现代数字信号处理题库

《现代数字信号处理》试题

一、计算题

（1）已知曲线 ()()(),()C p x p y p =的曲率可表达为

()

3

222

p pp pp p

p

p x y x y x

y κ-=

+

a. 求椭圆 ()(cos ,sin )C a b θθθ=当0θ=和

2

π

时的曲率。 答案：223/222223/2

2222223/222

sin ;cos ;()(sin cos )cos ;sin ;sin cos /(sin cos );0/;/2/x a y b x y a b x a y b x y x y ab ab ab

ab a b a b b a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθκθθθκθπκ=-=+=+=-=--=+==+=⇒==⇒=

b. 试求抛物线2

y ax =，当0x =时的曲率。

答案：2223/2

223/2

223/2

223/2()(,);1;2;()(14)0;2;

()/()2/(14);02x x x x xx xx x xx xx x x x C x x ax x y ax x y a x x y a x y x y x y a a x x a

κκ===+=+==⇒=-+=+=⇒=

c ．试求椭圆

2222

1x y a b += 在(0,)b 和(,0)a -两点的曲率各为多少？ d.已知三次曲线32

211,432y ax bx cx d b ac =

+++>式中，

求在y 取局部极值时的曲率。 答案： 由

2

1,

0;

,

2;

x xx x xx x x y ax bx c y ax b ===++=+

再由2

1,20x y ax bx c x =++=⇒=代入公式，得

(

)

1,23

22

2

x xx xx x

x

x

x y x y x

y κ-=

=+（2）

a. 若一数字图像的灰度直方图如下图所示，试画出其累积直方图。

b ．若一连续图像的面积函数如下图所示，试画出其直方图。

(3)

a.假设有一连续图像的灰度可表达为

2

2

002

2()()(,)exp([

])x y

x x y y I x y σσ--=-+

写出灰度值为0.5的水平集的数学表达式，并画出此水平集的草图。 b. 若一图象的灰度值可表达为

(,)I x y =式中00,,x y a 为常数(0)a >。求此图像的梯度模值。

二、问答题

(1)

a. 什么叫做迎风差分格式？试就二维演化问题

00,(,,0)(,)u

u u x y u x y t

β∂+∇==∂ 写出利用迎风差分格式求解的显式数值方案。 b. 什么是测地线活动轮廓（GAC ）模型？试写出这一模型应用于单值图像的分割问题的显式方案的主要步骤？ (2)

a. 什么是灰度图像的方向扩散？它与灰度图像的中值滤波有什么关系？

b. 什么是灰度图像的“自蛇”模型？它与灰度图像的方向扩散有什么关系？ (3)

a 、什么是非线性扩散的P_M 方程和正则化的P_M 方程？试写出求解P_M 方程的显式数值方案和半隐式数值方案的表达式。

b 、什么是张量扩散方程？试说明利用张量扩散进行灰度图象相干性增强得主要步骤。 (4)

a. 简要说明将测地线活动轮廓（GAC ）模型推广到矢量图像的基本思路。它的PDE 是怎样的？

b. 矢量图像的方向扩散的PDE 是怎样定义的？为什么说它是一组耦合的PDE ？

（5）

a. 什么是灰度图象的水平集分解和重构？它们在图象处理中有何意义？

b. 灰度图象的水平集是如何定义的？它的基本性质是什么？

三 推导证明题

（1）

a. 对于矢量图像

(1)(2)()(,,...,)m I I I I =

试推导矩阵

()

()

()()

2()()()1

111122

()()

()12

22

1

1

m

m

i i i x

x y

i i m

m i i i y y

y

i i I I

I

j j J j j I

I

I =====

=

∑∑∑∑

的本征值1λ、2λ和对应的本征矢1ν

、2ν

的数学表达式并说明它们的物理意义。 b. 灰度图像(,)I x y 的散布矩阵的定义为

2

11122

1222

(

)*(

)*()*()*I I I G G j j x y

x

J I I

j j I G G x y

y

σσ

σρ

ρρσσσρρ∂∂∂∂∂∂=

=∂∂∂∂∂∂

试推导它的本征值1λ、2λ和对应的本征矢1ν 、2ν

的数学表达式并说明它们的物理意义。 (2)

a. 试推导对应于()E u u dxdy Ω

=

∇⎰⎰

的Euler 方程。

答案：2222

22322

2||()/||||()||||||||();

||||

()()()0||||||

x y

x x y x x x x x y

y y y x u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u d d u div dx u dy u u +∇-+∇∇∂===∂∇∇∇∇+∂=∂∇∇∇+==∇∇∇

b.试推导对应于2

1()(1)2

E u u dxdy Ω=

∇-⎰⎰的梯度下降流。 答案：

2111

(1)(1)(1);(1);21()()((1))()()x x y x x y x y u F F u u u u u u u u u u d F d F u div u u div dx u dy u u u

u u

u div t u

∂∂∂=∇-=∇-=-=-∂∂∇∇∂∇∂∂∇+=-∇=∆-∂∂∇∇∂∇⇒

=∆-∂∇

(3)

a. 证明矩阵

22x x y x y

y

I I I J I I I

=

具有唯一非零本征值2

I ∇，它对应的本征矢为I I ∇∇。

答案：

22

2

||0

()||(

)||||00x

x y

T

T

x y

y

I I I I I I I I I I I I I ∇∇∇=∇∇=∇∇

b. 若已知张量扩散矩阵

a b D b c

=

的本征值为1λ和2λ及其对应的本征矢1(cos ,sin );νθθ= 2

(sin ,cos )νθθ=-

，

推导a,b,c 的表达式

答案：

2211122212

222212122212cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin ()sin cos sin cos T T

D v v v v a b c θθθθθθμμμμθ

θ

θθ

θθ

μθμθμμθθμθμθ

-=+=+-⇒

=+=-=+

(4)

a. 已知用于图像非线性滤波的“自蛇”模型为

()

I

I

I div g I t I

⎛⎫∂∇=∇∇ ⎪ ⎪∂∇⎝

⎭

试证明它可表示为两种滤波器--非线性扩散和冲击滤波--的组合。

答案: ()()();||;diff shock diff shock I I I

I div g I g I div g I t I I I F F F g I F g I t

κ⎛⎫∂∇∇=∇∇=∇+∇∙∇ ⎪ ⎪∂∇∇⎝⎭∂⇒=+=∇=∇∙∇∂ b. 证明曲线C 的Euclidean 不变流22C C

t s

∂∂=∂∂等价于曲线的平均曲率运动（MCM ）。 答案: 22()C C C

T N N s s s s t

κκ∂∂∂∂∂=

==⇒=∂∂∂∂∂ （5）推导正则化P-M 方程

(())I

div g I I t

σ∂=∇∇∂ 的半隐式方案的表达式（要求写明离散化过程）。再将它改写成矢量——矩阵表达式（要求说明式中说使用的各符号的含义。 （6）若平面曲线C 按如下方程式演化

C V T N t

αβ∂==+∂

式中,T N

分别表示C 的切矢量和法矢量，试证明，就C 的几何形状的变化而言，它与方程

式

C

N t

β∂=∂ 是等价的。

a. 写出二维Laplace 算子的中心差分离散化格式。

b. 写出散度算子()u

div u

∇∇的“半点”离散化格式。