不等式的综合应用(1)

不等式的综合应用（1）
一、基础梳理
1．运用不等式研究函数问题（单调性，最值等）.
2．运用不等式研究方程解的问题.
3．利用函数性质及方程理论研究不等式问题
二、双基自测：见优化探究66
三、例题讲解：
1、函数与不等式
①设f（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数且在（-∞，0）上为增函数.
（1）若m·n＜0,m+n≤0,求证：f（m）+f（n）≤0；

（2）若f（1）=0,解关于x的不等式f（2x-2x-2）＞0

②.已知f（x）=2x+bx+c（b,c为常数），方程f（x）=x的两个实根为1x，2x且满足1x＞
0, 2x-1x＞1
（1）求证：2b＞2（b+2c）；
（2）设0＜t＜1x,比较f（t）与1x的大小
2、数列与不等式
对于函数f（x），若存在0x∈R，使f（0x）=0x成立，则称0x为f（x）的不动点.
已知函数f（x）= （b,c∈N）有且仅有两个不动点0，2，
且f（-2）＜21 .
（1）求函数f（x）的解析式；

（2）已知各项均不为零的数列{an}满足4Sn·f（ na1 ）=1,求数列通项an；

（3）如果数列{bn}满足1b=4, nb+1=f（nb），求证：当n≥2时，恒有nb＜3成立.
②已知数列{an}的前n项和ns =n2-2n -1，其中n∈N*
（1）求ns-2na的最大值；

（2）记nb = nna2 ,数列{nb}的前n项和为nT.证明：①1nb＜nb+ 41 ②nT＜ 81 n
（n-1）.
四、作业：课时作业32

2
xabxc


不等式的综合应用（2）
一、例题讲解
1、不等式与解析几何

①设直线l:y=k（x+1）（k≠0）与椭圆2x +32y=2a（a＞0）相交于A、B两个不同的点，
与x轴相交于点C，记O为坐标原点.
（1）证明：2a＞ ;

（2）若CBAC2，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.
②（2009年江西高考）若不等式 29x≤k（x+2）-2 的解集为区间［a,b］，且b-a=2，
则k=_____.
2、不等式的实际应用
①某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和
生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间t（小时，且
规定早上6时t=0）的函数关系为W=100 .水塔的进水量分为10级，第一级每小时进
水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨若某天水塔原有水100吨，在开
始供水的同时打开进水管.
（1）若进水量选择2级，试问：水塔中水的剩余量何时开始低于10吨？
（2）如何选择进水量，既能始终保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出？
②某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉
的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.
（1）求该厂每隔多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
（2）某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，
问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.
二、作业
1、已知正项数列na中，对于一切*nN均有2na≤1nnaa成立.

1求证：数列na中的任何一项都小于1；
2
探究na与1n的大小，并加以证明.

2、（05北京春）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千
辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：

2
92031600v
yvv


(0)v

.1在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最

大？最大车流量为多少？（精确到1.0千辆/小时）2若要求在该时段内车流量超过10千
辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？
3 、（07届高三黄冈中学）已知关于x的不等式1102kxx的解集为空集，求实数k的
值或取值范围

2
2
313k

k
不等式的综合应用（3）
一、典例分析：
1． 设关于x的不等式221122aax和2312310xaxa的解集依次
为A、B求使AB的实数a的取值范围.
2．已知函数2121logxaafxa在R上为减函数，求实数a的取值范围.
3．1若关于x的方程4210xxaa有实数解，求实数a的取值范围.

2
解关于x的不等式：2111axxax（0a）.

二、走向高考：

1.（04
重庆） 设数列na满足12a，11nnnaaa，（1,2,3n，…）.


1
证明21nan对一切正整数n 成立；


2
令,(1,2,3......)nnabnn,判断1nnbb与的大小，并说明理由 .

2.(04
全国)已知数列na的前n项和nS满足2(1)nnnSa，n≥1.


1
写出数列na的前三项1a，2a，3a；


2
求数列na的通项公式；


3
证明：对任意的整数4m，有8711154maaa .

3.（05
江苏）设数列na的前n项和为nS，已知1231611aaa，，，且

1(58)(52)nnnSnSAnB

，123nL，，，其中AB，为常数.
(Ⅰ)求A与B的值；(Ⅱ)证明：数列na为等差数列；
(Ⅲ)证明：不等式51mnmnaaa对任何正整数mn，都成立.
4.（08
上海）已知函数f(x)＝2x－12|x|

⑴ 若f(x)＝2，求x的值
⑵ 若2t f(2t)+m f(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围
三、作业
1.
数列{}na的通项公式是290nnan，数列{}na中最大的项是

.A第9项 .B第10项 .C第8项和第9项 .D第9项和第10
项

2.
已知,,xyzR，且满足()1xyzxyz，则()()xyyz的最小值为

.A4 .B3 .C2 .D
1

3.
若实数,,,mnxy满足2222,mnaxyb()ab，则mxny的最大值是

.A2ab .Bab .C222ab .D
ab
ab
4.
设,xyR，221xy，(1)(1)mxyxy，则m的取值范围是

.A1[,1]2 .B(0,1] .C3[,1]4 .D
3
[,2]

4

5.已知,ab是大于0
的常数，则当xR时，函数()()()xaxbfxx的最小值为

6.
设,,,abxyR，且223ab，226xy，求axby的范围

7.
函数2()lg1fxxax在0,有意义，求a的取值范围

8.
周长为21的直角三角形面积的最大值为 ．

9.设,,abcR，2ab
且22cab恒成立，则c的最大值为

10.（08
届高三桐庐中学月考）若直线220(,0)axbyab始终平分圆

22
4280xyxy

的周长，则12ab的最小值为

.A1 .B5 .C42 .D
322
12.(06
苏大附中模拟)对于任意的1,32m，不等式224tmtm恒成立，则实数
t

的取值范围是
13.
若对一切实数x，不等式422242xxmx≥1恒成立，求实数m的取值范围.

14.k
为何实数时，方程220xkxk的两根都大于12

15.光线每通过一块玻璃板，其强度要减少10%
，把几块这样的玻璃板重叠起来，能使通过

它们的光线强度在原强度的31以下．(lg30.477)

16.
已知函数1()fxax.1求证：函数()yfx在(0,)上是增函数


2
若()2fxx在(1,)上恒成立，求实数a的取值范围.


3
若函数()yfx在[,]mn上的值域是[,]mn()mn，求实数a的取值范围.