2018年江苏省高考数学试卷(含解析版)

2018年江苏省高考数学试卷(含解析版)

2018年江苏省高考数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请将答案填写在答题卡相应位置上。

1.（5分）已知集合A={1.

2.8}，B={-1.1.6.8}，则

A∩B={1.8}。

2.（5分）若复数z满足i•z=1+2i（其中i是虚数单位），

则z的实部为-2.

3.（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图

如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为74.4.

4.（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最

后输出的S的值为20.

5.（5分）函数f(x)=√(3-x)的定义域为(-∞。3]。

6.（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任

选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为3/10.

7.（5分）已知函数y=sin(2x+φ)（-π/4≤x≤π/4），则φ的

值为π/6.

8.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x²/a²-

y²/b²=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离

为1，则其离心率的值为c/a。

9.（5分）函数f(x)满足f(x+4)=f(x)（x∈R），且在区间（-2，2]上，f(x)=|x|，则f(f(15))的值为1.

10.（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的

中心为顶点的多面体的体积为8.

11.（5分）若函数f(x)=2x³-ax²+1（a∈R）在（-∞，+∞）

内有且只有一个零点，则f(x)在[-1，1]上的最大值与最小值的

和为4.

12.（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x

上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直

线l交于另一点D。若D的横坐标为4/3，则C的坐标为(7/3，14/3)。

13.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且

BD=1，则4a+c的最小值为3.

14.（5分）已知集合A={x|x=2n-1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}。将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数

列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞12an+1成

立的n的最小值为4.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡

指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（14分）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，

AA1=AB，AB1⊥B1C1.证明：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABCD与平面A1B1C1互相垂直。

1）连接AC1，B1C1，A1C1，A1B1.因为AA1=AB，且

AB1⊥B1C1，所以△AA1B与△B1C1A1相似，进而有

AA1/B1C1=AB/A1C1，即AA1∥A1C1.又因为AA1与AB在

平行面ABCD和A1B1C1上，所以AB∥平面A1B1C。

2）设平面ABCD的法向量为n1，平面A1B1C1的法向量为n2.则n1=(B-A)×(C-A)，n2=(B1-A1)×(C1-A1)。因为AB∥

平面A1B1C，所以n1∥AB。又因为AB∥B1C1，所以

n2⊥B1C1.因此，n1与n2互相垂直，即平面ABCD与平面

A1B1C1互相垂直。

17.某农场有一块农田，边界由圆O的一段圆弧和线段MN构成。已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米。现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B 均在线段MN上，C，D均在圆弧上。设OC与XXX所成的角为θ。

1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定

sinθ的取值范围；

2)若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大。

某农场的农田边界由圆O的一段圆弧和线段MN组成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米。现规划在此农田上修建两个温室大棚，要求大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，且A、B在线段MN上，C、D在圆弧上，设OC与XXX所成的角为θ。

1)设矩形ABCD的面积为S1，△CDP的面积为S2，则

S1=2AC*BM，S2=1/2*CD*DP*sinθ。由于AC=BM=OP=40，

DP=50，CD=2*40*sin(θ/2)=80sin(θ/2)，所以S1=3200sin(θ/2)，S2=1000sin(θ/2)。因此，sinθ的取值范围为0

2)设大棚Ⅰ内种植的甲种蔬菜单位面积年产值为4x，大

棚Ⅱ内种植的乙种蔬菜单位面积年产值为3x。则大棚Ⅰ的年

产值为4xS1，大棚Ⅱ的年产值为3xS2.总的年产值为

4xS1+3xS2=4x*3200sin(θ/2)+3x*1000sin(θ/2)=xsin(θ/2)。因此，年总产值最大时，sinθ/2应该取最大值，即sinθ/2=2/3.所以，

θ=2arcsin(2/3)。

故函数f(x)的定义域为[2，+∞)．

点评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．

1.已知集合A={1.

2.8}，B={-1.1.6.8}，求A与B的交集。

解：由A={1.2.8}，B={-1.1.6.8}，得A∩B={1.8}，故答案为{1.8}。

2.若复数z满足i·z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2.

解：由i·z=1+2i，得z=（1+2i）/i=-2+1i，故z的实部为2.

3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，求这5位裁判打出的分数的平均数。

解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为（89+89+90+91+91）

/5=90，故答案为90.

4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的

S的值为8.

解：模拟程序的运行过程，得到I=1，S=1，I=3，S=2，

I=5，S=4，I=7，S=8，此时不满足循环条件，则输出S=8，故答案为8.

5.函数f(x)=log2(x-1)的定义域为[2，+∞)。

解：解关于对数函数的不等式log2(x-1)存在，得x-1>0，

即x>1，又因为x≥2，故函数f(x)的定义域为[2，+∞)。

函数f(x)的定义域为[2.+∞)，因此答案为[2.+∞)。

本题考查的是对数函数的性质，求函数的定义域问题，是一道基础题。

某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生

去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为0.3.

考点为古典概型及其概率计算公式。从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C5^2=10种，其中全

是女生的有C3^2=3种。根据概率公式计算即可。

已知函数y=sin(2x+φ)(-π<φ<π)的图象关于直线x=π/2对称。

考点为正弦函数的奇偶性和对称性。根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可，得到φ=-π/2.

在平面直角坐标系xOy中，若双曲线12(x^2/a^2-

y^2/b^2)=1(a>0.b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2.

考点为双曲线的性质。根据双曲线的定义和性质，利用右焦点到渐近线的距离公式和离心率的定义式，解方程得到离心率为2.

专题】6：函数的极值与最值；35：转化思想；51：函数的性质及应用．

分析】根据题意，可以推出函数在（，+∞）内的导函数有两个零点，根据导数的性质，可以求出函数的拐点，从而求出函数在[﹣1，1]上的最大值与最小值，进而求出它们的和．【解答】解：由题意可得，函数f（x）在（，+∞）内有且只有一个零点，即f（x）在（，+∞）内单调递减或单调递增．

又因为f（x）是一个三次函数，所以f’（x）是一个二次函数，且有两个零点．

因此，f’（x）在（，+∞）内有一个极小值点和一个极大值点，分别为：

x1=

a+3

6

x2=

a﹣3

6

由于f（x）在（，+∞）内单调递减或单调递增，所以f’（x）的零点必须在（，x1）或（x1，x2）或（x2，+∞）中的

一个区间内．

又因为f（x）在[﹣1，1]上有最大值和最小值，所以f’（x）在[﹣1，1]上有一个零点．

综上所述，f’（x）在（，x1）和（x2，+∞）中的一个区

间内有一个零点，且f’（x）在[﹣1，1]上有一个零点．因此，f（x）在（，x1）和（x2，+∞）中的一个区间内

单调递减或单调递增，且在[﹣1，1]上有一个极值点．设f（x）在（，x1）和（x2，+∞）中的一个区间内单调

递减，且在[﹣1，1]上有一个极大值点x0．

则有f’（x0）=0，且f’（x）在（，x0）和（x0，+∞）中

的一个区间内单调递增．

又因为f（x）在（，+∞）内单调递减或单调递增，所以f’（x）在（，x1）和（x2，+∞）中的一个区间内单调递减或单

调递增．

因此，f’（x）在（，x1）和（x0）中的一个区间内单调

递减，且在（x0，x2）和（x2，+∞）中的一个区间内单调递增．

由此可得，f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别为：

f（1）=2﹣a。

f（﹣1）=2a+2。

所以它们的和为：

f（1）+f（﹣1）=4．

故答案为4．

点评】本题考查函数的极值和最值，需要运用导数的概念和性质，以及转化思想，需要较高的计算能力和分析能力．

解答：设A（a，2a），a＞0.由题意可知，直线l：y=2x 在第一象限内，所以点A也在第一象限内。因此，a＞0.将B 的坐标代入圆C的方程，得到C的坐标为C（5，a）。根据圆的性质，以AB为直径的圆C的中心点坐标为

$\frac{A+B}{2}$，即

$\left(\frac{5+a}{2},\frac{2a}{2}\right)=(\frac{5+a}{2},a)$。因此，圆C的方程为$(x-\frac{5+a}{2})^2+(y-

a)^2=\frac{a^2}{2}$。将直线l的方程代入圆C的方程，得到$(x-\frac{5+a}{2})^2+(2x-a)^2=\frac{a^2}{2}$，化简得到$x^2-5x+\frac{a^2}{2}=0$。由于D点在圆C上，所以D点的坐标满足圆C的方程，即$(x-\frac{5+a}{2})^2+(y-

a)^2=\frac{a^2}{2}$。将直线l的方程代入圆C的方程，得到

$(x-\frac{5+a}{2})^2+(2x-a)^2=\frac{a^2}{2}$，展开化简得到$5x^2-20ax+16a^2-8a=0$。因此，D点的横坐标为3，代入上式解得$a=2$。所以点A的坐标为A（2，4）。

点评：本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算。需要注意的是，题目中给出的直线l在第一象限内，所以点A也在第一象限内。同时，需要熟练掌握圆的方程和圆的性质，以及直线和圆的交点的求解方法。

解得：a=3或a=-1.

因为a>0，所以a=3.

即点A的横坐标为3.

故答案为：3.

点评】本题考查平面向量的数量积运算，以及圆的方程的求法，是中档题。

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9.

解得点D的坐标为(1,2)。

根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可。

解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°。

即ac=a+c。

得a/c+c/a=1。

得4a+c=(4a+c)(a/c+c/a)≥(2+2)2=8。

当且仅当a/c=c/a时，取等号。

即c=2a时，取等号。

故答案为：9.

点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键。

已知集合A={x|x=2n-1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}。将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an+1成立的n的最小值为27.

采用列举法，验证n=26，n=27即可。

解：利用列举法可得：当n=26时，A∪B中的所有元素

从小到大依次排列，构成一个数列{an}。

所以数列{an}的前26项分成两组：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41；

2，4，8，16，32.

Sn=546，an+1=45，⇒12an+1=540，不符合题意。当n=27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，所以数列{an}的前27项分成两组：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…41，43；

2，4，8，16，32.

Sn=546，an+1=45，⇒12an+1=540，符合题意，故答案为：27.

点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题。

15．（14分）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，

AA1=AB，AB1⊥B1C1.求证：（1）AB∥平面A1B1C1；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC。

考点】平面与平面垂直。

专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系

与距离。

分析】（1）根据平行六面体的性质，可得AB∥A1B1，

而A1B1⊥平面A1B1C1，因此AB∥平面A1B1C1；（2）根

据菱形的性质，可得四边形ABB1A1是菱形，且AB1⊥A1B，又因为AB1⊥B1C1，所以AB1⊥BC，即AB1⊥平面A1BC，因此平面ABB1A1⊥平面A1BC。

解答】证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂∥平面

A1B1C1，因此AB∥平面A1B1C1；（2）在平行六面体

ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，因此四边形ABB1A1是菱形，且AB1⊥A1B。又因为AB1⊥B1C1，所以AB1⊥BC，即AB1⊥平面A1BC。因此平面ABB1A1⊥平面A1BC。

点评】本题考查了平行六面体的性质，以及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题。

16．（14分）已知α，β为锐角，tanα=1/3，cos（α+β）

=-1/2.求：（1）cos2α的值；（2）tan（α-β）的值。

考点】三角函数的恒等变换及化简求值。

专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值。

分析】（1）根据tanα的值求得sinα，cosα的值，再利用cos2α=2cos²α-1求得cos2α的值；（2）根据cos（α+β）的值

求得sin（α+β）的值，再利用tan²(α-β)=(tanα-

tanβ)²/(1+tanαtanβ)求得XXX(α-β)的值。

解答】解：（1）由tanα=1/3得，sinα=1/√10，cosα=3/√10.因此cos2α=2cos²α-1=-23/50；

2）由cos（α+β）=-1/2得，sin（α+β）=-√3/2.因此tan²(α-β)=(tanα-tanβ)²/(1+tanαtanβ)=(1/3-tanβ)²/(1/3tanβ+1)。又因为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)，所以tan(α-β)=sin(α-β)/cos(α-β)=-sinαsin(α-β)/(cosαcos(α-β)-sinαsin(α-β))=-√3/7.

点评】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题。

则tan(α+β)= (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)；

则tan2α= (2tanα)/(1-tan^2α)；

α+β∈(π/4，π/2)，tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan(α-β)= (tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)。

点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题。

17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界

由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成。已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米。现规划

在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上。设OC与XXX所成的角为θ。

1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定

sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内

种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大。

考点】函数单调性的性质与判断。

专题】应用题；函数思想；构造法；解三角形。

分析】（1）根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积，求出sinθ的取值范围；（2）根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数f(θ)，利用导数求f(θ)的最大值，即可得出θ为

何值时年总产值最大。

解答】

解：（1）S矩形

ABCD=(40sinθ+10)×80cosθ=800(4sinθcosθ+cosθ)，

S△CDP=1/2×80cosθ×(40-40sinθ)=1600(cosθ-cosθsinθ)。当B、

N重合时，θ最小，此时sinθ=0；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，∴sinθ的取值范围是[0，1)。

2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t(t>0)，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则

y=3200t(4sinθcosθ+cosθ)+4800t(cosθ-

cosθsinθ)=8000t(sinθcosθ+cosθ)，其中sinθ∈[0，1)。设

f(θ)=sinθcosθ+cosθ，则f'(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-2sin2θ-sinθ+1.令f'(θ)=0，解得sinθ=1/2，此时θ=π/6，cosθ=√3/2.当sinθ∈[0，

1/2)时，f'(θ)>0，f(θ)单调递增；当sinθ∈(1/2，1)时，f'(θ)<0，

f(θ)单调递减。因此，当θ=π/6时，年总产值最大。

1.在θ=时，函数f(θ)取得最大值，即总产值y最大。

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为

(x/2)²+y²=1，圆O的方程为x²+y²=3.

3.设直线l的方程为y=kx+m，其中k0.

4.由圆心(0,0)到直线l的距离等于圆半径√3，可得

|mk/√(k²+1)-m/√3|=1/√3.

5.解得m²=4k²+1，代入椭圆方程可得(x/2)²+[(mk/√(k²+1)-m/√3)/√(k²+1)]²=1.

6.求出椭圆C与直线l的交点A、B的坐标为(2/√5.1/√5)和(-2/√5.-1/√5)。

7.设直线AB的方程为y=kx，由点A、B的坐标可得k=-1/2.

8.直线l的方程为y=-x/2+3.

2、已知椭圆E：$\frac{x^2}{4}+y^2=1$，直线l：$2x-y+4=0$，点O(0,0)，点A是l上到O的距离为3的点，点B 是E上到A最近的点，求$\triangle OAB$的面积。

解：首先求出点A的坐标，设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，则$l$的方程可化为$y=2x+4$，代入距离公式

$d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$，得到$|2x_1-

y_1+4|=3$，解得$x_1=-\frac{1}{2},y_1=2$。

接着求出点B的坐标，设点B的坐标为$(x_2,y_2)$，则

点B到直线$l$的距离为$3$，即$\frac{|2x_2-

y_2+4|}{\sqrt{5}}=3$，解得$x_2=-

\frac{7}{10},y_2=\frac{6}{5}$。

最后求出$\triangle OAB$的面积，$|AB|$为椭圆上两点距离，即$|AB|=\sqrt{(x_2-\frac{1}{2})^2+(y_2-2)^2}$，$d$为点$O$到直线$l$的距离，即$d=\frac{|2\times0-

1\times0+4|}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，因此$\triangle

OAB$的面积为$\frac{1}{2}|AB|\times d=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。

3、记$f'(x)$，$g'(x)$分别为函数$f(x)$，$g(x)$的导函数。若存在$x\in R$，满足$f(x)=g(x)$且$f'(x)=g'(x)$，则称$x$为函

数$f(x)$与$g(x)$的一个“S点”。

1）证明：函数$f(x)=x$与$g(x)=x^2+2x-2$不存在“S点”；

2）若函数$f(x)=ax^2-1$与$g(x)=\ln x$存在“S点”，求实数$a$的值；

3）已知函数$f(x)=-x^2+a$，$g(x)=\sqrt{a+x}$。对任意$a>0$，判断是否存在$b>0$，使函数$f(x)$与$g(x)$在区间$(0,+\infty)$内存在“S点”，并说明理由。

解：（1）根据“S点”的定义解两个方程$f(x)=g(x)$和

$f'(x)=g'(x)$，即$x=x^2+2x-2$和$1=2x+2$，解得$x=1$，$x=-

3$，但$f(1)\neq g(1)$，$f(-3)\neq g(-3)$，因此不存在“S点”。

2）根据“S点”的定义解两个方程$f(x)=g(x)$和$f'(x)=g'(x)$，即$ax^2-1=\ln x$和$2ax=\frac{1}{x}$，解得

$x=\frac{1}{\sqrt{a}}$，代入第一个方程得$a=e$。

3）求出$f'(x)=-2x$，$g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{a+x}}$，解得$x=-\frac{a}{4}$，代入$f(x)$和$g(x)$得$f(-\frac{a}{4})=-

\frac{a^2}{16}+a$，$g(-\frac{a}{4})=\sqrt{\frac{3a}{4}}$，令

$f(-\frac{a}{4})=g(-\frac{a}{4})$，解得$a=0$或$a=4$，但当

$a=0$时，$g(x)$在$(0,+\infty)$内无定义，因此不存在“S点”。