学而思初二数学秋季班第13讲.几何综合.提高班.学生版
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初二秋季·第13讲·提高班·学生版
全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL （直角三角形），如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件，引出相应的辅助线然后再证明。 一、常见辅助线的作法有以下几种：
1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对称”；
2. 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；
3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；
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13
名校期末试题点拨——几何部分
题型一：全等三角形与轴对称
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4. 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；
5. 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 二、常见模型
1.最值问题：“将军饮马”模型；
2. 全等三角形经典模型：三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模型等。 三、尺规作图
部分地区会考察尺规作图，难点在于构造轴对称图形解决几何问题。
【例1】 ⑴如下左图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A =60°，
∠1=95°，则∠2的度数为（ ）
A ．24°
B ．25°
C ．30°
D ．35°
⑵长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如上右图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n =3时，a 的值为 ． 典题精练
2
1C'
B'
F
E C
B
A 第二次操作
第一次操作
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【例2】 ⑴如图所示，在长方形ABCD 称轴l 上找点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，
则满足条件的点P 有（ ）．
A ．1个
B ．3个
C ．5个
D ．6个
⑵已知，横线和竖线相交的点叫做格点，P 、A 、B 为格点上的点，A 、B 的位置如图所示，若此三点能够构成等腰三角形，P 点有 种不同的位置？
【例3】 ⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找
一点P ，使BP +PE 的值最小；
⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小；
⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；
⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．
图4
图3
图2
图1
P D
C
B A
O
P C B
A
P E D C
B A
P E D C
B
A
【例4】 如图1，在ABC △中，2ACB B ∠=∠，BAC ∠的平分线AO
交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l AO ⊥于H ，分别交直线AB AC BC 、、于点N E M 、、. ⑴当直线l 经过点C 时（如图2），证明：BN CD =； ⑵当M 是BC 的中点时，写出CE 和CD 之间的等量关 系，并加以证明； l
D C
B
A
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⑶请直接写出BN CE CD 、、之间的等量关系.
一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余；
2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab =c h ；
4. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即2
22c b a =+；
5. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半（或含30°的直角三角形三边之比
为1：3：2）；
6.
含45°角的直角三角形三边之比为1：1：2． 思路导航
题型二：直角三角形与勾股定理
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二、直角三角形的判定
1. 有一个角为90°的三角形是直角三角形；
2. 两个锐角互余的三角形是直角三角形；
3. 勾股定理的逆定理：在以a 、b 、c 为边的三角形中，若222c b a =+，则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形；
4. 一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
【例5】 在给定的图形内作一条折线AB 1C 1D 1E ，使AB 1⊥AB ，B 1C 1⊥BC ，C 1D 1⊥CD ，
D 1
E ⊥DE ，且A ，B ，C ，D ，E ，B 1，C 1，D 1都是格点．
E
D
C
B
A
【例6】 如图，AC =AB ，DC =DB ，∠CAB =60°，∠CDB =120°，E 是AC 上一点，F 是
AB 延长线上一点，且CE =BF ．
图1
C A
E
G B
F
D
图2
D
A B
C
E
思考验证：
⑴求证：DE =DF ；
典题精练
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⑵在图1中，若G 在AB 上且∠EDG =60°，试猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系并证明； 探究应用：
⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，∠ABC =90°，∠CAB =∠CAD =30°，E 在AB 上，DE ⊥AB ，且∠DCE =60°，若AE =3，求BE 的长．
【例7 已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 边的延长线上，且
∠DEC =45°，点M 、N 分别是DE 、AE 的中点，连接MN 交直线BE 于点F ．当
点D 在CB 边的延长线上时，如图1所示易证：MF +FN =1
2
BE ．
⑴当点D 在CB 边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．
⑵当点D 在BC 边的延长线上时，如图3所示，请写出你的结论，并说明理由．
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M 图3
图2
图1
N
E
D
E
M
B
F
C A
F N D C
B
A
E
F N
M
D
B
C A
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N
M
D
C B
A
训练1. ⑴如图所示，EFGH 是一个台球桌面，有黑白两球分别置于A B 、两点的位置上，试问怎
样撞击黑球A ，经桌面HE EF 、连续反弹后，准确击中白球B ？（写出作法并画图）
H
G
F E
A
B
⑵如图，在锐角△ABC 中，4245AB BAC =∠=，°，BAC ∠的平分线交BC
于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是___________．
训练2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°. 将△ABC 绕点C 逆时针旋转α角，得到
△A 1B 1C ，连结BB 1，设B 1C 交AB 于D ，A 1B 1分别交AB 、AC 于E 、F .
⑴ 当090?<α
⑵ 在⑴的条件下，当△BB 1D 是等腰三角形时，求α； ⑶ 当90180?<α
图2
图1
A
B
C
A 1
B 1
E F D
D
F
E
B 1
A 1
C
B
A
训练3. 已知如图，AB=AC ，PB=PC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、
思维拓展训练(选讲)
P
E
D
C B A
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E .
⑴ 求证：PD=PE ；
⑵ 若BP AB =，o 45=∠DBP ,2=AP ,求四边形ADPE 的面积.
训练4. ⑴如图，等腰直角三角形ABC 分别沿着某条直线对称得到图形b 、
c 、
d ．若上述对称关系保持不变．平移ABC ?，使得四个图形能够拼成一个重叠且无缝隙的正方形，此时点C 的坐标和正方形的边长为（ ）
A ．1
122
2??- ???，， B ．(11)2-，，
C ．(11)2-，，
D ．1
122
2??- ???，，
⑵如图，△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交DC 间的数量关系，并证明.
D
E
C
A
B 11
-1
-1O
A
B
C d c b
a y x
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【练习1】 ⑴如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M ，N 分别是AD 、
BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN 上，
落点记为A '，折痕交AD 于点E ．若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点， 则A N '=_________；若M 、N 分别是AD 、BC 边上距DC 最近的n 等 分点（2n ≥，且n 为整数），则A N '=_________（用含有n 的式子表示）
⑵如图，D 为ABC △内一点，
CD 平分ACB ∠， BD CD ⊥，A ABD ∠=∠， 若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5
【练习2】 如图，ABC △是等腰三角形，AB AC =，AD 是角平分线，以AC 为边向外作等边三
角形ACE ，BE 分别与AD 、AC 交于点F 、点G ，连接CF ．
⑴ 求证：FBD FCD ∠=∠；
⑵ 若1FD =，求线段BF 的长．
复习巩固
D
C
B A
G
F
E
D
C
B
A
第十五种品格：创新
创新的力量
20世纪40年代，美国有许多制糖公司向南美洲出口方糖，因方糖在海运中会有受
潮现象，这给公司带来巨大损失。公司花了不少钱请专家研究，但始始终未解决这个问题。
后来，有一位名叫科鲁索的制糖工人，想出一个简单的防潮方法：只要在包装纸上开
一个小孔，使空气能够对流，方块糖就不会受潮了。其原理其实就像是大厅里开个排气孔
和人们穿留有适当孔隙材质的衣服比较舒适一样。它虽然十分简单，但不容易被人想到。
科鲁索把自己的“打孔”发明申请了专利，后来，一家制糖公司得知后，出价100
万美元买下了这个专利的使用权。
戳个小孔就值100万美元，这是投机吗？并不是，这就是创新的力量。
今天我学到了
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