《分式》全章导学案

第十五章 分 式

15．1 分 式

15．1.1 从分数到分式

1．了解分式的概念，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 2．能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件．

重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．

难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件．

一、自学指导

自学1：自学课本P127－128页，掌握分式的概念，完成填空．(5分钟)

总结归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A

B 叫做分式，分

式A

B

中，A 叫做分子，B 叫做分母． 点拨精讲：分式是不同于整式的另一类式子，它的分母中含有字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性．

自学2：自学课本P128页“思考与例1”，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．(5分钟)

总结归纳：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B 才有意义；当B ≠0，A ＝0时，分式A

B

＝0.

点拨精讲：分式的分数线相当于除号，也起到括号的作用．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 课本P128－129页练习题1，2，3.

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)

探究1 当x 取何值时：(1)分式12x 2x －3有意义？(2)分式12x 2x 2＋3有意义？(3)分式3x

2x －1无意义？(4)

分式12x

|x|－3无意义？(5)分式|x|－22x ＋4的值为0？(6)分式x 2－9x －3

的值为0?

解：(1)要使分式12x 2x －3有意义，则分母2x －3≠0，即x ≠32；(2)要使分式12x 2x 2＋3有意义，则分

母2x 2＋3≠0，即x 取任意实数；(3)要使分式3x 2x －1无意义，则分母2x －1＝0，即x ＝1

2；(4)要使分

式

12x

|x|－3无意义，则分母|x|－3＝0，即x ＝±3；(5)要使分式|x|－22x ＋4的值为0，则有?

????|x|－2＝02x ＋4≠0，即x ＝2；(6)要使分式x 2－9

x －3的值为0，则有?

????x 2

－9＝0x －3≠0，即x ＝－3.

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)

1．当a ＝－1时，分式a 2＋a

a 2－a

＝0．

2．当x 为任何实数时，下列分式一定有意义的是(C )

A .x 2＋1x 2

B .x －1x 2－1

C .x ＋1x 2＋1

D .x －1x ＋1

3．若分式x －2

x 2－1的值为0，则x 的值为(D )

A ．1

B ．－1

C ．±1

D ．2

4．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

1a ，x －1，3m ，b 3，c

a －

b ，a ＋62b ，34(x ＋y)，x 2＋2x ＋15，m ＋n m －n

. 解：整式有x －1，b 3，34(x ＋y)，x 2＋2x ＋15；分式有1a ，3m ，c a －b ，a ＋62b ，m ＋n m －n

.

(3分钟)1.分式的值为0的前提条件是此分式有意义．

2．分式的分数线相当于除号，也具有括号的作用．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(10分钟)

15．1.2 分式的基本性质

1．掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义； 2．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤．

重点：知道约分、通分的依据和作用，掌握分式约分、通分的方法； 难点：掌握分式约分、通分的方法，理解分式的变号法则．

一、自学指导

自学1：自学课本P129－130页“思考与例2”，掌握分式的基本性质，完成填空．(3分钟) 总结归纳：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0)的整式，分式的值不变．用式子表示为：A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C

(C ≠0)．

自学2：自学课本P130－131页“思考与例3”，掌握分式约分的方法，能准确找出分子、分母的公因式，理解最简分式的概念．(3分钟)

总结归纳：根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母的公因式约去，叫做约分．分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．分式的约分，一般要约去分子与分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式．

自学3：自学课本P131－132页“思考与例4”，掌握分式通分的方法，学会找最简公分母．(3分钟)

总结归纳：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．

找最简公分母的方法：①若分母是多项式的先分解因式；②取各分式的分母中系数的最小公倍

数；③各分式的分母中所有字母或因式都要取到；④相同字母(或因式)的幂取指数最大的．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟) 1．下列等式的右边是怎样从左边得到的？

(1)x 2＋xy x 2＝x ＋y x

；

(2)y ＋1y －1＝y 2＋2xy ＋1y 2－1

(y ≠－1)． 点拨精讲：对于(1)，由已知分式可以知道x ≠0，因此可以用x 去除分式的分子、分母，因而

并不特别需要强调x ≠0这个条件，而(2)是在已知分式的分子、分母都乘以y ＋1得到的，是在条件y ＋1≠0下才能进行，这个条件必须强调．

解：(1)根据分式的基本性质，分子、分母同时除以x ；

(2)∵y ≠－1，∴y ＋1≠0，∴根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以y ＋1. 2．课本P132页练习题1，

2.

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 探究1 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母各项系数都化为整数． (1)12x ＋23y 12x －23

y ； (2)0.3a ＋0.5b 0.2a －b . 解：(1)12x ＋23y 12x －23y ＝（12x ＋2

3y ）×6（12x －23y ）×6＝3x ＋4y

3x －4y ；

(2)0.3a ＋0.5b 0.2a －b ＝（0.3a ＋0.5b ）×10（0.2a －b ）×10＝3a ＋5b

2a －10b

.

探究2 不改变分式的值，使下面分式的分子、分母都不含“－”号．(1)－5y －x 2

；(2)－a 2b ；(3)4m －3n ；(4)－－x

2y

.

解：(1)－5y －x 2＝5y x 2；(2)－a 2b ＝－a 2b ；(3)4m －3n

＝－4m

3n ；(4)－－x 2y ＝x 2y . 点拨精讲：分式的分子、分母以及分式本身三个符号，改变其中任何两个符号，分式的值不变．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)

1．课本P133页习题4，6，7.

2．课本P134页习题

12.

(3分钟)1.分式的约分：分子、分母都是多项式的先分解因式，便于找公因式，

分式化简的结果一定要是最简分式．且一般分子、分母中不含“－”．

2．分式的通分关键是找准最简公分母，若分母是多项式的先分解因式，便于找最简公分母．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟

) (10分钟)

15．2 分式的运算

15．2.1 分式的乘除(1)

1．通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行分式的乘除法运算． 2．引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力．

重点：分式的乘除法运算．

难点：分式的乘除法、混合运算中符号的确定．

一、自学指导 自学1：自学课本P135－137页“问题1，思考，例1，例2及例3”，掌握分式乘除法法则．(7分钟)

类比分数的乘除法法则，计算下面各题：

(1)4ac 3b ·9b 22ac 3；(2)4ac 3b ÷9b 22ac

3. 解：(1)原式＝4ac·9b 23b ·2ac 3＝36ab 2c 6abc 3＝6b c 2； (2)原式＝4ac 3b ·2ac 39b 2＝8a 2c 427b 3

.

点拨精讲：计算的结果能约分的要约分，结果应为最简分式．

总结归纳：分式的乘法法则——分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．即：a b ·c d ＝a·c

b·d

.

分式的除法法则——分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．即：a b ÷

c d ＝a b ·d c ＝ad bc

. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟) 课本P137－138练习题1，2，3.

点拨精讲：分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 计算：(1)x ＋12x ·4x 2

x 2－1；

(2)8x 2x 2＋2x ＋1÷6x x ＋1

. 解：(1)x ＋12x ·4x 2x 2－1＝x ＋12x ·4x 2（x ＋1）（x －1）＝2x

x －1；

(2)8x 2x 2＋2x ＋1÷6x x ＋1＝8x 2（x ＋1）

2·x ＋16x ＝4x

3x ＋3. 点拨精讲：如果分子、分母含有多项式，应先分解因式，再按法则进行计算．

探究2 当x ＝5时，求x 2－9x 2＋6x ＋9÷1

x ＋3

的值．

解：∵x 2－9x 2＋6x ＋9÷1

x ＋3＝（x ＋3）（x －3）（x ＋3）2

·x ＋31＝x －3，∴当x ＝5时，原式＝x －3＝5－3

＝2.

点拨精讲：先对分式的结果化简，可以使计算变得简便．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)

1．计算：(1)3xy 24z 2·(－8z 2y )；(2)－3xy÷2y 2

3x ；(3)m －2m －3÷m 2－6m ＋9m 2－4；(4)a 2－6a ＋91＋4a ＋4a 2÷12－4a 2a ＋1.

2．有这样一道题“计算：x 2－2x ＋1x 2－1÷x －1

x 2＋x －x 的值，其中x ＝998”，甲同学错把x ＝998抄

成了x ＝999，但他的计算结果却是正确的，请问这是怎么回事？

解：∵x 2－2x ＋1x 2－1÷x －1x 2＋x －x ＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）·x （x ＋1）

x －1－x ＝x －x ＝0，∴无论x 取何值，

此式的值恒等于0.

(3分钟)1.分式乘除法的法则可类比分数的乘除法则进行．

2．当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．

3．分式乘除法运算的最后结果能约分的要约分，一定要是一个最简分式．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(10分钟)

15．2.1 分式的乘除(2)

1．使学生在理解和掌握分式的乘除法法则的基础上，运用法则进行分式的乘除法混合运算． 2．使学生理解并掌握分式乘方的运算性质，能运用分式的这一性质进行运算．

重点：分式的乘除混合运算和分式的乘方． 难点：对乘方运算性质的理解和运用．

一、自学指导

自学1：自学课本P138－139页“例4、思考与例5”，掌握分式乘方法则及乘除、乘方混和运算的方法，完成填空．(7分钟)

1．a n 表示的意思是n 个a 相乘的积；a 表示底数，n 表示指数．

2．计算：(23)3＝23×23×23＝2×2×23×3×3＝2333＝8

27．

3．由乘方的定义，类比分数乘方的方法可得到： (a b )2＝a b ·a b ＝a·a b·b ＝a 2

b 2； ……

(a b )n ＝a b ·a b ·…·a b ＝a·a·…·a b·b·…·b

,\s\up6(n 个

))_,\s\do4(n 个))_＝a n b n ． 点拨精讲：其中a 表示分式的分子，b 表示分式的分母，且b ≠0.

总结归纳：分式的乘方法则——分式乘方是把分子、分母各自乘方．即：(a b )n ＝a n

b n (n 为正整数)；

乘除混合运算可以统一为乘法运算；式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟) 1．课本P139练习题1，2. 2．判断下列各式正确与否：

(1)(3－a 2)2＝9a 4；(2)(－b 2a )3＝b 6a 3；(3)(3b 2a )3＝3b 3

2a 3；

(4)(2x x ＋y )2＝4x 2

x 2＋y

2. 3．计算：(1)(－x 2y )2·(－y 2x )3÷(－y x )4；

(2)（x ＋1）2（1－x ）2（x 2－1）2÷（x －1）2

x 2－1.

解：(1)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·x 4

y

4＝－x 5；

(2)原式＝（x ＋1）2（x －1）2（x ＋1）2（x －1）2·（x ＋1）（x －1）（x －1）2＝x ＋1

x －1.

点拨精讲：注意符号及约分．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)

探究1 先化简代数式(a ＋1a －1＋1－a a 2－2a ＋1)÷1

a －1，然后选取一个使原式有意义的a 值代入求值．

解：∵(

a ＋1a －1＋1－a a 2－2a ＋1)÷1

a －1＝[(a ＋1a －1＋1－a （a －1）2)]·a －11＝a ＋1a －1·a －11＋1－a （a －1）2

·a －11＝a

＋1－1＝a ，当a ＝3时，原式＝3.

点拨精讲：这里a 的取值要让分式有意义，保证各分母及除式不能为0.

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)

1．x ＝1，y ＝1，求4x 2－4xy ＋y 2

2x ＋y ÷(4x 2－y 2)的值．

2．使代数式x ＋3x －3÷x ＋2

x －4有意义的x 的值是(D )

A ．x ≠3且x ≠－2

B ．x ≠3且x ≠4

C ．x ≠3且x ≠－4

D ．x ≠3且x ≠－2且x ≠4 3．计算：(1)5a －109a 3b ·6ab

a 2－4；

(2)(－12x 4

y)2

÷(－3x 2y

)3

；

(3)x －y x 2＋xy ·x 2y 2－x 4xy －x 2

；

(4)2x －6x 2－4x ＋4·（x ＋3）（x －2）12－4x

÷x ＋32.

(3分钟)1.分式的分子或分母带“－”的n 次方，可按分式符号法则，变成整个

分式的符号，然后再按－1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式的分子分母可直接乘方．

2．注意熟练、准确运用乘方运算法则及分式乘除法

法则．

3．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(10分钟)

15．2.2 分式的加减(1)

1．使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算． 2．通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式的通分，培养学生分式运算的能力．

重点：让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法．

难点：分式的分子是多项式的做减法时注意符号，去括号法则的应用．

一、自学指导

自学1：自学课本P139－140页“问题3、问题4、思考、例6”，掌握同分母、异分母分式加减的方法，完成填空．(7分钟)

①计算：15＋25，15－25，12＋13，12－1

3

.

总结归纳：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减．

a c ＋

b

c ＝a ＋b c ；a b ＋c

d ＝ad bd ＋bc bd ＝ad ＋bc bd

． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟) 1．课本P141页练习题1，2. 2．计算：(1)2x －5

x 2；

(2)x 2＋xy xy －x 2－xy xy ；

(3)a －2a ＋1－2a －3a ＋1； (4)a ＋1a －1－a －1a ＋1； (5)x 2x －2－4x x －2＋4x －2； (6)2m －n n －m ＋m m －n ＋n n －m

.

点拨精讲：分式加减的结果要化为最简分式．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟) 探究1 已知A x －1＋B

x ＋1＝x －3x 2－1，求A 与B 的值．

解：∵

A x －1＋B

x ＋1＝A （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＋B （x －1）（x ＋1）（x －1）＝A （x ＋1）＋B （x －1）（x ＋1）（x －1）

＝（A ＋B ）x ＋（A －B ）（x ＋1）（x －1），又∵A x －1＋B

x ＋1＝x －3x 2－1，∴???A ＋B ＝1，A －B ＝－3，∴?

????A ＝－1，B ＝2.

点拨精讲：先将左边相加，再与右边对比即可． 探究2 计算：11－x ＋11＋x ＋21＋x 2＋41＋x 4

. 解：原式＝21－x 2＋21＋x 2＋41＋x 4＝41－x 4＋41＋x 4＝81－x 8. 点拨精讲：巧用乘法公式，逐项通分．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)

1．计算：(1)(5a ＋3b a ＋b ＋3b －4a a ＋b －a ＋3b a ＋b ；

(2)12－x ＋4

x 2－4＋x －12＋x ； (3)a －b ＋2b 2

a ＋b

.

2．分式1a ＋1＋1a （a ＋1）的计算结果是1

a ．

3．先化简，再求值：a 2

a －1－a －1，其中a ＝－1.

解：(略)

(3分钟)1.异分母分式的加减法步骤：①正确地找出各分式的最简公分母；②准

确地得出各分式的分子、分母应乘的因式；③通分后进行同分母分式的加减运算；④公分母保持积的形式，将各分子展开；⑤将得到的结果化成最简分式(整式)．

求最简公分母概括为：①取各分母系数的最小公倍

数；②凡出现以字母为底数的幂的因式都要取；③相同字母的幂的因式取指数最大的．这些因式的积就是最简公分母．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(10分钟)

15．2.2 分式的加减(2)

1．使学生在掌握分式的加减法法则的基础上，用法则进行分式的混合运算． 2．通过对分式混合运算的学习，提高学生的计算能力和分式的应用能力．

3．在分式运算过程中培养学生具有一定代数化归的能力，培养学生乐于探究、合作交流的习惯，进一步培养学生“用数学的意识”．

重点：分式的加减法混合运算． 难点：正确熟练地进行分式的运算．

一、自学指导

自学1：自学课本P141－142页，掌握分式混合运算的方法，完成填空．(5分钟) 在计算a÷b·1

b 时，小明和小丽谁的算法正确？请说明理由．

小明：a÷b·1

b ＝a÷1＝a ；

小丽：a÷b·1b ＝a·1b ·1b ＝a

b

2.

总结归纳：分式的混合运算与有理数的运算顺序相同，先乘方，然后乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(10分钟) 1．课本P142页练习题1，2.

2．计算：(1)(3x x －2－x x ＋2)÷x

x 2－4；

(2)12x －1x ＋y ·(x ＋y 2x

－x －y)． 解：(1)原式＝(3x x －2－x x ＋2)·x 2－4x ＝3x x －2·x 2－4x －x x ＋2·x 2

－4

x

＝3(x ＋2)－(x －2)＝3x ＋6－x ＋2

＝2x ＋8；

(2)原式＝12x －1x ＋y ·[x ＋y 2x －(x ＋y)]＝12x －1x ＋y ·x ＋y 2x ＋1x ＋y ·(x ＋y)＝12x －1

2x ＋1＝1.

点拨精讲：适当运用运算律可使计算简便．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 若a ＋3b ＝0，求代数式(1－b

a ＋2

b )÷a 2＋2ab ＋b 2a 2－4b 2

的值．

解：(1－b

a ＋2

b )÷a 2＋2ab ＋b 2a 2－4b 2＝a ＋b a ＋2b ·（a ＋2b ）（a －2b ）（a ＋b ）2＝a －2b a ＋b ，∵a ＋3b ＝0，∴a ＝－3b ，

∴原式＝－3b －2b －3b ＋b ＝－5b －2b ＝5

2

.

点拨精讲：这里要用到转化与整体思想．

探究2 有一道题“先化简，再求值：(x －2x ＋2＋4x x 2－4)÷1

x 2－4，其中x ＝－5”．小强做题时把

“x ＝－5”错抄成“x ＝5”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？

解：∵(x －2x ＋2＋4x x 2－4)÷1x 2－4＝(x －2x ＋2＋4x x 2－4)·x 2－41＝x －2x ＋2·x 2－41＋4x x 2－4·x 2

－4

1

＝(x －2)2＋4x ＝

x 2＋4，而∵(－x)2＝x 2，即(－5)2＝(5)2，∴小强的计算结果是正确的．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)

1．化简(a a －2－a a ＋2

)·4－a

2

a 的结果是－4．

2．计算：(y 2x －y x 2)÷y 2x 2＝xy －1

y ．

3．计算：(1)(1－1

x －2)÷3－x 2x －4；

(2)2x －6x 2－4x ＋4·（x ＋3）（x －2）12－4x

÷x ＋32.

4．先化简，再求值：x －3x －2÷(x ＋2－5

x －2

)，其中x ＝－5.

(3分钟)1.分式混合运算应先算括号里面的，再算乘方，然后乘除，最后加减．

2．能运用运算律的可以运用运算律使计算简便． 3．分式运算的最后结果一定要是最简分式或整式．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(10分钟)

15．2.3 整数指数幂(1)

1．经历探索负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力．

2．了解负整数指数幂的概念，了解幂运算的法则可以推广到整数指数幂． 3．会进行简单的整数范围内的幂运算．

重点：负整数指数幂的概念．

难点：认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则的扩展过程．

一、自学指导

自学1：自学课本P142－143页“思考”，掌握负指数幂的意义，完成填空．(5分钟) 1．根据正整数指数幂的运算性质填空：(m ，n 是正整数) a m ·a n ＝a m ＋

n ；(a m )n ＝a mn ；(ab)n ＝a n b n ；a 0＝1(a ≠0)；

a m ÷a n ＝a

m －n

；(a ≠0，m ，n 是正整数，且m ﹥n)(a b )n ＝a n

b

n ．

2．由a 2

÷a 5

＝a 2a 5＝a 2a 2·a 3＝1a 3，a 2÷a 5＝a 2－5＝a －3(a ≠0)，可推出a －

3＝1a

3．

总结归纳：一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)，这就是说，a －

n (a ≠0)是a n 的倒数．

点拨精讲：引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数，a －

n (a ≠0，n 是正整数)

属于分式．

自学2：自学课本P143－144页“思考、探究与例9”，掌握整数指数幂的运算性质并能灵活运用．(5分钟)

根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律？

a 2·a －3＝a 2·1a 3＝1a ＝a －1＝a 2＋(－3)，即a 2·a －3＝a 2＋(－

3)；

a －2·a －3＝1a 2·1a 3＝1a 5＝a －5＝a －2＋(－3)，即a －2·a －3＝a －2＋(－

3)；

a 0·a －3＝1·1a 3＝1a 3＝a －3＝a 0＋(－3)，即a 0·a －3＝a 0＋(－

3)；

a －2÷a －3＝1a 2÷1a 3＝1a 2·a 3＝a ＝a －2－(－3)，即a －2÷a －3＝a －2－(－

3)；

(a －2)3＝(1a 2)3＝1（a ）＝1a 6＝a －6＝a －2×3，即(a －2)3＝a －2×

3；

(ab －1

)3

＝(a b )3＝a 3b

3＝a 3b －3

.

总结归纳：整数指数幂的运算性质可以归结为：

(1)a m ·a n ＝a m ＋

n (m ，n 是整数)； (2)(a m )n ＝a mn (m ，n 是整数)； (3)(ab)n ＝a n b n (m ，n 是整数)

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 1．课本P145练习题1，2.

2．计算：(1)20080×(－2)－

2； (2)3.6×10－

3；

(3)(－4)－

3×(－4)3；

(4)(23)－2×(23)－

1； (5)a 3÷a －

3×a －

6； (6)(2b －2)－

3.

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 计算：(1)(－10)2×(－10)0＋10－

2×103；

(2)[－24×(4－2×20)÷(－2)－4÷26]×4÷10－

2. 解：(1)原式＝100＋10＝110；

(2)原式＝(－24×2×24÷26)×4×102＝－23×4×102＝－3200.

探究2 用小数表示下列各数：(1)10－4；(2)－10－3×(－2)；(3)2.1×10－

2.

解：(1)原式＝1104＝1

10000＝0.0001；

(2)原式＝－1

103×(－2)＝0.001×2＝0.002；

(3)原式＝2.1×1

10

2＝2.1×0.01＝0.021.

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)

1．课本P147页习题7.

2．计算：(1)(－2)0＋(－12)－

2－(－2)2；

(2)16÷(－2)－

1－(13

)－1＋(3－1)0.

(3分钟)1.整数指数幂运算的结果，如果指数是负整数的要写成分数形式．

2．整数指数幂的运算可以依据幂的运算性质公式直

接进行幂的运算，也可以将负指数幂化成分式形式后，进行分式运算．3．整数指数幂运算过程中要注意符号问题．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(10分钟)

15．2.3整数指数幂(2)

1．使学生进一步掌握负指数幂的意义．

2．使学生熟练运用a－n＝1

a n(a≠0，n是正整数)，将较小的数写成科学计数法的形式．

3．通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法．

重点：能灵活运用整数指数幂的运算性质计算，以及用科学记数法表示一些绝对值较小的数．难点：理解和应用整数指数幂的性质．

一、自学指导

自学1：自学课本P145页“思考与例10”，掌握用科学记数法表示一些绝对值较小的数，并能灵活运用整数指数幂的运算性质计算，完成填空．(5分钟)

∵10－1＝0.1，10－2＝0.01，10－3＝0.001，10－4＝0.0001，∴10－n＝0.00…0n个01．

总结归纳：(1)把一个数表示成a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)的记数方法叫做科学记数法．

(2)用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是正整数，即原数的整数位数减1，a的取值范围是1≤|a|＜10.

(3)用科学记数法表示绝对值小于1的小数时，即将它们表示成a×10－n的形式，其中10的指数是负整数，1≤|a|＜10，指数的绝对值等于原数中左起第一个非0数字前面0的个数．(包括小数点前面的一个0)

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(10分钟)

1．课本P145－146练习题1，2.

2．把下列科学记数法表示的数还原：

(1)7.2×10－5；(2)－1.5×10－4.

解：(1)原式＝7.2×0.00001＝0.000072；

(2)原式＝－1.5×0.0001＝－0.00015.

3．用科学记数法表示下列各数：

(1)0.0003267；(2)－0.0011；(3)－890600.

解：(1)0.0003267＝3.267×10－4；

(2)－0.0011＝1.1×10－3；

(3)－890690＝－8.9069×105.

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)

探究1计算(结果用科学记数法表示)：

(1)(3×10－5)×(5×10－3)；

(2)(－1.8×10－10)÷(9×10－5)；

(3)(2×10－3)－2×(－1.6×10－6)．

解：(1)原式＝15×10－

8＝1.5×10－

7；

(2)原式＝－0.2×10－5＝－2×10－

6；

(3)原式＝(14×106)×(－1.6×10－6)＝－0.4＝－4×10－

1.

探究2 纳米是一种长度单位，1纳米＝10－9

米，一个粒子的直径是35纳米，它等于多少米？

请用科学记数法表示．

解：∵1纳米＝1109米，∴35纳米＝35×10－9米．而35×10－9＝(3.5×10)×10－9＝35×101＋(－

9)

＝3.5×10－

8，∴这个粒子的直径为3.5×10

－8

米．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)

1．计算：(1)(3×10－

8)×(4×103)；

(2)(2×10－

3)2÷(10－

3)3.

2．一枚一角硬币的直径约为0.022 m ，用科学记数法表示为(B )

A ．2.2×10－3 m

B ．2.2×10－

2 m

C ．22×10－3 m

D ．2.2×10－

1 m

3．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10－

5 cm ，2×103个这样的细胞排成的细

胞链的长是(B )

A ．10－2 cm

B ．10－

1 cm

C ．10－3 cm

D ．10－

4 cm

4．纳米是一种长度单位，1纳米＝10－

9米．已知某花粉的直径为3500纳米，那么用科学记数法表示这种花粉的直径为3.5×10－

6米．

5．用科学计数法表示下列各数：

(1)－0.000 000 314＝－3.14×10－

7；

(2)0.000 17＝1.7×10－

4；

(3)0.000 000 001＝10－

9；

(4)－0.000 009 001＝9.001×10－

6．

(3分钟)引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质

仍然成立．科学记数法不仅可以表示一个绝对值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a 必须满足1≤|a|＜10.

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(10分钟)

15．3 分式方程(1)

1．使学生理解分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．

2．使学生领会“转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解． 3．培养学生自主探究的意识，提高学生的观察能力和分析能力．

重点：理解分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 难点：使学生知道解分式方程须验根，并掌握验根的方法．

一、自学指导

自学1：自学课本P149页“思考与归纳”，掌握分式方程的概念与解法，完成填空．(10分钟) 问题1 京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长约1500 km ，是我国最繁忙的铁路干线之一．如果货车的速度为x km /h ，快速列车的速度是货车的2倍，那么：(1)货车从北京到上海需要多少时间？(2)快速列车从北京到上海需要多少时间？(3)已知从北京到上海快速列车比货车少用12 h ，你能列出一个方程吗？

解：(1)1500x ；(2)15002x ；(3)1500x －1500

2x

＝12.

问题2 轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同．已知水流

的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度．

解：设轮船在静水中的速度为x 千米/时，根据题意得

80x ＋3＝60x －3

. 总结归纳：像上面问题1和问题2中，分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

问题2中的方程可以解答如下：方程两边同乘以(x ＋3)(x －3)，约去分母，得80(x －3)＝60(x ＋3)．解这个整式方程，得x ＝21．

检验：把x ＝21代入方程两边，左边＝103，右边＝10

3，∵左边＝右边，∴x ＝21是原方程的解，

所以轮船在静水中的速度为21千米/时．

总结归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 1．课本P150练习题．

2．判断下列各式哪个是分式方程：①x ＋y ＝5；②x ＋25＝2y －z 3；③1x ；④y x ＋5

＝0；⑤1

x ＋2x ＝5；⑥a x ＋b

y

＝1(a ，b 是常数)．

3．解分式方程：24x ＋1＝20

x

.

解：方程两边都乘以x(x ＋1)，得24x ＝20(x ＋1)，解这个一元一次方程，得x ＝5

检验：将x ＝5代入方程的两边，得左边＝4，右边＝4，∵左边＝右边，∴x ＝5是原方程的解． 点拨精讲：解分式方程的步骤是先去分母(在分式方程的两边同乘各分式的最简公分母)，把分式方程转化为一元一次方程来解决，其步骤与检验方法与解一元一次方程基本相同．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究 m ＝n －3

2n ＋1

，试用含m 的代数式表示n.

解：两边同时乘以2n ＋1，得2mn ＋m ＝n －3，∴(2m －1)n ＝－3－m ，当2m －1≠0时，n ＝－3－m

2m －1

；当2m －1＝0时，n 无解．

点拨精讲：相当于解关于n 的分式方程，但在系数化成1时要分类．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)

1．下列关于x 的方程是分式方程的是(D )

A .x ＋25－3＝3＋x 6

B .x －17＋a ＝3－x

C .x a －a b ＝b a －x b

D .（x －1）2x －1

＝1 2．解分式方程x x －2＝2＋3x －2，去分母后的结果是(B )

A ．x ＝2＋3

B ．x ＝2(x －2)＋3

C ．x(x －2)＝2＋3(x －2)

D ．x ＝3(x －2)＋2 3．已知x ＝3是方程

10x ＋2＋k

x

＝1的一个根，则k ＝－3． 4．解方程：(1)1x －5＝10

x 2－10；

(2)12x －4＋12＝32－x ； (3)3x －12x －2－2x 3x －3＝12； (4)7x 2＋x ＋1x 2－x ＝6x 2－1

.

点拨精讲：得到的解要代入最简公分母进行检验．

(3分钟)1.判断分式方程的关键在于分母中是否含有未知数．

2．解分式方程的一般步骤是先通过“去分母”，将分式方程转化成整式方程，然后再解整式方程并检验．

3．如果遇到含有字母的方程，在系数化成1时要分情况讨论其解．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(10分钟)

15．3 分式方程(2)

1．进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程．

2．使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法．

重点：理解增根的概念及产生的原因，掌握解分式方程验根的方法． 难点：理解增根的概念及产生的原因．

一、自学指导

自学1：自学课本P150页“思考”，理解增根的概念及产生的原因，掌握分式方程验根的方法，完成填空．(5分钟)

解方程1x －1＝2

x 2－1，方程两边都乘以(x ＋1)(x －1)，得到方程x ＋1＝2，解这个一元一次方程

得x ＝1．检验：当x ＝1时，分母x －1，x 2－1都为0，相应的分式没有意义，所以x ＝1是整式方程的解，但不是原分式方程的解，这个分式方程无解．

问题 你认为在解分式方程的过程中，哪一步变形可能引起增根？为什么会产生增根？

总结归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解，有可能使原方程的分母为0，因此应做如下检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根．

自学2：自学课本P151页“例1、例2、归纳”，掌握解分式方程的方法．(5分钟)

总结归纳：解分式方程的一般步骤为：(1)去分母(乘以最简公分母)，将分式方程转化成整式方程；(2)解整式方程得到整式方程的解x ＝a ，把整式方程的解x ＝a 代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则x ＝a 是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则x ＝a 不是原分式方程的解(是分式方程的增根)．

点拨精讲：因为分式方程转化成整式方程后求的解可能是增根，所以一定要检验． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)

课本P152页练习题． 点拨精讲：注意要检验．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 当m 为何值时，分式方程m

x －2＋3＝1－x 2－x

无解？

解：∵m

x －2＋3＝1－x 2－x ，∴m ＝－2x ＋5，∵此分式方程无解，∴x ＝2，∴m ＝1

点拨精讲：先按一般步骤解方程，再将增根x ＝2代入求m 的值． 探究2 已知关于x 的方程

2x ＋m

x －2

＝3的解是正数，求m 的取值范围． 解：由题意可得，x ＝6＋m ，∵此方程的解是正数，∴???6＋m ＞0，

6＋m ≠2，

∴m ＞－6且m ≠－4.

点拨精讲：要考虑两个条件：①解是正数；②解不为2.

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)

1．若分式方程1

x －3＋7＝x －43－x 有增根，则增根为x ＝3．

2．若方程3x －2＝2a x ＋4x （x －2）无解，则a 的值是3

2或1．

3．解下列分式方程： (1)2

1－x 2＝2＋x 1＋x ； (2)1

x －2＋3＝1－x 2－x ； (3)x －8x －7－17－x ＝8；

(4)2x ＋93x －9＝4x －7x －3

＋2. 点拨精讲：第2小题去分母后得到的整式方程不一定是一元一次方程，所以要分整式方程无解与整式方程有解是增根两种情况来讨论，第3题要注意解分式方程要检验．

(3分钟)1.解分式方程的基本方法是通过去分母将分式方程转化成整式方程．

2．分式方程产生增根的原因是去分母时两边乘以的最简公分母的值为0.

3．因为分式方程会产生增根，所以一定要检验，检验的方法是将整式方程的解代入最简公分母检验．

4．分式方程无解可能有去分母后的整式方程无解与整式方程有解是增根两种情况．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(10分钟)

15．3 分式方程(3)

1．进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程． 2．通过分式方程的实际应用，培养学生数学应用意识．

重点：让学生学会审明题意设未知数，列分式方程． 难点：在不同的实际问题中，设元列分式方程．

一、自学指导

自学1：自学课本P152－153页“例3，例4”，掌握用分式方程解答实际问题的方法．(5分钟)

1．列方程解应用题的一般步骤？

2．某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？

解：设乙每分钟能输入x 名学生的成绩，则甲每分能输入2x 名学生的成绩，根据题意得2640

2x ＝

2640

x

－2×60，解得x ＝11. 经检验，x ＝11是原方程的解．并且x ＝11，2x ＝2×11＝22，符合题意． 答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩．

点拨精讲：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意．

总结归纳：列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审清题意；(2)设未知数(要有单位)；(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；(4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；(5)写出答案(要有单位)．

点拨精讲：从例4可以看出字母不仅可以表示未知数，也可以表示有实际意义的已知数． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(10分钟) 1．课本P154页练习题1，2.

2．甲、乙两人同时从A 地出发，骑自行车到B 地，已知AB 两地的距离为30 km ，甲每小时比乙多走3 km ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km ，则可列方程为(B )

A .30x －30x －3＝23

B .30x －30x ＋3＝23

C .30x ＋3－30x ＝23

D .30x －3－30x ＝23

3．我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，因情况发生了变化，急行军速度必须是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军原来的速度．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)

探究1 A ，B 两地相距135千米，两辆汽车从A 开往B ，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶2，求两车的速度．

解：设大车的速度为2x 千米/时，小车的速度为5x 千米/时，根据题意得1352x －1355x ＝5－1

2.

两边同时乘以10x ，得675－270＝45x.

解之得x ＝9，检验：当x ＝9时，10x ≠0，所以x ＝9是原方程的解，当x ＝9时，2x ＝18，5x ＝45.

答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时．

探究2 轮船在顺水中航行20千米与逆水中航行10千米所用时间相同，水流速度为2.5千米/小时，求轮船的静水速度．

解：设轮船的静水速度为x 千米/小时，则有

20x ＋2.5＝10

x －2.5

，两边同时乘以(x ＋2.5)(x －2.5)，得20(x －2.5)＝10(x ＋2.5)，解之，得x ＝7.5，检验：当x ＝7.5时，(x ＋2.5)(x －2.5)≠0，所以x ＝7.5是原方程的解．

答：轮船的静水速度为7.5千米/小时．

点拨精讲：顺水速度＝船的静水速度＋水速；逆水速度＝船的静水速度－水速．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)

1．甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x 个零件，列方程得(A )

A .360x ＝480140－x

B .360140－x ＝480x

C .360x ＋480x ＝140

D .360x －140＝480x

2．在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x 下，则根据题意可列关于x 的方程为90x ＝120

x ＋20

.

3．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道．铺设120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设x m 管道，那么根据题意，可得方程120

x

＋错误!＝30． 4．近几年高速公路建设有较大的发展，有力地促进了经济建设．欲修建的某高速公路要招标．现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，费用为120万元；若甲单独做20天后剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样所需费用110万元，问：

(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少万元？

(3分钟)列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审清题意；(2)设未知数(要有单位)；

(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；(4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；(5)写出答案(要有单位)．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(10分钟)