数学竞赛辅导系列专题(一)利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例
数学竞赛辅导系列专题(一)利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例
新课改下的数学教学要求教师“要创造性地使用教材,积极开发、利用各种教育资源为学生提供丰富多彩的学习素材;关注学生的个性差异,有效地实施差异教学,使每个学生都得到发展”。“对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生,教师要为他们提供足够的材料,指导他们阅读,发展他们的数学才能。”
纵观近几年的全国各级数学竞赛,首先是紧扣教材和竞赛大纲,许多试题虽有一定难度,但难而不怪,灵活性强,高而可攀。其次是精心设计,题目新型。而且注重知识的典型性和迁移性,积极引导学生实现由知识到能力的过渡。因此,教师在教学过程中要努力帮助学生挖掘课本的教育资源,注重知识的延伸和迁移,通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段,培养学生的创新思维能力。让学生在学与练的过程中去体味奇妙的数学、学习和领略奥妙的数学;从而提高学习数学的兴趣、勤奋地去开垦数学。
本文试图从“利用轴对称性质求最小值”问题入手,在挖掘课本教育资源、注重多题一解、培养学生知识迁移能力方面作一些尝试与探索,与数学同行们交流,抛砖引玉。
(一)、课本原型:(七年级下册第196页)如图(1)所示,要在街道旁修
建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A,B到它的距
离之和最短?
解:如图(2)(£,只要画出A点关于直线L的对称点C,连结BC交直线L于P,
则P点就是所求。这时PA+PB=PC+PB为最小,(因为两点之间线段最短)。(证明:如
图(2 )②,在L上任取一点P i ,连结P i A , P i B , P i C ,因为
P i A+P i B=P i C+P i B>BC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边,所以结论成立。)
(二)应用和延伸:例i、(七年级作业本题)如图(3),/ AOB内有一点P,在0A 和0B边上分别找出M、N,使△ PMN的周长最小。
解:如图(4),只要画出P点关于OB 0A的对称点P i, P2 ,连结P i、P2交OB 0A于
M N,此时△ PMN的周长PM+PN+MN i ff2为最小。(证明略)
例2、在图(i )中,若A到直线L的距离AC是3千米,B到直线L的距离BD是i 千米,并且CD的距离4千米,在直线L上找一点P,使PA+PB的值最小。求这个最小值。
解:如图(i)①所示,只要过A i点画直线L的平行线与BD的延长线交于H,在Rt △ ABH中,A i H=4千米,BH=4千米,用勾股定理求得AB的长度为4迈千米。即PA+PB的最
小值为 4 2 千米。
A
A
解:如图(6),因为菱形是轴对称图形,所以 BC 中点E 关于对角线BD 的对称点
E 一定落在AB 的中点 巳,只要连结 CE , CE 即为PC+PE 的最小值。这时三角形 CBE 是含有 300角的直角三角形,PC+PE=CE2 ...3 a 。所以选(D )。
2、( 2001年全国数学竞赛题)如图(
7),在直角坐标系 XOY 中,
解:如图(8),图只要画出点 M 点即为所求。点 M 的横坐标只要先
求出经过
PQ 两点的直线的解析式,( Y=2X-
(三)、迁移和拓展:
例 1、9(温州2003年中考题)如图(5),在菱形
ABCD 中,AB=4a,E 在 BC 上, EC=2a / BAD=120,点P 在BD 上,贝U PE+PC 的最小值是(
)
(A ) 6a , (B) 5a
(C) 4a ,
(D) 2
X 轴上的动点 M ( X , 值
0) 占 到定点P ( 5, 5)和到Q (2, M 的横坐标X=-
1)的距离分别为 MP 和MQ 那么当 MP+MQX 最小
(5,5)
4 I — 3 1 — 2 I — 1i ■
(2,1)
-1 O
-1
个
Y 6 | 5 L-
(2,1) Q
P (5,5)
-1 O
-1
1 :
i
Q1
P1
B
图(5) 图
(6)
Q 关于X 轴的对称点Q (2,
PQ 交X 于点
5),令Y=0,求得X=5/2。(也可以用勾股定理和相似三角形求出答案)。
例 3、求函数 Y= X 2 6X 10 + X 2 6X
解:方法(I )、把原函数转化为
Y=...(X 3)2 1 + . (X 3)2 52 ,因此可以理
解为在X 轴上找一个点,使它到点(3, 1 )和(-3 , 5)的距离之和最小。(解法同上一 题)。
方法(n ),如图(9),分别以 PM=( 3-X )、AM=1 为边和以 PN=( X+3)、BN=5
为边构建使(3-X ) 和(X+3)在同一直线上的两个直角△
是 PA= (X 3)2
1 和 PB=. (X 3)2
52
,因此,求Y 的最小值就是求 PA+PB 的最
小值,只要利用轴对称性质求出
(四)、思考与练习:
1、( 2002湖北黄岗竞赛题)如图(10),/ AOB=45,角内有一点 P, PO=10在角两 边上有两点 Q R (均不同于点O ),则△ PQR 勺周长最小值是 ----------------- 。(提示:画点 P 关于OA 的对称点P ,点P 关于OB 的对称点P 2,v / AOB=45,.?.A P 1OP 是等腰直角三角 形,RP2=10I 2 )。又问当厶PQR 周长最小时,/ QPR 勺度数= ----------- 。(100°)。
2、已知点 A (-2 , 1),点B (3, 4)。在 X 轴上求一点 P ,使得PA+PB 的值最小。这 个最小值是 --------------- 。(同例2)
3、(北京市竞赛题)如图(11),在矩形 ABCD 中,AB=20 cm, BC=10 cm,若在 AC AB 上各取一点 M N,使BM+MN 勺值最小,求这个最小值。(提示:要使 BM+M 的值最小,
应设法把折线 BM+MN1直,从而想到用轴对称性质来做。画出点
B 关于直线 A
C 的对称点
B,贝U BN 的长就是最小值;又因为 N 也是动点,所以,当 B 1N 丄AB 时这个值最小,利用勾 股定
34的最小值。
PAM △ PNB 两条斜边的长就
BA 的长,就是Y 的最小值。(6运)。
图(11)
B 图(12)
理和三角形面积公式可以求得这个最小值为16。初三的同学也可以用射影定理和面积公式求解。)
4、 (希望杯2001初二数学邀请赛试题),如图(12)在菱形ABCD 中,/ DAB=120, 点E 平分BC,点P 在BD 上,且PE+PC=1那么边长 AB 的最大值是--------------------- 。(因为当
2 -
PE+PC 最小时,AB=CD 达到最大,这个最大值是 3 )。
3
5、 (美国中学生竞赛题)如图(13),一个牧童在小河南 4英里处牧马,河水向正东 方流去,而他正位于他的小屋西 8英里北7英里处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然
后回家,他能够完成这件事所走的最短距离是(
)(提示:画点 A 关于小河岸的对称
点A ,连结A i B 即为最短距离。)
(A ) 4+ .. 185 英里(B ) 16 英里
6、(新蕾杯竞赛题)如图(14),正方形 ABCD 勺边长为3,E 在BC 上,且BE=2 P 在BD 上,求PE+PC 的最小值。(与知识拓展例 1类似,因为点 C 和点A 关于直线BD 对 称,所以AE 是PC+PE 的最小值,这个值为.13 )。
7 、如图(15),在河湾处 M 点有一个观察站,观察员要从 M 点出发,先到 AB 岸,再 到CD 岸然后返回 M 点,则该船应该走的最短路线是 -------------- (先画图,再用字母表 示)。(提示:,同知识迁移题)
16), AB 是。0的直径,AB=2 0C 是。0的半径, OCL AB,点D 在AC 上,AD =2CD ,点P 是半径 0C 上一个动点,那么 AP+PD 的最小值是 —— ——。(只要找出点 D 关于半径0C 的对称点Di , AD 的长就是AP+PD 的最小值。因为△ ABD 是含有趣300角的直角三角形,所以这个值是
.3 )。
------------------ 1
.145
9、 求代数式 X 2 4X 13 + X 2 4X 6 的最小值。(一
V 4
2
10、 ( 2000年湖北省选拔赛试题)在直角坐标系中,有四个点
A (-8 , 3)、
B ( -4 ,
(C ) 17英里
(D )18英里
图(14)
8、(温州2001年中考题)如图( 小河
13)
B
E
图(16 )
5)、C (0, n)、D(m,0),当四边形ABCD的周长最短时,的值为------- - ——。(因
n
为A、B是定点且长度不变,只要使其它的三条线段的和最小,所以考虑用轴对称的方法将
BC CD AD这三条折线拉直。画点A关于X轴的对称点A i,点B关于Y轴的对称点B i,只要求出直线A i B i的函数解析式就可以求出点C和点D的坐标。)
(浙江、海盐、西塘中学杨孝华)
2004 、11、15.
初中数学竞赛常用解题方法(代数)
初中数学竞赛常用解题方法(代数) 一、 配方法 例1练习:若2 ()4()()0x z x y y z ----=,试求x+z 与y 的关系。 二、 非负数法 例21 ()2 x y z =++. 三、 构造法 (1)构造多项式 例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.,那么它们的立方和被6除,得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 (2)构造有理化因式 例4、 已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。 (3)构造对偶式 例5、 已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根,则4 3αβ+的值是___ ___。 (4)构造递推式 例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。 (5)构造几何图形 例7、(构造对称图形)已知a 、b 是正数,且a + b = 2. 求u =___ ___。 练习:(构造矩形)若a ,b 形的三条边的长,那么这个三角形的面积等于___________。 四、 合成法 例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组
123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。 五、 比较法(差值比较法、比值比较法、恒等比较法) 例9、71427和19的积被7除,余数是几? 练习:设0a b c >>>,求证:222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、 因式分解法(提取公因式法、公式法、十字相乘法) 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数,证明数3 231 22 M n n n =++为整数,且它是3的倍数。 练习:证明993 991993 991+能被1984整除。 七、 换元法(用新的变量代换原来的变量) 例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习:解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、 过度参数法(常用于列方程解应用题) 例12、一商人进货价便宜8%,售价保持不变,那么他的利润(按进货价而定)可由目前的 %x 增加到(10)%x +,x 等于多少? 九、 判别式法(24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质) 例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习:已知,,x y z 是实数,且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++=
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第26讲 含参数的一元二次方程的整数根问题
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根情况,可以用判别式Δ=b2-4ac来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质.本讲结合例题来讲解一些主要的方法. 例1 m是什么整数时,方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0 有两个不相等的正整数根. 解法1首先,m2-1≠0,m≠±1.Δ=36(m-3)2>0,所以m≠3.用求根公式可得 由于x1,x2是正整数,所以 m-1=1,2,3,6,m+1=1,2,3,4,6,12, 解得m=2.这时x1=6,x2=4. 解法2首先,m2-1≠0,m≠±1.设两个不相等的正整数根为x1,x2,则由根与系数的关系知 所以m2-1=2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,即 m2=3,4,5,7,9,10,13,19,25,37,73, 只有m2=4,9,25才有可能,即m=±2,±3,±5. 经检验,只有m=2时方程才有两个不同的正整数根. 说明一般来说,可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利用整数的性质以及整除性理论,就比较容易求解问题,解法1就是
这样做的.有时候也可以利用韦达定理,得到两个整数,再利用整除性质求解,解法2就是如此,这些都是最自然的做法. 例2 已知关于x的方程 a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根,求a的值. 分析“至少有一个整数根”应分两种情况:一是两个都是整数根,另一种是一个是整数根,一个不是整数根.我们也可以像上题一样,把它的两个根解出来. 解因为a≠0,所以 所以 所以只要a是3或5的约数即可,即a=1,3,5. 例3设m是不为零的整数,关于x的二次方程 mx2-(m-1)x+1=0 有有理根,求m的值. 解一个整系数的一元二次方程有有理根,那么它的判别式一定是完全平方数.令 Δ=(m-1)2-4m=n2, 其中n是非负整数,于是 m2-6m+1=n2,
初中数学竞赛专题辅导因式分解一
因式分解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 1.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数; (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1),其中n为偶数; (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.
例1 分解因式: (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7. 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2. (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz). (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 =(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下:原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5)