不等式第11课时

第11课时基本不等式的证明(2)

1. 理解最值定理的使用条件：

一正二定三相等．

2. 运用基本不等式求解函数最值问题． 【课堂互动】

自学评价

１．最值定理：

若x 、y 都是正数，

(1)如果积xy 是定值P , 那么当且仅当x=y 时, 和x+y .

(2)如果和x+y 是定值S , 那么当且仅当

x=y 时, 积xy 有最大值 2

4

1S ． ２．最值定理中隐含三个条件： 一正二定 三相等 ． 【精典范例】 例1．(1).已知函数y=x+16

2

x +(x>－2), 求此函数的最小值.

(2)已知x<45, 求y=4x －1+1

45

x -的最

大值;

(3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy 的最大值;

(4)已知x , y ∈R + 且x+2y=1 , 求

11

x y

+的最小值.

答案：（1）y 的最小值为6（x=2）．

（２）y 的最大值为２(x=1)．

（３）xy 的最大值为

720(x=2,y=7

10

)． （4）

11

x y

+的最小值为223+ (2

2

1,12-

=-=

y x )．

例2. 错在哪里? （１）求2(x ∈R)的最小值.

解∵2 =2

?

∴ y 的最小值为2 .

.（２）已知x , y ∈R + 且x+４y=1，求

11

x y

+ 的最小值．

听课随笔

法一：由１＝xy y x 424≥+得

41≥xy

所以

11x y +82

≥≥xy

． 所以原式最小值为８．

法二：由11x y +xy

2≥

（当且仅当x=y 时等号成立）．于是有??

?=+=1

4y x y

x 得

x=y=0.2．所以

11

x y

+的最小值为5+5=10.

思维点拔：

１．利用基本不等式求最值问题时，一定要交代等号何时成立，只有等号成立了，才能求最值，否则要用其它方法了．而在证明不等式时，不必要交代等号何时成立．

２．例2是常见典型错误，它违背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后两条。

追踪训练一

1. 求函数y=4x 2+

2

9

x 的最小值； 2. 已知x<0 , 求y=2

1x x

+的最大值；

3. 已知x , y ∈R +, 且

x 1+y

9

=1 , 求x+y 的最小值; 4. 已知x>-2 , 求y=

2

3

2

x x -++的最大

值；

5. 已知x>1 ,0

取值范围； 答案：

（1）y 的最小值为１２（x=2

6

±）．

（２）y 的最大值为－２（x=1-）． （３）x+y 的最小值为16（x=12,4=y ）． （4）y 的最大值为２（x=1-）．

（5）y ]2,(--∞∈．

【选修延伸】

利用函数单调性求函数最值. 例3:求函数)4(2

16

≥++

=x x x y 的最小值.

略解：令2+=x t ，则6≥t 且

216

-+

=t

t y ，椐单调性定义可证：关于t 的函数y 在),6[+∞上为增函数，所以当6=t 时，y 的最小值为

3

20

．

思维点拔：

利用基本不等式求解时,等号不能成立,故改用函数单调性求解.

追踪训练二 求函数x x

y 22

sin sin 4

+=

的最小值.

答案：y 的最小值为５． 听课随笔

【师生互动】