl 混合长是一个序函数，满足如下的三层结构标度律[6]：

1121

322//()(1())

(1) (1(

)) (11)(1)

n n m

sub sub

m

n n buff y y l y y y r y m r γγγσ+++

++++=?+-?+?-

其中+

++

+

??-=y u v u l m /''为Prandtl 混合长；σ为近

壁系数：+

+=b u f f s u b

y

y

/2κσ，

κ

为卡门常数；

+

sub

y 和+buff y 分别为粘性底层和缓冲层的厚度；1γ、2γ、3γ为标度指数；1n 、2n 为跃迁强度；

M y r δ/1-=为外区坐标；M δ为边界层外区尺

度（外区的拉伸对称中心）；4=m 。

由(11)、(8)和SED 的总应力亏损模型可以预测不可压缩湍流边界层的平均速度剖面。该理论预测得到了美国斯坦福、法国里尔、瑞典KTH 和澳大利亚墨尔本等一系列国际知名研究机构的实验数据的支持，理论与实验的误差在2%以内[4，6]。

对于可压缩湍流边界层，Prandtl 混合长如何恰当的定义？是否仍然满足多层结构对称性？这些都是未知的问题。此外，由于气体物性参数的变化，用于封闭雷诺应力的Prandtl 混合长不足以求解平均场方程(6)和(7)，还需要针对湍流热流引入相应的序函数。本节将针对这些具体问题进行初步的探讨。 3.1 速度和温度混合长

在可压缩湍流边界层中，Prandtl 混合长（这里称速度混合长）可以写作：

+++

+

+??-=

y

u v u l m /~"

"1

ρρ (12) 针对零压力梯度绝热壁的可压缩湍流边界层，我们最近还提出了马赫数不变的混合长[9]：

+

+++

+

+++

??-==y u

v u l l m MI

~1""μρμρ (13) 由于因子26.0~~T ++μρ[1]，+MI l 仅是对+

m l 的微弱修正。将(12)代入(6)有：

(14) ~)~(22++++++++=??+??τμρy

u y u l m

引入温度混合长[1]：

+

+++++

+????-=y

T y u

v T l ~~""2

ρρθ (15) 温度混合长+θl 和速度混合长+

m l 之间存在关系：

t m y

u y T v u l l Pr /~/~""22

=????=+++

+++++ρθ (16) 其中t Pr 为湍流普朗特数。将(15)代入(7)有：

(17)

~)1(~Pr 1~~22

++

++

++++++++-=-+??+????q B u M y

T k y T y u l q τγρτθ

由于气体物性参数+ρ、+

μ和+k 是温度+T ~的

确定性函数，在已知速度混合长和温度混合长的情况下，(14)、(17)和(9)、(10)构成了一组封闭的平均场方程，能够提供平均速度和平均温度分布的理论预测。

3.2 混合长的多层结构对称性

我们仍以不可压缩湍流边界层中Prandtl 混合长的三层结构模型来对速度和温度混合长进行模拟。

图4给出了不同马赫数近绝热壁可压缩湍

流边界层的速度混合长与其SED三层结构模型的比较。模型参数见表2。模型参数的确定过程将另文阐述。图4显示，速度混合长的SED 三层结构模型能够在全流场与DNS数据较好地相符（误差小于4%），表明该速度混合长满足SED理论所预言的多层结构对称性。此外，模型给出了一个新的边界层厚度δM。δM是边界层的一个外区尺度，在模型中为外区拉伸对称中心的位置。在有限雷诺数下，δM明显小于传统定义的边界层厚度δ99。

图5给出了不同马赫数近绝热壁可压缩湍流边界层的温度混合长与其SED三层结构模型的比较。模型参数见表3。

图4不同马赫数近绝热壁可压缩湍流边界层的速度混合长及其多层结构模型。图中算例的Ret=550。

表2 速度混合长的SED多层结构模型参数参数M2.25 M4.5T0 M6.0

σ 1.14 1.18 1.17

Y sub+10 10 10

Y buff+51 44 43

γ1 1.5 1.5 1.5

γ20.5 0.5 0.5

γ3-1 -1 -1

n1 4 4 4

n2 4 4 4

δM/δ990.69 0.69 0.69

m 4 4 4

l

+

y+

图5不同马赫数近绝热壁可压缩湍流边界层的温度混合长及其多层结构模型。图中算例的Ret=550。

表3 温度混合长的SED多层结构模型参数

参数M2.25 M4.5T0 M6.0

σ 1.14 1.17 1.16

Y sub+10 10 10

Y buff+49 41 41

γ1 1.5 1.5 1.5

γ20.5 0.5 0.5

γ3-0.9 -0.9 -0.9

n1 4 4 4

n2 4 4 4

δM/δ990.69 0.69 0.69

m 4 4 4

图6马赫数2.25的近绝热壁可压缩湍流边界层的湍流普朗特数及其SED模型。图中算例的Ret=550。

温度混合长与速度混合长的模型参数仅有微小的区别，区别主要反映在标度指数γ3上。以往的研究表明可压缩湍流边界层的湍流普朗特数约在0.7-0.9之间，明显偏离1[10]。鉴于湍流普朗特数是速度混合长与温度混合长之比的平方（公式(16)），温度混合长与速度混合长的SED 三层结构模型也提供了湍流普朗特数的多层结构理论模型。图6给出了马赫数2.25边界层的湍流普朗特数的DNS 与SED 理论模型的比较，二者非常一致。数据分析表明，湍流普朗特数偏离1与温度混合长的标度指数γ3偏离-1有直接关系，其机理有待进一步研究。

(a)

u +

y+

(b)

e r r o r

y+

图7(a)马赫数2.25的近绝热壁可压缩湍流边界层的平均速度剖面及其SED 理论预测结果；(b) 理论与DNS

的相对误差。图中算例的Ret=550。

由速度和温度混合长的SED 三层结构模型，以及动量与能量方程(14)和(17)、总应力与总热流的亏损模型(9)和(10)，可以得到可压缩湍流边界层的平均速度剖面和平均温度剖面的理论预测结果。图7是仅由速度混合长的SED 理论模型预测的平均速度剖面（气体的物性参数采用了DNS 值）与DNS 结果的比较，二者非常一致，误差在全流场都小于1%（图7b ）。该结果表明可压缩湍流边界层的混合长

序函数的多层结构理论模型对平均场有极为准确的预测能力。

4 结论

本文尝试将最新发展的规范壁湍流的结构系综理论拓展到零压力梯度可压缩平板湍流边界层。初步的研究表明速度和温度混合长均存在SED 理论发现的多层结构对称性，是能够封闭平均场方程的序函数。速度和温度混合长的SED 多层结构模型能够提供平均场的精确理论预测，其多层结构参数反映了可压缩湍流边界层的流动状态的变化。

下一步的研究内容包括进一步扩展可压缩湍流边界层DNS 的参数范围（提高雷诺数和马赫数），观测序函数的多层结构模型参数随流动控制参数的演化，进而构建完整的可压缩湍流边界层的结构系综理论。

致谢：在数值计算上受到李新亮研究员的指导，在此表示感谢。同时受益于与陈曦博士的

讨论。也感谢上海和天津超算中心提供了计算资源。感谢来自国家自然科学基金的资助。

参考文献

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2 Morkovin MV. Effects of compressibility on turbulent flows. Mechanique de la Turbulence, Gordon and Breach, 367–380

3 Zhen-Su She, Ning Hu, You Wu. Structural ensemble dynamics based closure model for wall-bounded turbulent flow. Acta Mechanica Sinica. 2009, 25(5):731–736

4 佘振苏，飞行器气动力学与光学设计中的关键湍流问题,973项目验收报告，国家科技报告服务系统，2013

5张志雄. 基于结构系综的湍流复杂系统研究. Ph.D. thesis, 北京大学, 2009

6 陈曦. 壁湍流的多层结构理论. Ph.D. thesis, 北京大学, 2012

7佘振苏. 复杂系统学新框架. 中国科学出版社, 2012 8 Zhen-Su She, You Wu, Xi Chen, Fazle Hussain. A multi-state description of roughness effects in turbulent pipe flow. New Journal of Physics, 14 093054, 2012.

9 You-Sheng Zhang, Wei-Tao Bi, Fazle Hussain, Xin-Liang Li, and Zhen-Su She, Mach-Number-Invariant Mean-Velocity Profile of Compressible Turbulent Boundary Layers, Physical Review Letters, 109, 054502, 2012

10 You-Sheng Zhang, Wei-Tao Bi, Fazle Hussain, Xin-Liang Li, and Zhen-Su She. A generalized Reynolds analogy

theory for the compressible wall-bounded turbulence, Journal of Fluid Mechanics, 2014, Vol. 739, pp. 392-420 11 Gao Hui, Fu De-Xun, Ma Yan-Wen, Li Xin-Liang. Direct numerical simulation of supersonic turbulent boundary layer flow. Chinese Physics Letters. 2005, 22(7):1709

MULTILAYER SCALING OF MEAN VELOCITY AND THERMAL FIELDS OF COMPRESSIBLE TURBULENT BOUNDARY LAYERS

WU Bin1 BI Weitao1 ZHANG Yousheng2 SHE Zhen-Su1

(1 State Key Laboratory for Turbulence and Complex Systems, Department of Mechanics and Engineering Science, College of Engineering,

Peking University, Beijing 100871, China)

(2 Institute of Applied Physics and Computational Mathematics, Beijing 100094, China）

Abstract Recently, a symmetry-based structural ensemble dynamics (SED) theory was proposed by She et al. for canonical wall-bounded turbulent flows, yielding prediction of the mean velocity profile at an unprecedented accuracy (99%). Here, we extend the theory to compressible turbulent boundary layers (TBL) at supersonic and hypersonic Mach numbers. The flows are acquired by spatially-evolving direct numerical simulations (DNS). A momentum mixing length displays a four-layer structure and quantitatively obeys the dilation group invariance as for the incompressible TBL. In addition, a temperature mixing length behaves very similarly to the momentum mixing length when the wall is adiabatic, with a small difference in the scaling exponents in the buffer layer –consistent with the strong Reynolds analogy. The Lie-group based formulization of the two mixing lengths yields new predictions to the mean thermal and velocity profiles, both in good agreement with the DNS. Thus, we assert that the compressible TBLs are governed by the same symmetry principle as that in the canonical wall-bounded turbulent flows, and its mean fields can be accurately described by the SED theory.

Key words boundary layer, compressible turbulence, multilayer structure, symmetry, mean field