单偏好随机网络演化模型
复杂网络的结构分析与模型研究
复杂网络的结构分析与模型研究随着信息技术的飞速发展和互联网的普及，网络已经成为人们不可分割的一部分。
然而，网络并不是简单的连通图，它更多的是一种复杂的拓扑结构。
而复杂网络的结构分析与模型研究正是在探究这种复杂的拓扑结构。
一、复杂网络的概念和分类复杂网络是一种由众多节点和边组成的图形结构，其在现实生活中的各种应用越来越广泛，如社交网络、交通网络、供应链网络等。
根据网络节点之间连接的方式，复杂网络可以分为以下四类：1. 随机网络。
随机网络是节点之间连接完全随机的网络，其中各节点的度数呈现高斯分布。
这种网络的特点是具有较小的聚类系数和较小的平均路径长度。
2. 规则网络。
规则网络是节点之间连接具有规则性的网络，其中各节点的度数相同，且该度数相同。
这种网络的特点是具有较大的聚类系数和较小的平均路径长度。
3. 小世界网络。
小世界网络在随机网络和规则网络之间，其中大部分节点连接在一起，但也有一部分节点连接到远离它们的其他节点。
这种网络的特点是具有较小的平均路径长度和较大的聚类系数。
4. 非线性网络。
非线性网络包括动力学网络和生物网络，在这些网络中，边的权重也具有非线性性质。
这种网络的特点是具有丰富的动力学行为，包括同步、混沌等。
二、复杂网络的结构分析复杂网络的结构分析主要是研究网络连接的拓扑结构，包括网络的度分布、聚类系数、平均路径长度等特征。
1. 度分布。
度分布是指节点在网络中的度数概率分布，它是复杂网络的基本特性之一。
在一个网络中，节点度数越大，其所占比例越小，表现出幂律分布。
2. 聚类系数。
聚类系数是指节点的邻居之间也彼此相连的概率，它描述了网络的局部结构。
在随机网络中，聚类系数很小，在规则网络中，聚类系数很大，而在小世界网络中，聚类系数介于二者之间。
3. 平均路径长度。
平均路径长度是指节点之间的平均最短路径长度，它是网络中任意两个节点间距离的度量。
在随机网络中，平均路径长度较大，在规则网络中平均路径长度较小，而在小世界网络中，平均路径长度介于二者之间。
统计学中的网络分析方法
统计学中的网络分析方法网络分析是统计学中一个重要的分支领域，它致力于研究和分析由节点和边（链接）组成的网络结构，以揭示隐藏在其中的模式和特征。
网络分析方法可以应用于各种领域，包括社会学、生物学、物理学以及计算机科学等，以帮助我们更好地理解和解释复杂系统的行为。
本文将探讨统计学中常用的网络分析方法，并介绍其在不同领域的应用。
一、网络的定义和表示方法在网络分析中，网络由节点和边组成。
节点代表网络中的个体或元素，边则表示节点之间的关系或连接。
节点和边的属性以及它们之间的拓扑结构都可以提供有关网络的重要信息。
网络分析中常用的网络表示方法有邻接矩阵和关联列表。
邻接矩阵是一个二维矩阵，其中每个元素表示节点之间的连接情况。
关联列表则是用列表的形式表示网络中的节点和边的关系。
这些表示方法可以在网络分析中被用来计算网络的统计指标和特征。
二、节点中心性度量节点中心性是网络分析中一个关键的度量指标，用于衡量节点在网络中的重要性和地位。
常用的节点中心性度量方法包括度中心性、接近度中心性和介数中心性。
度中心性是指节点的度数，即与该节点直接连接的边的数量，度数越大则表示节点在网络中的连接越多，重要性越高。
接近度中心性则基于节点和其他节点之间的最短路径长度，节点越接近其他节点则其接近度中心性越高。
介数中心性是指节点在网络中作为最短路径的中转节点的次数，介数中心性越高则表示节点在网络中具有更大的影响力。
三、社区检测社区指的是网络中紧密连接的节点群体。
社区检测是网络分析中的一个重要任务，其目标是将网络中的节点划分为不同的社区，以揭示网络中的组织结构和模式。
常见的社区检测方法包括基于模块度的方法、层次聚类和谱聚类。
模块度是一种衡量网络划分质量的指标，它衡量了节点在社区内连边比社区外连边的多的程度。
层次聚类则是一种自底向上的聚类方法，通过不断地合并节点和社区来构建一个层次结构，以识别不同层次的社区结构。
谱聚类则是基于图论和线性代数的方法，它通过对网络图的拉普拉斯矩阵进行特征值分解，将节点划分为不同的社区。
研究生数学建模e题常用的模型
研究生数学建模e题常用的模型
研究生数学建模中常用的模型包括：
1.线性模型：线性回归、线性规划等模型，适用于描述一些简单的线性关系。
2.非线性模型：非线性回归、非线性规划等模型，适用于描述一些复杂的非线性关系。
3.随机模型：包括随机过程、马尔可夫链、随机优化模型等，适用于描述具有随机性或不确定性的问题。
4.动态模型：包括差分方程、微分方程等模型，适用于描述随时间变化的问题。
5.优化模型：包括线性规划、整数规划、多目标规划等模型，适用于求解最优化问题。
6.网络流模型：包括最小生成树、最短路径、最大流等模型，适用于描述网络中的最优路径或流量问题。
7.图论模型：包括图的匹配、图的着色、图的遍历等模型，适用于描述图论问题。
8.排队论模型：包括排队系统、服务系统等模型，适用于描述排队等待问题。
9.时间序列模型：包括ARIMA模型、ARCH模型等，适用于描述时间序列数据的变化规律。
10.复杂系统模型：包括Agent-Based模型、神经网络模型等，适用于描述复杂系统内部的交互和演化过程。
以上模型只是研究生数学建模中常用的一部分，具体的模型选择要根据问题的特点和要求进行决定。
复杂网络演化模型及其应用
复杂网络演化模型及其应用随着互联网和社交媒体等新兴技术的不断发展，我们的生活已经与数字世界紧密联系在一起。
在这个数字世界中，网络已经成为了人们进行交流、获取信息的重要渠道。
车辆之间的交通网络、人与人之间的社交网络、电子设备之间的通讯网络等等，复杂的网络已经无处不在。
如何描述和研究这些复杂的网络变得至关重要。
本文将重点介绍复杂网络演化模型及其应用。
一、网络的基本性质在介绍复杂网络演化模型之前，首先需要了解网络的基本性质。
网络可以看作是由节点和边组成的复杂系统。
节点可以表示各种实体，如人、车、电子设备等，边可以表示节点之间的联系，如人与人之间的社交关系、车辆间的道路关系等。
网络具有许多基本性质，其中最重要的是度分布。
度是指节点与其他节点相连的边数，节点的度可以告诉我们这个节点在整个网络中的重要性。
度分布是指不同度数的节点在网络中出现的频率，它是刻画网络拓扑结构的重要指标之一。
除了度分布之外，网络还具有许多其他性质，如聚集系数、平均路径长度、小世界效应等等。
这些性质不仅可以帮助我们研究网络的拓扑结构，同时也能为我们提供许多有趣的应用。
二、复杂网络演化模型复杂网络演化模型是用于描述网络时空演化过程的模型。
它们可以根据节点的连接方式、节点的属性等因素来描述网络的演化。
以下为常见的几种复杂网络演化模型：1. 随机网络模型随机网络模型是最早被研究和使用的网络模型。
在这个模型中，每个节点随机连接到其他的节点，使得网络中每个节点的度数都是近似相同的。
这种模型的特点是度分布呈现泊松分布，平均路径长度较小，聚集系数较低。
2. 小世界网络模型小世界网络模型是兼具规则网络和随机网络的特点的一种网络模型。
在这种模型中，节点在网络中的位置是规则排列的，但是节点之间的连接是通过“重连边”的方式进行的，使得网络中出现大量的短距离连接。
这种模型的特点是度分布呈现幂律分布，平均路径长度较小，聚集系数较大。
3. 无标度网络模型无标度网络模型是一种具有高度异质性的网络模型。
大规模复杂网络的演化模型及其应用研究
大规模复杂网络的演化模型及其应用研究摘要：复杂网络是由大量节点和连边构成的网络，其拓扑结构和动态演化具有复杂性。
研究复杂网络的演化模型及其应用，有助于理解和预测社交网络、生物网络、互联网等实际系统的行为。
本文主要介绍大规模复杂网络的演化模型，并探讨其应用研究。
1.引言复杂网络是由众多节点和连接它们的连边构成的网络。
复杂网络的拓扑结构通常呈现出无标度特征和小世界特性。
复杂网络的演化模型研究了网络的动态变化和拓扑结构的形成过程，对理解和描述复杂网络的行为具有重要意义。
2.复杂网络的演化模型2.1随机网络模型随机网络模型是复杂网络研究最早的模型之一，它假设网络中每对节点之间的连边以一定概率独立产生。
其中著名的随机网络模型是ER模型，它具有均匀分布的度分布，缺乏无标度特征。
2.2无标度网络模型无标度网络模型通过节点的优先连接机制来模拟现实中的复杂网络，它认为网络中的节点具有优先连接高度连接的节点的倾向。
其中著名的无标度网络模型是BA模型，它生成的网络具有幂律分布的度分布，具有无标度特征。
2.3演化游戏模型演化游戏模型使用博弈论的思想来解释复杂网络的演化过程。
该模型将节点视为博弈参与者，通过节点间的博弈和策略演化来形成网络的演化过程。
著名的演化游戏模型有零和游戏模型和囚徒困境模型。
3.复杂网络的应用研究3.1社交网络分析社交网络作为复杂网络的一种重要形式，研究社交网络的演化模型和行为有助于理解人类社会的组织结构和信息传播规律。
社交网络分析可以应用于社交媒体数据挖掘和社会关系分析等领域。
3.2生物网络建模生物网络包括蛋白质相互作用网络、代谢网络等，它们的拓扑结构和动态演化对于理解生物体内信息传递和调控机制具有重要意义。
研究生物网络的演化模型可以帮助揭示生物网络的功能和演化机制。
3.3互联网和电力网络研究互联网和电力网络是复杂网络在实际应用中的两个典型代表。
研究互联网和电力网络的演化模型及其应用，有助于优化网络的拓扑结构和提高网络的鲁棒性。
复杂网络模型及其应用研究
复杂网络模型及其应用研究复杂网络的研究是计算机科学、物理学、数学等多个领域的交叉学科，它以网络为研究对象，用数学模型和理论分析方法研究网络的结构、动力学、演化等特性。
复杂网络模型的研究有助于理解网络的通信方式、信息传播规律以及网络攻防问题。
本文将介绍几种常见的复杂网络模型，并探讨它们在实际应用中的价值和局限性。
一、随机网络模型随机网络是复杂网络模型的最早研究对象，它假设网络中的节点之间的连接具有随机性。
在随机网络模型中，节点之间的连接概率是独立同分布的随机变量，这种模型可以用来研究一些具有随机性的问题，如疾病传播、信息扩散等。
然而，随机网络模型忽略了现实网络中节点之间的社交、关联等特点，因此在描述现实网络时存在一定的局限性。
二、小世界网络模型小世界网络模型是由美国社会学家米尔格拉姆在1967年提出的，它兼顾了现实网络中的随机性和规则性。
在小世界网络中，大部分节点与附近的节点连接紧密，但也存在少量的远程节点连接，这使得网络具有较短的路径长度和较高的聚集系数。
小世界网络模型可以用来研究社交网络、互联网等复杂网络的特性和演化规律。
三、无标度网络模型无标度网络在现实世界中普遍存在，它的节点度数分布呈现幂律分布，即只有少数节点具有极高的度数，而大部分节点的度数较低。
无标度网络模型可以用来研究大规模网络中的枢纽节点、网络攻击与防御等问题。
然而，无标度网络模型对于节点度数分布的假设可能不适用于所有的复杂网络，因此在应用中需要注意模型的适用性。
四、复杂网络应用研究复杂网络模型的研究为多个领域的实际问题提供了重要参考。
在社交网络分析中，复杂网络模型可以用来研究信息传播、社区划分等问题。
在交通网络优化中，复杂网络模型可以帮助分析交通拥堵、路径规划等问题。
在信息安全领域，复杂网络模型可以用来分析网络攻防策略和建立安全防护机制。
此外，复杂网络模型还可以应用于生物学、经济学等领域的研究。
虽然复杂网络模型在多个领域都有重要应用，但也存在一些挑战和局限性。
社会网络的理论建模与分析方法
社会网络的理论建模与分析方法引言社会网络理论作为一门跨学科的领域，涵盖了多个学科的知识，包括社会学、心理学、统计学和计算机科学等。
社会网络的理论建模和分析方法是研究社会网络中人际关系、信息传播、群体行为等重要问题的基础工具。
本文将介绍社会网络的基本概念和理论模型，并介绍一些常用的社会网络分析方法。
1. 社会网络概述社会网络是指由一组个体（节点）和它们之间的联系（边）组成的网络。
在社会网络中，个体可以是人、组织、物体或其他实体，而联系可以是人际关系、信息传递、资源分配等。
社会网络的研究可以帮助我们理解人类社会的结构和动态。
2. 社会网络的理论建模社会网络的理论建模是研究社会网络的结构与动态的基础。
常用的社会网络理论模型包括：2.1. 符号网络模型符号网络模型是最早发展起来的社会网络模型，在该模型中，节点代表个体，边代表个体之间的关系。
符号网络模型适用于研究人际关系、社会影响等问题。
2.2. 关系网络模型关系网络模型是一种基于隐含关系的社会网络模型，节点代表个体，边代表个体之间的共享关系或相似性。
关系网络模型适用于研究兴趣群体、文化扩散等问题。
2.3. 随机图模型随机图模型是基于概率统计方法的社会网络模型，节点代表个体，边代表个体之间的随机连接。
随机图模型适用于研究网络演化、信息传播等问题。
3. 社会网络分析方法社会网络分析方法是研究社会网络数据的工具，可以帮助我们揭示网络中的模式和规律。
常用的社会网络分析方法包括：3.1. 中心性分析中心性分析用于衡量节点在社会网络中的重要程度，常用的中心性指标包括度中心性、接近中心性和介数中心性等。
3.2. 社区发现社区发现是研究社会网络中群体结构的方法，可以将网络中相似的节点聚类成社区。
常用的社区发现方法包括基于模块度的方法和基于谱聚类的方法。
3.3. 信息传播分析信息传播分析研究社会网络中信息的传播路径和传播速度。
常用的信息传播分析方法包括影响力最大化、信息流模型和级联模型等。
随机演化博弈模型
随机演化博弈模型随机演化博弈模型是指在博弈过程中，参与者之间的策略随机发生变化，从而影响游戏结果的一种数学模型。
在随机演化博弈模型中，每个参与者都可能随机选择一种新的策略，这会改变他们的策略与其他参与者的互动，导致游戏结果的不确定性。
随机演化博弈模型最早由生物学家简·梅耶卢普和马斯坦提出，被广泛应用于生物学、经济学、社会学、政治学等领域。
通过这个模型，人们可以深入研究群体行为现象、政治投票行为、市场竞争、合作与竞争的权衡等重要问题。
在随机演化博弈模型中，参与者在每一轮游戏中都需要选择一种策略，这个策略可以是个人的选择，也可以是一种群体决策的结果。
游戏过程中，每个参与者都会被随机选择，然后会随机选择一种新的策略。
这个新的策略可能来自于其他参与者，也可能是一个随机的选择。
通过随机的选择和演化，参与者的策略逐渐演化，直到游戏结束。
经过数学分析和计算机中的模拟实验，研究者们发现，在随机演化博弈模型中，参与者的策略会随着时间的推移而趋于平均值，从而导致游戏结果趋于合作。
这种结果与实际经验相一致，也得到了很好的验证。
随机演化博弈模型为我们提供了一种新的思路，可以用来解决人类社会中的一些重要问题，如如何保持社会稳定和如何推动社会进步。
总之，随机演化博弈模型是一种非常有价值的数学模型，它能够帮助我们理解博弈过程中参与者之间的竞争和合作关系。
随机演化博弈模型为我们提供了一种新的思考框架，可以应用到生物学、社会学、经济学和政治学等多个领域。
随着技术的不断进步，随机演化博弈模型还将继续为我们解决更多的实际问题。
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④ 删边： 删除网络 Ｇ （ ｔ ） 中 已 有 的 。 条 边 ， 这 些 边 的 一 端 随 机 选 取 ， 另 一 端 依 据 逆 偏 好 概 率ｆ ｌ ｒ ’ ＊ （ ｋ ｝ ） ＝
去研究各种不同网络的形成机制， 其中无标度网络的形成机制无疑成为一个研究的热点．
为了 探究无 标度网 络的 形成机制， Ｂ ａ ｒ ａ ｂ ａ ｓ ｉ 和Ａ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 于１ ９ ９ ９ 年提出了 单偏好依附 模型〔 ５ ， ６ ］ ， 他们认为 形
成无标度网络必须具备两个必要条件： 网络增长和节点之间的偏好连接． 陈清华和史定华在 ２ ０ ０ ３ 年提出了
２ ０ ０ ６ 年１ １ 月第 ６期 来自南 京 晓庄 学 院学报
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｎ Ａ Ｎ Ｊ Ｉ Ｎ Ｇ Ｘ Ｉ Ａ Ｏ Ｚ ＨＵ Ａ Ｎ Ｇ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｎｏ ｖ ．， ２ ０ ０ ６
Ｎｎ．６
单偏好随机网络演化模型
１
ｋ ； ＋ａ
来选取； 实施此操作的
ｋ ； ＋ａ
Ｎ Ｏ）一１
Ｐ ｉ一Ｐ ２一Ｐ ３ ．
单偏好依附机制在人们认识复杂网络过程中， 发挥了重要作用． 现实世界中也确实存在这样的网络， 例 如： 某公司要开通总部到若干子公司的高层专用电话， 这就是一个单偏好依附网， 这些“ 连接” 的一端是公司
（ ａ ） Ｎ （ ｔ ） 二 ｍ ｏ ＋ Ｐ ｉ （ ｔ 一 １ ） － Ｐ ． （ ｔ 一 １ ）ｔ － ） ． ０ ０
（ ｂ ） ｋ ｉ （ ｔ ； ＋ １ ） ＝ Ｐ ｌ ｅ ｌ
（ ｃ ） 艺ｋ ｊ （ ｔ ） 二 ２ （ ｔ － １ ） ［ Ｐ ｉ ｅ ｓ ＋ Ｐ ２ １ 一 （ １ 一 ， ， 一 ， ｚ 一 ， ３ ） Ｃ ｌ
一 １一
有 的６ 、 个 不 同 的 结 点 相 连， 其 偏 好 连 接 概 率 为： Ｉ Ｉ （ ｋ ； ）
ｋ ｉ ＋ａ
； 这里 ａ － ｝ － ０为一常数， 代表了网络
初偏好因子． 选择此操作的概率为： Ｐ ， ② 加边： 向网络 Ｇ （ ｔ ） 中的原有结点之间添加 ｌ 条边． 这些边的一端在 Ｇ （ ｔ ） 中随机选取， 另一端依据偏
好 连 接 概 率ｎ（ ｋ ｉ ）
ｋ ｉ ＋ａ
来选取； 实施此操作的概率为： Ｐ ２
③ 重连： 重新连接Ｇ （ ｔ ） 中已 有的的ｅ ２ 条边， 其中ｅ ２ 为随机变量， 它的值在非负整数集｛ ｎ １ ， ｎ ２ ， …， ｒ ｎ
中 随 机 选 取， 且ｐ （ ６ ＝ ｎ ８ ） ＝ ｎ ， （ ｅ ＝ １ ， … ， ： ） ， 这 里艺７ ７ ０ ＝ １ ． 具 体 实 施 如 下， 随 机 选 取 网 络Ｇ （ ｔ ） 中 一 个 结
ｍ ４ ｝ 中 随 机 选 取， 且Ｐ （ ｅ ， ＝ ｍ ｒ ） ＝ Ａ Ｔ （ Ｔ ＝ １ ９ … ， 、 ） ， 另艺Ａ ｉ ＝ １ ， 新 增 结 点 依 据 偏 好 原 则 与 网 络Ｇ （ ｔ ） 中 已
收稿日 期： ２ ０ ０ ６ － ０ ５ － ２ ９ 修改日 期： ２ ０ ０ ６ 一 １ ０ － ０ ９ 作者简介： 周洪伟（ １ ９ ７ ８ －） ， 南京晓庄学院数学系， 硕士
我们用Ｇ （ ｔ ） 表示ｔ 时间步初网络的结点数， ｔ 为时间步． 起始时刻， 网络Ｇ （ ０ ） 中包含ｍ 。 个相互独立的
结点． 每一时间步， 我们实施如下四种演化操作之一：
① 加点： 向网络Ｇ （ ｔ ） 中 添加一个结点， 同时添加６ ， 条边， ６ ： 为随机变量， 它的 值在非负整数集｛ ｍ ， ， 一，
Ｂ Ａ 模型的 推 广模型， 即网 络的 演化不仅包含加点、 加 边， 还应包 含重 连［ ７ ， ， 耿显民 和 李强在２ ０ ０ ４ 年 把以 上 模 型 做了 进一步推广， 在 模型中 引 人了 删 边这种 演化机制〔 ’ 〕 ， 而 且得出 此模型自 演化为无标度网 络的 结论． 在
以上三种模型中无论是新引人的节点的度， 还是删除的边数都是一常数， 这一点与现实网络不是很相符． 为 了更准确地描述现实网络的演化过程， 更好地揭示无标度网络的形成机制， 本文在以上工作的基础上提出了 一种新的随机网络演化模型， 即在每个时间步的操作中， 新引入结点的度 ｍ、 重联的边数 ｎ 都是随机变量． 运
ａ ｔ 艺 一１
一 一
＼ １ Ｉ Ｐ ２ １ － Ｐ ３ ６ ： 一 ２ （ １ － ｐ ， 一 Ｐ ： 一 Ｐ ３ ） Ｃ １ Ｐ ｉ ｅ ｒ ＋ Ｐ ２ １ ＋ Ｐ ３ ６ ２ Ｉ ＋丁； Ｉ — Ｉ ／ ‘一 Ｉ＼ Ｐｉ ／ ２ （ Ｐ ｌ ｅ ． ＋ Ｐ ２ １ 一 （ １ 一 Ｐ ； 一 Ｐ ： － Ｐ ３ ） Ｃ ） ＋ Ｐ ｉ ａ
用连 续 性理 论和随 机分析 理 论〔 ’ ［ ］ ８ 〕 ， 证明了 如果适当的 选取模型 参数， 此 模型 仍自 演化为无标度网 络． 最后
验证了分析的结果与计算机模拟具有很好的一致性．
１ 模型的建立
目 前偏好机制仍然是无标度网络的基本演化机制， 为了更精确的揭示现实网络是如何 自 演化为无标度 的， 本文提出如下随机模型：
‘ ． １
２ 单偏好依附随机网络模型理论分析
（ ３ ． １ ）
（ ３ ． ２ ）
１ 与 １ ’（２）、 ｜ 洲！ 油
（ ３ ． ３ ） （ ３ ． ４ ） （ ３ ． ５ ）
（ ３ ． ６ ）
ａ）］ ｎ
ａ ｋ ｉ （ ｔ ）
ａ ｋ ｉ （ ｔ ）
、、．．．挤 沙
、 ． 厂
１ １ ’ （ 、 ‘ ， 。 ） ＝ （ Ｐ ｉ （ ｔ － １ ） ） 一 ‘ ・ （ ‘ 一 １ １ （ “ （ ： ） ， ａ ） ）
运用连续性理论〔 ’ 〕 ， 假定ｋ ｉ （ ｔ ） 连续变化， 则可以得到以下结论：
“ ， （ ａ ｋ ｉ ａ （ ｔ ｔ ） ” ２ ［ 击・ ‘ （ ‘ 一 Ｎ （ １ ｔ ） ｝ ｝（ ‘ ＊ （ ！ ） ， ・ ） ］ （ ２ ） （ ａ ｋ ， ａ （ ｔ ｔ ）二 ， ３ １ － “ 命・ ６ ２ ‘ 一 击） ・ １ １ （ “ 、 （ ！ ， （ ， ， （ ａ ｋ ｉ ａ （ ｔ ｔ ）二 （ ‘ ， （ ａ ｋ ｉ ａ （ ｔ ｔ ）二 一 （ ‘ 一 ， １ 一 ， ｚ 一 ， ３ ’ ［ Ｉ Ｎ （ Ｃ ｔ ） 二 （ ‘ 一 命） ’ （ “ ￡ （ ‘ ） ， ａ ） ｝
Ｐ １ ｝ ｌ ＋ Ｐ ２ １ ＋ Ｐ ４ ２
八 Ｊ
令
２ （ Ｐ ｔ ｅ ｉ ＋ Ｐ ２ １ 一 （ １ 一 Ｐ ， 一 Ｐ ： 一 Ｐ ３ ） Ｃ ） ＋ Ｐ ， ａ
Ｐ ｝ ｌ 一 Ｐ ３ ６ ： 一 ２ （ １ 一 Ｐ ｉ 一 Ｐ ： 一 Ｐ ３ ） Ｃ 二Ｂ
Ｐ ｔ ｆ ｉ ｎ（ ｋ ｉ （ ｔ ） ， ａ ）
在每一个时间步当中 我们只实施上述４ 种操作中的一种， 所以：
一 ２一
尹了‘．．．１、 、
Ｉ（ ｋ ｊ ＋ ａ ）
｝ 来 选 取 ； 其 中 Ｎ （ ｔ ， 表 示 君 ” 间 步 网 络 中 的 结 点 ， 总 数 ； 实 施 此 操 作 的 概 率 为 ： ‘ －
（ ｄ ） 艺（ ｋ ； （ ｔ ） ＋ ａ ） 二 （ ｔ － １ ） １ ２ ［ Ｐ ， ６ １ ＋ Ｐ ２ １ 一 （ １ 一 ， ， 一 ， ２ 一 Ｐ ｓ ） Ｃ Ｉ ＋ Ｐ ｅ ａ ｌ
我们可得 ： （ ｅ ）当ｔ 。二时，
＝（ ｔ 一 １ ） ［ ２ （ Ｐ ｉ ｅ ｉ ＋ Ｐ ２ １ 一 （ １ 一 Ｐ ， 一 Ｐ ｚ 一 Ｐ ， ） Ｃ ） ＋ ｐ ， ａ ］ 一 ‘ （ ｋ ｉ （ ｔ ） ＋ ａ ） １ １ （ ｋ ｉ （ ： ） ， ａ ）
周洪伟
（ 南京晓庄学院 数学系， 江苏 南京 ２ １ ０ ０ １ ７ ）
摘 要： 为了 进一步探求复杂网络的形成机制， 文章提出了一种 Ｂ Ａ （ Ｂ ａ ｒ ａ ｂ （ ｔ ｓ ｌ － Ａ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ ） 模型的扩 展模型， 考虑网络节点增加的同时， 网络内 部演化对网络发展的影响． 该模型不仅包 含加点、 加边两 种外部演化； 而且还包含重连和删边两种内 部演化， 在每个时间步的操作中， 新引入结点的度、 重连 的边数都是随机的． 针对单偏好依附网络模型， 运用连续性理论及随机分析理论证明， 如果适当选 取模型参数， 这种网络 自 演化为无标度网络． 而且验证 了分析的结果与计算机模拟具有很好的一