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中考数学复习(一)动点型问题
一、中考专题诠释
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目
决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题.
. 解
“动点型问题”题型繁多、题意创新,考察学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、
推理能力等,是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲
解决动点问题的关键是“动中求静”.
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法,
来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变
化情况,理解图形在不同位置的情况,做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思
路 , 这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲
考点一:建立动点问题的函数解析式(或函数图像)
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律, 是初中数学的重要内容. 动点问题反映的是一种函数思想
于某一个点或某图形的有条件地运动变化, 引起未知量与已知量间的一种变化关系, 这种变化关系就是动点问题中的函数关系 .
例 1 如图,动点P 从点 A 出发,沿线段AB运动至点 B 后,立即按原路返回,点P 在运动过程中速度不变,则以点
为圆心,线段BP长为半径的圆的面积S 与点 P 的运动时间t 的函数图象大致为(), 由B
A.B.C.D.
对应训练
1.如图,⊙ O 的圆心在定角∠α( 0°<α< 180°)的角平分线上运动,且⊙
面积 S 关于⊙ O的半径r ( r > 0)变化的函数图象大致是()
O 与∠α 的两边相切,图中阴影部分的
A.B.C.D.
考点二:动态几何型题目
(一)点动问题.
例2 如图,梯形 ABCD中, AB∥ DC, DE⊥ AB, CF⊥ AB,且 AE=EF=FB=5, DE=12动点 P 从点 A 出发,沿折线 AD-DC-CB以每秒 1 个单位长的速度运动到点 B 停止.设运动时间为t 秒, y=S△EPF,则 y 与 t的函数图象大致是()
A.B.C.D.
对应训练
2.如图,点P 是以 O为圆心, AB 为直径的半圆上的动点,AB=2.设弦AP的长
为x,△ APO的面积
为
y,则下列图象中,
能表示y 与x 的函数关系的图象大致是()
A.B.C.D.
(二)线动问题
例 3 如右图所示,已知等腰梯形ABCD, AD∥ BC,若动直线l 垂直于BC,且向右平移,设扫过的阴影部分的面积为S,BP
为
x,则S 关于x 的函数图象大致是()
A.B.C.D.
对应训练
3.如图所示,在矩形ABCD中,垂直于对角
线BD的直
线
l ,从点 B 开始沿着线段BD 匀速平移到D.设直线l 被矩形所
截线段EF 的长度为y,运动时间为t ,则y 关于t的函数的大致图象是()
A.B.C.D.(三)面动问题
例 4 如图所示:边长分别为大正方形,设穿过的时间为1 和 2 的两个正方形,其中一边在同一水平线上,小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过
t ,大正方形内去掉小正方形后的面积为s,那么 s 与 t 的大致图象应为()
A.B.C.D.对应训练
4.如图所示,半径为 1 的圆和边长为间为 t ,正方形除去圆部分的面积为
3 的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,
S(阴影部分),则 S 与 t 的大致图象为()
设穿过时
A.B.C.D.
考点三:动点综合题
动态问题是近几年来中考数学的热点题型,解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题, 挖掘运动、变化的全过程, 并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系, 动中取静, 静中求动.
(一)因动点产生的等腰三角形问题
例 1 如图 1,在 Rt △ABC中,∠A= 90°,AB= 6,AC= 8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点 Q为边 AC上的一动点,且∠ PDQ=90°.
(1)求ED、EC的长;
(2)若BP= 2,求CQ的长;
(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.
图1 备用图
例 2 如图 1,抛物线y= ax2+ bx+ c 经过 A(-1,0)、 B(3,0)、C(0,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
( 3)在直线l 上是否存在点M,使△ MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点
在,请说明理由.
M的坐标;若不存
图1
例3 如图 1,点A在x轴上,OA= 4,将线段OA绕点O顺时针旋转 120 °至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;
( 3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、 O、 B 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
图 1
例 4 如图 1,已知一次函数y=- x+7与正比例函数y 4
x的图象交于点A,且与 x 轴交于点 B.3
(1)求点A和点B的坐标;
( 2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l //y 轴.动点 P 从点 O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O— C — A 的路线向点 A 运动;同时直线l 从点 B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l 交 x 轴于点 R,交线段 BA 或线段 AO于点 Q.当点 P 到达点 A 时,点 P 和直线 l 都停止运动.在运动过程中,设动点P 运动的时间为 t 秒.
①当 t 为何值时,以A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以、、
Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求
t
的值;若不存在,请说明理由.
A P
图1
例5 如图 1,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于 0 的常数),BC= 8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作 EF⊥ DE, EF与射线 BA交于点 F,设 CE= x, BF= y.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)若m= 8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
12
(3)若y,要使△ DEF为等腰三角形,m的值应为多少?m
图1
例6 如图 1,在等腰梯形ABCD中,AD// BC,E是AB的中点,过点E作EF// BC交CD于点F,AB= 4,BC= 6,∠B= 60°.(1)求点E到BC的距离;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过点P作PM⊥EF交BC于M,过M作MN// AB交折线ADC于N,连结PN,设EP
= x.
①当点 N在线段 AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理
由;
②当点
N 在线段上时(如图3),是否存在点,使△为等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的
x
的DC P PMN
值;若不存在,请说明理由.
图1 图 2 图 3
因动点产生的直角三角形问题例 1 如图 1,抛物线y 1 x23
x 4 与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,连结BC,以BC
42
为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点 P 是 x 轴上的一个动点,设点P的坐标为( m,0),过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点Q.
( 1)求点A、B、C的坐标;
( 2)当点 P 在线段 OB 上运动时,直线 l 分别交 BD 、BC 于点 M 、N .试探究 m 为何值时,四边形 CQMD 是平行四边形,此时,请判断四边形 CQBM 的形状,并说明理由; ( 3)当点 P 在线段
存在,请说明理由.
图 1
EB 上运动时,是否存在点
Q ,使△ BDQ 为直角三角形,若存在,请直接写出点
Q 的坐标;若不
例 2 如图 1,抛物线
y
3
x
2
3
x 3 与 x 轴交于 A 、 B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C .
8
4
( 1)求点 A 、 B 的坐标;
( 2 )设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△
ACD 的面积等于△ ACB 的面积时,求点 D 的坐标; ( 3 )若直线 l 过 点 E (4,0) , M 为直线 l 上的动点,当以 A 、 B 、 M 为顶点所作的直角三角形有且只有 三个时,求
.... 直线 l 的解析式.
图 1
例 3 在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数
y = k ( x 2+ x - 1) 的图象交于点 A (1, k ) 和点 B( - 1, - k ) .
( 1 )当 k =- 2 时,求反比例函数的解析式;
( 2 )要使反比例函数与二次函数都是
y 随 x 增大而增大,求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围;
( 3 )设二次函数的图象的顶点为 ,当△
是以 为斜边的直角三角形时,求 k 的值.
Q
ABQ
AB
例 4 设直线 l
: y = k
x + b 与 l
2
: y = k
x + b ,若 l
⊥ l 2,垂足为 H ,则称直线 l 1与 l 2是点 H 的直角线.
1
1
1
2
2
1
( 1 )已知 直线① y
1 x
2 ;② y x
2 ;③ y 2 x 2 ;④ y 2 x 4 和点 C (0 ,2) ,则直线 _______ 和 _______
2
是点 C 的直角线(填序号即可) ;
( 2 )如图,在平面直角坐标系中,直角梯形 OABC 的顶点 A (3 , 0) 、 B (2 , 7) 、 C (0 , 7) , P 为线段 OC 上一点,设 过 B 、P 两点的直线为 l 1 ,过 A 、 P 两点的直线为 l 2,若 l 1 与 l 2 是点 P 的直角线,求直线 l 1 与 l 2 的解析式.
图 1
例 5 在平面直角坐标系
xOy 中,抛物线 y
m 1 x 2 5m x m 2 3m 2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A ,点
4 4
B (2, n ) 在这条抛物线上.
( 1)求点 B 的坐标;
( 2)点 P 在线段 OA 上,从点 O 出发向点 A 运动,过点 P 作 x 轴的垂线,与直线
OB 交于点 E ,延长 PE 到点 D ,
使
得 = ,以 PD 为斜边,在 PD 右侧作等腰直角三角形 (当点 P 运动时,点 、 D 也随之运动) .
ED
PE
PCD
C
①当等腰直角三角形
PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时,求 OP 的长;
②若点
P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动, 速度为每秒 1 个单位, 同时线段 上另一个点
Q 从点
A 出发向点
O 作匀
OA
速运动,速度为每秒
2 个单位(当点 Q 到达点 O 时停止运动,点 P 也停止运动) .过 Q 作 x 轴的垂线,与直线 AB 交于
点 F ,延长 QF 到点 M ,使得 FM = QF ,以 QM 为斜边,在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN (当点 Q 运动时,点 M 、N 也随
之运动).若点 P 运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻
t 的值.
图 1
例 6 如图 1,已知 、 是线段 上的两点,
MN 4 , MA 1 , MB 1 .以
A 为中心顺时针旋转点 ,以
为中心
A B MN
MB
逆时针旋转点 N ,使 M 、 N 两点重合成一点 C ,构成△ ABC ,设 AB x .
( 1)求 x 的取值范围;
( 2)若△
为直角三角形,求 x 的值;
ABC
( 3)探究:△ ABC 的最大面积?
图 1
例 7 如图 1,直线
4
x 4 和 x 轴、 y 轴的交点分别为 B 、 C ,点 A 的坐标是( -2 , 0).
y
3
( 1)试说明△
是等腰三角形;
ABC
( 2)动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动,同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动,运动的速度均为每秒1
个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设 运动 t 秒时,△ 的面积为 .
M
MON S
①求 S 与 t 的函数关系式;
②设点 M 在线段 OB 上运动时,是否存在 S = 4 的情形?若存在,求出对应的
t 值;若不存在请说明理由;
③在运动过程中,当△ 为直角三角形时,求 t
的值.
MON
图 1
例 8 如图 1,直线y4 4 和x轴、y轴的交点分别为B、 C,点 A 的坐标是(-2,0).
x
3
( 1)试说明△ABC是等腰三角形;
( 2)动点M
从A 出发沿x轴向点 B 运动,同时动点N 从点 B 出发沿线段BC向
点
C运动,运动的速度均为每
秒
1
个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运
动t秒时,△MON的面积
为
S.
①求S 与t的函数关系式;
②设点 M在线段 OB上运动时,是否存在S=4的情形?若存在,求出对应的t 值;若不存在请说明理由;
③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t 的值.
图1
课后练习(一)
一、选择题
1.如图, Rt △ ABC中,∠ ACB=90°,∠ ABC=60°,BC=2cm,D 为 BC的中点,若动点
E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发,沿
着 A→B→A的方向运动,设 E 点的运动时间为t 秒(0≤t < 6),连接 DE,当△ BDE是直角三角形时,t 的值为()
A. 2B. 2.5或 3.5C . 3.5或4.5D. 2 或 3.5或4.5
2.图 1 所示矩形ABCD中, BC=x,CD=y,y 与 x 满足的反比例函数关系如图 2 所示,等腰直角三角形AEF的斜边 EF 过C 点, M为 EF 的中点,则下列结论正确的是()
A.当 x=3 时, EC< EMB.当 y=9 时, EC>EM
C.当 x 增大时, ECCF的值增大D.当 y 增大时, BEDF的值不变
3.如图,将边长为 4 的正方形ABCD的一边 BC与直角边分别是 2 和 4 的 Rt △ GEF的一边 GF重合.正方形 ABCD以每秒
1 个单位长度的速度沿GE向右匀速运动,当点 A 和点 E 重合时正方形停止运动.设正方形的运动时间为t 秒,正方形ABCD与 Rt △ GEF重叠部分面积为s,则 s 关于 t 的函数图象为()
A.B.C.D.
4.如图,在平面直角坐标系xOy 中, A( 0,2),B( 0, 6),动点 C 在直线 y=x 上.若以 A、 B、 C 三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点 C 的个数是()
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点 A、 B 的坐标分别为( 8, 0)、( 0, 6).动点 Q从点 O、动点 P 从点
A 同时出发,分别沿着OA方向、 AB方向均以 1个单位长度 / 秒的速度匀速运动,运动时间为t (秒)( 0<t ≤5).以 P 为圆心, PA 长为半径的⊙ P 与 AB、 OA的另一个交点分别为C、 D,连接 CD、 QC.
( 1)求当 t 为何值时,点Q 与点 D 重合?
( 2)设△ QCD的面积为 S,试求 S 与 t 之间的函数关系式,并求S 的最大值;
( 3)若⊙ P 与线段 QC只有一个交点,请直接写出t 的取值范围.
6.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点 A 的坐标为( 0, 4),点 B 的坐标为( 4, 0),点 C 的坐标为( -4 ,0),点 P 在射线 AB上运动,连结CP与 y 轴交于点 D,连结 BD.过 P,D,B 三点作⊙ Q 与 y 轴的另一个交点为 E,延长
DQ交⊙ Q于点 F,连结 EF,
BF.
(1)求直线 AB 的函数解析式;
(2)当点 P 在线段 AB(不包括 A, B 两点)上时.①
求证:∠ BDE=∠ ADP;
②设 DE=x, DF=y.请求出 y 关于 x 的函数解析式;
( 3)请你探究:点P 在运动过程中,是否存在以B, D,F 为顶点的直角三角形,满足两条直角边之比为2: 1?如果存在,求出此时点P 的坐标:如果不存在,请说明理由.
7. 如图,直角梯形OABC中, AB∥ OC, O为坐标原点,
点 A 在 y 轴正半轴上,点 C 在 x 轴正半轴上,点
B坐标为(2,
2
3) ,∠BCO=60 °,OH⊥BC于点H。动点P从点H出发,沿线
段HO向点 O运动,动点Q从点 O出发,沿线段 OA向点
A 运动,两点同时出发,速度都为每秒 1 个单位长度。设点P运动的时间为t 秒。
⑴求 OH的长;
⑵若△的面积为( 平方单位 ) 。求
S 与
t
之间的函数关系式。并求
t
为何值时,△的面积最大,最大值是多少?
OPQ S OPQ ⑶设 PQ与 OB交于点 M。①当△ OPM,为等腰三角形时,求⑵中S 的
值。②探究线段长度的最大值是多少,直接写出结论。
OM
8. 如图,在等腰梯形中,∥,== 50,= 75,= 135。点
P 从点
B
出发沿折线段
BA
ABCD AD BC AB DC AD BC
- AD- DC以每秒
5个单位长的速度向点 C 匀速运动;点 Q从点 C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运
动,过点 Q向上作射线QK⊥ BC,交折线段 CD- DA- AB于点 E。点 P、Q同时开始运动,当点 P 与点 C重合时停止运动,
点 Q也随之停止。设点P、 Q运动的时间是t 秒( t >0)。
⑴当点 P到达终点 C时,求 t 的值,并指出此时BQ的长;⑵当点 P
运动到 AD上时, t 为何值能使PQ∥ DC?
⑶设射线QK扫过梯形ABCD的面积为 S,分别求出点 E 运动到 CD、DA上时, S 与 t 的函数关系式;( 不必写出t 的取值
范围 )
⑷△能否成为直角三角形?若能,写出
t 的取值范围;若不能,请说明理由。
PQE
9. 如图所示,直角梯形OABC的顶点 A、 C分别在 y 轴正半轴与x 轴负半轴上。过点 B、C 作直线 l 。将直线 l 平移,平
移后的直线
l 与
x
轴交于点,与
y
轴交于点。
D E
⑴将直线
l 向右平移,设平移距离为(
t
≥ 0) ,直角梯形被直线
l
扫过的面积 ( 图中阴影部份 ) 为,关于
t CD t OABC S S
的函数图象如图2所示, OM为线段, MN为抛物线的一部
分,NQ为射线, N 点横坐标为4。①求梯形上底AB 的长及
直角梯形的面积;
OABC
②当 2<t< 4 时,求S关于t的函数解析式;
⑵在第⑴题的条件下,当直线 l向左或向右平移时 ( 包括l与直线BC重合 ) ,在直线AB上是否存在点P,使△PDE为等
腰直角三角形?若存在,请求出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
因动点产生的线段和差问题
例1 在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0), B(0,4),点 E 在 OB上,且∠ OAE=∠ OBA.
(1)如图 1 ,求点E的坐标;
( 2)如图 2,将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′ O′,连结 A′ B、 BE′.
①设 AA ′= m ,其中 0< m < 2,使用含
m 的式子表
示
A ′
B 2 + BE ′ 2,并求出使
A ′
B 2 + BE ′ 2 取得最小值时点
E ′的
坐标;
②当
A ′
B + BE ′取得最小值时,求点
E ′的坐标(直接写出结果即可)
.
图 1 图 2
例 2 如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线y = ax 2+ bx + c 经过 A ( - 2, - 4) 、 O (0,0) 、
( 1)求抛物线 y = ax 2+ bx + c 的解析式;
( 2)若点 M 是该抛物线对称轴上的一点,求AM + OM 的最小值.
图 1
例 3 如图
1,在平面直角坐
标系中,抛物线
y =- x 2+ 2x + 3
与 x
轴交于 A 、B 两点,与 y 轴交于点 C ,点
D 是抛物线的
顶点.
( 1)求直线
AC 的解析式
及
B 、 D 两点的坐标;
( 2)点 P 是 x 轴上的一个动点,过
P 作直线 l // AC 交抛物线于点 Q .试探究:随着点 P 的运动,在抛物线上是否
存在点 Q ,使以 A 、 P 、 Q 、 C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点
Q 的坐标;若不存在,
请说明理由;
( 3)请在直线 AC 上找一点 M ,使△ BDM 的周长最小,求出点 M 的坐标.
图 1
因动点产生的面积问题
例 1 如图 1,已知抛物线 y
1 x
2 bx c ( b 、 c 是常数,且 c <0)与 x 轴交于 A 、 B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与
2
y 轴的负半轴交于点
,点
A 的坐标为 ( - 1,0) .
C
( 1) b = ______,点 B 的横坐标为 _______ (上述结果均用含
c 的代数式表示) ;
( 2)连结
,过点 A 作直线 // ,与抛物线交于点
.点 D 是 x 轴上一点,坐标为 (2,0) ,当 、 、 三点在
BC AE BC
E C D E
同一直线上时,求抛物线的解析式;
( 3)在( 2)的条件下,点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点,连结
PB 、 PC .设△ PBC 的面积为 S .
①求 S 的取值范围;
②若△ PBC 的面积 S 为正整数,则这样的△ PBC 共有 _____个.
图 1
例 2 如图 1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶 点为 A (0,1) 、 B (2,0) 、O (0,0) ,将此三角板绕原点
O 逆
时针旋转 90°,得到三角形 A ′ B ′ O .
( 1)一抛物线经过点 ′、 ′、 ,求该抛物线的解析式;
A B B
( 2)设点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点 P ,使四边形 PB ′A ′ B 的面积是△ A ′ B ′ O 面积的 4
倍?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;
( 3)在( 2)的条件下,试指出四边形PB ′ A ′ B 是哪种形状的四边形?并写出它的两条性质.
图 1
1 2
例 3 如图 1,在平面直角坐标系中,直线y x 1 与抛物线 y = ax + bx - 3 交于 A 、 B 两点,点 A 在 x 轴上,点 B 的
2
纵坐标为 3.点
P 是直线
下方的抛物线上的一动点(不与点 、 重合),过点
P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 ,作
AB
A B
C
PD ⊥ AB 于点 D .
( 1)求 a 、 b 及 sin ∠ ACP 的值;
( 2)设点 P 的横坐标为 m . ①用含 m 的代数式表示线段 PD 的长,并求出线段 PD 长的最大值;
②连结,线段
把△
分成两个三角形,是否存在适合的
m 的值,使这两个三角形的面积比为
9∶ 10 ?若存
PB PC PDB
在,直接写出 m 的值;若不存在,请说明理由.
图 1
例 4 如图 1,直线 l 经过点 A (1 , 0) ,且与双曲线
y
m
( x > 0) 交于点 B (2 , 1) .过点 P( p, p 1) ( p > 1) 作 x 轴的平行
x
线分别交曲线
y
m ( x > 0) 和
y
m ( x < 0) 于 、 两点.
x
x
M N
( 1)求 m 的值及直线 l 的解析式;
( 2)若点 P 在直线 y = 2 上,求证:△ PMB ∽△ PNA ;
( 3)是否存在实数 p ,使得 S △ AMN = 4S △ AMP ?若存在,请求出所有满足条件的
图 1
p 的值;若不存在,请说明理由.
例 5 如图 1,四边形 OABC 是矩形,点 A 、 C 的坐标分别为 (3,0) , (0,1) .点 D 是线段 BC 上的动点(与端点 B 、 C 不重
合),过点
作直线 1
D y
x b
交折线
OAB
E
2
于点
.
( 1 )记△ ODE 的面积为 S ,求 S 与 b 的函数关系式;
( 2 )当点 E 在线段 上时,若矩形 关于直线
的对称图形为四边形
1 1 1 1
,试探究四边形
1 1 1 1
与矩
OA
OABC
DE OA B C OAB C
形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
图 1
例 6 如图 1,在△ ABC 中,∠ C = 90°, A C = 3,BC = 4,CD 是斜边 AB 上的高,点 E 在斜边 AB 上,过点 E 作直线与△ ABC 的直角边相交于点 F ,设 AE = x ,△ AEF 的面积为 y .
( 1)求线段 AD 的长;
( 2)若 EF ⊥ AB ,当点 E 在斜边 AB 上移动时,
①求 y 与 x 的函数关系式(写出自变量
x 的取值范围) ;
②当 x 取何值时, y 有最大值?并求出最大值.
( 3)若点 F 在直角边 AC 上(点 F 与 A 、 C 不重合),点 E 在斜边 AB 上移动,试问,是否存在直线
EF 将△ ABC
的
周长和面积同时平分?若存在直线 ,求出 x 的值;若不存在直线 ,请说明理由.
EF
EF
图 1 备用图
例 7 如图 1,正方形 ABCD 中,点 A 、B 的坐标分别为( 0,10 ),( 8, 4),点 C 在第一象限.动点 P 在正方形 ABCD 的边 上,从点 A 出发沿 A → B → C → D 匀速运动, 同时动点 Q 以相同速度在 x 轴上运动, 当 P 点到 D 点时,两点同时停止运动, 设运动的时间为 t 秒.
( 1)当 P 点在边
上运动时,点 Q 的横坐标 x (长度单位)关于运动时间 t (秒)的函数图象如图 2 所示,请
AB
写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度;
( 2)求正方形边长及顶点 C 的坐标;
( 3)在( 1)中当 t 为何值时, △ OPQ 的面积最大,并求此时 P 点的坐标.
( 4)如果点 P 、 Q 保持原速度速度不变,当点 P 沿 A → B →C → D 匀速运动时, OP 与 PQ 能否相等,若能,写出所有符合条件的 t 的值;若不能,请说明理由.
图 1 图 2
因动点产生的梯形问题
例 1
2
已知直线 y = 3x - 3 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A , B ,抛物线 y = ax + 2x + c 经过点 A , B .
( 1 )求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
( 2 )记该抛物线的对称轴为直线 l ,点 B 关于直线 l 的 对称点为 ,若点 D 在 y 轴的正半轴上,且四边形 ABCD
C
为梯形.
①求
点 D 的坐标;
②将此抛物线向右平移,平移后抛物线的顶点为
P ,其对称轴与直线 y = 3x - 3 交于点 E ,若 tan DPE
3
,求
7
四边形
的面积.
BDEP
图 1
例 2 如图 1,把两个全等的 Rt △
和 Rt △
方别置于平面直角坐标系中,
使直角边
、 在
x 轴上.已知点
(1 ,
AOB
COD
OB OD
A
2) ,过 A 、 C 两点的直线分别交 x 轴、 y 轴于点 E 、 F .抛物线 y = ax 2
+ bx + c 经过 O 、 A 、 C 三点.
( 1)求该抛物线的函数解析式;
( 2)点
P 为线段
上的一个动点,过点
P 作
y 轴的平行线交抛物线于点
,交
x 轴于点
,问是否存在这样的点
OC
M
N
P ,使得四边形 ABPM 为等腰梯形?若存在,求出此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;
( 3)若△
沿 方向平移(点
A 始终在线段
上,且不与点
C 重合),△
在平移的过程中与△
重叠部
AOB AC
AC
AOB
COD
分的面积记为
S .试探究 S 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
图 1
例 4 已知二次函数的图象经过 A ( 2,0)、 C (0 , 12) 两点,且对称轴为直线 x = 4,设顶点为点 P ,与 x 轴的另一交点为
点 B .
( 1)求二次函数的解析式及顶点P 的坐标;
( 2)如图 1 ,在直线
= 2 x 上是否存在点 ,使四边形
为等腰梯形?若存在,求出点
D 的坐标;若不存在,
y
D
OPBD
请说明理由;
( 3)如图 2 ,点 M 是线段 OP 上的一个动点
( O 、 P 两点除外),以每秒 2 个单位长度的速度由点
P 向点 O 运动, 过点 作直线 // 轴,交 PB 于点 .将△ 沿直线 对折,得到△ 1 .在动点
的运动过程中,设△ 1与梯
M MN x N PMN MN P MN M
P MN
形 OMNB 的重叠部分的面积为 S ,运动时间为 t 秒,求 S 关于 t 的函数关系式.
图 1 图 2
例 5 如图 1,在平面直角坐标系
xOy 中,抛物线的解析式是
y = 1
x 2
1,点 C 的坐标为 ( – 4, 0) ,平行四边形 OABC
4
的顶点 A , B 在抛物线上, AB 与 y 轴交于点 M ,已知点 Q ( x , y ) 在抛物线上,点 P ( t , 0) 在 x 轴上.
(1) 写出点 M 的坐标;
(2) 当四边形 CMQP 是以 MQ , PC 为腰的梯形时.
①求 t 关于 x 的函数解析式和自变量
x 的取值范围;
②当梯形 的两底的长度之比为
1∶ 2 时,求
t 的值.
CMQP
图 1
例 6 如图 1,二次函数 y x 2
px q( p
0) 的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点,与 y 轴交于点 C ( 0,- 1),△ ABC 的
面积为 5
.
4
( 1 )求该二次函数的关系式;
( 2 )过 y 轴上的一点 M ( 0, m )作 y 轴的垂线,若该垂线与△ A BC 的外接圆有公共点,求 m 的取值范围; ( 3 )在该二次函数的图象上是否存在点 ,使以 、 、 、 为顶点的四边形为直角梯形?若存在,求出点 D 的
D A B C D
坐标;若不存在,请说明理由.
图 1
因动点产生的相切问题
例 1 如图 1,已知⊙ O 的半径长为
3,点 A 是⊙ O 上一定点,点
P 为⊙ O 上不同于点 A 的动点.
( 1)当 tan A
1
时,求 AP 的长;
2
( 2)如果⊙ Q 过点 P 、 O ,且点 Q 在直线 AP 上(如图 2),设 AP = x , QP = y ,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出函
数的定义域;
( 3)在( 2)的条件下,当 tan A
4
时(如图
3 ),存在⊙ M 与⊙ O 相内切,同时与⊙
Q 相外切,且 OM ⊥ OQ ,试求
⊙
M 的半径的长.
3
图 1 图 2 图 3
例 2 如图 1,A ( - 5,0) , B ( - 3,0) ,点 C 在 y 轴的正半轴上,∠ CBO =45 °, CD // AB ,∠ CDA = 90 °.点 P 从点 Q (4,0 )
出发,沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动,运动时 间为 t 秒.
( 1)求点 C 的坐标;
( 2)当∠ BCP = 15°时,求 t 的值;
( 3) 以点 P 为圆心,
为半径的⊙
P 随点
P 的运动而变化,当⊙
P 与四边形
的边(或边所在的直线)相切
PC ABCD
时,求 t 的值.
图 1
例 3 如图 1,菱形 ABCD 的边长为 2 厘米, ∠ DAB = 60°.点 P 从 A 出发,以每秒 3 厘米的速度沿 AC 向 C 作匀速运动;
与此同时,点
Q 也从点 A 出发,以每
秒 1 厘米的速度沿射线作匀速运动.当点 P 到达点 C 时, P 、Q 都停止运动.设点 P 运动的时间为 t 秒.
( 1)当 P 异于 A 、 C 时,请说明 PQ // BC ;
( 2)以 P 为圆心、 长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,
t 为怎样的值时,⊙
P 与边 分别有 1 个公共
PQ
BC
点和 2 个公共点?
图 1
因动点产生的相似三角形问题
例 1 如图 1,在平面直角坐标系
xOy 中,顶点为 M 的抛物线 y = ax 2 + bx ( a > 0)经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B , AO
= BO = 2,∠ AOB = 120°.
( 1)求这条抛物线的表达式;
( 2)连结 OM ,求∠ AOM 的大小;
( 3)如果点 C 在 x 轴上,且△ ABC 与△ AOM 相似,求点 C 的坐标.
图 1 例 2 如图 1,已知抛物线 y
1 x
2 1
(b 1)x
b
(b 是实数且 b > 2)与 x 轴的正半轴分别交于点
A 、
B (点 A 位于点 B
4
4
4
是左侧),与 y 轴的正半轴交于点 .
C
( 1)点 B 的坐标为 ______,点 C 的坐标为 __________ (用含 b 的代数式表示) ;
( 2)请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形 PCOB 的面积等于 2b ,且△ PBC 是以点 P 为直角顶点的等
腰直角三角形?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由;
( 3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得△ QCO 、△ QOA 和△ QAB 中的任意两个三角形均相似(全等
可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点
Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.
图 1
例 3 如图 1,已知抛物线的方程
1:
1 ( x 2)(x m) ( > 0) 与 x 轴交于点
、 ,与 y 轴交于点
,且点 B 在点 C
C
y
m
B C
E
m
的左侧.
( 1)若抛物线 C 1 过点 M (2,2) ,求实数 m 的值;
( 2)在( 1)的条件下,求△ BCE 的面积;
( 3)在( 1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点
H ,使得 BH + EH 最小,求出
点 H 的坐标;
( 4)在第四象限内,抛物线 1 上是否存在点 ,使得以点
、 、 为顶点的三角形与△
相似?若存在,求
m
C
F
B C F
BCE
的值;若不存在,请说明理由.
图 1
例 4 如图 1,已知梯形 OABC ,抛物线分别过点 O ( 0, 0)、 A ( 2, 0)、 B ( 6, 3).
( 1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标;
( 2)将图 1 中梯形 的上下底边所在的直线
、 以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点
1
、 1、
OABC
OA CB
O
A
C 1、B 1 ,得到如图 2 的梯形 O 1A 1 B 1C 1.设梯形 O 1A 1B 1C 1 的面积为 S ,A 1、B 1 的坐标分别为 ( x 1,y 1) 、( x 2,y 2) .用含 S 的代数
式表示2-
x 1
,并求出当
=36 时点
1
的坐标;
x
S
A
( 3)在 图 1 中,设点 D 的坐标为 (1 ,3) ,动点 P 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动,
动点 Q 从点 D 出发,以与点 P 相同的速度沿着线 段 DM 运动. P 、 Q 两点同时出发,当点 Q 到达点 M 时, P 、 Q 两点同
时停止运动. 设 、 两点的运动时间为 t ,是否存在某一时刻 t ,使得直线 、直线 、x 轴围成的三角形与直线 、
P Q
PQ AB
PQ
直线 AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出
t 的值;若不存在,请说明理由.
图 1 图 2
例 5 如图 1,抛物线经过点 A (4 , 0) 、 B ( 1, 0) 、 C ( 0,- 2)三点.
( 1)求此抛物线的解析式;
( 2) P 是抛物线上的一个动点,过
P 作 ⊥ 轴,垂足为 ,是否存在点
,使得以
、 、
M 为顶点的三角形与
PM x M
P
A P
△ OAC 相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△ DCA的面积最大,求出点 D 的坐标.
,
图 1
例62008 年苏州市中考第 29 题
图1