2019年高考数学一轮复习课时分层训练48直线的倾斜角与斜率直线的方程理北师大版
2019年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时达标46 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 理
2019年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时达标46 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 理[解密考纲]考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程常以选择题、填空题出现，或者在直线与圆锥曲线的位置关系中进行考查．一、选择题1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( C )A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.由上知，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，故选C ． 2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.3．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( A ) A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析：因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．4．(2017·浙江嘉兴模拟)如果AC <0，且BC <0，那么直线 Ax ＋By ＋C ＝0不通过( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－C B＞0，所以，直线不通过第三象限．5．将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a >0)个单位，再沿x 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l ′，此时直线l ′与l 重合，则直线l ′的斜率为( B )A ．aa ＋1B ．－aa ＋1C ．a ＋1a D ．－a ＋1a解析：结合图形，若直线l 先沿y 轴的负方向平移，再沿x 轴正方向平移后，所得直线与l 重合，这说明直线l 和l ′的斜率均为负，倾斜角是钝角．设l ′的倾斜角为θ，则tanθ＝－aa ＋1.6．设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线 ax ＋ y ＋2 ＝ 0 与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( B )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 解析：直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3－－2－2－0＝－52，k MB ＝2－－23－0＝－43，由图可知：－a ＞－52且－a ＜43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52. 二、填空题7．(2017·哈尔滨模拟)一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.解析：设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1， ①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1. ② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．8．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是3. 解析：∵直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，易知x ＞0，y ＞0时xy 才最大， ∴1＝x 3＋y4≥2|xy |12， ∴|xy |≤3，∴(xy )max ＝3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即当P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 9．若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为16. 解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1， 又C (－2，－2)在该直线上， 故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16， 当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16. 三、解答题10．过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．解析：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x B2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，6－x ＋－y＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 11．已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解析：(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a＝1， 又点(3,4)在直线上， ∴3a ＋4a＝1，∴a ＝7.∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解析：(1)证明：直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解之得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.即k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，等号成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
高考数学一轮总复习 课时作业48 直线的倾斜角与斜率、直线方程(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学试
课时作业48 直线的倾斜角与斜率、直线方程一、选择题1．直线x ＝π4的倾斜角等于( C )A ．0B ．π4C ．π2D ．π解析：由直线x ＝π4，知倾斜角为π2.2.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.3．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则( B ) A ．x ＝－1 B ．x ＝3 C ．x ＝92D ．x ＝1解析：三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线⇒P A →∥PB →，P A →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，得1×(－10)＝－5(x －1)⇒x ＝3.故选B ．4．过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( A )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2解析：∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.5．(2020·某某某某月考)已知直线l 的倾斜角为θ且过点(3，1)，其中sin(θ－π2)＝12，则直线l 的方程为( B )A ．3x －y －2＝0B ．3x ＋y －4＝0C ．x －3y ＝0D ．3x ＋3y －6＝0解析：∵sin(θ－π2)＝12，∴cos θ＝－12，θ＝2π3，则tan θ＝－3，直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x ＋y －4＝0，故选B ．6．(2020·某某四校联考)直线l 经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是( A )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＝0C ．x ＋3y －10＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：解法1：设直线l 的斜率为k (k <0)，则直线l 的方程为y －3＝k (x －1)．x ＝0时，y ＝3－k ；y ＝0时，x ＝1－3k .所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×(3－k )(1－3k )＝6，整理得k 2＋6k ＋9＝0，解得k ＝－3，所以直线l 的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －6＝0，故选A ．解法2：依题意，设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则可得1a ＋3b ＝1且ab ＝12，解得a＝2，b ＝6，则直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0，故选A ．7．(2020·某某模拟)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( A )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A ．8．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( B )A ．13B ．－13C ．－32D ．23解析：依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.9．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( A ) A ．8 B ．2 2 C ． 2D ．16解析：∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.10．(2020·某某模拟)过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有( B ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时， 设该直线的方程为x ＋y ＝a ， 把(3，－1)代入所设的方程得a ＝2，则所求直线的方程为x ＋y ＝2，即x ＋y －2＝0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时， 设该直线的方程为y ＝kx ，把(3，－1)代入所设的方程得k ＝－13，则所求直线的方程为y ＝－13x ，即x ＋3y ＝0.综上，所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋3y ＝0， 故选B ．11．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( C )A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4解析：由f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x 知函数f (x )的图象关于x ＝π3对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，所以a ＝－3b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－3，所以直线的倾斜角为2π3，故选C ．二、填空题12．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为x ＋13y ＋5＝0.解析：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上的中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.13．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.14．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值X 围是[－2,2]．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值X 围是[－2,2]．15．曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值X 围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值X 围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 16．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为3.解析：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A (0,4)，B (3,0)，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.设P (x ，y )(0≤x ≤3)，所以P 到AC ，BC 的距离的乘积为xy ，因为x 3＋y4≥2x 3·y4，当且仅当x 3＝y 4＝12时取等号，所以xy ≤3，所以xy 的最大值为3.17．(2020·某某市调研测试)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (8,0)，以OA 为直径的圆与直线y ＝2x 在第一象限的交点为B ，则直线AB 的方程为( A )A ．x ＋2y －8＝0B ．x －2y －8＝0C ．2x ＋y －16＝0D ．2x －y －16＝0解析：如图，由题意知OB ⊥AB ，因为直线OB 的方程为y ＝2x ，所以直线AB 的斜率为－12，因为A (8,0)，所以直线AB 的方程为y －0＝－12(x －8)，即x ＋2y －8＝0， 故选A ．18．(2020·某某某某模拟)数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点B (－1,0)，C (0,2)，AB ＝AC ，则△ABC 的欧拉线方程为( D )A ．2x －4y －3＝0B ．2x ＋4y ＋3＝0C ．4x －2y －3＝0D ．2x ＋4y －3＝0解析：∵B (－1,0)，C (0,2)，∴线段BC 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，1，线段BC 所在直线的斜率k BC ＝2，则线段BC 的垂直平分线的方程为y －1＝－12×⎝⎛⎭⎫x ＋12，即2x ＋4y －3＝0.∵AB ＝AC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线方程为2x ＋4y －3＝0.故选D ．。
高考数学一轮复习课后限时集训49直线的倾斜角与斜率、直线的方程理北师大版
课后限时集训 49直线的倾斜角与斜率、直线的方程建议用时： 45 分钟一、选择题1．(2019 ·合肥模拟 ) 直线 l ： x sin 30 °＋ y cos 150 °＋ 1＝ 0 的斜率是 ( )A ．3B ． 333C ．－ 3D ．－ 3sin 30 °3A [ 设直线 l 的斜率为 k ，则 k ＝－ cos 150 ° ＝ 3 .]2. 如图中的直线 l 1， l 2， l 3 的斜率分别为 k 1， k 2， k 3，则()A ． k 1<k 2<k 3B ． k 3<k 1<k 2C ． k 3<k 2<k 1D ． k 1<k 3<k 2D [ 直线 l 1 的倾斜角 α1 是钝角，故 k 1<0，直线 l 2与 l 3 的倾斜角 α 2 与 α 3 均为锐角且α2 >α3，所以 0<k 3<k 2，所以 k 1<k 3<k 2.]3. 若 ( －2,3) ， (3，－2) ，1的值为C ， m 三点在同一条直线上，则 AB 2m()A ．－ 2B ． 211 C ．－ 2D ． 2－2－ 3＝ 1m －3D [ 由于 A ，B ，C 三点在同一条直线上，所以k AB ＝k AC ，所以 3－ － 2 ，2－ － 21解得 m ＝ 2. 应选 D.]4．直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位，再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后，又回到本来地点，那么 l 的斜率为 ()1 B ．－ 3A ．－31C ． 3D ． 3[答案] A5．过点 A (4,1) 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()A ． x ＋y ＝ 5B ． x －y ＝ 5C ． x ＋y ＝ 5 或 x － 4y ＝ 0D ． x －y ＝ 5 或 x ＋ 4y ＝ 0C [ 若直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点，则直线方程为 x － 4y ＝0；x y若直线在两坐标轴上的截距不为0 ，设为 a ( a ≠0) ，则直线的方程为 a ＋ a ＝ 1.又直线过点(4,1) ，则 a ＝ 5，故直线的方程为x ＋ ＝ 5. 综上所述，应选 C.]Ay二、填空题6．直线 kx ＋ y ＋ 2＝－ k ，当 k 变化时，全部的直线都过定点 ________．( －1，－ 2) [ kx ＋y ＋ 2＝－ k 可化为 y ＋ 2＝－ k ( x ＋ 1) ，依据直线方程的点斜式可知， 此类直线恒过定点 (－1，－ 2) ．]7．已知 A (3,4) ， B ( － 1,0) ，则过 AB 的中点且倾斜角为 120°的直线方程是 ________． 3 x ＋ y － 2－ 3＝ 0 [ 设 AB 的中点为 M ，则 M (1,2) ，又斜率 k ＝－ 3，直线的方程为y － 2＝－ 3( x － 1) ．即 3x ＋ y － 2－ 3＝ 0.]8．若直线l 过点 ( －3,2) ，且与以 ( － 2，－ 3) ， (3,0) 为端点的线段订交，则直线PA Bl 的斜率的取值范围是 ________．－ 5，－ 1[ 由于 P ( － 3,2) ， A ( －2，－ 3) ， B (3,0) ，3－ 3－ 2则 k PA ＝－ 2－ －3 ＝－ 5，0－21k PB ＝ 3－ － 3 ＝－ 3.如下图，当直线l 与线段 AB 订交时，直线 l 的斜率的取值范围为1－ 5，－ 3 .]三、解答题9．已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求知足以下条件的直线 l 的方程：(1) 过定点 A ( －3,4) ；1(2) 斜率为 6.[ 解 ] (1) 由题意知，直线 l 存在斜率．设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 3) ＋ 4，它在 x 轴， y4k ＋ 4，轴上的截距分别是－ － 3,3k4由已知，得 (3 k ＋ 4) k ＋ 3 ＝± 6，2 8解得 k 1＝－或 k 2＝－ .3 3故直线 l 的方程为 2x ＋ 3y － 6＝ 0 或 8x ＋ 3y ＋ 12＝ 0.(2) 设直线 l 在 y 轴上的截距为 b ，1则直线 l 的方程为 y ＝ 6x ＋ b ，它在 x 轴上的截距是－ 6b ， 由已知，得 | － 6b | ·|b | ＝ 6，∴ b ＝± 1.∴直线 l 的方程为 x － 6y ＋ 6＝ 0 或 x － 6y － 6＝ 0.10．过点 P (3,0) 作一条直线，使它夹在两直线l 1： 2x － y － 2＝0 与 l 2：x ＋ y ＋3＝ 0 之间的线段 AB 恰巧被点 P 均分，求此直线的方程．[ 解 ] 设点 A ( x ， y ) 在 l 1上，点 B ( x ，y ) 在 l 2上．BBx ＋ x B＝ 3由题意知2则点 B (6 － x ，－ y ) ，y ＋ y B＝ 022x －y － 2＝ 0，x ＝11，解方程组 得3166－ x ＋ － y ＋ 3＝ 0，y ＝ 3 ，163 － 0则所求直线的斜率k ＝ 11＝ 8，3 － 3故所求的直线方程为y ＝8( x － 3) ，即 8x －y － 24＝ 0.1．在等腰三角形 AOB 中， AO ＝ AB ，点 O (0,0) ，A (1,3) ，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直 线 AB 的方程为 ()A ． y －1＝ 3( x －3)C ． y －3＝ 3( x －1)B ． y －1＝－ 3( x － 3)D ． y －3＝－ 3( x － 1)D [ 由于 AO ＝ AB ，所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数，所以 k AB ＝－ k OA ＝－3，所以直线 AB 的点斜式方程为y － 3＝－ 3( x －1). ]2．若直线x－ 2 ＋ ＝ 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么b 的取值范y b围是 ()A ． [ －2,2]B ． ( －∞，－ 2] ∪ [2 ，＋∞)C ． [ －2,0) ∪ (0,2]D ． ( －∞，＋∞)b1 b1 2C [ 令 x ＝ 0，得 y ＝ 2，令 y ＝ 0，得 x ＝－ b ，所以所求三角形面积为2 2 | －b | ＝ 4b ，1 且 b ≠0，由于 4b 2≤1，所以 b 2≤4，所以 b 的取值范围是 [ － 2,0) ∪ (0,2] ． ]3．已知直线 l 过点 (1,0) ，且倾斜角为直线l 0： x －2y － 2＝0 的倾斜角的 2 倍，则直线l 的方程为 ________．4x － 3y － 4＝ 0 [ 由题意可设直线 l 0， l 的倾斜角分别为 α， 2α，1 1由于直线 l： x － 2y － 2＝ 0 的斜率为 2，则 tan α＝ 2，12tan α2×4所以直线 l 的斜率 k ＝ tan 2 α 2＝2＝1 ＝ ，1－ tan α2 31－ 24所以由点斜式可得直线 l 的方程为 y － 0＝ 3( x － 1) ，即 4x － 3y － 4＝0.]4．已知直线 l ： kx － y ＋1＋ 2k ＝ 0( k ∈ R) ．(1) 证明：直线 l 过定点；(2) 若直线 l 不经过第四象限，求k 的取值范围．[ 解 ] (1) 证明：直线 l 的方程可化为 y ＝ k ( x ＋ 2) ＋1，故不论 k 取何值，直线 l 总过定点 ( － 2,1) ．(2) 直线 l 的方程可化为 y ＝ kx ＋ 2k ＋ 1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k ＋ 1，k ≥0，要使直线 l 不经过第四象限，则解得 k ≥0，1＋ 2k ≥0，故 k 的取值范围是 [0 ，＋∞ ) ．ππ1．已知函数 f ( x ) ＝ a sin x －b cos x ( a ≠0， b ≠0) ，若 f 3－x ＝ f 3 ＋ x ，则直线 ax－by ＋ c ＝0 的倾斜角为 ()ππ A. 4 B. 32π3π C. 3D. 4π－x ＝ f π＋x 知函数 f ( x ) 的图像对于π2π C [ 由 f33 x ＝ 3 对称，所以 f (0) ＝ f 3 ，a2π 所以 a ＝－ 3b ，由直线 ax － by ＋ c ＝ 0 知其斜率 k ＝ b ＝－ 3，所以直线的倾斜角为 3 ，应选 C.]2．设P 为曲线 ： ＝ x 2＋ 2 x ＋ 3 上的点，且曲线C 在点 P 处的切线倾斜角的范围为C yπ，则点 P 的横坐标的取值范围为0，()41B.[ － 1,0]A. － 1，－21C ． [0,1]D. 2， 1A [ 由题意知 y ′＝ 2x ＋ 2，设 P ( x 0， y 0) ，则 k ＝ 2x 0＋ 2.由于曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为0，π ，所以 0≤ k ≤1，4即 0≤2x ＋2≤1.1≤－ 2. 应选 A.]所以－ 1≤ x。
高考数学一轮总复习课时规范练38直线的倾斜角斜率与直线的方程北师大版
课时规范练38直线的倾斜角、斜率与直线的方程基础巩固组1.直线l过原点和(1，-1)，则它的倾斜角是()A.45°B.60°C.120°D.135°2.(2021北京八中月考)如图所示，下列四条直线中，斜率最大的是()A.l1B.l2C.l3D.l43.直线l1过两点A(0，0)，B(√3，1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率为()A.√33B.2√33C.1D.√34.直线方程为kx-y+1=3k，当k变动时，直线恒过定点的坐标为()A.(0，0)B.(0，1)C.(3，1)D.(2，1)5.已知直线l过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围为()A.[0,12] B.[0，1]C.[0，2]D.(0,12)6.若直线ax+by=ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A.1B.2C.4D.87.已知直线l的方程为ax+by-2=0，下列判断错误的是()A.若ab>0，则l的斜率小于0B.若b=0，a≠0，则l的倾斜角为90°C.l可能经过坐标原点D.若a=0，b≠0，则l的倾斜角为0°8.(2021河南洛阳月考)已知点A(-2，1)，B(4，-2)，C(1，1+2a)，若A，B，C三点共线，则实数a的值为.9.过点(1,14)，且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为.综合提升组10.过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为()A.x-y+1=0或x+y-7=0B.x+y+7=0C.2x-y-2=0D.2x+y-10=011.若直线l过点A(1，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程不可能为()A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x-y=0D.x-y-1=012.已知直线kx-y+2k-1=0恒过定点A，点A在直线mx+ny+2=0上，其中m，n均为正数，则1m +2n的最小值为()A.2B.4C.8D.613.已知直线l过点P(2，-1)，在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且满足a=3b，则直线l的方程为.14.若直线ax-y+1=0与线段AB 相交，其中A (2，3)，B (3，2)，则实数a 的取值范围是 .创新应用组15.已知点A (-2，0)，点P (x ，y )满足x+y=√2sin θ+π4，x-y=√2sin (θ-π4)，则直线AP 的斜率的取值范围为( ) A.[-√33,√33]B.[-√3,√3]C.[-12,12]D.[-2，2]16.已知数列{a n }的通项公式为a n =1n(n+1)(n ∈N *)，其前n 项和S n =910，则直线x n+1+yn =1与坐标轴所围成的三角形的面积为 .课时规范练38 直线的倾斜角、斜率与直线的方程1.D 解析:设倾斜角为α，则tan α=-1-01−0=-1.因为0°≤α<180°，所以α=135°.故选D .2.D 解析:由图可知，直线l 3斜率为负，直线l 2斜率为0，直线l 1，直线l 4的斜率为正.又直线l 4的倾斜程度大于直线l 1，所以直线l 4的斜率最大.故选D .3.D 解析:因为直线l 1的斜率为√3-0=√33， 所以直线l 1的倾斜角为π6.又因为直线l 2的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍， 所以直线l 2的倾斜角为π3， 所以l 2的斜率为tan π3=√3. 故选D .4.C 解析:把直线方程整理为k (x-3)-y+1=0，令{x -3=0,-y +1=0,得{x =3,y =1,所以定点坐标为(3，1).故选C .5.C 解析:如图所示，当直线l 位于阴影区域内(含边界)时满足条件，由图可知，当直线l 过点A 且平行于x 轴时，直线l 的斜率k 取最小值k min =0;当直线l 过A (1，2)，O (0，0)时，直线l 的斜率k 取最大值k max =2.故直线l 的斜率的取值范围是[0，2].故选C .6.C 解析:由ax+by=ab ，得xb +ya =1，故直线在x 轴、y 轴上的截距分别为b ，a. 因为直线过点(1，1)，所以1a +1b =1.又a>0，b>0，所以a+b=(a+b )1a+1b =2+b a +a b ≥2+2√b a ·ab =4，当且仅当a=b=2时，等号成立，所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C . 7.C 解析:若ab>0，则l 的斜率-ab <0，故A 正确;若b=0，a ≠0，则l 的方程为x=2a ，其倾斜角为90°，故B 正确;若l可能经过坐标原点，则-2=0，这显然不成立，故C错误;若a=0，b≠0，则l的方程为y=2b，其倾斜角为0°，故D正确.故选C.8.-34解析:因为A，B，C三点共线，所以-2-14−(−2)=1+2a-11−(−2)，解得a=-34.9.x+4y-2=0解析:因为直线在两坐标轴上的截距互为倒数，所以可设直线方程为xa+ay=1(a≠0).又直线过点(1,14)，所以1a+14a=1，解得a=2，所以所求直线方程为12x+2y=1，即x+4y-2=0.10.A解析:由题意可知，所求直线的斜率为±1，且过点(3，4).由点斜式得y-4=±(x-3)，故所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.故选A.11.D解析:当直线l过原点时，直线l的方程为y=2x，即2x-y=0.当直线l不过原点时，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则设直线l的方程为xa +ya=1(a≠0).因为直线l过点A(1，2)，所以1a +2a=1，解得a=3，所以直线l的方程为x3+y3=1，即x+y-3=0.若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则设直线l的方程为xb +y-b=1(b≠0).因为直线l过点A(1，2)，所以1b +2-b=1，解得b=-1，所以直线l的方程为x-y+1=0.综上可知，直线l的方程为2x-y=0或x+y-3=0或x-y+1=0.故选D.12.B解析:已知直线kx-y+2k-1=0，整理得y+1=k(x+2)，故直线恒过定点A(-2，-1).因为点A在直线mx+ny+2=0上，所以2m+n=2，整理得m+n2=1.由于m，n均为正数，则1m +2n=m+n21m+2n=1+n2m+2mn+1≥2+2√n2m·2mn=4，当且仅当m=12，n=1时，等号成立.故选B.13.x+2y=0或x+3y+1=0解析:若a=0，则直线l过原点(0，0)，此时直线l的斜率k=-12，故直线l的方程为x+2y=0.若a ≠0，设直线l 的方程为x a+y b=1，即x3b+y b=1.因为点P (2，-1)在直线l 上，所以23b+-1b=1，解得b=-13，所以直线l 的方程为x+3y+1=0.综上可知，直线l 的方程为x+2y=0或x+3y+1=0.14.[13,1] 解析:易知直线ax-y+1=0过定点P (0，1).连接PA ，PB ，则k PA =3−12−0=1，k PB =2−13−0=13.因为直线ax-y+1=0与线段AB 相交，所以13≤a ≤1，即a 的取值范围是[13,1].15.A 解析:由{x +y =√2sin (θ+π4),x -y =√2sin (θ-π4)得{x =sinθ,y =cosθ,所以x 2+y 2=1，所以点P (x ，y )的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，如图所示.过点A 向该圆作切线，易知两切线的斜率分别为√33，-√33.由图可知，直线AP 的斜率k ∈[-√33,√33].故选A . 16.45 解析:由a n =1n(n+1)可知a n =1n −1n+1，所以S n =1-12+12−13+13−14+ (1)−1n+1=1-1n+1.又S n =910，所以1-1n+1=910，所以n=9，所以直线方程为x10+y9=1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9=45.。
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何81直线的倾斜角、斜率与直线的方程课后作业理.doc
8. 1直线的倾斜角、斜率与直线的方程E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1. （2018・朝阳模拟）直线 卄书y+l=0的倾斜角为（D. 140°答案B解析 将直线 嵐osl40° +ysin40° +1=0 化成 %cos40° —ysin40° —1=0,其斜率为 cos40 °*=sin40° =Zn50°，倾斜角为 50° .故选 B.3. （2018 •哈尔滨模拟）函数y=asinx —bcosx 的一条对称轴为/=专，则直线厶$x — by+c=0的倾斜角为（）答案D解析 由函数y=A%） =^sin%—Acosx 的一条对称轴为知，f （0）=,即一力=臼，・・・直线/的斜率为一1,・・・倾斜角为〒.故选D.4. （2018 •衡阳期末）已知直线〃的斜率为一书，将直线绕点“顺时针旋转60°所得 的直线的斜率为（）答案A答案D解析直线斜率为一专，即tan a=—专，0Wa 〈n,5 ji・・・a =—^故选+ 1=0的倾斜角是（50°解析直线図的斜率为一书，则直线阂的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60° , tan60°=yfi.故选A.5. 在等腰三角形应矽中，AO=AB,点0(0,0),水1,3)，点〃在站由的正半轴上，则直 线弭〃的方程为()A. y —1 = 3(/—3)B. y —1 = —3(A ~3)C. y —3 = 3Cv —l)D. y-3 = —3匕一1)答案D解析 因为AO=AB,所以直线力〃的斜率与直线/O 的斜率互为相反数，所以騙=_也 =-3,所以直线的点斜式方程为y-3 = -3(%-l).故选D.6. (2017 •河南新乡一中周考)若刃，/?满足刃+2/?—1 = 0,则直线财+3$+/?=0过定点解析 Vzzz+2/7—1 = 0, .*.>77+2/7=1. V^+3y+/7=0, /. (mx+n) +3y=0,当 ”=£时， mx+ /?=*〃?+ /?=*,・；3y=—7. 若经过点P(l,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的 方程为()A. x+2y —6 = 0B. 2x+ y —6 = 0C. x —2y+7=0D. x —2y —7=0答案B解析 解法一：直线过户(1,4),代入，排除A 、D ；又在两坐标轴上的截距为正，排除C, 故选B.解法二：设方程炉+三=1，a b1 4将(1,4)代入得一+7=1.a ba+b=3+毗+沪5+(彳+罟卜9,当且仅当b=2a,即臼=3, b=6时，截距Z 和最小.X V所以直线方程为^+3=1，B I J 2x+y-6 = 0.故选B.8. 若直线ax+by=ab^1方>0)过点(1,1),则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为(）A. 1B. 2扌，・•・/=—£,故直线过定点(*，一£)故选B.C. 4D. 8答案C解析T 直线ax+by= <gZ?（<3>0,方>0）过点（1, 1）, /. a+ b=ab,即TP…“+力"+ 〃）£+沪2+#+斧+ 2寸彳・彳=4,当且仅当a= b=2时上式等号成立•・・・直线在x 轴，y轴上的截距之和的最小值为4.故选C.9.（2017 •烟台期末）直线〃圧+彳尸一1=0在y轴上的截距是一1,且它的倾斜角是直线萌y—3书=0的倾斜角的2倍，贝】J（）答案A解析根据题意，设直线mx+^y-1 = 0为直线/,另一直线的方程为羽x—y—3羽=0,变形可得y=£（x—3）,其斜率k=书,则其倾斜角为60°,而直线/的倾斜角是直线7^—尸一3羽=0的倾斜角的2倍，则直线/的倾斜角为120。
2019届高考数学一轮复习 配餐作业50 直线的倾斜角与斜率、直线方程(含解析)理
2019届高考数学一轮复习 配餐作业50 直线的倾斜角与斜率、直线方程（含解析）理一、选择题1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6。
故选D 。
答案 D2．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线。
故选D 。
答案 D3．(2016·德州一模)已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当π2<α<π时，tan α<0，即k <0，而当k >1时，即tan α>1，则π4<α<π2，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B 。
答案 B4．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b 。
易知－a b <0且－c b>0，故ab >0，bc <0。
故选A 。
答案 A5．两直线x m －y n ＝a 与x n －y m＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )解析 直线方程x m －yn ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m nx －ma ，由此可知两条直线的斜率同号。
北师大附属中学高三数学一轮复习学案：《直线的倾斜角与斜率_直线的方程》A
直线倾斜角与斜率，直线方程(教案)A一、知识梳理：（阅读必修2第82-99页内容）1．倾斜角：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0。
规定：当直线与l 轴平行或重合时，它的倾斜角为。
2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=t a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。
注：直线的倾斜角与斜率的关系可以利用正切函数的图象帮助解决；3、过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1212x x y y --=α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。
4、直线的方向向量：=（1，k ），k 是直线的斜率；5、直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。
确定直线方程的形式直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
二、题型探究[探究一] 直线的倾斜角与斜率例1：．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )（Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+【解】：∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133y x =-+ 【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。
例2：（全国Ⅰ文16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是（ ）①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 【解析】解：两平行线间的距离为211|13|=+-=d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o 30，1l 的倾斜角为o 45，所以直线m 的倾斜角等于00754530=+o 或00153045=-o 。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理
⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。
北师版高考文科数学一轮总复习课后习题 第9章 解析几何 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 (2)
课时规范练41 直线的倾斜角、斜率与直线的方程基础巩固组1.把直线x-y+√3-1=0绕点(1,√3)逆时针旋转15°后,所得直线l 的方程是( ) A.y=-√3xB.y=√3xC.x-√3y+2=0D.x+√3y-2=0 答案:B解析:已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45°,绕点(1,√3)逆时针旋转15°后,得到的直线l 的倾斜角α=45°+15°=60°,直线l 的斜率为tanα=tan60°=√3,∴直线l 的方程为y-√3=√3(x-1),即y=√3x. 2.(上海静安期中)设直线的斜率k ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),则该直线的倾斜角α满足( )A.-π4≤α≤π4B .π4≤α<π2或π2<α≤3π4C .π4≤α<π2D .π2<α≤3π4答案:B解析:因为k=tanα,所以当k≤-1时,π2<α≤3π4,当k≥1时,π4≤α<π2,即直线的倾斜角α满足π4≤α<π2或π2<α≤3π4.故选B.3.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为3π4,则y 等于( )A.-1B.-3C.0D.2答案:B 解析:由k=-3-2y -12-4=tan 3π4=-1,得-4-2y=2,所以y=-3.故选B.4.(广东深圳调研)方程y=ax+b 和y=bx+a 表示的直线可能是( )答案:D解析:根据题意,依次分析选项:对于A,对于y=ax+b,图像经过第一、二、三象限,则a>0,b>0,y=bx+a 也要经过第一、二、三象限,所以A 选项错误;对于B,同理A,可得B 选项错误;对于C,对于y=ax+b,图像经过第二、三、四象限,则a<0,b<0,y=bx+a 也要经过第二、三、四象限,所以C 选项错误;对于D,对于y=ax+b,图像经过第一、三、四象限,则a>0,b<0,y=bx+a 要经过第一、二、四象限,符合题意.故选D.5.(潍坊模拟)已知△ABC 的三个顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M 为AB 的中点,N 为AC 的中点,则中位线MN 所在直线的方程为( ) A.2x+y-12=0 B.2x-y-12=0 C.2N 所在直线的方程为y -42-4=x -23-2,整理得2x+y-8=0.6.(河南郑州期末)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为( )A.2x-4y-3=0B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=0答案:D解析:∵B(-1,0),C(0,2),∴线段BC的中点的坐标为(-12,1),线段BC所在直线的斜率k BC=2,∴线段BC的垂直平分线的方程为y-1=-12(x+12),即2x+4y-3=0.∵AB=AC,∴△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上, ∴△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0.故选D.7.过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )A.2x+y-12=0B.2x+y-12=0或2x-5y=0C.x-2y-1=0D.x-2y-1=0或2x-5y=0答案:B解析:设所求直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为2a,①当a=0时,所求直线经过点(5,2)和(0,0),所以直线方程为y=25x,即2x-5y=0;②当a≠0时,设所求直线方程为xa +y2a=1,又直线过点(5,2),所以5a+22a=1,解得a=6,所以所求直线方程为x6+y12=1,即2x+y-12=0.故选B.8.在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N 在N的方程为.答案:5x-2y-5=0解析:设C(x0+52,y0-22,N x0+72,y0+32.因为点M在y轴上,所以x0+52=0,解得N的方程为x1+y-52=1,即5x-2y-5=0.9.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为.答案:16解析:根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为xa +yb=1,又C(-2,-2)在该直线上,故-2a +-2b=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4√ab,从而√ab≤0(舍去)或√ab≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时等号成立.即ab的最小值为16.综合提升组10.(贵州期末)一条经过点A(-4,2)的入射光线l的斜率为-2,若入射光线l经x轴反射后与y轴交于点B,O为坐标原点,则△AOB的面积为( ) A.16 B.12 C.8 D.6答案:B解析:设直线l与x轴交于点C,因为l的方程为y-2=-2(x+4),令y=0,得点C的坐标为(-3,0),从而反射光线所在直线的方程为y=2(x+3),令x=0,×6×4=12.故选B.得B(0,6),所以△AOB的面积S=1211.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为( )A.1B.4C.2D.8答案:B解析:因为直线ax+by=ab 过点(1,1),所以a+b=ab,即1a+1b=1.因为直线在x轴上的截距为b,在y 轴上的截距为a,所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和为a+b.a+b=(a+b)(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2√ba ·ab =4,当且仅当a=b=2时取等号,故最小值为4.故选B.12.(湖南益阳模拟)直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b 的取值范围是( ) A.[-2,2]B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.[-2,0)∪(0,2]D.(-∞,+∞)答案:C解析:令x=0,得y=b 2,令y=0,得x=-b,所以所求三角形的面积为12b 2|-b|=14b 2,且b≠0,14b 2≤1,所以b 2≤4,所以b 的取值范围是[-2,0)∪(0,2]. 13.(山东日照高三段考)已知直线l 过点P(2,-1),在x 轴、y 轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b,则直线l 的方程为 . 答案:x+2y=0或x+3y+1=0解析:若a=0,则直线l 过原点(0,0),此时直线l 的斜率k=-12,故直线l 的方程为x+2y=0.若a≠0,则设直线l 的方程为x a+y b=1,即x3b+yb=1.因为点P(2,-1)在直线l 上,所以23b+-1b=1,解得b=-13.从而直线l 的方程为x+3y+1=0.综上可知,直线l 的方程为x+2y=0或x+3y+1=0. 14.(海南琼州中学模拟)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k ∈R). (1)求证:直线l 过定点;(2)若直线l 不经过第四象限,求k 的取值范围;(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A,交y 轴正半轴于点B,△AOB 的面积为S(O 为坐标原点),求S 的最小值,并求此时直线l 的方程. (1)证明:直线l 的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0.由{x +2=0,1-y =0,解得{x =-2,y =1.故无论k 取何值,直线l 恒过定点(-2,1). (2)解:直线l 的方程可化为y=kx+1+2k.当k≠0时,要使直线l 不经过第四象限,则有{k >0,1+2k ≥0,解得k>0.当k=0时,直线l 的方程为y=1,显然符合题意. 综上,k 的取值范围是[0,+∞). (3)解:依题意,A (-1+2k k ,0),B(0,1+2k),且{-1+2k k<0,1+2k >0,解得k>0.所以S=12|OA|·|OB|=12·|-1+2k k|·|1+2k|=12·(1+2k )2k=12(4k +1k+4)≥12×(2×2+4)=4,当且仅当4k=1k,即k=12时,等号成立.所以S min=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.创新应用组15.已知函数f(x)=log2(x+1),且a>b>c>0,则f(a)a ,f(b)b,f(c)c的大小关系为.答案:f(a)a <f(b)b<f(c)c解析:作出函数f(x)=log2(x+1)的大致图像,如图所示,可知当x>0时,曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小,因为a>b>c>0,所以f(a)a<f(b) b <f(c)c.16.(山东德州高三模拟)已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),则y+3x+2的最大值为,最小值为.答案:8 43解析:如图,作出y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的图像,即曲线段AB,则y+3x+2表示定点P(-2,-3)与曲线段AB上任意一点(x,y)的连线的斜率k.连接PA,PB,由图可知k PA≤k≤k PB.易得A(1,1),B(-1,5),则k PA=1-(-3)1-(-2)=43,k PB=5-(-3)-1-(-2)=8,所以43≤k≤8.故y+3x+2的最大值为8,最小值为43.。
2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程(含解析)
第八单元分析几何第 46 讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程考试说明 1 .在平面直角坐标系中, 联合详细图形 , 确立直线的几何因素.2.理解直线的倾斜角和斜率的观点, 掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确立直线地点的几何因素 , 掌握直线方程的几种形式 ( 点斜式、两点式及一般式 ), 认识斜截式与一次函数的关系 .考情剖析考点直线的斜率直线的方程直线方程的综合应用考察方向考例考察热度倾斜角、斜率的值或范围2016 全国卷Ⅱ20★☆☆2016 全国卷Ⅲ20,2014 全截距 , 求直线方程国卷Ⅰ20,2013全国卷★★☆Ⅱ12与基本不等式相联合求最值问题 , 直线方程与平2014 全国卷Ⅰ20★★☆面向量的综合真题再现■[2017 - 2013] 课标全国真题再现[ 2013·全国卷Ⅱ]已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ ABC切割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是()A. (0,1)B.C.D.[ 分析 ] B方法一:易得△ ABC面积为1,利用极限地点和特值法. 当 a=0时,易得 b=1-; 当a=时 , 易得b= ; 当 a=1时,易得 b= - 1> . 应选B.方法二 :( 直接法 )? y=, y=ax+b与x轴交于, 联合图形与a>0,××= ? ( a+b) 2=a( a+1) >0? a=.0, ∴0? , 当0 时 , 极限地点易得 1 , 故答案为 B∵a> > b< a= b= - .■[2017 - 2016] 其余省份近似高考真题[ 2017·浙江卷节选 ]如图,已知抛物线x2=y,点 A, B,抛物线上的点P( x, y)- <x< . 过点 B 作直线 AP的垂线,垂足为 Q.求直线 AP斜率的取值范围;解 : 设直线AP的斜率为k, 则k==x- .因为 - <x< ,所以直线 AP斜率的取值范围是( - 1,1) .【课前双基稳固】知识聚焦1. (1)0 °(2)0 °≤ α<180°2. (1) 正切值tanα(2)不存在3.y-y0=k( x-x0 )y=kx+b=+ =1Ax+By+C=0( A2+B2≠0)对点操练1.- 1 135°[ 分析 ]因为直线AB的斜率为=- 1,所以 k=tanα =- 1,所以α =135°,即直线 AB的倾斜角为 135°.2. 6x-y+ 15=0 [ 分析 ]由题意知该直线的斜率为6, 所以该直线的方程为y- 3=6( x+2),即6x-y+ 15=0.3.x-y+ 1=0 或x-y- 1=0 [ 分析 ]设直线l在两坐标轴上的截距分别为a, b,则解得或故直线 l 的方程为 x-y+ 1=0或 x-y- 1=0.4.∪[ 分析 ]设直线l的倾斜角为α ,则有tanα ==1-m2≤1. 又因为0≤α <π,所以0≤ α≤或 <α <π .5.[ 分析 ] ∵A(2,2),B( - 1,3),直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB订交,∴界限直线 PA的斜率 k PA==1, 界限直线 PB的斜率 k PB= =- 1,∴直线 PA的倾斜角为, 直线PB的倾斜角为. ∵直线 l 与线段 AB总有公共点 , ∴直线l的倾斜角α 的取值范围为,.6 2 0 或x+y- 2 0 [ 分析 ] 当直线过原点时 , 斜率为=-2, 故直线的方程为 2 ,即 2 0; 当直线不. x+y= = y=- x x+y=过原点时 , 设直线的方程为x+y+m=0,把( - 2,4)代入直线的方程,得 m=-2,故所求的直线方程为x+y- 2=0. 综上 , 知足条件的直线方程为2x+y=0 或x+y- 2=0.【讲堂考点研究】例 1 [ 思路点拨 ] (1) 依据倾斜角与斜率间的关系确立直线的斜率的取值范围;(2) 分 sin θ 0 与 sin θ=≠ 0 两种状况进行求解.(1)∪ [1, +∞) (2)A [ 分析 ] (1)∵直线l的倾斜角为α ,且≤ α ≤, ∴k≥ 1 或k≤-, ∴直线l 的斜率 k 的取值范围是- ∞, -∪ [1,+∞).(2) 设 α 为直线 l 的倾斜角 , 当 sinθ =0 时 , 直线 l 的斜率不存在, 直线的倾斜角 α = . 当 sinθ ≠ 0 时,直线的斜率tan α= ∈ (, - 1] ∪ [1, +∞ ), 所以直线的倾斜角的取值范围是 , ∪ ,. 综上所k=- ∞述 , α ∈ ,, 应选 A .变式题(1) ∪ (2)( - ∞, - 4] ∪ , +∞ [ 分析 ] (1) 由题意知 cos θ≠ 0, 则斜率 k=tanα==- cos θ ∈ [ - 1,0) ∪ (0,1], 那么直线 的倾斜角的取值范围是 0, ∪, π.AB(2) 因为 k ==- 4,k == , 所以 k 的取值范围为 ( - ∞, - 4] ∪ , +∞ .PMPN例 2 [ 思路点拨 ] (1) 利用截距式求解 , 注意不要遗漏截距为 0 的状况 , 也可考虑利用直线的点斜式方程求 解 ;(2) 依据条件 , 利用正切的二倍角公式 , 求得倾斜角的正切值 , 代入点斜式即得所求直线方程 .解 :(1) 方法一 : 设直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距均为 a.若 a=0, 则 l 过点 (0,0) 和 (3,2),∴l 的方程为 y= x , 即 2x- 3y=0.若 a ≠ 0, 则设 l 的方程为+ =1,∵l 过点 (3,2), ∴ + =1, ∴a=5, ∴l 的方程为 x+y- 5=0.综上可知 , 直线 l 的方程为2x- 3y=0 或 x+y- 5=0.方法二 : 由题意知 , 所求直线的斜率k 存在且 k ≠ 0, 设直线方程为 y- 2=k ( x- 3),令 y=0, 得 x=3- , 令 x=0, 得 y=2- 3k ,由已知 , 得 3- =2- 3k , 解得 k=- 1 或 k= ,∴直线 l 的方程为 y- 2=- ( x- 3) 或 y- 2= ( x- 3),即 x+y- 5=0 或 2x- 3y=0.(2) 设直线 y=3x 的倾斜角为 α , 则所求直线的倾斜角为 2α.∵tan α =3, ∴tan 2 α = =- .又直线 l 经过点 A ( - 1, - 3), 所以所求直线方程为y+3=- ( x+1),即 3x+4y+15=0.变式题 (1)B (2)B[ 分析 ] (1) 因为直线 l 1 : x-y+ - 1=0 的斜率为 1, 所以它的倾斜角为 45°, 故旋转后获得的直线 l 2 的倾斜角为 45° +15° =60°, 所以直线 l 2 的斜率为 tan 60° = , 所以直线 l 2 的方程为y- = ( x- 1), 即x-y=0, 应选 B .(2) ∵m+2n- 1=0, ∴m+2n=1. ∵mx+3y+n=0, ∴( mx+n ) +3y=0, 当 x= 时 , m+n=, ∴ 3y=- , ∴y=- , 故直线过定点, - ,应选 B .例3 [思路点拨 合基本不等式求解 ] (1) 第一依据直线的一般式方程求出直线的横截距与纵截距, 而后利用三角形面积公式结;(2) 由两直线的地点关系得出a , 再联合直角三角形的性质直接求线段 AB 的长 .(1)2 4 0 (2)12 [ 分析](1)易知 k ≠ 0 . 当 0 时 , 12;当0 时 , x=-. 因为直线l 交 x 轴负x- y+ =x= y= + k y=半轴于A , 交y 轴正半轴于B , 所以k>0, 所以S △ OAB =(1 +2k ) ×==2k+ +2≥ 2+2=4,当且仅当2k=,即 k= 时, 等号建立 , 此时直线 l 的方程为 x-y+ 2=0, 即 x- 2y+4=0.(2) 由两直线垂直 , 得 2-a= 0, 所以 a=2, 所以 P (0,5) . 由 2x-y- 1=0 和 x+2y+2=0, 得两直线的交点为 Q (0, - 1) .由直角三角形的性质 , 得线段 AB 的长为 2|PQ|=12.变式题 (1)- 1≤ ≤ 1 且 k ≠ 0 (2)D[ 分析 ] (1) 直线可是原点 , 所以k ≠ 0 令 x= 0, 则 , 令 0, 则 x=- 2 ,k. y=k y= k故三角形面积为··=k 2≤ 1, 解得 - 1≤ k ≤ 1. 综上 , k 的取值范围是 - 1≤ k ≤ 1 且 k ≠0.(2) 直线 l :+ =1( a>0, b>0) 在两坐标轴上的截距之和为 4, 所以 a+b=4, 即 4≥ 2 ? ab ≤ 4? ab ≤ 2, 则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 2, 应选 D .【备选原因】例 1 考察直线的倾斜角与斜率和三角形间的关系 , 难度加大了一点 ; 例 2 为直线的斜率与线性规划的综合 .1 [ 配合例 1 使用 ] 直线 l 1 与直线 l2 交于一点 P , 且 l 1 的斜率为, l 2 的斜率为 2k , 直线l 1, l 2 与 x 轴围成一个等腰三角形 , 则正实数 k 的全部可能的取值为.[答案] 或[分析]设直线 l 1与直线 l 2的倾斜角分别为 α, β , 因为 k>0, 所以 α , β 均为锐角 . 因为直线 l , l2与 x 轴围1成一个等腰三角形, 则有以下两种状况 :(1) 当 α 2β 时 ,tan α tan 2 β, 有= , 因为 0, 所以 k= ;(2)==k>当 β =2α 时 ,tan β=tan 2 α , 有 2k=, 因为 k>0, 所以 k=. 故 k 的全部可能的取值为 或 .2 [ 配合例3 使用 ] [ 2017·襄阳五中三模 ] 已知点 P 在直线 x+3y- 2=0 上 , 点 Q 在直线 x+3y+6=0 上 , 线段的中点为 ( 0, y 0), 且002,则的取值范围是()PQ M x y <x +A .B .C .D . ∪ (0, +∞)[分析]D设 P ( x 1, y 1), Q ( x 2, y 2), 则 得 x 0+3y 0+2=0, 即 M ( x 0, y 0) 在直线 x+3y+2=0 上 . 又因为002, 所以 (, y 0) 位于直线3 2 0与直线x-y+ 2 0 交点的右下部分的直线上 . 设两直线的交点为y <x + M x x+ y+ = =F , 易得 F ( - 2,0), 而 可看作点 M 与原点 O 连线的斜率 , 数形联合可得 的取值范围为- ∞, -∪ (0, +∞ ) .应选 D .。
最新高考一轮总复习北师版新教材《第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程》
2(1+ 2 )
1
1
=2(-k+- )≥4,当且仅当-k=- 且
||
(方法 2)设所求直线 l
2
+
的方程为
+
=1(a>0,b>0),则可得
A(a,0),B(0,b),
1
=1.
∴|MA|·|MB|=||·| |=- ·
=-(a-2,-1)·(-2,b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b)
在 y 轴上的截距为 b,斜
y=kx+b
斜截式
率为 k
两点式
过两点
(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)
y-y 1
y 2 -y 1
截距式
在 x 轴、y 轴上的截距
分别为 a,b(a,b≠0)
x
a
一般式
—
+
=
x-x 1
x 2 -x 1
y
=1
b
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
适用条件
π
(2)直线的斜率与倾斜角的关系:倾斜角不是2 的直线,它的斜率
角 α 满足 k=tan α 其中 ≠
π
2
.
k 和它的倾斜
微点拨 斜率公式与两点的顺序无关,即两纵坐标和两横坐标在公式中可
以同时调换.就是说,如果分子是y2-y1,那么分母必须是x2-x1;反过来,如果分
子是y1-y2,那么分母必须是x1-x2.
微思考 直线的倾斜角越大,斜率越大对吗?
高考数学一轮复习教案(含答案) 第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
第8章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.3．直线方程的五种形式牢记倾斜角α与斜率k 的关系(1)当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞. (2)当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置． ( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． ( )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． ( )(4)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示． ( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√2．(教材改编)若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4A [由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.] 3．直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°B [设直线的倾斜角为α，则tan α＝3，∵0°≤α＜180°，∴α＝60°.]4．(教材改编)经过点M (1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y ＝1C ．x ＝1或y ＝1D ．x ＋y ＝2或x ＝yD [若直线过原点，则直线为y ＝x ，符合题意，若直线不过原点，设直线为x m ＋y m ＝1，代入点(1,1)，解得m ＝2，直线方程整理得x ＋y －2＝0，故选D.]5．如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C [由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－C B >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．]1( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B [由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.] 2．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__________．4 [因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3. 由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.]3．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为__________．(－∞，－3]∪[1，＋∞) [如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．]分【例1(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知横截距与纵截距都不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a＝1， 又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.为1，则此直线的方程为________．x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 [设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1. ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎨⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或(2)⎩⎨⎧ a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解． 故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．]O 为坐标原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程；(2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．[解] 设直线l ：x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1.(1)4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab ， 所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y 2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b ＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4b a ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y 3＝1，即x ＋2y －6＝0.12时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．[解] 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2， 所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154， 当a ＝12时，四边形的面积最小，故实数a 的值为12.。
2019年高考数学一轮复习平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程学案理北师大版
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲传真] (教师用书独具)1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(对应学生用书第130页)[基础知识填充]1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，当直线l 和x 轴平行时，它的倾斜角为0.(2)倾斜角的范围是[0，π)．2．直线的斜率(1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在． (2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式名称 方程适用范围点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(4)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√2．直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°B [设直线的倾斜角为α，则tan α＝3， ∵α∈[0，π)，∴α＝π3.]3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4A [由题意知4－mm ＋2＝1(m ≠－2)，解得m ＝1.]4．(教材改编)直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________.1或－2 [令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a.依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.]5．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 [若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y＝0.若直线不过原点，设x a ＋ya＝1，即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线方程为x ＋y ＋1＝0.](对应学生用书第130页)直线的倾斜角与斜率(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π(2)若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13 [(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，又sinα∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π. (2)因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k PA ＝－3－2－2－(－3)＝－5，k PB ＝0－23－(－3)＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.][规律方法] 1.倾斜角α与斜率k 的关系1当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，k ∈[0，＋∞.2当α＝π2时，斜率k 不存在.3当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k ∈－∞，0. 2.斜率的两种求法1定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率.2公式法：若已知直线上两点A x 1，y 1，Bx 2，y 2，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1x 1≠x 2求斜率.3.倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y ＝tan α的单调性.a ＝( )A ．1±2或0B.2－52或0C ．2±52D.2＋52或0 (2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．(1)A (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 [(1)∵平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，∴k AB＝k AC ， 即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.故选A ．(2)直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.]求直线方程根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.【导学号：79140262】[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. [规律方法] 求直线方程应注意以下三点1在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零.3截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.[跟踪训练] 求适合下列条件的直线方程：(1)过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数； (2)过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍． [解] (1)当直线过原点时，方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线l 不过原点时，设直线方程为x a －y a＝1. 将P (2,3)代入方程，得a ＝－1， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0. (2)设直线y ＝3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. 因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.直线方程的综合应用过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． [解] 设直线l ：x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)， 因为直线l 经过点P (4,1)， 所以4a ＋1b＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.[规律方法] 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. 2含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.3求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.121l 2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？【导学号：79140263】[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －2y ＝2a －4，2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，得x ＝y ＝2，∴直线l 1与l 2交于点A (2,2)(如图)．易知|OB |＝a 2＋2，|OC |＝2－a ， 则S四边形OBAC＝S △AOB ＋S △AOC ＝12×2(a 2＋2)＋12×2(2－a )＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，a ∈(0,2)，∴当a ＝12时，四边形OBAC 的面积最小．。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练48直线的倾斜角与斜率直线的方程理北师大版
课时分层训练(四十八) 直线倾斜角与斜率、直线方程A 组 根底达标一、选择题1．倾斜角为135°，在y 轴上截距为－1直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0D [直线斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.]2．设直线ax ＋by ＋c ＝0倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，那么a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0D [由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－a b ，所以－ab＝－1，那么a ＝b .]3．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 斜率为( ) A ．－13B ．－3C.13D ．3A [结合图形(图略)可知选A.]4．(2021·豫南九校联考)假设θ是直线l 倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，那么l 斜率为( )【导学号：79140264】A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2D [∵sin θ＋cos θ＝55①∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 斜率为－2，应选D.]5．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴围成三角形面积不大于1，那么b取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)C [令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所围三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，所以14b 2≤1，所以b 2≤4，又由题意知b ≠0，所以b ∈[－2,0)∪(0,2]．]二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，那么l 斜率是________．－23[设P (m,1)，那么Q (2－m ，－3)， ∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2， ∴P (－2,1)，∴k ＝1＋1－2－1＝－23.]7．直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，那么l 方程是________．x －y ＋3＝0 [圆x 2＋(y －3)2＝4圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 斜率kl ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.]8．假设直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上截距取值范围是(－3,3)，那么其斜率取值范围是________.【导学号：79140265】(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞ [设直线l 斜率为k ，那么k ≠0，直线方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上截距为1－2k .令－3＜1－2k＜3，解得k ＜－1或k ＞12.]三、解答题9．△ABC 三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线方程； (3)BC 边垂直平分线DE 方程．[解] (1)直线BC 经过B (2,1)与C (－2,3)两点，由两点式得直线BC 方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边中点D 坐标为(m ，n )， 那么m ＝2－22＝0，n ＝1＋32＝2.BC 边中线AD 所在直线过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 斜率k 1＝－12，那么BC 边垂直平分线DE 斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 方程为y －2＝2(x －0) 即2x －y ＋2＝0.10．设直线l 方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)假设l 在两坐标轴上截距相等，求l 方程； (2)假设l 不经过第二象限，求实数a 取值范围.【导学号：79140266】[解] (1)当直线过原点时，在x 轴与y 轴上截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，截距存在且均不为0，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 取值范围是a ≤－1.B 组 能力提升11．设A ，B 是x 轴上两点，点P 横坐标为2且|PA |＝|PB |，假设直线PA 方程为x －y ＋1＝0，那么直线PB 方程为( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0B [由条件得点A 坐标为(－1,0)，点P 坐标为(2,3)，因为|PA |＝|PB |，根据对称性可知，点B 坐标为(5,0)，从而直线PB 方程为y －3－3＝x －25－2，整理得x ＋y －5＝0.] 12．A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，那么xy 最大值是________.【导学号：79140267】3 [直线AB 方程为x 3＋y4＝1.∵动点P (x ，y )在直线AB 上，那么x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[]－(y －2)2＋4≤3， 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，2时，xy 取最大值3.] 13．(2021·四川德阳中学期中)直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)假设直线不经过第四象限，求k 取值范围；(3)假设直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 面积为S (O 为坐标原点)，求S 最小值，并求此时直线l 方程．[解] (1)证明：直线l 方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线l 必经过定点(－2,1)． (2)直线方程可化为y ＝kx ＋1＋2k ，当k ≠0时，要使直线不经过第四象限，那么必有⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，1＋2k ≥0，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意． 综上，k 取值范围是k ≥0.(3)依题意得A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )， 且⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∴S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4，“＝〞成立条件是4k ＝1k ，此时k ＝12，∴S min ＝4，此时l 方程为x －2y ＋4＝0.。
2019届高考理科数学一轮复习学案：第46讲-直线倾斜角和斜率、直线方程.docx
第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程课前双击巩固知识聚焦、1.直线的倾斜角(1)定义:在平面直角坐标系中，当直线/与无轴相交时,我们取x轴作为基准,/轴正向与直线1向上方向之I'可所成的角。
叫作直线1的倾斜角.当直线/和/轴平行或重合吋，直线1 的倾斜角为___________ •(2)范圉:倾斜角a的取值范围是_________ •2.直线的斜率⑴定义:一条直线的倾斜角。
(。
工90。
)的__________ 叫作这条直线的斜率，该直线的斜率k _______ .(2)过两点的直线的斜率公式:过两点*(X2,乃)(/工⑥的直线的斜率公式为k=.若孟=疋,则直线的斜率___ ,此时直线的倾斜角为90° •3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式斜截式不含直线X二XQ不含垂直于/轴的直线两点式不含直线x=xAx^x^)和直线y=y\ (门H比)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般平血内所有直线都适用式常用结论直线的倾斜角。
和斜率&之间的对应关系:90° 5 <180对点演练、题组一常识题1. ［教材改编］已知直线经过点水4, -2), 〃(1, 1),则直线SB 的斜率为 _______ ，倾斜角a 为 _______ .2. ［教材改编］一条直线经过点M-2, 3),且它的斜率是直线的斜率的3倍，则该直线的 方程为 _________ •3. ［教材改编］若直线/在两坐标轴上的截距互为负倒数，且绝对值相等,则直线/的方程 为 ________________ .题组二常错题♦索引：忽略直线斜率不存在的情况;对倾斜角的取值范围不清楚;忽略截距为0的情况.4. 直线/经过水2, 1),〃(1,龙)(〃应R)两点，那么直线/的倾斜角的取值范围是 _____________ .5. 已知水2,2)」(-1,3),若直线/过点Al, 1)且与线段肋相交，则直线/的倾斜角a 的取 值范围是 _______ .6. 过点(-2, 4)且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是 ___________________ .课堂考点探究O 探究点一 直线的倾斜角和斜率“ 5ti®1⑴设直线/的倾斜角为5且则直线/的斜率斤的取值范围是 __________________________(2) ［2017 •湖北部分重点屮学联考］直线/:x-ysin "+1R 的倾斜角的取值范围是 ()不存在 k<0A.B.阴戶)［n n\ /n 3nlD. h 耳U 2 4［总结反思］(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率a的取值范围，但需注意斜率不存在的情况;②利用正切两数的单调性，借助图像或单位圆，数形结合确定倾斜角Q的取值范围.TT(2)注意倾斜角的取值范围是［0, IT ),若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为1直线垂直于x轴.関式题(1)平面上有相异两点A(cos“，sin2〃)，〃(0, 1),则直线的倾斜角。
2019年高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业四十九8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程理
2019年⾼考数学⼀轮复习第⼋章解析⼏何课时分层作业四⼗九8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程理2019年⾼考数学⼀轮复习第⼋章解析⼏何课时分层作业四⼗九 8.1 直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程理⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sin α+cos α=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.因为sin α+cos α=0,所以tan α=-1.⼜因为α为倾斜⾓,所以斜率k=-1.⽽直线ax+by+c=0的斜率k=-,所以-=-1,即a-b=0.2.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 ( )A.[-,1]B.(-∞,-]∪[1,+∞)C.D.∪[1,+∞)【解析】选B.因为k AP==1,k BP==-,所以k∈(-∞,-]∪[1,+∞).3.(xx·开封模拟)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线⽅程为( ) A.3x+4y+15=0 B.4x+3y+6=0C.3x+y+6=0D.3x-4y+10=0【解析】选A.设所求直线的斜率为k,依题意k=-,⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( )A.-1B.k>1或k<C.k>1或k<D.k>或k<-1【解析】选D.设直线的斜率为k,则直线⽅程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则-3<1-<3,解得k>或k<-1.【⼀题多解】选D.当k=0时,该直线在x轴上的截距不存在,不符合题意,所以可排除A,B,C三个选项. 【变式备选】(xx·兰州模拟)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最⼩值等于( )A.2B.3C.4D.5【解析】选C.因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以1=+≥2=(当且仅当a=b=2时取等号),所以≥2.⼜a+b≥2(当且仅当a=b=2时取等号),所以a+b≥4(当且仅当a=b=2时取等号).【⼀题多解】选C.因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4.(当且仅当a=b=2时取等号).5.(xx·张家⼝模拟)若直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,且它的倾斜⾓是直线x-y=3的倾斜⾓的2倍,则( )A.m=-,n=1B.m=-.n=-3C.m=,n=-3D.m=,n=1【解析】选D.对于直线mx+ny+3=0,令x=0得y=-,即-=-3,n=1.因为x-y=3的斜率为60°,直线mx+ny+3=0的倾斜⾓是直线x-y=3的2倍,所以直线mx+ny+3=0的倾斜⾓为120°,即-=-,m=.6.若直线l:kx-y+2+4k=0(k∈R)交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,则当△AOB的⾯积取最⼩值时直线l 的⽅程为( )A.x-2y+4=0B.x-2y+8=0C.2x-y+4=0D.2x-y+8=0【解析】选B.由l的⽅程,得A,B(0,2+4k).依题意得解得k>0.因为S=|OA|·|OB|=·|2+4k|==≥(2×8+16)=16.当且仅当16k=,即k=时,等号成⽴.此时l的⽅程为x-2y+8=0.7.经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线⽅程为( )A.5x+2y=0或x+2y+1=0B.x+2y+1=0C.2x+5y=0或x+2y+1=0D.2x+5y=0【解析】选C.当截距为零时,直线⽅程为y=-x;当截距不为零时,设直线⽅程为+=1,因为直线过点A(-5,2),所以+=1,计算得b=-,所以直线⽅程为+=1,即x+2y+1=0.所以所求直线⽅程为2x+5y=0或x+2y+1=0. 【题⽬溯源】本考题源于教材⼈教A版必修2P100习题3.2A组T5“⼀条直线经过点A(2,-3),并且它的斜率等于直线y=x的斜率的2倍,求这条直线的⽅程”.【变式备选】已知直线l经过点(7,1),且在两坐标轴上的截距之和为零,求直线l的⽅程.【解析】当直线l经过原点时,直线l在两坐标轴上截距均等于0,故直线l的斜率为,所以所求直线⽅程为y=x,即x-7y=0.当直线l不过原点时,设其⽅程为+=1,由题意可得a+b=0, ①⼜l经过点(7,1),且+=1, ②由①②得a=6,b=-6,则l的⽅程为+=1,即x-y-6=0.故所求直线l的⽅程为x-7y=0或x-y-6=0.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.若直线y=kx+1与以A(3,2),B(2,3)为端点的线段有公共点,则k的取值范围是________.【解析】由题可知直线y=kx+1过定点P(0,1),且k PB==1,k PA==,结合图象可知,当直线y=kx+1与以A(3,2),B(2,3)为端点的线段有公共点时,k的取值范围是.答案:9.将直线y=x+-1绕它上⾯⼀点(1,)沿逆时针⽅向旋转15°,所得到的直线⽅程是________.【解析】由y=x+-1得直线的斜率为1,倾斜⾓为45°.因为沿逆时针⽅向旋转15°,⾓变为60°,所以所求直线的斜率为.⼜因为直线过点(1,),所以直线⽅程为y-=(x-1),即y=x.答案:y=x10.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°⾓,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,直线AB的⽅程为________.【解析】由题意可得k OA=tan 45°=1,k OB=tan(180°-30°)=-,所以直线l OA:y=x,l OB:y=-x.设A(m,m),B(-n,n),所以AB的中点C,由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得解得m=,所以A(,).⼜P(1,0),所以k AB=k AP==,所以l AB:y=(x-1),即直线AB的⽅程为(3+)x-2y-3-=0.答案:(3+)x-2y-3-=01.(5分)(xx·张家⼝模拟)直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜⾓α的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选C.直线l的斜率k=tan α==1+m2≥1,所以≤α<.2.(5分)已知直线l过点A(1,2),且倾斜⾓为直线l0:3x-y-2=0的倾斜⾓的2倍,则直线l的⽅程为( )A.x-y+=0B.x-y-3=0C.x+y-3=0D.x+y-=0【解析】选C.直线l0的斜率k0=,所以倾斜⾓α0=;故直线l的倾斜⾓α=2α0=,斜率k=-,直线l的⽅程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.【变式备选】已知直线l的斜率为,在y轴上的截距为另⼀条直线x-2y-4=0的斜率的倒数,则直线l的⽅程为( )A.y=x+2B.y=x-2C.y=x+D.y=-x+2【解析】选A.因为直线x-2y-4=0的斜率为,所以直线l在y轴上的截距为2,所以直线l的⽅程为y=x+2.3.(5分)过点P(4,1)作直线l分别交x,y轴正半轴于A,B两点,当△AOB⾯积最⼩时,直线l的⽅程为________.【解析】设直线⽅程为+=1,因为直线过点P(4,1),所以+=1.△AOB的⾯积S=ab.+=1≥2,解得ab≥16,当且仅当=,即a=8,b=2时取等号,此时△AOB的⾯积S有最⼩值8,直线l的⽅程为+=1,即x+4y-8=0.答案:x+4y-8=04.(12分)(xx·泸州模拟)求过点A(1,-1)与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点,且|AB|=5的直线⽅程.【解析】过点A(1,-1)与y轴平⾏的直线为x=1.解⽅程组得B点坐标为(1,4),此时|AB|=5,即x=1为所求.设过点A(1,-1)且与y轴不平⾏的直线为y+1=k(x-1),解⽅程组得(k≠-2,否则与已知直线平⾏).两直线交点B的坐标为.由已知+=52,解得k=-,所以y+1=-(x-1),即3x+4y+1=0.综上可知,所求直线的⽅程为x=1或3x+4y+1=0.5.(13分)已知在△ABC中,点A的坐标为(1,3),AB,AC边上的中线所在直线的⽅程分别为x-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各边所在直线的⽅程.【解析】设AB,AC边上的中线分别为CD,BE,其中D,E分别为AB,AC的中点,因为点B在中线y-1=0上,所以设B点坐标为(x,1).⼜因为A点坐标为(1,3),D为AB的中点,所以由中点坐标公式得D点坐标为.⼜因为点D在中线x-2y+1=0上,所以-2×2+1=0?x=5,所以B点坐标为(5,1).同理可求出C点的坐标是(-3,-1).故可求出△ABC三边AB,BC,AC所在直线的⽅程分别为x+2y-7=0,x-4y-1=0和x-y+2=0.2019年⾼考数学⼀轮复习第六章不等式、推理与证明课时分层作业三⼗⼋ 6.5直接证明与间接证明⽂⼀、选择题(每⼩题5分,共25分)1.要证明+<2,可选择的⽅法有以下⼏种,其中最合理的是( )A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法【解析】选B.从要证明的结论——⽐较两个⽆理数⼤⼩出发,证明此类问题通常转化为⽐较有理数的⼤⼩,这正是分析法的证明⽅法.2.(xx·⼴州模拟)⽤反证法证明命题“设a,b为实数,则⽅程x2+ax+b=0⾄少有⼀个实根”时,要做的假设是( )A.⽅程x2+ax+b=0没有实根B.⽅程x2+ax+b=0⾄多有⼀个实根C.⽅程x2+ax+b=0⾄多有两个实根D.⽅程x2+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A. 因为“⽅程x2+ax+b=0⾄少有⼀个实根”等价于“⽅程x2+ax+b=0有⼀个实根或两个实根”,所以该命题的否定是“⽅程x2+ax+b=0没有实根”.3.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( )A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥0【解析】选D.因为要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需要证(a2-1)(b2-1)≥0.4.命题“如果数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n,那么数列{a n}⼀定是等差数列”是否成⽴( )A.不成⽴B.成⽴C.不能断定D.能断定【解析】选B. 因为S n=2n2-3n,所以S n-1=2(n-1)2-3(n-1)(n≥2),所以a n=S n-S n-1=4n-5(n=1时,a1=S1=-1符合上式).⼜因为a n+1-a n=4(n≥1),所以{a n}是等差数列.【变式备选】(xx·西安模拟) 不相等的三个正数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等⽐中项,y是b,c的等⽐中项,则x2,b2,y2三数( )A.成等⽐数列⽽⾮等差数列B.成等差数列⽽⾮等⽐数列C.既成等差数列⼜成等⽐数列D.既⾮等差数列⼜⾮等⽐数列【解析】选B. 由已知条件,可得由②③得代⼊①,得+=2b,即x2+y2=2b2.故x2,b2,y2成等差数列.5.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中⾄少有⼀个⼤于1”的条件是 ( )A.②③B.①②③C.③D.③④⑤【解析】选C.若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a,b中⾄少有⼀个⼤于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2⽭盾,因此假设不成⽴,则a,b中⾄少有⼀个⼤于1.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)6.设a>b>0,m=-,n=,则m,n的⼤⼩关系是________.【解析】(分析法)-?a0,显然成⽴.答案:m【巧思妙解】(取特殊值法)取a=2,b=1,得m答案:m7.已知a,b,µ∈(0,+∞)且+=1,则使得a+b≥µ恒成⽴的µ的取值范围是________.【解析】因为a,b∈(0,+∞)且+=1,所以a+b=(a+b)=10+≥10+2=16,所以a+b的最⼩值为16.所以要使a+b≥µ恒成⽴,需16≥µ,所以0<µ≤16.答案:(0,16]8.(xx·商丘模拟)若⼆次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间[-1,1]内⾄少存在⼀点c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是________.【解析】 (补集法)令解得p≤-3或p≥,故满⾜条件的p的范围为.答案:【⼀题多解】(直接法)依题意有f(-1)>0或f(1)>0,即2p2-p-1<0或2p2+3p-9<0,得-答案:三、解答题(每⼩题10分,共20分)9.已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.【证明】要证明2a3-b3≥2ab2-a2b成⽴,只需证:2a3-b3-2ab2+a2b≥0,即2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0,即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0.因为a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,从⽽(a+b)(a-b)(2a+b)≥0成⽴,所以2a3-b3≥2ab2-a2b.10.已知四棱锥S-ABCD中,底⾯是边长为1的正⽅形,⼜SB=SD=,SA=1.(1)求证:SA⊥平⾯ABCD.(2)在棱SC上是否存在异于S,C的点F,使得BF∥平⾯SAD?若存在,确定F点的位置;若不存在,请说明理由. 【解析】 (1)由已知得SA2+AD2=SD2,所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.⼜AB∩AD=A,所以SA⊥平⾯ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S,C的点F,使得BF∥平⾯SAD.因为BC∥AD,BC?平⾯SAD.所以BC∥平⾯SAD.⽽BC∩BF=B,所以平⾯FBC∥平⾯SAD.这与平⾯SBC和平⾯SAD有公共点S⽭盾,所以假设不成⽴.所以不存在这样的点F,使得BF∥平⾯SAD.1.(5分)设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+ ( )A.都⼤于2B.都⼩于2C.⾄少有⼀个不⼤于2D.⾄少有⼀个不⼩于2【解析】选D.因为a>0,b>0,c>0,所以++=++≥6,当且仅当a=b=c时,等号成⽴,故三者不能都⼩于2,即⾄少有⼀个不⼩于2.2.(5分)(xx·洛阳模拟) 设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值( )A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.⽆法确定正负【解析】选A.由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)【变式备选】设函数f(x)的导函数为f ′(x),对任意x∈R都有f ′(x)>f(x)成⽴,则( )A.3f(ln 2)>2f(ln 3)B.3f(ln 2)<2f(ln 3)C.3f(ln 2)=2f(ln 3)D.3f(ln 2)与2f(ln 3)的⼤⼩不确定【解析】选B.令F(x)=(x>0),则F′(x)=,因为x>0,所以ln x∈R,因为对任意x∈R都有f ′(x)>f(x),所以f′(ln x)>f(ln x),所以F′(x)>0,所以F(x)为增函数,因为3>2>0,所以F(3)>f(2),即>,所以3f(ln2)<2f(ln 3).3.(5分)(xx·合肥模拟)某同学准备⽤反证法证明如下⼀个问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x2∈[0,1],当|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|时,求证:|f(x1)-f(x2)|<.那么他的反设应该是________.【解析】根据反证法,写出相反的结论是:存在x1,x2∈[0,1],当|f(x1)-f(x2)| <|x1-x2|时,则|f(x1)-f(x2)|≥.答案:存在x1,x2∈[0,1],当|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|时,则|f(x1)-f(x2)|≥4.(12分)已知⾮零向量a,b,且a⊥b,求证:≤.【证明】因为a⊥b?a·b=0,要证≤.只需证|a|+|b|≤|a+b|,只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a·b+b2),只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2,只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,即(|a|-|b|)2≥0,上式显然成⽴,故原不等式得证.5.(13分)已知函数f(x)=a x+(a>1).(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)⽤反证法证明⽅程f(x)=0没有负数根. 【证明】 (1)任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x10.因为a>1,所以>1且>0,所以-=(-1)>0.⼜因为x1+1>0,x2+1>0,所以-==>0.于是f(x2)-f(x1)=-+->0, 故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)假设存在x0<0(x0≠-1)满⾜f(x0)=0,则=-.因为a>1,所以0<<1,所以0<-<1,即。
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课时分层训练(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
A 组 基础达标
一、选择题
1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )
A ．x －y ＋1＝0
B ．x －y －1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋y ＋1＝0
D [直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.] 2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )
A ．a ＋b ＝1
B ．a －b ＝1
C ．a ＋b ＝0
D ．a －b ＝0
D [由sin α＋cos α＝0，得sin α
cos α＝－1，即tan α＝－1.
又因为tan α＝－a b ，所以－a b
＝－1，则a ＝b .]
3．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13
B ．－3 C.13
D ．3
A [结合图形(图略)可知选A.]
4．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝5
5
，则l 的斜率为( )
【导学号：79140264】
A ．－12
B ．－1
2或－2
C.1
2
或2 D ．－2
D [∵sin θ＋cos θ＝
55
① ∴(sin θ＋cos θ)2
＝1＋sin 2θ＝15
，
∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2
＝95，
易知sin θ＞0，cos θ＜0，
∴sin θ－cos θ＝35
5，②
由①②解得⎩⎪⎨
⎪⎧
sin θ＝25
5
，cos θ＝－5
5
，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.]
5．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C ．[－2,0)∪(0,2]
D ．(－∞，＋∞)
C [令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14
b 2
，
所以14b 2≤1，所以b 2
≤4，又由题意知b ≠0，所以b ∈[－2,0)∪(0,2]．]
二、填空题
6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．
－2
3 [设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)， ∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2， ∴P (－2,1)， ∴k ＝1＋1－2－1＝－23
.]
7．已知直线l 过圆x 2
＋(y －3)2
＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________．
x －y ＋3＝0 [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0
垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.] 8．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________.
【导学号：79140265】
(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ [设直线l 的斜率为k ，则k ≠0，直线方程为y －2＝k (x －1)，
在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞1
2.]
三、解答题
9．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：
(1)BC 边所在直线的方程；
(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．
[解] (1)直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得直线BC 的方程为y －1
3－1
＝
x －2
－2－2
，即x ＋2y －4＝0. (2)设BC 边的中点D 的坐标为(m ，n )， 则m ＝2－22＝0，n ＝1＋32
＝2.
BC 边的中线AD 所在直线过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为
x
－3
＋y
2
＝1，即2x －3y ＋6＝0.
(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－1
2，
则BC 边的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)． 由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0) 即2x －y ＋2＝0.
10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．
(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.
【导学号：79140266】
[解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.
当直线不过原点时，截距存在且均不为0， ∴
a －2
a ＋1
＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.
因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
－(a ＋1)＝0，
a －2≤0，∴a ≤－1.
综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.
B 组 能力提升
11．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y
＋1＝0，则直线PB 的方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．x ＋y －5＝0 C ．2y －x －4＝0
D ．2x －y －1＝0
B [由条件得点A 的坐标为(－1,0)，点P 的坐标为(2,3)，因为|PA |＝|PB |，根据对称性可知，点B 的坐标为(5,0)，从而直线PB 的方程为
y －3－3
＝
x －2
5－2
，整理得x ＋y －5＝0.] 12．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.
【导学号：79140267】
3 [直线AB 的方程为x 3＋y
4
＝1.
∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－3
4y ，
∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2
＋4y )
＝
3
4
[]－(y －2)2＋4≤3， 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2时，xy 取最大值3.] 13．(2017·四川德阳中学期中)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．
(1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程．
[解] (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋2＝0，
1－y ＝0，解得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，
y ＝1，
∴无论k 取何值，直线l 必经过定点(－2,1)． (2)直线方程可化为y ＝kx ＋1＋2k ，当k ≠0时，
要使直线不经过第四象限，则必有⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＞0，1＋2k ≥0，
解得k ＞0；
当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意． 综上，k 的取值范围是k ≥0.
(3)依题意得A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫－1＋2k k
，0，B (0,1＋2k )，
且⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，
解得k ＞0.
∴S ＝1
2·|OA |·|OB |
＝12·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k |
＝12·(1＋2k )2
k ＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4
≥1
2
×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是4k ＝1k ，此时k ＝1
2，∴S min ＝4，
此时l 的方程为x －2y ＋4＝0.。