第二章 参数估计

第二章 参数估计

一、填空题

1、总体X 的分布函数为);(θx F ，其中θ为未知参数，则对θ常用的点估计方法有 ， 。

2、设总体X 的概率密度为

(),(;)0,x e x f x x θθ

θθ--?≥=?

而12,,

,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为

_______

3、设321,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，且μ=)(X E ，记

3211313131X X X ++=

μ，321221

4141X X X ++=μ 2132121X X +=μ， 32144

14141X X X ++=μ

则哪个是μ的有偏估计 ，哪个是μ的较有效估计 。

4、随机变量X 的分布函数);(θx F 中未知参数θ的有效估计量和极大似然估计量的关系为 。

5、随机变量X 的分布函数);(θx F 中未知参数θ的有效估计量和最优无偏估计量的关系为 。

6、称统计量),,,(21n X X X T T =为可估函数)(θg 的（弱）一致估计量是指 。

7、判断对错：设总体),(~2σμN X ，且μ与2σ都未知，设n X X X ,...,,21是来自

该总体的一个样本，设用矩法求得μ的估计量为1?μ

、用极大似然法求得μ的估计量为2?μ

，则1?μ=2?μ。 _________________

8、?n θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ .

解：??lim (), lim Var()0n n

n n E θθθ→∞

→∞

==． 9、已知1021,,x x x 是来自总体X 的简单随机样本，μ=EX 。令

∑∑==+=10

7

6

181?i i i i x A x μ

，则当=A 时，μ?为总体均值μ的无偏估计。

10、 设总体()θ,0~U X ，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为

0.51.30.61.7 2.21.20.81.5 2.01.6， ， ， ， ， ， ， ， ， 则参数θ的矩估计为 。

11、 设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2?θ的期望与方差满足_______ .

解：1212

????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 12、设1?θ和2?θ均是未知参数θ的无偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。

13、在参数的区间估计),(21θθ中，当样本容量n 固定时，精度12θθ-提高时，置信度α-1 。

14、设n X X X ,,,21 是来自总体)1,(~μN X 的样本，则μ的置信度为0.95的置信

区间为

。

15、设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，其中2σ未知，则μ的置信度为0.95的置信区间为 。

16、设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，其中μ未知，则2σ的置信度为0.95的置信区间为 。

17、设X 服从参数为λ的指数分布，)2(,,,,21>n X X X n 是来自总体X 的样本，

X 为其样本均值，则X n λ2服从 分布。

18、设总体服从正态分布)1,(μN ，且μ未知，设n X X X ,...,,21为来自该总体的一

个样本，记∑==n

i i X n X 1

1，则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是

___________________________________；若已知95.01=-α，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取多大_______。

18、为估计大学生近视眼所占的百分比，用重复抽样方式抽取200名同学进行调查，结果发现有68个同学是近视眼。则大学生近视眼所占的百分比的95%的置信区间为 。

19、设总体X 未知参数为λ，X 为样本均值, X N(0,1)，

则λ的一个双侧近似1-α置信区间为 。

20、设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为

，极大似然估计量为 。

21、设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、2σ 未知，则2σ的置信度为1－α的置信区间为 。

22、设总体X 在区间]1,[+θθ上服从均匀分布，则θ的矩估计=θ? ；

=)?(θ

D 。

23、设总体),(~2σμN X ，若μ和2σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________；

24、在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。

二、简述题

1、描述矩估计法的原理。

2、描述极大似然估计法的原理。

3、极大似然估计法的一般步骤是什么？

4、评价估计量好坏的标准有哪几个？

5、什么是无偏估计？

6、什么是较有效？

7、什么叫有效估计量？

8、判断可估函数)(θg 是有效估计量的充要条件是什么？

9、什么是最优无偏估计量？

10、什么是一致最小方差无偏估计量？

11、有效估计量和最优无偏估计量的关系是什么？ 12、什么叫均方误差最小估计量？ 13、叙述一致估计量的概念。

14、试述评价一个置信区间好坏的标准。

15、描述区间估计中样本容量、精度、置信度的关系。

三、单选题

1、设总体未知参数θ的估计量θ满足()E θθ=,则θ一定是θ的( ) A 极大似然估计 B 矩估计 C 无偏估计 D 有效估计

2、设总体未知参数θ的估计量θ满足()E θθ≠,则θ一定是θ的( )

A 极大似然估计

B 矩估计

C 有偏估计

D 有效估计

3、设n X X X ,,,21 为来自均值为μ的总体的简单随机样本，则),,2,1(n i X i =（ ）

A ．是μ的有效估计量

B ．是μ的一致估计量

C ．是μ的无偏估计量

D ．不是μ的估计量

4、估计量的有效性是指( ) A.估计量的抽样方差比较小 B.估计量的抽样方差比较大 C.估计量的置信区间比较宽

D.估计量的置信区间比较窄

5、若置信水平保持不变，当增大样本容量时，置信区间（ ） A ．将变宽 B ．将变窄 C ．保持不变 D ．宽窄无法确定

6、一个95%的置信区间是指（ ） A ．总体参数有95%的概率落在这一区间内 B ．总体参数有5%的概率未落在这一区间内

C ．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数

D ．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数

7、置信度α-1表示区间估计的（ ） A ．精确性 B ．显著性 C ．可靠性 D ．准确性

8、抽取一个容量为100的随机样本，其均值为x =81，标准差s =12。总体均值μ的99%的置信区间为（ ）其中：58.2995.0=U 。 A 81±1.97 B 81±2.35 C 81±3.09 D 81±3.52

四、计算题 1、设1,

,n X X 是来自总体X 的样本X 的密度函数为

,0

(),00,0

x e x f x x λλλ-?>=>?

≤? 试求λ的极大似然估计量。

2、设总体X 服从参数为λ的泊松分布，求未知参数λ的矩估计量。

3、 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，求未知参数λ的有效估计量。

4、设总体X 的概率密度为

.,,

0,)()(其它θθ≥???=--x e x f x

θ是未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本，求θ的矩估计量1θ∧

5、设n X X X ,...,,21是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为

?????<<=else

x x

x f ,00,2)(2θ

θ

其中 未知， ＞0。 试求 的矩估计和极大似然估计。

6、设n X X X ,...,,21 是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为

?????<<-=else x x x

x f ,

00),(6)(3

θ

θθ 其中θ 未知，0>θ 试求θ的矩估计θ?。

7、设总体X 的概率密度为

.,

,0,)()(其它θθ≥?

??=--x e x f x

θ是未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本，

（1）求θ的矩估计量1θ∧

；（2）求θ的最大似然估计量2θ∧

；（3）1θ∧

和2θ∧

是不是θ的

无偏估计量（说明原因）？

8、设总体),(~2σμN X ，且μ与2σ都未知，设n X X X ,,,21 为来自总体的一个

样本，设∑==n i i X n X 11，∑=-=n i i X X n S 1

22

)(1。求μ与2σ的极大似然估计量

9、设总体X 的概率分布为

其中)3

0(<<θθ是未知参数,利用总体X 的如下样本值

0，1，1，0，2，0，2，1，1，2

（1）求θ的矩估计值；（2）求θ的最大似然估计值。

10、设随机变量X 的分布函数为

??

???≤>??? ??-=，，，αx αx x αβαx F β

0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,

(1) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (2) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (3) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.

11、 设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N (0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=

求：（1） i Y 的方差(),1,2,

,i D Y i n =；

（2）1Y 与n Y 的协方差).

,(1n Y Y Cov

（3）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.

12、设总体X 的概率密度为

(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<

=-≤

其他,

其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.

（1） 求θ的矩估计；（2）求θ的最大似然估计

13、设总体X 的概率密度为

1

,

021(),12(1)0,x f x x θθθθ?<

其他

n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.

（1）求参数θ的矩估计量θ；（2）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.

解：（1）

10

1()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθ

θθθ+∞-∞

==+=+

-?

?

?，

令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1

?22X θ

=-．

（2）

22221114

1 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n n θθθ

??==+=++=+++????，

因为()00D X θ≥>，，所以22 (4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．

14、设总体X 服从)0](,0[>θθ上的均匀分布，n X X X ,...,,21是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为

1

,0;(,)0,x f x θ

θθ≤≤?=?

?其他,

似然函数为

1

,0,1,2,,,

()0,

n i x i n L θθθ<<=??=?

??其它

显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而

{}

12max ,,

,n x x x θ≥，所以

{}12?max ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．

15、 设总体X 的概率密度为

????

?<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θ

θ 1->θ.

n X X X ,...,,21是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.

解:似然函数为

111(,

,;)(1)(1)(,,)n

n n i n i L x x x x x θθ

θθθ==+=+∏

1

ln ln(1)ln n

i

i L n x θθ==++∑

1ln ln 0

1n

i

i d L n

x d θθ==++

∑

解似然方程得θ的极大似然估计为

1

11

1ln n

i i x n θ==

-∑.

16、设总体的概率密度为

101,

,(;).0,x x f x θθθ-<

?其它 (0)

θ>

试用来自总体的样本n X X X ,...,,21，求未知参数θ的矩估计和极大似然估计. 解：先求矩估计

1

10

1EX x dx θθμθθ===

+?

111μθμ∴=

- 故θ的矩估计为1X

X θ=

-

再求极大似然估计

11

11

1(,

,;)()n

n n i n i L x x x x x θθθθθ--===∏

1

ln ln (1)ln n

i

i L n x θθ==+-∑

1

ln ln 0

n

i i d L n x d θ

θ==+

∑

所以θ的极大似然估计为

1

11ln n

i i x n θ==-

∑.

17、已知分子运动的速度X 具有概率密度

22(),0,0,()0,0.x x f x x αα-?>>=≤?

n X X X ,...,,21为X 的简单随机样本

（1）求未知参数α的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计。 解：（1）先求矩估计

2

3

()10

x

EX dx

α

μ-+∞==?

2

2

2

()()0

x

x xe

dx α

α

+∞--+∞=

?

=

X

α∴=

再求极大似然估计

2

2()

1

1

(,,;)i

x

n

n

i

L X Xα

α-

=

=

32

2

1

4()

n

n n

n

x x

απ-

-

=

2

2

1

1n

i

i

x

eα=

-∑

?

22

2

12

1

1

ln3ln ln(4)ln()

n n

n

n i

i

L n x x x

απ

α

-

=

=-++-

∑

2

3

1

ln32

n

i

i

L n

x

d

α

ααα

=

=-+∑

得α的极大似然估计

α

=

，

（2）对矩估计

E EX

αα

===

所以矩估计2

X

α=

是α的无偏估计.

18、假设0.50、1.25、0.80、2.00是来自总体X的简单随机样本值.已知ln

Y X

=服从正态分布(,1)

Nμ

（1）求X的数学期望值()

E X（记()

E X为b）；

（2）求μ的置信度为0.95的置信区间；

（3）利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间.

19、设

n

X

X

X,

,

,

2

1

是来自正态总体)

,

(2

σ

μ

N的样本, 方差2

σ未知，总体均值μ的置信度为α

-1的置信区间的长度记为L，求4()

E L。

20、某出租车公司欲了解从财大南校到火车站乘租车的时间，随机地抽查了9