2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷(十一)理科数学
2020届湖南长郡中学新高考原创考前信息试卷(十二)理科数学
2020届湖南长郡中学新高考原创考前信息试卷（十二）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B =I （） A. (1,3) B. (1,3]C. [3,1)-D. (3,1)-【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A 和B ，即可求得A B I ．【详解】解：由290x -≥，解得：33x -≤≤，则函数y =[3,3]-， 由对数函数的定义域可知：10x ->，解得：1x <，则函数ln(1)y x =-的定义域(,1)-∞， 则A B =I [3,1)-，故选C ．【点睛】本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题． 2.设1i2i 1iz -=++，则||z =A. 0B.12C. 1【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.若f (x )=ln (x 2-2ax +1+a )在区间(),1-∞上递减,则实数a 的取值范围为（ ） A. [1,2)B. [1,2]C. [1,)+∞D.[2,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】由外函数对数函数是增函数，可得要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在(),1-∞上的最小值大于0，由此联立不等式组求解．【详解】解：令2()21g x x ax a =-++，其对称轴方程为x a =， 外函数对数函数是增函数，要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减， 则1(1)1210a g a a ⎧⎨=-++≥⎩…，即：12a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]1,2．故选：B ．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．4.《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】 【详解】0,0,1,1i S x y ====，开始执行程序框图，1111,11,2,;2,1+21+,4,,......224i S x y i S x y ==+====+==()111115,124816133,32,2481632i S x y ⎛⎫==+++++++++<==⎪⎝⎭，，()1111116,12481632133,64,248163264i S x y ⎛⎫==+++++++++++>== ⎪⎝⎭，s d >退出循环，输出6i =，故选C.5.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A. 2-B. 2log 3C. 3D.2log 5-【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用函数奇偶性求得()f x 的周期为3，再利用函数的周期性求得(2020)f 的值． 【详解】解：Q 已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选D ．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性，函数值的求法，属于基础题．6.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为（） A. 0.25 B. 0.30C. 0.35D. 0.40【答案】B 【解析】 【分析】由题意知模拟三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次射击恰有两次命中十环的有可以通过列举得到共6组随机数，根据概率公式，得到结果． 【详解】解：由题意知模拟三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三次射击恰有两次命中的有：421、292、274、632、478、663， 共6组随机数，∴所求概率为60.320P ==，故选B ． 【点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．7.若非零向量a r ，b r满足a =r ，且()(32)a b a b -⊥+r r r r ，则a r 与b r的夹角为（ ）A.4π B.2π C.34π D. π【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可． 【详解】∵（a r﹣b r）⊥（3a r+2b r）， ∴（a r﹣b r）•（3a r+2b r）=0，即3a r 2﹣2b r 2﹣a r •b r =0， 即a r •b r =3a r 2﹣2b r 2=23b r 2，∴cos ＜a r ，b r ＞=a b a b ⋅r r r r22b r2，即＜a r ，b r＞=4π，故选A ．【点睛】本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．8.记()()()77017211x a a x a x -=+++⋯⋯++，则0126a a a a +++⋯⋯+的值为( )A. 1B. 2C. 129D. 2188【答案】C 【解析】 【详解】()()()727017211x a a x a x -=+++++L 中，令0x =，得70172128a a a =++⋅⋅⋅+=.∵()77[31)]2(x x =-+-展开式中707773(1)1a C =-=-∴0167128129a a a a ++⋅⋅⋅+=-= 故选C.点睛：二项式通项与展开式的应用：(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等. (2)展开式的应用：①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.②可证明整除问题(或求余数).关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断. ③有关组合式的求值证明，常采用构造法.9.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，设其前n 项和为n S ，若1a ，29a +，3a 成等差数列，则5S =（）A. 682B. 683C. 684D. 685【答案】A 【解析】 【分析】由12a =，且1a ，29a +，3a 成等差数列，求出公比，由此能求出5S ． 【详解】解：∵各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且1a ，29a +，3a 成等差数列， 29)2222(q q +=∴+，且0q >，解得4q =，552(14)68214S -∴==-，故选A ．【点睛】本题考查等比数列的前5项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识、考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A. B. 3(0,]4C. D. 3[,1)4【答案】A 【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤02c a <≤．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．【此处有视频，请去附件查看】11.已知0a >，设函数120202019()20201x xf x ++=+([,])x a a ∈-的最大值为M ，最小值为N ，那么M N +=（） A. 2020 B. 2019C. 4040D. 4039【答案】D 【解析】 【分析】通过分离分子可得()2020202110x f x =-+，计算可得()()4039f x f x +-=，利用函数()y f x =的单调性计算可得结果．【详解】解：120202019()202020201202110x x xf x ++==-++， 2020()2020202020201120201xx xf x -∴-=-=-++ 202020202020403920201202011()()xx xf x f x ∴+--=+=-++ 又()y f x =是[,]a a -上的增函数，()()4039M N f a f a ∴+=+-=，故选D ． 【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，注意解题方法的积累，考查运算能力，属于中档题．12.已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，且6ACB π∠=，21AC AB SA ===.则该三棱锥的外接球的体积为( )B. 13πD.【答案】D 【解析】【详解】∵30ACB ∠=︒，223AC AB ==ABC V 是以AC 为斜边的直角三角形， 其外接圆半径32ACr ==， 则三棱锥外接球即为以ABC V 为底面，以SA 为高的三棱柱的外接球， ∴三棱锥外接球的半径R 满足2213()2SA R r =+= 故三棱锥外接球的体积341313.3V R π== 故选D.【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中根据已知求出球的半径是解答的关键．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =______. 【答案】2-. 【解析】 【分析】对函数()f x 的解析式求导，得到其导函数，把1x =代入导函数中，列出关于'(1)f 的方程，进而得到'(1)f 的值，确定出函数()f x 的解析式，把1x =代入()f x 解析式，即可求出(1)f 的值【详解】解：求导得：''1()2(1)f x f x =+，令1x =，得''1(1)2(1)1f f =+，解得：'(1)1f =- ∴()2ln f x x x =-+，(1)202f ∴=-+=-，故答案为-2．【点睛】此题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，求出常数'(1)f 的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键．14.设0x >，0y >，且2116y x y x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则当1x y +取最小值时，221x y +=______.【答案】12 【解析】 【分析】当1x y +取最小值时，21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取最小值，变形可得21416=x yx y y x ⎛⎫++⎪⎝⎭，由基本不等式和等号成立的条件可得答案．【详解】解析：∵0x >，0y >，∴当1x y +取最小值时，21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值，∵222112x x x y y y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又2116yx y x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴221216x y x y y x +=+，∴21416x y x y y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭16≥=， ∴14x y+≥， 当且仅当416x y y x=，即2x y =时取等号， ∴当1x y +取最小值时，2x y =，221216x x y y++=， ∴2212216y x y y ⋅++=，∴22116412x y+=-=. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．15.某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额（单位：元），并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知a ，b ，c 成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为______.【答案】600 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图求出,,a b c 的值，然后利用等差数列的性质求出b ，进而得到消费金额超过150元的频率，用其估计总体即可． 【详解】,,,2+a b c b a c ∴∴=， 又由频率分布直方图可得1[1(0.0020.006)50]0.01250a b c ++=-+⨯=， =0.004b ∴，故消费金额超过150元的频率为(0.002)500.3b +⨯=，故该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为20000.3600⨯=，故答案为600.【点睛】本题主要考查频率分布直方图中的基本运算及等差数列的基本性质，是一道基础题．16.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，()1*23n n a n N -=⋅∈，若11n n n n a b S S ++=，则12n b b b L +++=__________．【答案】111231n +-- 【解析】【详解】因为1123323nn n n a a +-⋅==⋅，所以数列{}n a 为等比数列 所以()()1121331113nnnn a q S q--===---，又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-，则1212231111111nnn b b b S S S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1111111231n n S S ++=-=--，故答案为111231n +--.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos 2cos 22sin sin 33C A C C ππ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角A 的值； （2）若a =b a ≥，求12b c -的取值范围. 【答案】（1）3A π=或23π（2）2⎣【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可解得：sin A =，结合A 为ABC ∆的内角，可得A 的值．（2）由b a ≥，由（1）可得3A π=，又a =由正弦定理可得：2sin sin b cB C==，从而利用三角函数恒等变换应用可得： 12b c-6B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合662B πππ≤-<，可得12b c-取值范围．【详解】解：（1）由已知得2222312sin 2sin 2cos sin 44A C C C ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，化简得3sin A =±， 因为A 为ABC ∆的内角，所以3sin 2A =，故3A π=或23π. （2）因为b a ≥，所以3A π=.由正弦定理得2sin sin sin b c a B C A===，得2sin b B =，2sin c C =，故12sin sin 2b c B C -=-＝22sin sin 3B B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭33sin cos 3sin 226B B B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 因为b a ≥，所以233B ππ≤<，则662B πππ≤-<，所以133sin ,3262b c B π⎡⎫⎛⎫-=-∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．18.如图①，正方形ABCD 的边长为4，12AB AE BF EF ===，AB EF P ，把四边形ABCD 沿AB 折起，使得AD ⊥平面AEFB ，G 是EF 的中点，如图②（1）求证：AG ⊥平面BCE ； （2）求二面角C AE F --的余弦值. 【答案】（1）详见解析（2）21【解析】 【分析】首先结合已知BC ⊥底面AEFB ，所以有BC AG ⊥，再结合菱形的性质即可得到AG BE ⊥，那么（1）便不难求证了．对于（2）首先建立如图所示的空间直角坐标系，分析可知，AD u u u r为平面AEF 的一个法向量，再求出平面ACE 的法向量，然后根据||cos ||||n AD n AD θ⋅=⋅r u u u r r u u ur 进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：连接BG ，因为BC AD ∥，AD ⊥底面AEFB ， 所以BC ⊥底面AEFB ，又AG ⊂底面AEFB ，所以BC AG ⊥， 因为AB AE =，所以四边形ABGE 为菱形，所以AG BE ⊥，又BC BE B =I ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以AG ⊥平面BCE .（2）由（1）知四边形ABGE 菱形，AG BE ⊥，4AE EG BG AB ====，设AG BE O =I ，所以23OE OB ==2OA OG ==， 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(2,0,0)A -，()0,23,0E -，()4,23,0F ，()0,23,4C ，(2,0,4)D -，所以()2,23,4AC =u u u r ，()2,23,0AE =-u u u r，设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,AC n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v所以2340,230,x z x y ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩令1y =，则3x 3z =- 即平面ACE 一个法向量为(3,1,3n =-r，易知平面AEF 的一个法向量为(0,0,4)AD =u u u r，设二面角C AE F --的大小为θ，由图易知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以||4321cos 7||||74n AD n AD θ⋅===⋅⨯r u u u r ru u u r . 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定．熟记判定定理即可证得结论，另外空间向量法求面面角，要关注是否有一个面的法向量可以直接观察出来，就不用专门取求了，还要提高计算的准确性，此题属于中档题．19.中国农业银行开始为全国农行ATM机安装刷脸取款系统.某农行营业点为调查居民对刷脸取款知识的了解情况,制作了刷脸取款知识有奖调查问卷,发放给2018年度该行的所有客户,并从参与调查且年龄(单位:岁)在[25,55]内的客户中随机抽取100名给予物质奖励,再从中选出一名客户参加幸运大抽奖.调查结果按年龄分成6组,制作成如下的频数分布表和女客户的年龄茎叶图,其中a∶b∶c=2∶4∶5.年龄/岁[25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55]频数/人5 a b c 15 25女客户的年龄茎叶图幸运大抽奖方案如下:客户最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为45,第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛掷一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖.规定:抛出的硬币,若反面朝上,则客户获得5000元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,客户需进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,如果中奖,则获得奖金10000元,如果未中奖,则所获得的奖金为0元.(1)求a,b,c的值,若分别从男、女客户中随机选取1人,求这2人的年龄均在[40,45)内的概率;(2)若参加幸运大抽奖的客户所获奖金(单位:元)用X表示,求X的分布列与数学期望E(X).【答案】（1）10,20,25a b c ===，概率为116；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据10045::2:4:5a b c a b c ++=-⎧⎨=⎩解方程组，求得,,a b c 的值.先根据茎叶图求得每组内女客户的人数，进而求得每组男客户的人数，然后根据相互独立事件概率计算公式，求得所求的概率.（2）先求得X 所有可能取值为0,5000,10000.然后根据分类和分步计算原理求得对应的概率，由此求得分布列和数学期望.【详解】(1)由频数分布表知,a+b+c=100-45=55. 因a∶b∶c=2∶4∶5,所以a=211×55=10,b=411×55=20,c=511×55=25,由茎叶图可知年龄在[25,30)内的女客户有2人,年龄在[30,35)内的女客户有4人,年龄在[35,40)内的女客户有8人,年龄在[40,45)内的女客户有10人,年龄在[45,50)内的女客户有6人,年龄在[50,55]内的女客户有10人, 故年龄在[40,45)内的男客户有15人,在100名客户中,男客户有60人,女客户有40人,所以从男客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P 1=151604=, 从女客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P 2=101404=, 则分别从男、女客户中随机选取1人,这2人的年龄均在[40,45)内的概率P =P 1×P 2=1114416⨯=. (2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,5000,10000,则P (X =0)=14117552525+⨯⨯=, P (X =5000)=412525⨯=,P (X =10000)=414852525⨯⨯=.X 的分布列为E (X )=0×725+5000×25+10000×825=5200(元). 【点睛】本小题主要考查茎叶图的识别，考查数据分析与处理能力，考查相互独立事件概率计算方法，考查分布列和数学期望的求法，属于中档题.20.已知过点(2,0)的直线1l 交抛物线2:2C y px =于,A B 两点，直线2:2l x =-交x 轴于点Q ．（1）设直线,QA QB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值；（2）点P 为抛物线C 上异于,A B 的任意一点，直线,PA PB 交直线2l 于,M N 两点，2OM ON ⋅=u u u u r u u u r，求抛物线C 的方程．【答案】（1）0；（2）2y x =． 【解析】 【分析】（1）首先设出直线1l 的方程为2x my =+，且1122(,),(,)A x y B x y ，然后联立直线与抛物线的方程并整理得到一元二次方程2240y pmy p --=，再由韦达定理可得：12122,4y y pm y y p +=⋅=-，最后代入12k k +中，并化简整理即可得出所求的结果；（2）首先设出点00(,)P x y ，即可求出直线PA 的方程，进而可求出M y ，N y ，再由已知条件即可得出等式，进而得出参数p 的值，即可得出所求的抛物线的方程．【详解】（1）设直线1l 的方程为：2x my =+，点1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组22{2x my y px=+=，得2240y pmy p --=，所以12122,4y y pm y y p +=⋅=- 所以12121212122244y y y y k k x x my my +=+=+++++1212121224()880(4)(4)(4)(4)my y y y mp mpmy my my my ++-+===++++.（2）设点00(,)P x y ，直线101110:(),y y PA y y x x x x --=--当2x =-时，10104M p y y y y y -+=+，同理20204N p y y y y y -+=+，因为2OM ON ⋅=u u u u r u u u r，42M N y y ∴+=，即10201020442p y y p y y y y y y -+-+⋅=-++，222002001684242p p my py p pmy y --=--++， 所以12p =，所以抛物线C 的方程为2y x =． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的简单几何性质；3、直线与抛物线的相交的综合问题．21.已知函数()2x f x e ax =+.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为0，求a 的值. 【答案】（1）(2)y e x =+（2）2e a =- 【解析】 【分析】（1）由求导公式求出()f x '，由导数的几何意义求出切线的斜率'=(1)k f ，利用点斜式方程求出切线的方程；（2）对a 进行分类讨论，当0a ≥时，()20xf x e ax =+>，不符合题意，当0a <时，求出()f x '以及函数的单调区间，再对临界点与1的关系进行分类讨论，分别求出()f x 的最小值，结合条件求出a 的值；【详解】解：（1）当1a =时，()2xf x e x =+，()2xf x e '=+， 所求切线的斜率(1)2f e '=+，又(1)2f e =+.所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(2)y e x =+（2）当0a ≥时，函数()20xf x e ax =+>，不符合题意．当0a <时，()2xf x e a '=+，令20x e a +=，得ln(2)x a =-，所以当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减 当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．①当ln(2)1a -≤，即02ea -≤<时，()f x 的最小值为(1)2f a e =+． 解20a e +=，得2ea =-，符合题意．②当ln(2)1a ->，即2ea <-时，()f x 的最小值为[ln(2)]22ln(2)f a a a a -=-+-．解22ln(2)0a a a -+-=，得2ea =-，不符合题意．综上，2ea =-．【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，恒成立问题的转化，以及分类讨论和转化思想，属于中档题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值．【答案】（1）()22x 2y 40x -+=≠（）；（2）2+【解析】【详解】试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB V 面积的最大值为2.试题解析：解：（1）设P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞）由题设知|OP|=ρ，OM =14cos θρ=. 由OM ⋅|OP|=16得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）因此2C 的直角坐标方程为()22x 2y 40x -+=≠（）. （2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.由题设知|OA|=2，4cos αB ρ=，于是△OAB 面积1S AOB 4cos α|sin α|2|sin 2α|22332B OA sin ππρ∠=⋅=⋅-=--≤当α12π=-时， S 取得最大值2.所以△OAB 面积的最大值为2.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 23.已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112x -<≤. 所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x --≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =. 所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[]1,1-.点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．。
2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷(十六)文科数学
2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷（十六）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≤x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n >x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 2C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n >x 20D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 22．若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．－12D ．－13．执行如图程序语句，输入a ＝2cos 2 019π3，b ＝2tan 2 019π4，则输出y 的值是( )A ．3B ．4C ．6D ．－14.某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是INPUT a ，bIF a<b THENy ＝a(a ＋b)ELSE y ＝a 2－b END IFPRINT yEND( )A ．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B ．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24C ．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80D ．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8 5.在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13，则sin A ＝（ ）.A.33 B.43 C.31 D.41 6. 在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为( )A.89B.79C.49D.197.设函数)(x f y =在()+∞∞-,内有定义，对于给定的正数K ，定义函数⎩⎨⎧>≤=kx f k k x f x f x f k )(,,)(),()(取函数xx f -=2)(，当K =21时，函数)(x f k 单调递增区间为（ ） A.()0,∞- B.(0,+)∞ C.()1,-∞- D.(1,+)∞8.在ABC ∆中，已知AD 为BC 边上的高，AE 为BAC ∠的平分线，AB=4,25144=−→−•−→−AEAD ,748=−→−•−→−AE AB 则BC AB •=( ) A.16-. B.16. C.18- D.19- 9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，∠ACB=90°，11==CC BC ,23=AC ,P 为1BC 上的动点，将平面P AC 1进行翻转，使之与平面B CC 1在同一平面上，则1PA CP +的最小值为( ) A ．52B ． 132+C ．5D ．125+10.已知1F ， 2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若直线y x =与双曲线C 交于P ， Q 两点，且四边形12PF QF 为矩形，则双曲线的离心率为（ ） A ． 22+ B ．22+ C ． 26 D ． 26+11.已知向量)0,2(-=OB ，)0,2(=OC ，),sin ,(cos θθ=CA 则OB OA ,的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,415 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-552,1 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--23,1 12. 已知对任意实数x 都有()()'2x f x f x e -=，()01f =-，若()()1f x k x >-在1>x 上恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．()1+∞， B ．)4,(23e -∞C ．1214e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3214e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13．在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．14. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+ (0)2πϕ<<与y 轴的交点为()0,1,且图象上两对称轴之间的最小距离为2π,则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为 . 15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角堆米，下周九十尺，高十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示)，米堆底部的弧长为90尺，米堆的高为12尺．圆周率约为3.若将此堆米用草席盖上，则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数，如544≈23，550≈23) 平方尺。
2020届湖南省长沙市一中高三第二次调研考试数学(理)试题
2020届湖南省长沙市一中高三第二次调研考试数学试题（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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不按以上要求作答无效。
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8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|10},{1,0,1}A x x B =+>=-，则A B =（ ）A.{1}B.{1}-C. {0,1}D. {1,0}- 2．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是A. 的虚部为B.C. 的共轭复数为D.为纯虚数3．若向量)1,3(),2,0(=-=n m ，则与+2共线的向量可以是（ ）A.（3，-1）B.（-1，3）C.（-3，-1）D.（3-1-，） 4．βαβα//,//,//b a ，则a 与b 位置关系是（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交 5．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数, AQI 指数值越小, 表明空气质量越好, 下图是某市10月1日 - 20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A.这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B.这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占1/4C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好D.总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．32 B ．31 C ．34 D ．65 7．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,12,3432=+=a a S ，则公比=q （ ） A ．4± B ．4 C ．2± D ．28．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为A. 8164B. 2732C. 98D. 2716 9．若直线y=kx-2与曲线y=1+3ln x 相切,则k=（ ）A .2B .C .3D .10．双曲线13622=-y x 的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于（ ）A ．3B ．2C ．3D ．6 11.已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)n n a a n n +=-++成立,若11a =,则10a 等于( )A. 10110B.9110C. 11111D. 1221112.))((R x x f y ∈=在(]1, ∞-上单调递减，且)1(+x f 是偶函数，若)2()22(f x f >-，则x 的取值范围是（ ）A. ()()+∞⋃∞-,21, B. ()+∞,2C. ()2,1D. ()1,∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷(十三)文科数学
2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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不按以上要求作答无效。
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U =R ，集合{|14}M x x =-<<，{}2|log (2)1N x x =-<，则()U M C N ⋂= A ．φ B ．{|42}x x -<≤ C ．{ |4<<3}x x -D ．{|12}x x -<≤2．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数 11-i的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数x x x f ππsin 2cos 2)(-=的最小正周期为 A ．2B ．π2C ．2D ．π24．函数的图像是A ．B ．C ．D ．5．已知数列{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 单调递增”的 A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin2cos απα+-的值为 A．610B．610+ C．510- D．5107．已知||()2x f x x =g，3(log a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>8．若实数x ，y 满足10200x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，且27(3)x y c x +-≥-恒成立，则c 的取值范围是A ．(3]5,-∞B ．(,2]-∞C ．5[,)3+∞D ．[2,)+∞9．已知F 是椭圆C ：22132x y +=的右焦点，P 为椭圆C上一点，(1,A ，则PA PF +的最大值为 A．4B．C．4D．10．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，若对任意的(1,2)a ∈，关于x 的方程()0(0)f x a x m -=≤<总有两个不同的实数根，则m 的取值范围为A ．2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,63ππ⎛⎤⎥⎝⎦11．三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为3的正三角形.若球O 的表面积为16π，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 ABC．D．12．已知函数()43120194f x ax x x =-++，()'f x 是()f x 的导函数，若()'f x 存在有唯一的零点0x ，且()00,x ∈+∞，则实数a 的取值范围是A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()2,+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届湖南省长沙市一中高三第四次模拟考试数学(理)试题
2020届湖南省长沙市一中高三第四次模拟考试数学（理科）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设复数()1z bi b R =+∈且234z i =-+，则z 的虚部为（ ）A. ﹣2B. ﹣4C. 2D. 42．已知集合2{|230}A x x x =--≥，2{|log (1)2}B x x =-<，则()R C A B =（ ）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(3,5)D ．(1,5)- 3．命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（ ）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠ B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠ C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠ D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠4．函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨-⎩>则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．12-B ．1-C ．5-D ．125 若1a >，则“y x a a >”是“log log a a x y >”的A 必要不充分条B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若ln 2a =，125b -=，01sin 4c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a <<7.已知函数212()log 2(21)8,f x x a x a R ⎡⎤=--+∈⎣⎦，若()f x 在[),a +∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．(],2-∞ B ． 4(,2]3-C ．(],1-∞D ．4(,1]3- 8.定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数(),()ln(1),()g x x h x x x x ϕ==+=-3(),()ln(1),()1g x x h x x x x ϕ==+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ）A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>9.函数xxy 24cos =的图象大致是（ ）10．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数x 均有()()()10x f x xf x '-+>成立，且()1e y f x =+-是奇函数，则不等式()e 0x xf x ->的解集是（） A ．(),e -∞B ．()e,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞11． 已知函数，()()3243132,53log ,5x x x x x f x x +⎧--+≤⎪=⎨⎪->⎩，则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点的个数为（ ）A 、6B 、7C 、9D 、1012.定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1m kx y +=和2m kx y +=，使得在D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立，则称函数)(x f 在D内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数)(x f ，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数)(x f 在),[0∞+x 内有一个宽度为ε的通道，则称)(x f 在正无穷处有永恒通道. 下列函数①()ln f x x =,②()f x =，③()xf x e -=其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.3第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13若()f x =，则()f x 的定义域为____________.14.定义在R 上的奇函数()f x 满足3()(),(2014)2,2f x f x f -=+=则(1)f -= ．15若函数()xxk k x f 212⋅+-=在其定义域上为奇函数，则实数=k ．16.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有真命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分 12分)设命题p ：函数()()22lg 4f x x x a =-+的定义域为R ；命题q ：对任意[]1,1m ∈-，不等式253a a --≥p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知22(log )21f x ax x a =-+-，a R ∈. （1）求()f x 的解析式；（2）解关于x 的方程()(1)4xf x a =-⋅19（本小题满分12分）已知函数()1x f x e ax =+-（e 为自然对数的底数）.（1）当1a =时，求过点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若()2f x x ≥在（0,1）上恒成立，求实数a 的取值范围.20.某网店经营的一种商品进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销量P （件）与单价 x （元）之间的关系如图折线所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元． （1）根据周销量图写出周销量P （件）与单价x （元）之间的函数关系式；（2）写出周利润y （元）与单价x （元）之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．21.（本小题满分12分）已知函数()ln 1x f x x+=. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意的1x >，恒有()ln 11x k kx -++≤成立，求k 的取值范围；（3）证明：()()2222ln 2ln 3ln 21,24123++n n n n N n n n+--+⋅⋅⋅<∈≥+.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22.己知直线l 的参数方程为132x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值． 23.已知()12,()1()f x x x g x x x a a a R =++-=+--+∈。
2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣32．记集合A={x|x﹣a＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，若0∈A∩B，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．[0，+∞）D．（0，+∞）3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱4．二项式（x﹣2）5展开式中x的系数为（）A．5 B．16 C．80 D．﹣805．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+16．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（）A．10种B．60种C．125种D．243种7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30附表：p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8．函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间是（）A．[﹣，]B．[﹣2π，﹣]C．[，2π]D．[﹣2π，﹣]和[，2π]9．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣210．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.911．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．=_______．14．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于_______．15．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为_______．16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，令F（x）=（x﹣b）f（x﹣b）+2020，若b是a、c的等差中项，则F（a）+F（c）=_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1++…+=2n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天）（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE，CG=DE．（1）证明：面GEF⊥面AEF；（2）求二面角B﹣EG﹣C的余弦值．20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）是C1上一点．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣ax（a为常数）有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设f（x）的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。
2020届湖南长郡中学新高考原创考前信息试卷(三)理科数学
2020届湖南长郡中学新高考原创考前信息试卷（三）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|25}A x x =-<<，{1,3,6}B =，{6}M =，则M =（ ） A ．A B IB ．A B UC ．()A B R I ðD ．()A B R I ð2．若复数z 满足(1)(i 1)i z --=，则2z =（ ） A ．43i2+-B ．43i2- C ．34i2+-D ．34i2- 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，33a =，714S =，则公差d =（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-4．已知1525a =，256b =，652c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．函数22log (1)()x f x x-=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设x ，y 满足约束条件2632x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y z x =的最大值是（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．27．在ABC △中，23BD BC =u u u r u u u r ，E 为AD 的中点，则CE =u u u r（ ）A ．1263AB AC -u u u r u u u r B ．2136AB AC -u u u r u u u r C ．1536AB AC -u u u r u u u rD ．5163AB AC -u u ur u u u r8．若存在π[0,]2x ∈，使2πsin(2)03x x m +-+<成立，则m 的取值范围为（ ）A．()+∞ B ．(,1-∞- C．(,-∞ D ．(1)-+∞9．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．2B ．12C ．13D ．1410．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）ABC． D．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则21S S =（ ） A ．4B ．8C．D．12．设函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，(())x f f x e x e -+=． 若不等式()()f x f x ax '+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2]e -∞-B ．(,1]e -∞-C ．(,23]e -∞-D ．(,21]e -∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()cos πx f x x =+，则4π()3f = ．14．已知22962100012100(1)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -+=+++++++L ，则210012100222a a a +++=L ．15．已知函数()ln(||1)cos 2f x x a x =+++只有一个零点，则a = ．16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD △为等边三角形，若四棱锥P ABCD -的体积与四棱锥P ABCD -外接球的表面积大小之比为7π，则四棱锥P ABCD -的表面积为 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知26sin cos sin 2Aa Bb A =． （1）求cos A ；（2）若a =5b c +=，求ABC △的面积．18．（12分）某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案：①以100箱为基准，每多50箱送5箱；②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4． （1）甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；（2）某单位需要这种零件650箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算?19．（12分）如图，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC，2AB BC AC ==，且4AD BC +=． （1）证明：BC ⊥平面ABD ；（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值．EBACD20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点1)2-，倍．（1）求椭圆C 的方程；（2）若A ，B 是椭圆C 上的两个动点（A ，B 两点不关于x 轴对称），O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在非零常数λ，使12k k λ⋅=时，AOB △的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数ln ()xx af x e+=． （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）设()x g x xe a -=-，对任意12,(0,)x x ∈+∞都有11112()()xx e f x ax g x ->成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2431x t a y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为21||cos 2sin x a y a θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）． （1）求l 和C 的普通方程；（2）将l 向左平移(0)m m >后，得到直线l '，若圆C 上只有一个点到l '的距离为1，求m ．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()|||4|(0)f x x a x a =-+-≠． （1）当1a =时，求不等式()f x x <的解集； （2）若4()1f x a≥-恒成立，求a 的取值范围．理科数学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】∵{|2A x x =≤-R ð或5}x ≥，∴(){6}A B =R I ð． 2．【答案】B 【解析】因为i 2i 11i 1i 1z -=+=--，所以234i 43i 2i 2z ---==-． 3．【答案】D【解析】∵74714S a ==，∴42a =，∴431d a a =-=-． 4．【答案】A【解析】255a =，256b =，258c =，故a b c <<． 5．【答案】C【解析】由函数22log (1)()x f x x -=，得定义域为(,1)(1,)-∞-+∞U ，且有()()f x f x -=-成立，所以函数22log (1)()x f x x-=的图象关于原点对称，且与x 轴交于(和两点．当x >222log (1)log (21)0x ->-=，所以在内函数图象在x 轴下方，在)+∞内函数图象在x 轴上方，再用对称性得到完整的函数图象． 6．【答案】D 【解析】yz x=的几何意义是可行域内的点(,)x y 与原点(0,0)连线的斜率， 画出可行域（图略），得z 的最大值为2．7．【答案】A【解析】11111112()22262663CE CA CD CA CB CA AB AC AB AC =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ．8．【答案】C【解析】记2ππ()sin(2)cos(2)36f x x x m x m =+-+=-+，因为存在π[0,]2x ∈，使2πsin(2)03x x m +-+<成立，所以只需当π[0,]2x ∈时，min π()()022f x f m ==+<，即2m <-． 9．【答案】C【解析】如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得PBF QBF ∠=∠，EAB EBA ∠=∠， 所以EAB QBF ∠=∠，所以ME BQ ∥． 因为PME PQB ~△△，所以||||||||PE PM EB MQ =． 因为PBF EBO ~△△，所以||||||||OF EP OB EB =，从而有||||||||PM OF MQ OB =． 又因为M 是线段PF 的中点，所以||||1||||3c OF PM e a OB MQ ====．10．【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -，F 为BD 的中点， 外接球球心O 在过CD 的中点E 且垂直于平面BCD 的直线l 上，又点O 到A ，B ，D 的距离相等，所以O 又在过左边正方体一对棱的中点M ，N 所在直线上， 在OEN △中，由NF MF NE OE =，即223OE=，得3OE =， 所以三棱锥A BCD -外接球的球半径R ===，V =DCEFBNMAO11．【答案】A 【解析】由2ce a==，得2c a =，b =， 故线段MN所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN上，可设()P m ，其中[,0]m a ∈-， 由1(,0)F c -，2(,0)F c ，即1(2,0)F a -，2(2,0)F a ，得1(2,)PF a m =--u u u r，2(2,)PF a m =-u u u u r，所以222212313464()44PF PF m ma a m a a ⋅=+-=+-u u u r u u u u r ．由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r 取得最小值，此时21134)24S a a a =⨯-+=，当0m =，12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最大值，此时22142S a =⨯=，所以214S S =．12．【答案】D【解析】由于()f x 是单调函数，则()x f x e x -+为定值， 不妨设()x f x e x t -+=，则()x f x e x t =-+．又()t f t e t t e =-+=，解得1t =，则()1x f x e x =-+，()1x f x e '=-，所以2xe x ax -≥，即21xe a x≤-． 设2()1x e g x x =-，则22(1)()x e x g x x -'=，易知()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 则min ()(1)21g x g e ==-，所以21a e ≤-．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】116【解析】∵4π4π4111()cos 333326f 4-=-+=--=-，所以4π11()36f =． 14．【答案】0【解析】令1x =-，可得00a =；令1x =，可得2100296012100222(11)(11)0a a a a ++++=-+=L ， 所以2100121002220a a a +++=L ．15．【答案】2-【解析】因为函数()f x 为偶函数，且函数()f x 只有一个零点， 故(0)0f =，所以2a =-．16．【答案】8+【解析】如图，连接AC ，BD 交于点1O ，取AD 的中点为N ，连接PN ． 设四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ，等边三角形PAD 外接圆的圆心为2O ， 则2O 为PAD △的重心，则22||||3PO PN =，正方形ABCD 外接圆的圆心为1O ． 因为PN AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PN ⊥平面ABCD ，所以1OO PN ∥， 所以四边形12OO NO 为矩形，所以21OO NO =．设正方形ABCD 的边长为2x ，则||PN =，所以2||3PO =，2||OO x=， 所以四棱锥P ABCD -外接球的半径为2222227||||||3PO PO OO x =+=， 所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为228π3S x =球，四棱锥P ABCD -的体积为23143P ABCD V x x -=⨯=，所以7πP ABCD V S -=球，即7π7π=，解得1x =， 所以正方形ABCD 的边长为2，所以PAD S =△，2PAB S =△，2PDC S =△，PCB S =△4ABCD S =正方形，所以四棱锥P ABCD -的表面积为8O O 1DCBAN O 2P三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）23-；（2【解析】（1）∵26sin cos sin 2A a B b A =，∴26cos 2A ab ba =，∴21cos 26A =， 故22cos 2cos123A A =-=-． （2）∵2222cos a b c bc A =+-，又a =5b c +=，∴24221()22533b c bc bc bc =+-+=-，∴6bc =． 由（1）可知sin 3A =，从而ABC △的面积1sin 2S bc A ==18．【答案】（1）0.76；（2）选择方案①更划算．【解析】（1）因为甲单位的优惠比例低于乙单位的优惠比例的概率为0.40.60.24⨯=，所以甲单位的优惠比例不低于乙单位的优惠比例的概率为10.240.76-=． （2）设在折扣优惠中每籍零件的价格为X 元，则184X =或188．X 的分布列为则1840.61880.4185.6EX =⨯+⨯=．若选择方案②，则购买总价的数字期望为185.6650120640⨯=元．若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱， 从而购买总价为200600120000⨯=元．因为120640120000>，所以选择方案①更划算．19．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD I 平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥平面ABC ． 因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥．因为2AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥． 因为AD AB A =I ，所以BC ⊥平面ABD ． （2）设(04)AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积232111()(4)(816)(04)326V f x x x x x x x ==⨯-=-+<<．211()(31616)(4)(34)66f x x x x x '=-+=--，当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增；当443x <<时， ()0f x '<，()V f x =单调递减， 故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值．以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，8(0,,0)3A ，8(,0,0)3C ，84(0,,)33D ，44(,,0)33E ．设平面BCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，即80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令2z =-，得(0,1,2)=-n ． 同理可得平面BDE 的一个法向量为(1,1,2)=-m ，则cos ,==m n 由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --．20．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，14λ=-，1AOB S =△． 【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点1)2-，所以223114a b +=，c =，从而22224a b c b =+=． 联立方程组222231144a b a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）设存在这样的常数λ，使12k k λ⋅=，AOB △的面积S 为定值．设直线AB 的方程为y kx m =+，点11(,)A x y ，点22(,)B x y ，则由12k k λ⋅=知12120y y x x λ-=，1212()()0kx m kx m x x λ++-=，所以221212()()0k x x km x x m λ-+++=①．联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=． 所以122814km x x k -+=+②，21224414m x x k-⋅=+③， 又点O 到直线AB的距离d =则AOB △的面积121||||||22m S AB d x x =⋅=⋅-=④． 将②③代入①得222222()(44)8(14)0k m k m m k λ---++=，化简得224()14k m λλ-=-⑤，将⑤代入④得22224222222422(41)4()(14)16()64(644)41()2(14)(41)1681(14)S k k k k k k k k λλλλλλλλ+⋅-----++-==⋅-+++-，要使上式为定值，只需26464441681λλλ-+-==，即需2(41)0λ+=，从而14λ=-， 此时21()24S =，1S =， 所以存在这样的常数14λ=-，此时1AOB S =△． 21．【答案】（1）()f x 的极大值为1(1)f e =，无极小值；（2）2(,)e+∞． 【解析】（1）当1a =时，ln 1()x x f x e+=，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以1ln ()x x x x f x xe--'=，且0x xe >， 令()1ln h x x x x =--，所以当01x <<时，10x ->，ln 0x x <，所以()1ln 0h x x x x =-->．又()2ln h x x '=--，所以当1x >时，()2ln 0h x x '=--<，所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0h x h <=．同理当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)是单调递增，在(1,)+∞单调递减，所以当1x =时，()f x 的极大值为1(1)f e=，无极小值． （2）令()()x m x xe f x ax =-，因为对任意12,(0,)x x ∈+∞都有11112()()xx e f x ax g x ->成立，所以1min 2max ()()m x g x >．因为()()ln x m x xe f x ax x x =-=，所以()1ln m x x '=+． 令()0m x '>，即1ln 0x +>，解得1x e >；令()0m x '<，即1ln 0x +<，解得10x e<<． 所以()m x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，所以min 11()()m x m e e==-． 因为()x g x xe a -=-，所以()(1)x g x x e -'=-，当0x >时0x e ->，令()0g x '>，即10x ->，解得01x <<；令()0g x '<，即10x -<，解得1x >．所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)g x g a e==-， 所以11a e e ->-，所以2a e >，即实数a 的取值范围为2(,)e+∞． 22．【答案】（1）3470x y --=，22(1)(2)1x y -++=；（2）2m =．【解析】（1）由题意可得||1a =，故l 的参数方程为4131x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），消去参数t ，得l 的普通方程为3470x y --=，消去参数θ，得C 的普通方程为22(1)(2)1x y -++=．（2）l '的方程为37()44y x m =+-，即34370x y m -+-=， 因为圆C 上只有一个点到l '的距离为1，圆C 的半径为1，所以(1,2)C -到l '的距离为2， 即|3837|25m ++-=，解得2m =（1403m =-<舍去）． 23．【答案】（1）(3,5)；（2）(,0)[1,)-∞+∞U ．【解析】（1）当1a =时，52,1()3,1425,4x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，故不等式()f x x <的解集为(3,5)．（2）∵()|||4||()(4)||4|f x x a x x a x a =-+-≥---=-， ∴44|4|1a a a a--≥-=， 当0a <或4a ≥时，不等式显然成立；当04a <<时，11a≤，则14a ≤<． 故a 的取值范围为(,0)[1,)-∞+∞U ．。
2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷(六)文科数学
2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷（六）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤,{|'()0}B x f x =≤，则A B =I （ ） A ．[1,0]- B ．[1,2]- C ．[0,1] D ．(,1][2,)-∞+∞U 2．设i 是虚数单位，若复数1i z =+，则2z z += （ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+3．命题“(0,1)x ∀∈,ln xe x ->”的否定是 （ ） A ．(0,1)x ∀∈,ln x e x -≤ B ．0(0,1)x ∃∈,00ln x ex ->C ．0(0,1)x ∃∈,00ln x ex -< D ．0(0,1)x ∃∈,00ln x ex -≤4．已知||a ,||2=b ，若||+a b a 在向量b 方向的投影（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 5．在ABC △中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 （ ）A ．1112 B ．6 C ．112 D ．2237．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为 （ ）A ．2493π+B ．4893π+C ．48183π+D ．144183π+8．函数cos 232y x x =-([0,])2x π∈的单调递增区间是 （ ）A ．[0,]6πB ．[0,]3πC ．[,]62ππD ．[,]32ππ9．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥所表示的平面区域被直线1y ax =+分为面积相等的两部分，则a 的值为 （ ）A ．12B ．1C ．2D ．9410．已知函数()12x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且1m n -≤，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．[2,4]B ．7[2,]3C ．7[,3]3D ．[2,3]11．已知双曲线2222:1x y E a b-=(a ＞0,b ＞0)满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是 （ ） A 31+B 51+ C ．32D 5112．若函数32()1f x x ax x =-++-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．(－∞,0)B ．(－∞,1)C ．(0,＋∞)D ．(1,＋∞)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．高三某班有60名学生，现采用系统抽样方法抽取5人做问卷调查，将这60名学生按1, 2,…,60随机编号，已知27号学生在样本中，则样本中编号最大的学生的编号15．过直线7y kx =+上一动点(,)M x y 向圆22:20C x y y ++=引两条切线,MA MB ，切点为,A B ，若[1,4]k ∈，则四边形MACB 的最小面积S ∈的概率为 ． 16．三棱锥S ABC -中，点P 是Rt ABC △斜边AB 上一点．给出下列四个命题：17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4618a a +=，11121S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设4(1)(5)n n n b a a =++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．18．（12分）某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了20名男生和20名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数(本)，并根据统计结果绘制出如图所示的茎叶图．如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数(本)不低于90本，则称该学生为“书虫”． （1）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过10% 男生 女生 总计 书虫 非书虫 总计附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P k k ≥ 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.024（2）在所抽取的20名女生中，从过去一整年内课外阅读的书数(本)不低于86本的学生 19．（12分）如图，己知边长为2的正三角形ABE 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且60DAB ∠=︒，点F 是BC 上一点，且BFk BC=(0＜k ＜1)．（1）当12k =时，证明：BD EF ⊥； （2）是否存在一个常数k ，使得三棱锥D FEB -的体积等于四棱锥E ABCD -的体积的13，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知12,F F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，点3(1,)2P 在椭圆上，且过点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，1AF B △的周长为8． （1）求椭圆E 的方程；（2）证明：22114||||3AF BF +=．21．（12分）已知函数2()x f x e e =+.（1）求函数2()f x e在2x =处的切线方程；（2）若不等式2()()f x y f x y me x ++-≥对任意的[0,)x ∈+∞,[0,)y ∈+∞都成立，求实数m 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l+半轴为极轴建立极坐标系，圆（1）写出直线l （2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求AB ．23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式(2)(4)2f x f x -->的解集；（2）当0a >时，不等式()()1f ax af x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.文科数学答案与解析1．【答案】C 【解析】2{|20}{|02}A x x x x x =-=≤≤≤,{|220}{|1}B x x x x =-=≤≤，{|01}A B x x ∴=I ≤≤．故选C ．2．【答案】A 【解析】Q 复数1i z =+,∴1i z =-,22(1i)2i z =+=，则21i 2i 1i z z +=-+=+，故选A ． 3．【答案】D 【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈,00ln x e x -≤．故选D ．4．【答案】B 【解析】||+Q a b 222()2322cos ,43+=+⋅+=+⨯<>+=a b aa b b a b ，cos ,∴<>=a b ，向量a 在向量b 方向的投影为||cos ,(1<=-a a b ．故选B ． 5．【答案】D 【解析】由正弦定理及大边对大角可得：sin sin 22a bA B a b A B R R>⇔>⇔>⇔>，而函数tan y x =在(0,)π上不是单调函数，所以“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的既不充分也不必要条件，故选D.6．【答案】D 【解析】执行程序框图，可得S =0，n =2，满足条件，12S =，n ＝4，满足条件，113244S =+=，n =6，满足条件，1111124612S =++=，n ＝8，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为11228123⨯=，故选D ． 7．【答案】C 【解析】由已知中的三视图知圆锥底面半径为22633()62r =+=，圆锥的高22(35)36h =-=，圆锥母线226662l =+=，截去的底面弧的圆心角为120︒，底面剩余部分的面积为22222121sin12066sin12024933232S r r πππ=+︒=⨯+⨯⨯︒=+，故几何体的体积为：11(2493)64818333V Sh ππ==⨯+⨯=+，故选C.8．【答案】D 【解析】因为cos23sin 2y x x =-2sin(2)2sin(2)66x x ππ=-=--，由3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k ππππ++∈Z ≤≤，即函数的增区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ，所以当0k =时，增区间为[,]32ππ，选D.9．【答案】B 【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示：因为直线1y ax =+过定点(0,1)C ，所以要使表示的平面区域被直线1y ax =+分为面积相等的两部分，则直线1y ax =+必过(2,6),(4,2)A B 的中点(3,4)D ，由431a =+得1a =，故选B ．10．【答案】D 【解析】因为'1()10x f x e -=+>，且(1)0f =，所以函数()12x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以11n -≤，02n ∴≤≤，问题转化为：使方程230x ax a --+=在区间[0,2]上有解，即223(1)2(1)4412111x x x a x x x x ++-++===++-+++ 在区间[0,2]上有解，而根据“对勾函数”可知函数4121y x x =++-+在区间[0,2]的值域为[2,3]，23a ∴≤≤，故选D ．11．【答案】B 【解析】依题意可得，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，F 关于原点的对称点(1,0)-；24α=，12α=，所以12()f x x x ='()2f x x 00()Q x x 0002x x =01x =，∴(1,1)Q ，可得22111a b -=，又1c =，222c a b =+，可解得51a -=故双曲线的离心率是5151ce a +==-故选B ．12．【答案】B 【解析】函数32()1f x x ax x =-++-有且只有一个零点，等价于关于x 的方程ax 2=x 3－x +1有且只有一个实根．显然0x ≠，∴方程211a x x x =-+有且只有一个实根． 设函数211()g x x x x=-+，则3233122'()1x x g x x x x +-=+-=．设32()2,()310h x x x h x x '=+-=+＞，h (x )为增函数， 又h (1)=0．∴当x ＜0时，g ′(x )＞0，()g x 为增函数； 当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，()g x 为减函数；当x ＞1时，g ′(x )＞0，()g x 为增函数；∴()g x 在x =1时取极小值1． 当x 趋向于0时，()g x 趋向于正无穷大；当x 趋向于负无穷大时， ()g x 趋向于负无穷大；又当x 趋向于正无穷大时， ()g x 趋向于正无穷大．∴()g x 图象大致如图所示：∴方程211a x x x =-+只有一个实根时，实数a 的取值范围为(,1)-∞，故选B ． 13．【答案】51【解析】样本间距为60÷5=12，则样本中编号最大的学生的编号是2712251+⨯=.故答案为51． 14．315【解析】tan tan tan tan()151tan tan ACD BCD ACB ACD BCD ACD BCD ∠+∠∠=∠+∠==--∠∠1cos 4ACB ∠=-，由余弦定理可知2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得4AB =.根据“三斜求积术”可得22222221423135424216S ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以315S =.15．157-【解析】由圆的方程得22(1)1x y ++=，所以圆心为(0,1)-，半径为1r =，四边形的面积2MBC S S =△，若四边形MACB 的最小面积[3,7]S ∈，所以MBC S △的最小值为37[MBC S ∈△，而12MBC S r MB =△，即MB 的最小值min [3,7]MB ∈，此时MC 最小为圆心到直线的距离，此时2222217[1(3),1(7)]1d k +=+++，因为0k >，所以[7,15]k ∈，所以[1,4]k ∈157-． 16．【答案】①②④【解析】对于①，因为SA ⊥平面ABC ，所以SA AC ⊥,SA AB ⊥,SA BC ⊥，又BC AC ⊥，∴BC ⊥平面SAC ，所以BC SC ⊥，故四个面都是直角三角形，∴①正确；对于②，由S 在平面ABC 上的射影是斜边AB 的中点P ，可得SP ⊥平面ABC ，连接CP ，有SA 2＝SP 2＋PA 2，SB 2＝SP 2＋PB 2，SC 2＝SP 2＋PC 2，因为P 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，所以PA ＝PB ＝PC ，故SA =SB =SC ，∴②正确；对于③，当SC ⊥平面ABC 时，114222SCP S SC CP CP CP =⨯⨯=⨯⨯=△.当CP AB ⊥时，CP 取得最小值，由等面积可得此时CP 133⨯，所以SCP S △的最小值是323∴③不正确；对于④，若4,4,4AC BC SC ===，SC ⊥平面ABC ，∴三棱锥S ABC -的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，∴222244443R =++=，23R =，∴体积为34(23)3233V ππ==，故④正确，故答案为①②④． 17．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，465218a a a +==Q ,59a ∴=， 11111611()111212a a S a +===,611a ∴=,651192d a a ∴=-=-=， 5(5)92(5)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-.（6分） （2）由（1）可知441111()(1)(5)(211)(215)(2)22n n n b a a n n n n n n ====-++-+-+++，∴数列{}n b 的前n 项和为1111111111[(1)()()()()]232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++L ，11113111(1)()22124212n n n n =+--=-+++++，*n ∈N Q ， 11012n n ∴+>++，34n T ∴<.（12分）18．【解析】（1）由已知数据得：男生女生 总计 书虫 1 5 6 非书虫 19 15 34 总计202040根据2×2列联表中数据，240(115519) 3.1376342020K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于3.137＞2.706，所以在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关．（6分）（2）设抽出的两名学生都是“书虫”为事件A ．课外阅读的书数(本)不低于86本的学生共有6人，从中随机抽取2个的基本事件为(86,93),(86,96),(86,97),(86,99)(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99)， (96,99),(97,99),(97,99),(99,99)，共15个，（8分）而事件A 包含基本事件：(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99)， (97,99),(99,99)，共10个．（10分） 所以所求概率为102()153P A ==.（12分） 19．【解析】（1）证明：取AB 的中点O ，连结,,EO OF AC ，由题意知EO AB ⊥．又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以EO ⊥平面ABCD ．（2分） 因为BD ⊂平面ABCD ，所以EO BD ⊥， 因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又因为//OF AC ，所以BD OF ⊥，所以BD ⊥平面EOF .（4分） 又EF ⊂平面EOF ，所以BD EF ⊥．（6分）（2）解：1112332D FEBE DFB DFB V V S EO k k --==⨯⨯=⨯⨯△，122sin 6023E ABCD V -=⨯⨯⨯，（10分） 12233k ∴=⨯=，所以存在常数23k =，使得三棱锥D ﹣FEB 的体积等于四棱锥E ﹣ABCD 的体积的13.（12分）20．【解析】（1）根据椭圆的定义，可得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=， ∴1AF B △的周长为111122||||||||||||||4AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++=， ∴48a =，得2a =，（2分）∴椭圆E 的方程为22214x y b +=，将3(1,)2P 代入椭圆E 的方程可得23b =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=.（5分） （2）证明：由（1）可知222431c a b =-=-=，得2(1,0)F ， 依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+， 由221431y x my x ⎧⎪⎨⎪=+=⎩+消去x ，整理得22(34)690m y my ++-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 不妨设120,0y y ＞＜，211||||AF y y ，同理222||||BF y y =，（9分）所以22121111()||||AF BF y y +=-21121224.334y y y y m -==+即22114||||3AF BF +=.（12分） 21．【解析】（1）设2222()()1x x f x e e e t x e e e +===+，则2'()xe t x e=， 当2x =时，22(2)12e t e =+=，22'(2)1e t e ==， ∴函数()f x 在2x =处的切线方程为22y x -=-，即0x y -=.（4分）（2）根据题意可得222x y x y e e e me x +-++≥对任意的[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞都成立， 当0x =时，不等式即为220y y e e e -++≥，显然成立；（5分）当0x >时，设2()2x y x y g x e e e +-=++，则不等式222x y x y e e e me x +-++≥恒成立， 即为不等式2()g x me x ≥恒成立，2222()2()2222x y x y x y y x x g x e e e e e e e e e e e +--=++=++⨯=+Q ≥(当且仅当0y =时取等号)，∴由题意可得2222x e e me x +≥，即有2222222x x e e e e m e x e x ++=⋅≥对(0,)x ∈+∞恒成立， 令2()x e e h x x+=，则2222()(1)'()x x x xe e e x e e h x x x -+--==， 令'()0h x =，即有2(1)0x x e e --=，令2()(1)x m x x e e =--，则'()(1)x x x m x e x e xe =+-=，当0x >时，'()0x m x xe =>，()m x ∴在(0,)+∞上单调递增，又22(2)(21)0m e e =--=Q ，2(1)0x x e e ∴--=有且仅有一个根2x =，（9分） 当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增，当(0,2)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减， ∴当2x =时，()h x 取得最小值，为222(2)2e e h e +==，∴2222m e e⨯=≤． ∴实数m 的取值范围(,2]-∞.（12分） 22．【解析】（1）将直线l的参数方程121x y t⎧=⎪⎨⎪=+⎩(t 为参数)消去参数t ， 可得直线l的普通方程为11)2y x --，即210x -+=．由)4πρθ-，得cos sin ρθθ=+，所以2cos sin ρρθρθ=+, 得22x y x y +=+，即22111()()222x y -+-=．（5分） （2）由121x y t ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得12112x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(m 为参数）， 将其代入22111()()222x y -+-=，得211024m m +-=， 1212m m ∴+=-，1214m m =-，∴12AB m m =-．（10分）23．【解析】（1）)函数(2)(4)|22||2|f x f x x x --=+--=4,13,124,2x x x x x x --<-⎧⎪-<⎨⎪+⎩≤≥，当1x <-时，不等式即42x -->，求得6x <-，6x ∴<-；当12x -<≤时，不等式即32x >，求得23x >，223x ∴<<； 当2x ≥时，不等式即42x +>，求得2x >-，∴2x ≥． 综上所述，不等式的解集为2{|3x x >或6}x <-．（5分） （2）当0a >时, ()()|2||2||2||2|(2)(2)||22|f ax af x ax a x ax ax a ax ax a a +=+++=++++-+=-≥| Q 不等式()()1f ax af x a ++≥恒成立，|22|1a a ∴-+≥，221a a ∴-+≥或221a a ---≤，解得3a ≥或103a <≤，∴实数a 的取值范围为1(0,][3,)3+∞U .（10分）。
2020届湖南长沙市一中新高考押题信息考试(十一)物理试卷
2020届湖南长沙市一中新高考押题信息考试（十一）物理试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.下列有关物理学史的说法中正确的是A. 开普勒利用万有引力定律测出了地球的质量B. 卡文迪许利用扭秤实验装置测算出引力常量GC. 伽利略通过实验和逻辑推理说明力是维持物体运动的原因D. 牛顿将斜面实验的结论合理外推，间接证明了自由落体运动是匀变速直线运动【答案】B【解析】【详解】A．卡文迪许测出了万有引力常量后，利用万有引力定律测出了地球的质量，选项A错误；B．卡文迪许利用扭秤实验装置测算出引力常量G，选项B正确；C．伽利略通过实验和逻辑推理说明力不是维持物体运动的原因，而是改变物体运动状态的原因，选项C错误；D．伽利略将斜面实验的结论合理外推，间接证明了自由落体运动是匀变速直线运动，选项D错误。
2.下列说法中正确的是A. 曲线运动的加速度一定是变化的B. 匀速圆周运动是一种匀变速曲线运动C. 物体做曲线运动时，其合力的方向有可能与速度方向相同D. 物体所受合力做功为零时，物体的速度大小一定不变【答案】D【解析】【详解】A．曲线运动的加速度不一定是变化的，例如平抛运动，选项A错误；B．匀速圆周运动加速度是变化的，则是一种非匀变速曲线运动，选项B错误；C．物体做曲线运动时，其合力的方向一定与速度方向不相同，选项C错误。
2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷(十七)文科数学
2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷（十七）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
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8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A ,B ,C 为不共线的三点，则“AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ”是“ABC ∆为直角三角形”的( )。
A ．充分不必要条B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33，这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数3. 已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）A ．11a b <B ．sin sin a b >C ．1133a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22a b >4. 据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级。
2020届湖南长郡中学新高考原创考前信息试卷(二)理科数学
2020届湖南长郡中学新高考原创考前信息试卷（二）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2340A x x x =-->，{}ln 0B x x =>，则()A B =R I ð（ ） A ．B ．C ．D ．2．下列命题中正确的是（ ） A ．若，则 B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则3．设方程的根为，表示不超过的最大整数，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．在中，已知，，，则等于（ ）A ．或B ．C ．D ．5．下列四个结论： ①命题“”的否定是“”；②若是真命题，则可能是真命题；③“且”是“”的充要条件； ④当时，幂函数在区间上单调递减．其中正确的是（ ） A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④6．已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．()()10121x x -+的展开式中10x 的系数为（ ） A ．B ．C ．D ．8．直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．9．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布()()2105,0N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知关于的方程恰有四个不同的实数根，则当函数时，实数的取值范围是（ ）C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若平面向量a ，b 满足1+=a b ，+a b 平行于x 轴，()2,1=-b ，则=a ．14．实数，满足约束条件：，则的取值范围为 ． 15．半径为的球面上有，，，四点，且，，两两垂直，则，与面积之和的最大值为 ． 16．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在数列中，，当时，其前项和满足．（1）求的表达式；（2）设，求的前项和．18．（12分）如图所示的三棱柱中，平面，，，的中点为，若线段上存在点使得平面．（1）求；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了名乘客，统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟)．将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．（1）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取人，记为；从乙站的乘客中随机抽取人，记为．用频率估计概率，求“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率；（2）从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取人，表示乘车等待时间小于分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．20．（12分）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设T为直线3x=-上任意一点，过1F的直线交椭圆C于点P，Q，且为抛物线1TF PQ⋅=u u u r u u u r，求1TFPQu u u ru u u r的最小值．21．（12分）已知函数，．（1）若存在极小值，求实数的取值范围；（2）设是的极小值点，且，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知直线的极坐标方程为，是与的交点，是与的交点，且，均异于原点，，求的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）当，求不等式的解集；（2）设对恒成立，求的取值范围．理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】由题意，集合，或，，，则．2．【答案】C【解析】A．时不成立；B．，，则，因此不正确；C．，，则，正确；D．取，，，，满足条件，，但是不成立，故选C．3．【答案】B【解析】构造函数，由于函数与在定义域上都是单调递增函数，故在定义域上单调递增，由，，则函数的零点在之间，故，．4．【答案】C【解析】由正弦定理知32sin22sin3b ABa⨯===．∵，∴或，又∵，∴，∴，∴．5．【答案】A【解析】①命题“”的否定是“”，特称命题的否定是换量词，否结论，不变条件，故选项正确； ②若是真命题，则和均为真命题，则一定是假命题，故选项不正确；③“且”，则一定有“”，反之“”，，也可以满足，即，的范围不唯一，“且”是“”的充分不必要条件，故选项不正确； ④当时，幂函数在区间上单调递减，是正确的，幂函数在第一象限的单调性只和指数有关，函数单调递增，函数单调递减． 故选项正确． 6．【答案】 B【解析】正项等比数列的前项和为，，，()31311181314a q a q a q ⎧=⎪⎪∴⎨-⎪-=⎪-⎩，解得11a =，12q =， ∴．7．【答案】C【解析】∵()()()()1010101212121x x x x x -+=+-+， 二项展开式的通项为， 二项展开式的通项为，则，解得，，所以，展开式中的系数为． 8．【答案】C【解析】如图所示，直线过点，圆的圆心坐标，，直线与曲线有且仅有个公共点，设为，，则，，直线与曲线相切时，或(舍去)，直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是．9．【答案】C【解析】∵，，所以，所以此次数学考试成绩在分到分之间的人数约为．故选C．10．【答案】C【解析】如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，∴，∴，取，∵点到直线的距离不小于，∴，解得，∴，∴，∴椭圆的离心率范围是．11．【答案】B【解析】对于函数，令，解得，当时，令，则；对于函数，令，解得，当时，令，则．易得当函数与均在区间单调递减时，的最大值为，的最小值为，所以的最大值为．12．【答案】B【解析】，令，解得或，∴当或时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，作出的大致函数图象如图所示，令，则当或时，关于的方程只有一个解；当时，关于的方程有两个解；当时，关于的方程有三个解，∵恰有四个零点，∴关于的方程在上有一个解，在上有一个解， 显然不是方程的解，∴关于的方程在和上各有一个解，∴01416)4(242<+-=eke e h ，解得2244e k e >+，即实数的取值范围是．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】或【解析】()()1,01,0+=-或a b ，则()()()1,02,11,1=--=-a 或()()()1,02,13,1=---=-a ． 14．【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图：其中， 因为表示与点连线斜率， 由图可得：当点在点处时，它与点连线斜率最小为．所以的取值范围为．15．【答案】8 【解析】将四面体置于长方体模型中，则长方体外接球半径为， 不妨设，，， 则．记，()()()()222222240x y z S x y y z x z ++-=-+-+-≥，即8324≤⇒≤S S ， 当且仅当时“”成立．16．【答案】 【解析】连结、，可得是边长为的等边三角形，所以，可得直线的斜率，直线的斜率为，因此，直线的方程为，直线的方程为，设，由，解得，因为圆与直线相切于点，所以，因此，故直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，解得或，因为直线交椭圆于与点，设，可得，由此可得．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）121nSn=-；（2）21nnTn=+．【解析】（1）∵，，∴，即①，由题意得，①式两边同除以，得，∴数列是首项为，公差为2的等差数列，∴，∴．（2）∵，∴．18．【答案】（1）6；（2）6．【解析】（1）如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，，连接，在平面内过点作的垂线交于，连接，依题意易得，，，，，五点共面，因为平面，所以①，在中，，，因此为线段靠近的三等分点，由对称性知，为线段靠近的三等分点，因此，，代入①，得．（2）由（1）可知，是平面的一个法向量且，，设平面111A B C的法向量为n，则BCAB⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rnnn可以为()3,0，2363cos,3222OPOPOP⋅〈〉===⋅⨯u u u ru u u ru u u rnnn，因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为．19．【答案】（1）15；（2）分布列见解析，()65E X=．【解析】（1）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”，表示事件“乘客，乘车等待时间都小于分钟”．由题意知，乘客乘车等待时间小于分钟的频率为:，故的估计值为．乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，故的估计值为．又，故事件的概率为．（2）由（1）可知，乙站乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，所以乙站乘客乘车等待时间小于分钟的概率为．显然，的可能取值为0，1，2，3且)52,3(~BX，所以；；；．故随机变量的分布列为：．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），而，又，得，，故椭圆的标准方程为．（2）由（1）知，∵10TF PQ ⋅=u u u r u u u r ，故1TF PQ ⊥u u u r u u u r ， 设，∴，直线的斜率为，当时，直线的方程为，也符合方程； 当时，直线的斜率为，直线的方程为；设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去，得，，，， ，，当且仅当，即时，等号成立，∴1TF PQ u u u ru u u r 的最小值为3． 21．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1），令，则，所以在上是增函数，又因为当时，；当时，，所以，当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点；当时，的值域为，必存在使，所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，所以存在极小值点，综上可知实数的取值范围是．（2）由（1）知，，即，所以，，由，得，令，显然在区间上单调递减，又，所以由，得，令，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，当时，函数取最小值，所以，即，即，所以，，所以，即．22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由消去参数，得的普通方程为，由，得，又，，所以的直角坐标方程为．（2）由（1）知曲线的普通方程为，所以其极坐标方程为．设点，的极坐标分别为，，则，，所以，所以，即，解得，又，所以．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，即，当时，原不等式化为，得，即；当时，原不等式化为，即，即；当时，原不等式化为，得，即．综上，原不等式的解集为．（2）因为，所以，可化为，所以，即对恒成立，则，所以的取值范围是．。
2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷(十九)文科数学
2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷（十九）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足1z i =+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 的虚部为 A ．-1B ．1C ．i -D ．i2．设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，则 A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P C Q ⊆D ．R Q C P ⊆3．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为4,n S a 是37a a 与的等比中项，832S =，则S 10等于 A ．18B ．24C ．60D ．904．函数3x xe e y x x--=-的图像大致是A ．B ．C ．D ．5．设,a b ∈R ，则“||||a a b b >”是“33a b >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只需将()y f x =的图象A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积 （单位：cm 3）是 A ．8B ．C ．16D ．168．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是 A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图（二）是折扇的示意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是A ．14B ．12C ．34D ．5810．若抛物线y 2=4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则 △OFP 的面积为 A ．12B ．1C ．32D ．211．设2018log 2019a =，2019log 2018b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>12．如图，直角梯形ABCD ，90ABC ∠=o ，2CD =，1AB BC ==，E 是边CD 中点，ADE ∆沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，则点C 到平面ABD '距离的最大值为A ．12 B ．22C ．D ．1第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷(十五)文科数学
2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷（十五） 文科数学
★祝考试顺利★ 注意事项：
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第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卡上.） 1.已知集合2|60,AxxxxZ，1,1,2,3B，则下列判断正确的是（ ） A. 2A B. AB C. 1,1,2ABI D. 1,1,2AB
2.设02，21cossin2ii，则的值为（ ）
A. 0 B. 4 C. 2 D. 3.如图，一个装饰物的正视图、侧视图都是边长为2，且有一个内角为60的菱形，俯视图是正方形，则这个装饰物的体积为（ ）
2020届湖南省长沙市一中高三第一次调研考试数学(理科)试题
2020届湖南省长沙市一中高三第一次调研考试数学（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={3|),(x y y x =}，A={x y y x =|),(}，则B A 的元素个数是A. 4 B. 3C. 2D. 12.已知i 为虚数单位，R a ∈，若复数i a a z )1(-+=的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且5=⋅z z ,则=z A. 2-i B.-l + 2i C.-1-2i D.-2+3i3.设R x ∈，则“1<2x ”是“1<lg x ”的 （B) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a=(l ，0)，b=(-3,4)的夹角为θ,则θ2sin 等于 A. 257-B. 257C. 2524-D. 25245.设43432,24log ,18log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. c<b<a6.函数||lg )33()(x x f xx-+=的图象大致为 （D)7.运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填 A. i>200? B. i>201? C. i>202? D. i>203?8.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物 (鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有 A. 50 种 B. 60 种 C. 70 种D. 90 种9.将函数)62sin(2)(π-=x x f 的图象向左平移6π个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是(C)A.函数)(x g 的最小正周期是2π B.函数)(x g 的图象关于直线12π-=x 对称C.函数)(x g 在)2,6(ππ上单调递减 函数)(x g 在)6,0(π上的最大值是110.若函数x x f ln )(=与a x x x g ++=3)(2两个函数的图象有一条与直线x y =平行的公共切线，则=aA.-1B. 0C. 1D. 3 11.设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(，则关于函数)(x f 有以下五个命题：①1))((,=∈∀x f f R x ;②)()()(,,y f x f y x f R y x +=+∈∃; ③函数)(x f 是偶函数； ④函数)(x f 是周期函数；⑤函数)(x f 的图象是两条平行直线.12.已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球0的球面上，若AB=AC=BC=DS = DC=1，当三棱锥 D-ABC 的体积取到最大值时，球0的表面积为 A.35π B. π2 C. π5 D. 320π二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。
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2020届湖南长沙市一中新高考原创考前信息试卷（十一）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}0,1A =，{}0,1,2B =，则A B I 的子集个数为 A ．4B ．3C ．2D ．12．i 为虚数单位，复数21iz =+在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知f(x)=1,00,01,0x x x x x ->⎧⎪=⎨⎪+<⎩,则f[f(3)]=A ．1B ．2C ．3D ．54．下列函数中，任取函数定义域内,x y ，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且在定义域内单调递减的函数是A ．2)(-=x x f B ．x x f 21log )(=C ．x e x f =)(D ．x xe ex f -=-)(5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他 在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是 比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项 式值的一个实例.若输入,n x 的值分别为3,3.则输出v 的值为 A ．15 B ．16C ．47D ．486．函数()()20622x xf x x -=<≤-的图象大致形状为7．已知平面向量a b r r ，的夹角为π3，且a 1b 2==r r ，，则()2a b b +⋅=r r r A ．64 B ．36C ．8D ．68．二项式2nx x x ⎛- ⎝⎭的展开式中第7项是常数项，则n 的值是 A ．8B ． 9C ．10D ．119．函数()2sin223cos 2f x x x =+-的一条对称轴是 A ．π12x =B ．π6x = C ．π3x = D ．π2x =10．若347log log log 2x y z ==<-，则A ．347x y z <<B ．743z y x <<C ．437y x z <<D ．734z x y << 11．双曲线22:4C x y -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若PO PF =，则PFO ∆的外接圆方程是A ．22220x y x +-= B．2220x y x ++=C ．22220x y x y +-+= D ．2222220x y x y +--=12．若0x >，0y >，21x y +=，则2xyx y+的最大值为A ．14B ．15 C ．19D ．112二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则x y +=______.14．已知向量a r =（sin2α，1），b r =（cosα，1），若a r ∥b r ， π02α<<，则α=______．15．已知公比为整数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24a =，314S =，若2log n n b a =，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为______． 16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，若1F AB V 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：（单位：吨），用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费，为了了解全布市民用用水量分布情况，通过袖样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1) ……[4,4,5] 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）若该市政府看望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由。
18．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4tan 3A =，1tan 3B =，5a =.（1）求tan C ；（2）求ABC ∆中的最长边.19．（12分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起，D 变为'D ，且平面'D AE ⊥平面ABCE .（1）求证：'AD BE ⊥； （2）求二面角'A BD E --的大小.20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()2,0P -,直线l 与椭圆C 相交于,A B两点(异于点P ).当直线l 经过原点时,直线,PA PB 斜率之积为34-. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线,PA PB 斜率之积为14-,求AB 的最小值.21．（12分）已知2()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.（1）求()f x 的单调区间；（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l的参数方程是2{x y ==+（t 是参数），以坐标原点为原点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）过直线l 上的点作曲线C 的切线，求切线长的最小值.23．（10分）已知函数()241f x x x =-++. （1）解不等式()9f x ≤；（2）若不等式()2f x x a <+的解集为{}2,|30A B x x x =-<，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围.理科数学参考答案1．A 2．D3．A4．B5．D6．B7．D8．B9．A10．B11．A12．C 13．514．6π 15．10010116-17．（1）由直方图，可得(0.080.160.400.520.120.080.04)0.51a a ++++++++⨯= ， 解得0.30a =.（2）因为前6组频率之和为0.080.160.300.400.520.300.50.880.85.+++++⨯=>（）而前5组的频率之和为0.080.160.300.400.520.50.730.85.++++⨯=<（）所以2.53x ≤<.由0.3 2.50.850.73x ⨯-=-（）解得 2.9x =.因此，估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准.18．（1）因为()tan tan tan tan 1tan tan A B C A B A B +=-+=--41333419+=-=--. （2）由（1）知C 为钝角，所以C 为最大角， 因为4tan 3A =，所以4sin 5A =，又tan 3C =-，所以sin 10C =.由正弦定理得：545=8c =为最大边.19．（Ⅰ）证明：∵AE BE ==，AB 4=， ∴222AB AE BE =+，∴AE EB ⊥，取AE 的中点M ，连结MD '，则AD D E 2MD AE ''==⇒⊥， ∵ 平面D AE '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥ BE ， 从而EB ⊥平面AD E '，∴AD EB '⊥（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则()A 4,2,0、()C 0,0,0、()B 0,2,0、()D 3,1,2'，()E 2,0,0，从而BA u u u v=（4,0,0），BD'312=-u u u v （，，），()BE 2,2,0=-u u u v . 设1n x y z)u u v （，，=为平面ABD '的法向量，则11n BA 40n BD'32x x y z ⎧⋅==⎪⇒⎨⋅=-+⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v 可以取1n 0,2,1)=u u v （设()2n x y z u u v，，=为平面BD E '的法向量，则22n BE 220n BD'320x y x y z ⎧⋅=-=⎪⇒⎨⋅=-+=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v 可以取2n (1,12=-u u v ，）因此，12n n 0u u v u u v ⋅=，有12n n u u v u u v⊥，即平面ABD ' ⊥平面BD E '，故二面角A BD E -'-的大小为90o .20．(1)当l 经过原点时,2121,x x y y =-=-,此时2211112211112244PA PBy y y y K K x x x x --⋅=⋅==+-+--, 又2222111221,1444x y y b A b x +=⇒=--因为在椭圆上所以,223344b b -=-⇒=所以所以椭圆方程为22143x y +=.(2)由()222223463120143x my n m y mny n x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩, 122634mn y y m -+=+所以,21231234n y y m -⋅=+,由()()1212121211422224PA PB y y y y K K x x x x ⋅=-⇒⋅==-++++,()()12124220y y my n my n ⇒+++++=,()()()()2212124220m y y m n y y n ⇒++++++=,()()()22222312642203434n mn m mn m n m m --+⋅++++=++所以,()12n n ⇒==-或舍, :1l x my =+所以,l 所以恒过定点()1,0,AB 所以=12y -234m +=2134143344m ⎛⎫-≥⨯= ⎪+⎝⎭,当0m =时,AB 的最小值为3,当直线的斜率为零时,不合题意,综上,min ||3AB =.21．（1）()()2'212f x x x =-++()2231(2)2x x x x -++=>-+， 当()'0f x <时，2310x x ++<.解得2x -<<． 当()'0f x >时，解得32x -+>．所以()f x单调增区间为32,2⎛-- ⎝⎭，单调减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭． （2）设()()()h x f x g x =-()()()22ln 211(1)x x k x x =+-+-+>-，当2k =时，由题意，当()1,x ∈-+∞时，()0h x <恒成立．()()2231'22x x h x x -++=-+()()2312x x x -++=+，∴当1x >-时，()'0h x <恒成立，()h x 单调递减．又()10h -=， ∴当()1,x ∈-+∞时，()()10h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<． ∴对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立．（3）因为()()2231'2x x h x k x -++=-+()226222x k x k x ++++=-+．由（2）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立， 即对于1x ∀>-，()()()22ln 2121x x x +-+<+，不存在满足条件的0x ；当2k >时，对于1x ∀>-，10x +>，此时()()211x k x +<+．∴()()()()22ln 21211x x x k x +-+<+<+，即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ；当2k <时，令()()()22622t x x k x k =--+-+，可知()t x 与()'h x 符号相同，当()0,x x ∈+∞时，()0t x <，()'0h x <，()h x 单调递减．∴当()01,x x ∈-时，()()10h x h >-=，即()()0f x g x ->恒成立．综上，k 的取值范围为(),2-∞．22．（1）由直线l 的参数方程消去参数t 得l 的方程为y x =+4cos 4πρθθθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭Q ，2cos ρθθ∴=-，∴曲线C 的直角坐标方程为220x y +-+=，即((224x y ++=.Q 圆心到直线l 的距离为62d ==>，∴直线l 与圆C 的相离.（2）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为==即切线长的最小值为23．（Ⅰ）()9f x ≤可化为2419x x -++≤， 即>2,339x x ⎧⎨-≤⎩或12,59x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或<1,339,x x -⎧⎨-+≤⎩ 解得2<4x ≤或12x -≤≤，或2<1x -≤-； 不等式的解集为[]2,4-． （Ⅱ）易知()0,3B =；所以B A ⊆，又241<2x x x a -+++在()0,3x ∈恒成立； 24<1x x a ⇒-+-在()0,3x ∈恒成立；1<24<1x a x x a ⇒--+-+-在()0,3x ∈恒成立； ()()>30,305>350,35a x x a a a x x a ⎧-∈≥⎧⎪⇒⇒≥⎨⎨-+∈≥⎪⎩⎩在恒成立在恒成立．。