云南省玉溪市红塔区第一中学2020-2021学年高二上学期期末数学(文)试题

云南省玉溪市红塔区第一中学2020-2021学年高二上学期期

末数学（文）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{}{}

25,2A x x B x x =-≤≤=≥，()R A C B = （ ）

A ．[]2,5-

B ．[)2,5-

C ．[)2,2-

D ．[]22-,

2．若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．||||a b >

B ．

11

a b a

>- C ．

11a b

> D ．22a b >

3．“1x =”是“2320x x -+=”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不

必要条件

4．等差数列{}n a 中，159424a a a ++=，则9132a a -=（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，且小正方形与大正方形面积之比为4:9，则()cos αβ-的值为（ ）

A ．

5

9

B ．

49

C ．

23

D ．0

6．1l ， 2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．12l l ⊥， 23l l ⊥13//l l ? B ．12l l ⊥， 23//l l ?13l l ⊥

C ．123////l l l ?1l ， 2l ，3l 共面

D ．1l ， 2l ，3l 共点 ?1l ， 2l ，3l 共面

7．直线0ax by c 同时要经过第一、第二、第四象限，则,,a b c 应满足（ ）

A ．0,0ab bc ><

B ．0,0ab bc <>

C ．0,0ab bc >>

D ．0,0ab bc <<

8．若0,0,lg lg lg()a b a b a b >>+=+，则+a b 的最小值为 A ．8

B ．6

C ．4

D ．2

9．三棱锥P ABC -中，ABC 为等边三角形，3PA PB PC ===，PA PB ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．

272

π B

C

．

D ．27π

10．如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，且函数()f x y x

=

在区间I 上是减函数，

那么称函数()y f x =是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数

()245f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为（ ）

A ．[2,)+∞

B

．??

C

．??

D ．[]0,2

11．若(

)sin f x x x =+在[],a a -上是增函数，则a 的最大值是（ ） A ．

6

π

B ．

3

π C ．

2

π D ．

23

π 12．已知抛物线()2

20y px p =>

过点12A ?

?，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB AB λ=，则实数λ=（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．1或2

二、填空题

13．已知向量(1,2)a =-，(2,1)b =，则2a b -=________.

14．已知约束条件1

400

x x y kx y ≥??

+-≤??-≤?

，表示面积为92的直角三角形区域，则实数k 的值为

____.

15．某口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有_________.

16．已知()0,2A ，点P 在直线20x y ++=上，点Q 在圆22:420C x y x y +--=上，则PA PQ +的最小值是________.

三、解答题 17．

在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. (1)求n a ；

(2)设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .

18．已知ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且

2cos cos (1tan tan )1A B A B -=-

，c =ABC ?（1）求C 的大小； （2）求+a b 的值.

19．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.

A 地区用户满意度评分的频率分布直方图

B 地区用户满意度评分的频数分布表

（1）在图中作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）.

B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：

公司负责人为了解用户满意度情况，从B 地区中调查8户，其中有2户满意度等级是不满意，求从这8户中随机抽取2户检查，抽到不满意用户的概率.

20．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ，且SA SC =，

SA BD ⊥.

（1）证明：SO ⊥平面ABCD ；

（2）若60BAD ∠=?，2AB SD ==，P 是侧棱SD 上一点，且//SB 平面APC ，求三棱锥A PCD -的体积.

21．已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =-与2x =处都取得极值． （1）求,a b 的值及函数()f x 的单调区间； （2）若对[2,3]x ∈-，不等式23

()2

f x c c +

<恒成立，求c 的取值范围． 22．设椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，

. （1）求椭圆的方程；

（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求证：直线PB 的斜率与直线MN 的斜率之积为定值．

参考答案

1．C 【解析】 【分析】

根据集合B 以及补集的定义先求出R C B ，再求其与A 的交集即可. 【详解】

∵{}{}

25,2A x x B x x =-≤≤=≥， ∴(){}

2R C B x x =<，则()[)2,2R A C B =-，

故选:C. 【点睛】

本题主要考查了集合间交集和补集的混合运算，主要是概念的理解，属于基础题. 2．B 【分析】

本题根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】

A 选项：∵0a b <<，∴ 0a b ->->即||||a b >，∴ A 选项正确；

B 选项：∵0a b <<，∴ 0a a b <-<即11

a b a

<-，∴ B 选项错误； C 选项：∵0a b <<，∴

11

a b

>，∴ C 选项正确； D 选项：∵0a b <<，∴ 0a b ->->即22a b >，∴ D 选项正确. 故选：B. 【点睛】

本题考查不等式的性质，是基础题. 3．B 【分析】

把1x =代入2320x x -+=成立，而由2320x x -+=推不出x 的值一定是1，还可能是2，即得解. 【详解】

由1x =，则213120-?+=，即2320x x -+=， 反之2320x x -+=，得1x =或2x =.

所以“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件. 故选：B 【点睛】

本题考查了充要条件的知识点，考查了学生逻辑推理，数学运算得能力，属于基础题. 4．D 【分析】

把已知的等式用首项和公差表示，然后进行化简，把要求的式子也用首项和公差表示后即可得到答案. 【详解】

∵数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由159424a a a ++=， 得()111144862424a a d a d a d ++++=+=，

∴144a d +=，则()9131112281244a a a d a d a d -=+--=+=， 故选:D. 【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，训练了整体运算思想方法，属于基础题. 5．A 【分析】

设大的正方形的边长为1，由已知可求小正方形的边长，可求cos si 2

3

n αα-=

，sin co 2

3

s ββ-=，且cos sin αβ=，sin cos αβ=，进而利用两角差的余弦函数公式，

同角三角函数基本关系式即可计算得解. 【详解】

设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为4:9， 可得:小正方形的边长为23

， 可得:cos si 2

3

n αα-=

，①

sin co 2

3

s ββ-=，②

由图可得:cos sin αβ=，sin cos αβ=，

①×②可得: cos sin sin cos cos cos sin si 49

n αβαβαβαβ=+--

()()22sin cos cos 1cos ββαβαβ=+--=--，

解得:()5

9

cos αβ-=， 故选:A. 【点睛】

本题主要考查了两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题. 6．B 【详解】

解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．

选项A ，可能相交．选项C 中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D ，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B. 7．A 【分析】

根据直线所过的区域得到斜率和纵截距的正负后可得,,a b c 满足的条件. 【详解】

因为直线过第一、第二、第四象限，故0a b

-<且0c

b ->，故0ab >且0b

c <，故选A.

【点睛】

直线方程的一般式为(

)

22

00ax by c a b ++=+≠，我们可从中得到直线的斜率为

()0a k b b =-

≠（当0b =时，直线的斜率不存在）

，横截距为c a -（0a ≠时），纵截距为c b

-（0b ≠时）. 8．C 【解析】 分析：

利用对数运算法则，得lg lg()ab a b =+，从而有ab a b =+，再利用基本不等式得

2

()4

a b a b ++≤

，化简可得4a b +≥，从而得所求最小值． 详解：

∵lg lg lg()a b a b +=+，∴lg lg()ab a b =+，∴ab a b =+，

∵0,0a b >>，∴2

()4

a b a b ab ++=≤，4a b +≥，当且仅当a b =时取等号．

故选C ．

点睛：

在用基本不等式求最值时，要注意其三个条件缺一不可，一正，二定，三相等，在求最值时，如果几次用到不等式进行放缩，那么一定要探索每个不等号中等号成立的条件是否是同一个，否则最后的等号不能取到．

9．D 【分析】

计算棱锥的高，判断外接球球心位置，利用勾股定理求出外接球的半径，代入体积公式计算. 【详解】

PA PB ⊥AB ∴=

又

3PA PB PC ===，P ∴在底面ABC 的射影为ABC 的中心O ，

设BC 的中点为D ，则2

3

AD AO AD OP =

====设三棱锥P -ABC 的外接球球心为M ，OP OA M <∴在PO 延长线上，

设,OM h MA OP h =∴==+

226+)h h h ∴=∴=

所以外接球的半径：r =

+=

故外接球的面积为：2427S R =π=π. 故选：D 【点睛】

本题考查了三棱锥的外接球，考查了学生空间想象，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 10．B 【分析】

由题意求()2

45f x x x =-+的增区间，再求()5

4f x y x x x

=

=-+的减函数，从而求缓增区间. 【详解】

由二次函数的性质可得()2

45f x x x =-+的增区间为[)2,+∞，

∵()5

4f x y x x x

=

=-+， ∴222

55

1x y x x

-'=-=，

令22

5

0x y x -'=<，得0x <或0x <<（或用对勾函数的单调性得单调区间）

即函数()f x y x

=

的减区间为)??和(

，

综上可得:函数的“缓增区间”I 为??，

故选:B. 【点睛】

本题主要考查了函数的性质应用，充分理解新定义是解题的关键，属于中档题. 11．A 【分析】

首先把函数的关系式利用辅助角公式变形成正弦型函数，进一步利用正弦函数的单调性即可

求出结果. 【详解】

函数(

)sin 2sin 3f x x x x π??

=+=+ ??

?

， 令3

222

2

k x k π

π

π

ππ-

+≤+

≤+

()k Z ∈，

解得:52266

k x k ππ

ππ-

+≤≤+()k Z ∈， ∵函数()f x 在[],a a -上是增函数， 所以52266

k a x a k ππ

ππ-

+≤-≤≤≤+()k Z ∈， 而k 的值只能取0，得6

a π

≤，即a 的最大值是

6

π

， 故选:A. 【点睛】

本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题. 12．B 【分析】

先求出抛物线方程，可得直线AB 的方程，再联立，求出M 的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】

因为抛物线()2

20y px p =>

过点12A ?

?，所以p =2，24y x ∴= 又抛物线准线与x 轴交于点B ，(1,0)B ∴-

∴直线AB

的方程为：1)y x =+代入24y x =，整理得：

212125202,2

x x x x -+=∴==

21

=

2112

MB AB λλ+==∴+ 故选：B 【点睛】

本题考查了直线和抛物线综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于较难题. 13．5 【分析】

将2a b -用坐标表示，再根据模长公式即可得结果. 【详解】

∵(1,2)a =-，(2,1)b =，

∴()20,5a b =--，则25a b -=， 故答案为:5. 【点睛】

本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，向量模长的坐标表示，属于基础题. 14．0 【分析】

作出二元一次不等式组对应的平面区域，当0kx

y 与1x =垂直时，满足题意.当

0kx y 与40x y +-=垂直时，不合题意，进而可得结果.

【详解】

先作出不等式1

40x x y ≥??+-≤?

对应的平面区域，如图:

直线0kx

y 恒过定点()0,0，又()1,3A ，()4,0B

要使阴影部分为直角三角形， 当0kx

y 与1x =垂直，即0k =时，

所围成的三角面积为19

3322

??=，满足题意; 当0kx

y 与40x y +-=垂直时，显然围成的直角三角形小于9

2

，舍去;

故而可得k 的值为0， 故答案为:0. 【点睛】

本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题. 15．15 【分析】

在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1-0.42-0.28，得到结果. 【详解】

口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球， 在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的, 摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28， 因此，摸出黑球的概率是1-0.42-0.28＝0.3， 所以，红球有21个，黑球有0.321

=150.42

?. 故答案为:15. 【点睛】

本题考查了互斥事件的概率公式，考查了学生实际应用，转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.

16．【分析】

求出点A 关于直线20x y ++=的对称点B 的坐标，可得PA PQ +的最小值BC r -. 【详解】

22:420C x y x y +--=可转化为：22(2)(1)5x y -+-=，则圆心为C (2,1)，

半径为r =

设A 关于直线20x y ++=的对称点B 的坐标为(a ,b )，则：

22022

4,2(4,2)21a b a b B b a

+?++=??∴=-=-∴--?

-?=?? PA PQ ∴+

的最小值是B r C -==

故答案为：【点睛】

本题考查了直线和圆综合问题，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 17．(1) 1

3n n a -=.（2）22

n n n

S -=.

【解析】

试题分析：(1)设{}n a 的公比为q ，依题意得方程组14

13

{

81

a q a q ==，

解得11{3

a q ==，即可写出通项公式.

（2）因为3log 1n n b a n ==-，利用等差数列的求和公式即得. 试题解析：(1)设{}n a 的公比为q ，依题意得

1413

{81

a q a q ==， 解得11{3

a q ==， 因此，1

3n n a -=.

（2）因为3log 1n n b a n ==-，

所以数列{}n b 的前n 项和21()22

n n n b b n n

S +-==

.

考点：等比数列、等差数列. 18．（1）3

C π

=；（2）3

【分析】

(1)通过切化弦的思想结合两角和的余弦公式可得()1

cos 2

A B +=-，即1cos 2C =，结合C

的范围即可得C 的值;

(2)通过三角形的面积可计算出3ab =，通过余弦定理可计算出225a b +=，两者相结合即可得+a b 的值. 【详解】

(1)∵sin sin 2cos cos 11cos cos A B A B A B ?

?-=- ???

，

∴2cos cos 2sin sin 1A B A B -=- ∴()1cos 2

A B +=-， ∴1cos 2

C =

， 因为()0,C π∈，所以3

C π

=.

(2)由(1)知3C π

=，

又因为1

sin 2

ABC

S

ab C =，

1sin 23

ab π

=，所以2ab =， 由余弦定理得:2

2

2232cos 23

a b ab a b π

==+-+-，即225a b +=，

所以()2

22+29a b a b ab +=+=， 所以3a b +=. 【点睛】

本题主要考查了三角形面积公式的应用，余弦定理的应用，“切化弦”思想是化简求值中常见的方法，属于中档题. 19．（1）见解析 （2）13

28

【分析】

（1）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可；

（2）记事件C ：从这8户中随机抽取2户检查，抽到不满意的用户，为古典概型，列举整个事件空间的基本事件数，以及事件C 包含的基本事件数，即得解. 【详解】 （1）如图

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，

B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散.

（2）设不满意用户为a ，b ，其他为1，2，3，4，5，6.列表为

(),a b (),1a (),2a (),3a (),4a (),5a (),6a (),1b (),2b (),3b (),4b (),5b (),6b

()1,2()1,3()1,4()1,5()1,6 ()2,3()2,4()2,5()2,6

()3,4()3,5()3,6

()4,5()4,6 ()5,6

记事件C ：从这8户中随机抽取2户检查，抽到不满意的用户.

()13

28

P C =

【点睛】

本题考查了统计与概率综合，考查了学生实际应用，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.

20．（1）见解析；（2）1

2

【解析】 【详解】

分析：（1)由题意可得SO AC ⊥，BD AC ⊥.则BD ⊥平面SAC .'BD SO ⊥.结合线面垂直的判断定理可得SO ⊥平面ABCD .

（2)连结PO ，转化顶点可得11

22

A PCD P ACD S ACD S ABCD V V V V ----===?.结合几何关系计算可得1

2

A PCD V -=

. 详解：（1)∵SA SC =，且O 是AC 中点，∴SO AC ⊥， ∵底面ABCD 是菱形，∴两对角线BD AC ⊥. 又∵SA BD ⊥，SA AC A ?=， ∴BD ⊥平面SAC .

∵SO ?平面SAC ，∴'BD SO ⊥. ∵AC

BD O =，AC ?平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，

∴SO ⊥平面ABCD . （2)连结PO ，

∵//SB 平面APC ，SB ?平面SBD ，平面APC 平面SBD OP =，

∴//OP SB ，∴P 是SD 中点. ∴24

11

A PCD P ACD S ACD S ABCD V V V V ----==

=?. ∵底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=?，2AB =，∴1OD =.

∵2SD =，∴SO =

∴ S ABCD V -=

123ABD S SO ???= 11

22232

???=. ∴12

A PCD V -=

.

点睛：本题主要考查线面垂直的判断定理，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转

化能力和计算求解能力.

21．（1）3{26a b =-

=-，()f x 的减区间为(1,2)-，增区间为(,1)-∞-，(2,)+∞；

（2）7

(,1)(,)2

-∞-?+∞．

【解析】

试题分析：（1）求出()'f x 并令其0=得到方程，把1x =-和2x =代入求出,a b 即可；（2）求出函数的最大值为()1f -，要使不等式恒成立，既要证()23

12

f c c -+<，即可求出c 的取值范围.

试题解析：（1）()2

32f x x ax b =++'，

由题意得：()()10{20

f f ''-==即320{1240a b a b -+=++=，解得3

{

26

a b =-

=- ∴()3

2

362

f x x x x c =-

-+，()2336f x x x '=--． 令()0f x '<，解得12x -<<，令()0f x '>，解得1x <-或2x > ∴()f x 的减区间为()1,2-，增区间为(),1-∞-，()2,+∞．

（2）由（1）知，()f x 在(),1-∞-上单调递增；在()1,2-上单调递减；在()2,+∞上单调递增．

∴[]

2,3x ∈-时，()f x 的最大值即为()1f -与()3f 中的较大者．()7

12

f c -=

+，()9

32f c =-+，∴当1x =-时，()f x 取得最大值，

要使()232f x c c +<，只需()2

312c f c >-+，即2275c c >+，解得1c <-或72

c >．

∴c 的取值范围为()7,1,2??

-∞-?+∞

???

． 22．（1）22

154

x y +=（2）证明见解析

【分析】

(1)由题意可得2b =，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，c ，进而得到所求椭

圆方程;

(2)由题意设()()

()0,,0P P p M P x y x M x ≠，，直线PB 的方程为2y kx =+，联立椭圆方程，

求得P 的坐标，再求出M 的坐标，由OP MN ⊥，运用斜率之积为1-，可以得出2k 的值，结合2

2

PB MN k k k ?=-即可得结果.

【详解】

(1)设椭圆的半焦距为c

，依题意24,c b a ==

又222a b c =+，

可得a =

2,b =1c =，

所以椭圆的方程为22

154

x y +=.

(2)由题意设()()

()0,,0P P p M P x y x M x ≠，

. 设直线PB 的斜率为()0k k ≠，

又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，

与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+???+=??整理得()22

45200k x kx ++=，

可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2

2

81045P k y k

-=+， 进而直线OP 的斜率2

4510P p y k x k

-=-. 在2y kx =+中，令0y =，得2

M x k

=-

. 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2

k -

. 由OP MN ⊥，得

2451102k k k -???-=- ?-??，化简得224

5

k =.

∴

212

25 PB MN

k

k k?=-=-.

所以直线PB与直线MN的斜率之积为定值

12

5 -.

【点睛】

本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立求交点，直线的斜率问题，考查化简运算能力，属于中档题.