平面向量经典精品结论总结
平面向量复习基本知识点及经典结论总结
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向
量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB
按向量a ＝（－1,3）平移
后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB
共线的单位向量是||
AB AB ± )；
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递
性！（因为有0 )；④三点A B C 、、共线? AB AC
、共线；
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。
如下列命题：（1）若a b = ，则a b =
。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若
AB DC = ，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC = 。（5）若,a b b c == ，则a c =
。（6）若//,//a b b c ，则//a c
。其中正确的是_______（答：（4）（5））
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、
y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=
，称(),x y 为向
量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如（1）若(1,1),a b ==
(1,1),(1,2)c -=- ，则c = ______（答：1322
a b -
）
；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213
(2,3),(,)24e e =-=- （答：
B ）；（3）已知,AD BE 分别是AB
C ?的边,BC AC 上的中线,且,A
D a B
E b == ,则BC
可用向量,a b 表示为_____（答：
2433
a b +
）
；（4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→??→?=DB CD 2，?→
??→??→?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()
1,2a a λλ=
当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=
，注意：λa
≠0。
5、平面向量的数量积：
（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==
，AOB θ∠=
()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π
时，a ，b 垂直。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ
叫做与的
数量积（或内积或点积），记作：?，即?＝cos a b θ
。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量
积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC 中，3||=?→
?AB ，4||=?→
?AC ，5||=?→
?BC ，则=?BC AB _________
（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=- ，c 与d 的夹角为4
π
，则k 等于____（答：1）；（3）
已知2,5,3a b a b ===- ，则a b +
等于____）；（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==- ，
则与a a b +
的夹角为____（答：30 ）
（3）b 在a 上的投影为||cos b θ
，它是一个实数，但不一定大于0。如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______（答：5
12）
（4）?的几何意义：数量积?等于的模||a
与在上的投影的积。
（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则：
①0a b a b ⊥??=
；
②当，同向时，?＝a b ，特别地，22,a a a a a =?== ；当与反向时，?＝－a b ；
当θ为锐角时，?＞0，且 a b 、不同向，0a b ?>
是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，?＜0，且 a b 、不反向，0a b ?< 是θ为钝角的必要非充分条件；
③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b
a b
θ?=
；④||||||a b a b ?≤ 。如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，
如果→
a 与→
b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-
或0λ>且1
3
λ≠）；（2）已知OFQ ?的面积为S ，且1=??→??→?FQ OF ，若2
3
21<
(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y == a 与b
之间有关系式,0ka b kb k +=-> 其中，①用k 表示a b ? ；②求a b ? 的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k +?=> ；②最小值为1
2
，60θ= ） 6、向量的运算： （1）几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量
加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b == ，那么向量AC 叫做a 与b
的和，即a b AB BC AC +=+= ；
②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=
那么，由减向量的终点指向被减
向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：①AB BC CD ++= ___；②AB AD DC --= ____；
③()()AB CD AC BD ---=
_____（答：①AD ；②CB ；③0 ）；（2）若正方形ABCD 的边长为1，
,,AB a BC b AC c === ，则||a b c ++
＝_____（答：）
；（3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-
，则ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D 为ABC ?的边BC 的中点，
ABC ?所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++= ，设||
||
AP PD λ=
，则λ的值为___（答：2）；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++= ，则ABC △的内角C 为____（答：120
）；
（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==
，则：
①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±
，12)y y ±。如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若
()AP AB AC R λλ=+∈ ，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：1
2
）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y = 且，,(,)22x y ππ∈-，
则x y += （答：6
π
或2π-）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-= ，则合力123F F F F =++
的终点坐标是 （答：（9,1））
②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==
。
③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--
，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点
坐标减去起点坐标。如设(2,3),(1,5)A B -，且13
AC AB = ，3AD AB =
，则C 、D 的坐标分别是__________（答：
11
(1,),(7,9)3
-）
； ④平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+
。如已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－1，0）。
（1）若x ＝3
π，求向量、的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-
，函数x f ?=λ)(的最大值为21
，求λ的值（答：1
(1)150;(2)2
或1）；
⑤向量的模：2222||||a a a x y ===+ 。如已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60
，那么|3|
a b +
＝_____；
⑥两点间的距离：若()()1122
,,,A x y B x y ，则||AB =如如图，在平面斜坐标系xOy
中，60xOy ∠= ，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样
定义的：若
12OP xe ye =+ ，
其中12,e e
分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。（1）若点P 的斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆心，1为半径2210x y xy ++-=）
； 的圆在斜坐标系xOy 中的方程。（答：（1）2；（2）
7、向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+ ，
()()a a λμλμ=
，a b b a ?=?
；
(2)结合律：()()
,a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+ ，()()()
a b a b a b λλλ?=?=?
；（3）分配律：
()()
,a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+ ，(
)
a b c a c b c +?=?+?
。如下列命题中：① →→→→→→→?-?=-?c a b a c b a )(；
② →→→→→→??=??c b a c b a )()(；③ 2
()a b →→
-2
||a →
=
22||||||a b b →
→
→
-?+；④ 若0=?→
→b a ，则0=→
a 或0=→
b ；⑤若,a b
c b ?=? 则a c = ；⑥22a a = ；⑦2a b b
a
a
?=
；
⑧222()a b a b ?=? ；⑨22
2()2a b a a b b -=-?+ 。其中正确的是______（答：①⑥⑨）
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即)()(?≠?，为什么？
8、向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ?= 22()(||||)a b a b ??=
1212x y y x ?-＝0。如(1)若向量
(,1),(4,)
a x
b x == ，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同（答：2）；（2）已知(1,1),(4,)a b x ==
，2u a b =+ ，2v a b =+ ，且//u v ，则x ＝______（答：4）；（3）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k === ，则k ＝_____时，A,B,C 共线（答：－2或11）
9、
向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=-
12120x x y y ?+=.特别地
()()A B A C A B A C
A B
A C A
B A C
+⊥-
。如(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-= ，若OA OB ⊥ ，则m = （答：32）；（2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是________ （答：(1,3)或（3，
－1））；（3）已知(,),n a b =
向量n m ⊥ ，且n m = ，则m 的坐标是________ （答：(,)(,)b a b a --或）
10.线段的定比分点：
（1）定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P 1、P 2的任意一点，若存在一个实数λ ，使1
2PP PP λ=
，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比，P 点叫做有向线段12PP
的以定比为
λ的定比分点； （2）λ的符号与分点P 的位置之间的关系：当P 点在线段 P 1P 2上时?λ>0；当P 点在线段 P 1P 2的延长线
上时?λ<－1；当P 点在线段P 2P 1的延长线上时10λ?-<<；若点P 分有向线段12PP
所成的比为
λ，则点P
分有向线段21
P P 所成的比为1λ。如若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为_______（答：7
3
-） （3）线段的定比分点公式：设111(,)Px y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段12
PP 所成的比为λ，则121211x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?
，特别地，当λ＝1时，就得到线段P 1P 2的中点公式121222x x x y y y +?=???+?=??。在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，
分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ。如（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3
--→--→
=-，则点P 的坐
标为_______（答：7(6,)3--）；（2）已知(,0),(3,2)A a B a +，直线1
2
y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB = ，则
a 等于_______（答：２或－４）
11.平移公式：如果点(,)P x y 按向量(),a h k = 平移至(,)P x y ''，则x x h
y y k
'=+??
'=+?；曲线(,)0f x y =按向量(),a h k =
平移得曲线(,)0f x h y k --=.注意：
（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性。如（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a
把点(7,2)-平移到点______（答：（－８，
３））；（2）函数x y 2sin =的图象按向量→
a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→
a ＝________（答：)1,4
(π
-
）
12、向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
（2）||||||||||||a b a b a b -≤±≤+ ，特别地，当 a b 、
同向或有0 ?||||||a b a b +=+
≥||||||||a b a b -=- ；当 a b 、反向或有0 ?|||||a b a b -=+ ≥|||||||a b a b
-=+ ；当 a b 、不共线?||||||||||
a b a b a b -<±<+
(这些和实数比较类似). （3）在ABC ?中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为123123,33x x x y y y G ++++??
???
。
如若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为_______（答：24
(,)33
-）；
②1()3PG PA PB PC =++ ?G 为ABC ?的重心，特别地0PA PB PC P ++=?
为ABC ?的重心；
③PA PB PB PC PC PA P ?=?=??
为ABC ?的垂心；
④向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠
所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； ⑤||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?
ABC ?的内心；
（3）若P 分有向线段12PP 所成的比为
λ，点M 为平面内的任一点，则121MP MP
MP λλ+=+ ，特别地P 为12PP 的中点122
MP MP MP +?=
； （4）向量 PA PB PC
、、中三终点A B C 、、共线?存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+ 且1αβ+=.如平面
直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=
?→
?OC ?→
??→?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且
121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ）
平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结
第五章 平面向量 题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要： 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。 一、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：
2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。 二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使μλ+=,其中 1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=（1=+μλ） ? 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→ 是四 边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①② 2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ， μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
平面向量经典例题讲解
平面向量经典例题讲解 讲课时间:___________姓名：___________课时：___________讲课教师：___________ 一、选择题（题型注释） 1． 空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r , OC c =u u u r r ,点M 在OA 上，且MA OM 2=，N 为BC 的 中点，则MN u u u u r =（ ） A C 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 N 为 BC 的中点，则 ， ，选 B 考点：向量加法、减法、数乘的几何意义； 2．已知平面向量a ，b 满足||1= a ，||2= b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ ） （A （B （C （D 【答案】D 【解析】 试题分析：2()()00a b a a b a a a b +⊥∴+?=∴+?=r r r r r r r r r Q ，||1=a ，||2=b ，设夹角为θ，则 考点：本题考查向量数量积的运算 点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos θ的值，求出角 3．若OA u u r 、 OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为60u u r 【答案】D 【解析】 试题分析 ：ΘOA u u r 、OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为 60° 6= r 考点:向量的数量积. 4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F , 若AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则AF =u u u r ( ) A.1142a b +r r B.1233a b +r r C.1124a b +r r D.2133 a b +r r 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意可知，AEB ?与FED ?相似，且相似比为3:1，所以由向量加减法 的平行四边形法则可知，,AB AD a AD AB b +=-=u u u r u u u r r u u u r u u u r r ，解得，故D 正确。 考点：平面向量的加减法 5．在边长为1的等边ABC ?中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =u u u r u u u r ，2 AE EC =u u u r u u u r 则AD BE ?=u u u r u u u r （ ） A ．【答案】A 【解析】 试题分析：由已知,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =u u u r u u u r ， 2AE EC =u u u r u u u r 则D 是BC 的中轴点，E 为AC 的三等分点，以D 为坐标原点，DA 所在直线为y 轴，BC 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系， ，设),(y x E ，由EC AE =2可得：
平面向量常见题型与解题方法归纳学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳 （1） 常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是. 例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少 题型二：向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1（1）,a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-
为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间. 例3： 已知平面向量a ?＝(3，－1)，b ?＝(2 1，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ?＝a ?＋(sin α －3)b ?, d ?＝－k a ?＋(sin α)b ?,且c ?⊥d ?，试求实数k 的
取值范围. 例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直，求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－
高三高考平面向量题型总结
平面向量 一、平面向量得基本概念: １、向量:既有大小又有方向得量叫做________、我们这里得向量就是自由向量，即不改变大小与方向可以平行移动. 向量可以用____＿＿＿＿_来表示、向量得符号表示_＿＿_____＿＿＿＿__＿＿__＿_、 2、向量得长度：向量得大小也就是向量得长度(或_____），记作_＿____＿__、 3、零向量：长度为0得向量叫做零向量,记作____＿＿＿＿、 4、单位向量：___＿___________＿___＿_＿＿__＿、 5、平行向量与共线向量:如果向量得基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反、记作_______＿规定:___________＿＿＿_____、 注意:理解好共线（平行)向量。 6.相等向量：＿____＿____＿________＿＿＿_、 例:下列说法正确得就是__＿__ ①有向线段就就是向量，向量就就是有向线段; ②则;③ ④若，则A ，Ｂ，C ，D 四点就是平行四边形得四个顶点； ⑤所有得单位向量都相等； 二、向量得线性运算: （一）向量得加法： 1、向量得加法得运算法则：＿_＿＿___＿____、__＿______与______＿____、 (1）向量求与得三角形法则:适用于任何两个向量得加法,不共线向量或共线向量；模长之间得不等式关系_____________＿＿____＿___;“首就是首,尾就是尾，首尾相连” 例１、已知AB=８，AC ＝5，则BC 得取值范围_＿____＿___ 例2、化简下列向量 （1） （2) (2)平行四边形法则:适用不共线得两个向量，当两个向量就是同一始点时,用平行四边形法则; 就是以,为邻边得平行四边形得一条对角线，如图： 例1、(０9 山东)设P 就是三角形A ＢC 所在平面内一点，,则 A. B 、 C 、 Ｄ、 例2、（13四川）在平行四边形ＡBCD 中,对角线AC 与B Ｄ交于点Ｏ， ,则、 （３）多边形法则 2、向量得加法运算律:交换律与结合律 （二）向量得减法: 减法就是加法得逆运算,Ａ、 （终点向量减始点向量) 在平行四边形中,已知以、为邻边得平行四边形中,分别为平行四边形得两条对角线，当时，此时平行四边形就是矩形。 例1、已知，且,则＝＿＿_＿__ 例2、设点M 就是B Ｃ得中点,点A 在线段BC 外,B Ｃ=1６,,则 向量得加减运算： 例1、(0８辽宁）已知、就是平面内得三个点，直线上有一点,满足CB → ＋2AC → =0，则OC → =______ A 、2OA → —OB → B 、-OA → +2OB → C 、 OA →-OB → D 、 —OA → ＋OB → 例２、(15课标全国I ）设D 就是三角形ABC 所在平面内一点,，则_＿＿__＿
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： ） AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 ) （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
高三高考平面向量题型总结,经典
平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）
平面向量学习知识重点情况总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移. 举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r 按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0) 2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r ，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r 共线 的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r ）； 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向 量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r 、b r 叫 做平行向量，记作：a r ∥b r ， 规定：零向量和任何向量平行. 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0r )； ④三点A B C 、、共线 AB AC ?u u u r u u u r 、共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a r 的相反向量记作a -r . 举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =r r . （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. （3）若AB DC =u u u r u u u u r ，则ABCD 是平行四边形. （4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u u r . （5）若a b =r r ，b c =r r ，则a c =r r . （6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r .其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法 1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r ，注意起点在前，终点在后； 2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a r ，b r ，c r 等；
高中数学经典解题技巧和方法：平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景。 （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 （3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。 （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义。 （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 5. 向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
平面向量典型例题67629
平面向量经典例题： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ， 3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝( 3，1)＋(0,2)＝( 3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝ 3k ＋3 3＝0，∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－ 611 B ．－116 C.611 D.11 6 [答案] C [解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直， ∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611 . 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD 中， ∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，
2019年高三数学《向量》题型归纳(含解析)
江苏省2019年高三数学《向量》题型归纳（含解析） 题型一：平面向量的共线定理 （1）平面内有一个ABC ?和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===.试用,,a b c 表示向量,EL FM GN 、 （2）如图在等腰三角形ABC 中， 120,2=∠==BAC AC AB .F E ,分别为边AC AB ,上的动点，且满足n m ==,，其中1),1,0(,=+∈n m n m ，N M ,分别是BC EF , 的最小值为______. （3）已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=______. （4）在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,0A ,()0,1B ,点C 在第一象限内，3AOC π∠=， 且2OC =，若OC OA OB λμ=+,则λμ+=______. （5）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若M N x A B y A C =+，则x =______； y = ． （6）设向量，不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． （7）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. （8）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为_________． （9）如图，ABC ?是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点， 1 4AM AB m AC =+?，向量AM 的终点M 在ACD ?的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 . 答案：（1） ()()111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-，()12FM a c b =+-，()12GN a b c = +- ABC ?M BC N AM 31=),(R ∈+=μλμλμλ+
平面向量经典练习题(含答案)
高中平面向量经典练习题 【编著】黄勇权 一、填空题 1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。 2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。 3、已知点A（1，2），B（2，1），若→ AP=（3，4），则 → BP= 。 4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。 5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。 6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。 7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。 8、在△ABC中，D为AB边上一点，→ AD = 1 2 → DB， → CD = 2 3 → CA + m → CB，则 m= 。 9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。 10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD 上，且→ AP= 2 → PD，则点C的坐标是（）。 二、选择题 1、设向量→ OA=（6，2），→ OB=（-2，4），向量→ OC垂直于向量→ OB，向量 → BC平行于 →OA，若→ OD + → OA= → OC，则 → OD坐标=（）。 A、（11，6） B、（22，12） C、（28，14） D、（14，7） 2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（） A、（4 , 2） B、（3，1） C、（2，1） D、（1，0） 3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。 A、90° B、60° C、30° D、0° 4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）
[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练
高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一平面向量的线性运算 例1：记，＝，＝设为平面向量，则() A．－B．－ C．－D．－ 【答案】：D 【解析】 方法一：对于平面向量与－表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又－中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有－,故选项D正确，选项C错误． 方法二：若同向，令＝＝，这时 ＝，－＝，，－＝，，＝；若令＝，＝，这时＝－＝－＝，而＝，显然对任意，，－ 与的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若同向，取＝＝，则＝－＝，这时－，而＝5，不可能有 －，故选C项错． 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到－的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案． 题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例1.中,边的高为,若＝＝＝＝＝则＝() A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】 D
【解析】方法一：＝＝＝＝ ＝＝＝＝＝＝－ 方法二：如图,以为原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．由已知得，又因为，所以可求得,于是＝,而＝＝,若设＝，则有 即,故＝－ 【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示； 【思维点拨】根据题设条件确定出、、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决. 例2.若点是所在平面内一点,且满足: 设＝. （1）求与的面积之比. （2）若为中点,与交于点,设,求的值. 【答案】见解析； 【解析】（1）由＝可知、、三点共线 如图令； .即面积之比为： （2）由; 由、、三点共线及、、三点共线. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；
平面向量经典习题_提高篇
平面向量： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－ 2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线， ∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与 c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116
C.6 11D. 11 6 [答案] C [解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a＋b与a－λb垂直， ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ ＝6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、 b间的夹角为( ) A．150° B．120° C．60° D．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形， ∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.
(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3 2，a 与b 的夹角为60°， 则|b |＝( ) A.12 B.1 3 C.1 4 D.15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2 －2a ·b ＝34， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°， 设|b |＝x ，则1＋x 2 －x ＝34，∵x >0，∴x ＝1 2 . 4. 若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B [解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形． 5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示 c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b
平面向量知识点及方法总结总结
平面向量知识点及方法总结总结 一、平面向量两个定理 1、平面向量的基本定理 2、共线向量定理。 二、平面向量的数量积 1、向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0、 2、的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积、三坐标运算：设，，则（1）向量的加减法运算：，、（2）实数与向量的积：、（3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、（4）平面向量数量积：、（5）向量的模：、 四、向量平行(共线)的充要条件、 五、向量垂直的充要条件、六、七、向量中一些常用的结论 1、三角形重心公式在中，若，，，则重心坐标为、 2、三角形“三心”的向量表示（1）为△的重心、（2）为△的垂心、（3）为△的内心； 3、向量中三终点共线存在实数，使得且、 4、在中若D为BC边中点则 5、与共线的单位向量是七、向量问题中常用的方法 （一）基本结论的应用
1、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8 （B）4 （C）2 （D） 12、已知和点M满足、若存在实数m使得成立，则m= A、2 B、3 C、4 D、 53、设、都是非零向量，下列四个条件中，能使成立的条件是（） A、 B、 C、 D、且 4、已知点____________ 5、平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（） A、 B、 C、 D、6、中,P是BN上一点若则m=__________ 7、o为平面内一点，若则o是____心 8、（xx课标I理）已知向量的夹角为，则、 （二）利用投影定义
9、如图，在ΔABC中，，，，则= （A）（B）（C）（D 10、已知点、、、,则向量在方向上的投影为 A、 B、 C、 D、11设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有则 A、 B、 C、 D、 （二）利用坐标法 12、已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________、 13、（xx课标II理）已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，的最小值是（） （三）向量问题基底化 14、在边长为1的正三角形ABC中, 设则____________、 15、（xx天津理）在中，，，、若，，且，则的值为 ___________、 16、见上第11题 （四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题 1、中,P是BN上一点若则m=__________
高三高考平面向量题型总结,经典
平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则a = ；③,//,//a a // ④若=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+ B.0=+ C.0=+ D.0=++ 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法：
平面向量方法总结(带例题)【大全】
平面向量 应试技巧总结 一．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如： 已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。如 下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______
（答：（4）（5）） 二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等； 3．坐标表示法：在平面建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基 底，则平面的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面的两个不共线向量，那么对该平面的任一 向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如 （1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______ （答：1 322 a b -）； （2）下列向量组中，能作为平面所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,)24 e e =-=- （答：B ）； （3）已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____ （答：2433 a b +）； （4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→ ??→ ?=DB CD 2，?→ ??→ ??→ ?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___ （答：0） 四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：
2018全国卷高考复习--平面向量(知识总结+题型)
第一部分平面向量的概念及线性运算 1. 向量的有关概念 向量a( a z 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得bi a.【基础练习】
1. 判断正误（在括号内打或“X”） ⑴零向量与任意向量平行.（） （2）若a// b, b// c,贝U a// c.（） ⑶向量云B与向量6D是共线向量，贝y A B, C, D四点在一条直线上.（） （4）当两个非零向量a, b共线时，一定有b=入a,反之成立.（） ⑸在厶ABC中, D是BC中点，则A D= 2（心A B.（） 2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若 ③向量ABW BA相等.则所有正确命题的序号是（） A.① B.③ C.①③ D.①② 3.(2017 ? 枣庄模拟）设D ABC所在平面内一点，K D= —4A C若目C= X D C X€ R), 则X =() A.2 B.3 C. —2 D. —3 4.(2015 ?全国n卷）设向量a, b不平行，向量入a+ b与a+ 2b平行，则实数X = 5.（必修4P92A12改编）已知？ABCD勺对角线AC和BD相交于Q且OA= a,O B= b,则张 _____ BC= ______ (用a, b 表示). 1 2 6.（2017 ?嘉兴七校联考）设D, E分别是△ ABC的边AB BC上的点，AD= -AB BE=§BC若DE = 入l AB+ 入2AC 入 1 , 入2为实数）,贝V 入 1 = _____________ ,入2= _______________ . 考点一平面向量的概念 【例1】下列命题中，不正确的是_________ （填序号）. ①若I a| = |b| ,则a= b； ②若A, B, C, D是不共线的四点，贝厂’AB=承”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件； ③若a= b, b= c,贝V a= c. 【训练1】下列命题中，正确的是_________ （填序号）. ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； a, b都是单位向量，则a= b；