2017年高考备考方法策略：专题篇函数 4轴对称、中心对称及周期性的关系 Word版含答案
2017版高考复习方案大二轮：专题篇函数 4轴对称、中心对称及周期性的关系 Word版含答案
轴对称、中心对称及周期性的关系定理1 (1)若函数()f x 的图象同时关于直线,()x a x b a b ==≠对称，则)(x f 是周期函数，且有一个周期是)(2a b -；(2)若函数()f x 的图象同时关于直线x a =，及点(,)()b c a b ≠对称，则)(x f 是周期函数，且有一个周期是)(4a b -；(3)若函数()f x 的图象同时关于点(,),(,)()a c b c a b ≠对称，则)(x f 是周期函数，且有一个周期是)(2a b -.证明 (1)可得()(2),()(2)f x f a x f x f b x =-=-，所以(2)(2)f a x f b x -=-，即(2())()f x b a f x +-=.又a b ≠，所以欲证成立.(2)可得()(2),()(2)2f x f a x f x f b x c =-+-=，所以(2)()22f a x f b c x --=+，即()(2())2f x f x b a c ++-=.由此还得(2())(4())2f x b a f x b a c +-++-=，所以(4())()f x b a f x +-=.又a b ≠，所以欲证成立.(3)可得()(2)2,()(2)2f x f a x c f x f b x c +-=+-=，所以(2)(2)f a x f b x -=-，即(2())()f x b a f x +-=.又a b ≠，所以欲证成立.注 可结合三角函数x y sin =或cos y x =的图象记忆定理1-7.定理2 (1)若有一个周期是)(2a b -的周期函数()f x 的图象关于直线x a =对称，则函数()f x 的图象关于直线x b =对称；(2)若有一个周期是)(2a b -的周期函数()f x 的图象关于点(,)a c 对称，则函数()f x 的图象关于点(,)b c 对称.证明 (1)可得(2())(),f x b a f x f x f a x +-==-，所以(2)(2())f a x f x b a -=+-，即()(2)f x f b x =-，也即欲证成立.(2)可得(2())()f x ba f x f x f a x +-=+-=，所以(2())f xb a f a x c+-+-=，即()(2)2f x f b x c +-=，也即欲证成立. 注 以下两个结论均不正确：(1)若有一个周期是4()b a -的周期函数()f x 的图象关于直线x a =对称，则存在常数c 使得函数()f x 的图象关于点(,)b c 对称；(2)若有一个周期是4()b a -的周期函数()f x 的图象关于点(,)b c 对称，则函数()f x 的图象关于直线x a =对称.反例1 周期函数()sin f x x =的最小正周期是π，且有对称轴(2k x k π=∈Z )，但该函数的图象不是中心对称图形.反例2 周期函数()tan f x x =的最小正周期是π，且有对称中心,0(2k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z )，但该函数的图象不是轴对称图形.。
高考数学复习专题函数的对称性与周期性
第5炼 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
高三数学专题复习 函数的对称性与周期性
高三数学专题复习 函数的对称性与周期性一 函数的对称性（一）函数图象的自对称所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身. 关于函数图象的自对称,有下列性质:1、奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称，反之亦然。
2、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象关于直线 对称。
3、三角函数x y sin =的图象关于直线 对称，它也有对称中心是 ； x y cos =的图象的对称轴是 ，对称中心是 。
4、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()x b f x a f -=+，则其图象关于直线 对称。
5、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()b x a f x a f =-++，则其图象关于点 对称。
6、曲线()x f y =关于直线a x =与b x =（a ＜b ）对称，则()x f y =是周期函数且周期为()a b -2（二）函数图象的互对称所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。
关于函数图象的互对称,有下列性质:1、互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称；反之， 。
2、函数()x f y =与函数()x f b y -=2的图象关于直线 对称。
3、函数()x a f y +=与函数()x b f y -=的图象关于直线 对称。
4、函数()x f y =与函数()x h f k y --=22的图象关于点 对称。
二 函数的周期性如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.一般情况下，如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k∈N ＋)也是f(x)的周期. 关于函数的周期性的结论：1、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()x f a x f -=+,则()x f y =是以 为周期的函数；2、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()x a f +=f(x )1,则()x f y =是以 为周期的函数；3、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()x a f +=-f(x )1-,则()x f y =是以 为周期的函数.4、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()b x f x a f =++，则()x f y =是以 为周期的函数5、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝f(x －m),则 是()x f y =的一个周期.6、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,则 是f(x)的一个周期.7、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.1． 证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m])(1)(1)(11)(1)(11)(1)(1x f x fx f x f x fm x f m x f -=+--+-+-=+++--= 于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x) 所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.8、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x), 求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b)证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x)＝f(b －(x －b)) ＝f(b ＋(x －b))＝f(x)∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期 当a ＜b 时同理可得所以，2|a －b|是f(x)的周期 例题应用 1、已知()1+x f 是偶函数，则函数()x f y 2=的图象的对称轴是（ ） A. 1-=x B. 1=x C . 21-=x D. 21=x 2、函数()()2122+-+=x a xx f 在区间()4,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A .3≥a B. 3-≤a C. 5≤a D. 3-=a 3、函数⎪⎭⎫⎝⎛+=252sin πx y 的图象的一条对称轴方程是（ ） A. 2π-=x B. 4π-=x C. 8π=x D. 45π=x4、如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1) 5、函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，则a 的值为（ ）A. 1B. 2-C. 2D. 1-6、如果直线3-=x 与2=x 均为曲线()x f y =的对称轴且()01=f 则()11f 的值为 。
【高考数学】函数的对称性与周期性的结论
专题 函数的对称性与周期性一 . 函数图象的对称性与对称中心1.对于一个函数图象的对称轴 （ 1） . 函数 yf ( x) 知足 f (a x)f (b x)函数 yf ( x) 的图象对于 x=ab对称。
2（ 2） . f (a x) f (a x)f ( x) f (2a-x)yf (x) 的图象的对称轴 xaf (- x)f (2a+x)（ 3）二次函数f ( x)=ax 2 bxc (a 0)的对称轴由公式x=- b2a 1.对于一个函数图象的对称中心（ 1） .函数 yf (x) 知足 f ( a x)- f (b x)函数 yf ( x) 的图象对于点 （ab，0）对称。
2a b c （ 2） .函数 yf (x) 知足 f ( a x)- f (b x)+2 c 函数 yf ( x) 的图象对于点 （ 2，） 对称。
2（ 3） . f ( a x) - f ( a x)f (x) - f (2a-x)y f (x) 的图象的对称中心 ( a,0)f (- x) - f (2a+x)y f (x a) 为奇函数y f ( x) 的图象的对称中心 (a,0) 。
（ 4）简单分式函数f ( x)= axb (c 0, ax b 0 )，由变量分别法得对称中心 (-d , a ) 。
cx dc c二 . 函数的周期性1.周期函数的定义和简单性质（ 1）对于函数yf ( x) ，若存在一个常数 T 0,使适当 x 取遍其定义域内的全部直时，都有f ( x)=f ( x T ) ,则 yf ( x) 叫做以 T 为周期的周期函数。
（ 2）周期函数的定义域是无界的。
（ 3）若 T ( T0)是函数 y f ( x) 的周期，则 nT (n Z , n 0) 都是 y f ( x) 的周期；（ 4）周期函数yf ( x) 的周期有无数多个，若这些周期中存在最小正当T ，则 T 叫做函数 y f (x) 的最小正周期。
高考数学专题复习 函数的周期性、对称性(原卷版)
第四讲函数的周期性与对称性【套路秘籍】一．对称性（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。
2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。
(完整版)函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性吴江市盛泽中学数学组 徐建东对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。
周期性：设函数)(x f 的定义域是D ，若存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期。
对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。
一、一个函数关于两个点对称。
命题1：如果函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(a b ≠对称，那么函数)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
证明：∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称，∴)2()(x a f x f --=对定义域内的所有x 成立。
又∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(b 对称，∴)2()(x b f x f --=对定义域内的所有x 成立。
从而)2()2(x b f x a f -=-∴)()]2(2[)]2(2[x f x b b f x b a f =--=-- 即：)()])22[(x f x b a f =+- ∴)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
特例：当0=a 时，)(x f y =为奇函数，即奇函数)(x f y =如果又关于点)0,(b )0(≠b 对称，那么函数)(x f y =是周期函数，b T 2=为函数)(x f y =的一个周期。
命题1'：如果函数)(x f y =的图象关于两点),(b a 和),(d c 对称，那么： 当d b =，c a ≠时，)(x f y =是周期函数，)(2c a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
当d b ≠，c a ≠时，)(x f y =不是周期函数。
数学 - 函数的对称性与周期性
数学 - 函数的对称性与周期性函数是数学中的一个重要概念。
通过研究函数的对称性与周期性，我们能够更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将介绍函数的对称性和周期性的定义，并讨论一些常见的例子和性质。
函数的对称性在数学中，函数的对称性指的是函数图像关于某一条直线、某个点或者坐标轴对称。
常见的对称性包括：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
关于x轴对称一个函数关于x轴对称，意味着函数图像可以在x轴上对称折叠，一半与另一半完全重合。
这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如，函数 f(x) = x^2 就是关于x轴对称的。
对于任意的x值，f(x) = f(-x)。
函数图像可以在x轴上折叠，左右两部分完全重合。
关于y轴对称一个函数关于y轴对称，意味着函数图像可以在y轴上对称折叠，一半与另一半完全重合。
这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如，函数f(x) = sin(x) 就是关于y轴对称的。
对于任意的x值，f(x) = f(-x)。
函数图像可以在y轴上折叠，左右两部分完全重合。
关于原点对称一个函数关于原点对称，意味着函数图像可以在原点上对称折叠，一半与另一半完全重合。
这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如，函数 f(x) = x^3 就是关于原点对称的。
对于任意的x值，f(x) = -f(-x)。
函数图像可以在原点上折叠，左右两部分完全重合。
函数的周期性在数学中，函数的周期性是指函数在一定的水平间隔上重复。
函数图像上的一个完整周期，被定义为函数的最小正周期。
函数的周期性可以帮助我们理解函数的重复性和规律性。
正周期一个函数如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有： f(x+T) = f(x)即函数在水平方向上以T为周期。
这里的T被称为函数的正周期。
例如，函数 f(x) = sin(x) 具有正周期2π。
对于任意的x，有sin(x+2π) = sin(x)。
函数对称性与周期性关系
函数对称性与周期性关系【知识梳理】一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
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轴对称、中心对称及周期性的关系
定理1 (1)若函数()f x 的图象同时关于直线,()x a x b a b ==≠对称，则)(x f 是周期函数，且有一个周期是)(2a b -；
(2)若函数()f x 的图象同时关于直线x a =，及点(,)()b c a b ≠对称，则)(x f 是周期函数，且有一个周期是)(4a b -；
(3)若函数()f x 的图象同时关于点(,),(,)()a c b c a b ≠对称，则)(x f 是周期函数，且有一个周期是)(2a b -.
证明 (1)可得()(2),()(2)f x f a x f x f b x =-=-，所以(2)(2)f a x f b x -=-，即(2())()f x b a f x +-=.又a b ≠，所以欲证成立.
(2)可得()(2),()(2)2f x f a x f x f b x c =-+-=，所以(2)()22f a x f b c x --=+，即()(2())2f x f x b a c ++-=.
由此还得(2())(4())2f x b a f x b a c +-++-=，所以(4())()f x b a f x +-=.又a b ≠，所以欲证成立.
(3)可得()(2)2,()(2)2f x f a x c f x f b x c +-=+-=，所以(2)(2)f a x f b x -=-，即(2())()f x b a f x +-=.又a b ≠，所以欲证成立.
注 可结合三角函数x y sin =或cos y x =的图象记忆定理1-7.
定理2 (1)若有一个周期是)(2a b -的周期函数()f x 的图象关于直线x a =对称，则函数()f x 的图象关于直线x b =对称；
(2)若有一个周期是)(2a b -的周期函数()f x 的图象关于点(,)a c 对称，则函数()f x 的图象关于点(,)b c 对称.
证明 (1)可得(2())(),f x b a f x f x f a x +-==-，所以(2)(2())f a x f x b a -=+-，即()(2)f x f b x =-，也即欲证成立.
(2)可得(2())()f x b
a f x f x f a x +-=+-=，所以(2())f x
b a f a x c
+-+-=，即()(2)2f x f b x c +-=，也即欲证成立. 注 以下两个结论均不正确：
(1)若有一个周期是4()b a -的周期函数()f x 的图象关于直线x a =对称，则存在常数c 使得函数()f x 的图象关于点(,)b c 对称；
(2)若有一个周期是4()b a -的周期函数()f x 的图象关于点(,)b c 对称，则函数()f x 的图象关于直线x a =对称.
反例1 周期函数()sin f x x =的最小正周期是π，且有对称轴(2k x k π=
∈Z )，但该函数的图象不是中心对称图形.
反例2 周期函数()tan f x x =的最小正周期是π，且有对称中心,0(2k k π⎛⎫∈
⎪⎝⎭Z )，但该函数的图象不是轴对称图形.。