济南中考数学易错题精选-平行四边形练习题

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；

（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．

【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2．

【解析】

试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出

∠APB=∠PBC即可得出答案；

（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出

PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；

（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值．

试题解析：（1）解：如图1，

∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．

即∠PBC=∠BPH．

又∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．

由（1）知∠APB=∠BPH ，

又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ，

在△ABP 和△QBP 中，

{90APB BPH

A BQP BP BP

∠=∠∠=∠=?=，

∴△ABP ≌△QBP （AAS ），

∴AP=QP ，AB=BQ ，

又∵AB=BC ，

∴BC=BQ ．

又∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，

在△BCH 和△BQH 中，

{90BC BQ

C BQH BH BH

=∠=∠=?=，

∴△BCH ≌△BQH （SAS ），

∴CH=QH ．

∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

∴△PDH 的周长是定值．

（3）解：如图3，过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM=BC=AB ．

又∵EF 为折痕，

∴EF ⊥BP ．

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，

∴∠EFM=∠ABP ．

又∵∠A=∠EMF=90°，

在△EFM 和△BPA 中，

{EFM ABP

EMF A FM AB

∠=∠∠=∠=，

∴△EFM ≌△BPA （AAS ）．

∴EM=AP ．

设AP=x

在Rt △APE 中，（4-BE ）2+x 2=BE 2．

解得BE=2+2

8

x ， ∴CF=BE-EM=2+28

x -x ， ∴BE+CF=24

x -x+4=14（x-2）2+3． 当x=2时，BE+CF 取最小值，

∴AP=2．

考点：几何变换综合题．

2．问题发现：

（1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长．

问题探究：

（2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度．

问题解决：

（3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==

，点

(10P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，35；（3）(0,0)E ，(5,5)F ．

【解析】

试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分．

（2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分．

（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．

试题解析：（1）作图如下：

（2）∵(6,7)P ，(4,3)O '， ∴设:6PO y kx =+'，

67{43k b k b +=+=，2{5

k b ==-， ∴25y x =-，

交x 轴于5,02N ?? ???

， 交BC 于11,62M ??

???

， 2211563522MN ??=+-= ???

（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长． ∵(1052,1052)P --在直线y x =上，

∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ，

设:BC y kx b =+，(8,2)(2,8)B C ，

82{28k b k +=+=，1{10

k b =-=， ∴直线:10BC y x =-+，

联立10{y x y x =-+=，得55x y =??=?

， ∴(0,0)E ，(5,5)F ．

3．操作：如图，边长为2的正方形ABCD ，点P 在射线BC 上，将△ABP 沿AP 向右翻折，得到△AEP ，DE 所在直线与AP 所在直线交于点F ．

探究：（1）如图1，当点P 在线段BC 上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE 的度数；②若点E 恰为线段DF 的中点时，请通过运算说明点P 会在线段BC 的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数．

归纳：（2）若点P 是线段BC 上任意一点时（不与B ，C 重合），∠AFD 的度数是否会发生变化？试证明你的结论；

猜想：（3）如图2，若点P 在BC 边的延长线上时，∠AFD 的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．

【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析.

【解析】

试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG 度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设

∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．

试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣

30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：

如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，

DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，∴AF垂直平分线段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，

∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P为BC的中点，∴∠DAF=90°﹣

∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°；（2）∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，

在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且

∠1=∠BAP，∴∠1+∠2=×90°=45°，即∠FAG=45°，则∠AFD=90°﹣45°=45°；（3）如图2所示，∠AFE的大小不会发生变化，∠AFE=45°，

作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，

∴∠BAE=90°+2α，∴∠FAE=∠BAE=45°+α，∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°，在Rt△AFG中，∠AFE=90°﹣45°=45°．

考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.

4．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

413

【答案】（1）证明见解析；（2

【解析】

分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；

（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.

详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，

∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF ，

在△BOE 和△DOF 中，

OBE ODF OB OD

BOE DOF ∠=∠??=??∠=∠?

∴△BOE ≌△DOF （ASA ），

∴EO=FO ，

∴四边形BEDF 是平行四边形；

（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，

设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ，

在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，

∴x 2=42+（6-x ）2，

解得：x= 133， ∵

BD=

22AD AB + =213， ∴OB=12BD=13， ∵BD ⊥EF ，

∴EO=22BE OB -=

213， ∴EF=2EO=413． 点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键

5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB 为边向外作等边△ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．

（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC 的面积．

【答案】（1）见解析；（2）S 平行四边形ADBC =

32

． 【解析】

【分析】

（1）在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点，则CE=12AB ，BE=12AB ，得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF ≌△BEC ，得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°，得∠AFE =∠D=60度.所以FC ∥BD ，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD ∥BC ，即FD//BC ，则四边形BCFD 是平行四边形.

（2）在Rt △ABC 中，求出BC ，AC 即可解决问题；

【详解】

解：（1）证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，在等边△ABD 中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∵E 为AB 的中点，∴AE=BE ，又∵∠AEF=∠BEC ，∴△AEF ≌△BEC ，在△ABC 中，∠ACB=90°，E 为AB 的中点，∴CE=12AB ，BE=12AB ，∴CE=AE ，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°，又∵△AEF ≌△BEC ，

∴∠AFE=∠BCE=60°，又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°，∴FC ∥BD ，又

∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD ∥BC ，即FD ∥BC ，∴四边形BCFD 是平行四边形；

（2）解：在Rt △ABC 中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AF=3，AC=3

3，∴S 平行四边形BCFD =3×33=93，S △ACF =12×3×33=932，S 平行四边形ADBC =2732

． 【点睛】

本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

6．如图①，四边形ABCD 是知形，1,2AB BC ==，点E 是线段BC 上一动点(不与,B C 重合)，点F 是线段BA 延长线上一动点，连接,,,DE EF DF EF 交AD 于点G .设,BE x AF y ==，已知y 与x 之间的函数关系如图②所示.

（1）求图②中y 与x 的函数表达式;

（2）求证:DE DF ⊥;

（3）是否存在x 的值，使得DEG △是等腰三角形?如果存在，求出x 的值;如果不存在，说明理由

【答案】（1）y ＝﹣2x +4（0＜x ＜2）；（2）见解析；（3）存在，x ＝

54或52

-或32． 【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法可得y 与x 的函数表达式；

（2）证明△CDE ∽△ADF ，得∠ADF ＝∠CDE ，可得结论；

（3）分三种情况：

①若DE ＝DG ，则∠DGE ＝∠DEG ，

②若DE ＝EG ，如图①，作EH ∥CD ，交AD 于H ，

③若DG ＝EG ，则∠GDE ＝∠GED ，

分别列方程计算可得结论．

【详解】

（1）设y ＝kx +b ，

由图象得：当x ＝1时，y ＝2，当x ＝0时，y ＝4， 代入得：24k b b +=??=?，得24k b =-??=?

， ∴y ＝﹣2x +4（0＜x ＜2）；

（2）∵BE ＝x ，BC ＝2

∴CE ＝2﹣x ， ∴

211,4222CE x CD AF x AD -===-， ∴CE CD AF AD

=， ∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠C ＝∠DAF ＝90°，

∴△CDE ∽△ADF ，

∴∠ADF ＝∠CDE ，

∴∠ADF +∠EDG ＝∠CDE +∠EDG ＝90°，

∴DE ⊥DF ；

（3）假设存在x 的值，使得△DEG 是等腰三角形，

①若DE ＝DG ，则∠DGE ＝∠DEG ，

∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD ∥BC ，∠B ＝90°，

∴∠DGE ＝∠GEB ，

∴∠DEG ＝∠BEG ，

在△DEF 和△BEF 中，

FDE B DEF BEF EF EF ∠=∠??∠=∠??=?

，

∴△DEF ≌△BEF （AAS ），

∴DE ＝BE ＝x ，CE ＝2﹣x ，

∴在Rt △CDE 中，由勾股定理得：1+（2﹣x ）2＝x 2，

x

＝54

； ②若DE ＝EG ，如图①，作EH ∥CD ，交AD 于H ，

∵AD ∥BC ，EH ∥CD ，

∴四边形CDHE 是平行四边形，

∴∠C ＝90°，

∴四边形CDHE 是矩形，

∴EH ＝CD ＝1，DH ＝CE ＝2﹣x ，EH ⊥DG ，

∴HG ＝DH ＝2﹣x ，

∴AG ＝2x ﹣2，

∵EH ∥CD ，DC ∥AB ，

∴EH ∥AF ，

∴△EHG ∽△FAG ，

∴

EH HG AF AG =， ∴124222

x x x -=--， ∴125555x x -+=

=（舍）， ③若DG ＝EG ，则∠GDE ＝∠GED ，

∵AD ∥BC ，

∴∠GDE ＝∠DEC ，

∴∠GED ＝∠DEC ，

∵∠C ＝∠EDF ＝90°，

∴△CDE ∽△DFE ，

∴CE DE CD DF

=，

∵△CDE ∽△ADF ， ∴12DE CD DF AD ==， ∴12

CE CD =， ∴2﹣x ＝12，x ＝32

， 综上，x ＝

54或5-5或32． 【点睛】

本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．

7．问题探究

（1）如图①，已知正方形ABCD 的边长为4．点M 和N 分别是边BC 、CD 上两点，且BM ＝CN ，连接AM 和BN ，交于点P ．猜想AM 与BN 的位置关系，并证明你的结论．

（2）如图②，已知正方形ABCD 的边长为4．点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM 和BN ，交于点P ，求△APB 周长的最大值；

问题解决

（3）如图③，AC 为边长为23的菱形ABCD 的对角线，∠ABC ＝60°．点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CA 向终点C 和A 运动．连接AM 和BN ，交于点P ．求△APB 周长的最大值．

【答案】（1）AM ⊥BN ，证明见解析；（2）△APB 周长的最大值2；（3）△PAB 的周长最大值3．

【解析】

试题分析：根据全等三角形的判定SAS 证明△ABM ≌△BCN ，即可证得AM ⊥BN ； （2）如图②，以AB 为斜边向外作等腰直角△AEB ，∠AEB=90°，作EF ⊥PA 于E ，作EG ⊥PB 于G ，连接EP ，证明PA+PB=2EF ，求出EF 的最大值即可；

（3）如图③，延长DA 到K ，使得AK=AB ，则△ABK 是等边三角形，连接PK ，取PH=PB ，

证明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可.

试题解析：（1）结论：AM⊥BN．

理由：如图①中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，

∵BM=CN，

∴△ABM≌△BCN，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠CBN+∠ABN=90°，

∴∠ABN+∠BAM=90°，

∴∠APB=90°，

∴AM⊥BN．

（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．

∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，

∴四边形EFPG是矩形，

∴∠FEG=∠AEB=90°，

∴∠AEF=∠BEG，

∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，

∴△AEF≌△BEG，

∴EF=EG，AF=BG，

∴四边形EFPG是正方形，

∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，

∵EF≤AE，

∴EF的最大值=AE=2，

∴△APB周长的最大值=4+4．

（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取

PH=PB．

∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，

∴△ABM≌△BCN，

∴∠BAM=∠CBN，

∴∠A PN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，

∴∠APB=120°，

∵∠AKB=60°，

∴∠AKB+∠APB=180°，

∴A、K、B、P四点共圆，

∴∠BPH=∠KAB=60°，

∵PH=PB，

∴△PBH是等边三角形，

∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，

∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，

∴△KBH≌△ABP，

∴HK=AP，

∴PA+PB=KH+PH=PK，

∴PK的值最大时，△APB的周长最大，

∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，

∴△PAB的周长最大值=2+4．

8．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）连接EF，当∠D=°时，四边形FOBE是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）30.

【解析】

【分析】

（1）由等角的转换证明出OCA OCE ??≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ?为等边三角形，而得出60BOE ∠=?，根据三角形内角和即可求出答案.

【详解】

（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，

∴OE CD ⊥，

∴90CEO ∠=?，

又∵OC BE ，

∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA

∵OE=OB ，

∴OEB OBE ∠=∠，

∴COE COA ∠=∠，

又∵OC=OC ，OA=OE ，

∴OCA OCE SAS ??≌（）

， ∴90CAO CEO ∠=∠=?，

又∵AB 为⊙O 的直径，

∴AC 为⊙O 的切线；

（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，

∴OF=OB=BF=EF ，

∴OE=OB=BE ，

∴OBE ?为等边三角形，

∴60BOE ∠=?，

而OE CD ⊥，

∴30D ∠=?．

故答案为30．

【点睛】

本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.

9．如图1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P 是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN．（2）若将（1）中“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”，N是∠DCP的平分线上一点，若∠AMN=90°，则AM=MN是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．

（3）若将（2）中的“正方形ABCD”改为“正n边形A1A2…A n“，其它条件不变，请你猜想：当∠A n﹣2MN=_____°时，结论A n﹣2M=MN仍然成立．（不要求证明）

【答案】

0 (2)180 n

n

【解析】

分析：（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．

（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．

详（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．

在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．

∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE，

BE=AB-AE=BC-MC=BM，

∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．

∵N是∠ACP的平分线上一点，

∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．

在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN．

（2）解：结论成立；

理由：在边AB上截取AE=MC，连接ME．

∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，

BE=AB-AE=BC-MC=BM，

∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．

∵N是∠DCP的平分线上一点，

∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．

在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN．

（3）由（1）（2）可知当∠A n-2MN等于n边形的内角时，结论A n-2M=MN仍然成立；

即∠A n-2MN=()0

2180

n

n

-

时，结论A n-2M=MN仍然成立；

故答案为[()0

2180

n

n

-

]．

点睛：本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力．难度较大．

10．已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB ，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．

（1）当点E落在线段CD上时（如图），

①求证：PB=PE；

②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；

（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；

（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．

【答案】（1）①证明见解析；②点PP 在运动过程中，PF

的长度不变，值为2；（2）画图见解析，成立 ；（3）能，1.

【解析】 分析：（1）①过点P 作PG ⊥BC 于G ，过点P 作PH ⊥DC 于H ，如图1．要证PB=PE ，只需证到△PGB ≌△PHE 即可；②连接BD ，如图2．易证△BOP ≌△PFE ，则有BO=PF ，只需求出BO 的长即可．

（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立．

（3）可分点E 在线段DC 上和点E 在线段DC 的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP 的长．

详解：（1）①证明：过点P 作PG ⊥BC 于G ，过点P 作PH ⊥DC 于H ，如图1．

∵四边形ABCD 是正方形，PG ⊥BC ，PH ⊥DC ，

∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°．

∴PG=PH ，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°．

∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°，

∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH ．

在△PGB 和△PHE 中，

PGB PHE PG PH

BPG EPH ∠∠????∠∠?

＝＝＝， ∴△PGB ≌△PHE （ASA ），

∴PB=PE ．

②连接BD ，如图2．

∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOP=90°．

∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°，

∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF ．

∵EF ⊥PC 即∠PFE=90°，

∴∠BOP=∠PFE ．

在△BOP 和△PFE 中，

PBO EPF BOP PFE PB PE ∠∠??∠∠???

＝＝＝ ∴△BOP ≌△PFE （AAS ），

∴BO=PF ．

∵四边形ABCD 是正方形，

∴OB=OC ，∠BOC=90°，

∴BC=2OB ．

∵BC=1，∴OB=

22， ∴PF=22

． ∴点PP 在运动过程中，PF 的长度不变，值为

2． （2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．

同理可得：PB=PE ，2 （3）①若点E 在线段DC 上，如图1．

∵∠BPE=∠BCE=90°，∴∠PBC+∠PEC=180°．

∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°．

若△PEC为等腰三角形，则EP=EC．

∴∠EPC=∠ECP=45°，

∴∠PEC=90°，与∠PEC＞90°矛盾，

∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形．

②若点E在线段DC的延长线上，如图4．

若△PEC是等腰三角形，

∵∠PCE=135°，

∴CP=CE，

∴∠CPE=∠CEP=22.5°．

∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°．

∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER，

∴∠PBR=∠CER=22.5°，

∴∠ABP=67.5°，

∴∠ABP=∠APB．

∴AP=AB=1．

∴AP的长为1．

点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．