数学九年级下沪科版第25.8正多边形和圆讲义教案

正多边形和圆(一）

一．内容综述

正多边形的有关计算方法、圆及简单组合图形的周长与面积的计算方法，是本单元的重点。实际上，这部分计算问题的解决大都是放在直角三角形（如下图△OAD）中解决的。掌握这些知识，一方面可以为进一步学习打好基础，另一方面这些知识在生产和生活中常常用到，所以要给予足够的重视。在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n 和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：

①αn= ；

②a n=2R n·sin ；

③r n=R n·cos ；

④+ ；

⑤P n=na n；

⑥S n= P n r n；

⑦S n= n sin .（因为一个三角形的面积

为：h·OB）

注意两点：1、构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；

2、准确记忆相关公式。

在圆的有关计算中，如果用R表示圆的半径，n表示弧或弧所所对的圆心角的度数，L 表示弧长，则有：

①圆周长：C=2πR。

②弧长：L=

③圆面积：S=πR2

④扇形面积：S扇形= = LR

⑤弓形面积可利用扇形面积与三角形面积的和或差来计算需根据不同的情况作出不同的处理：

（1）当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S△

（2）当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S△

（3）当弓形所含弧为半圆时，S弓= S圆

⑥圆柱与圆锥的侧面积可以转化为计算侧面展开图的面积

二．例题分析：

例1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）

A、B、C、D、

解：如图1，BF=2，过点A作AG⊥BF于G，则FG=1，

又∵∠FAG=60°，

故选B。

说明：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。

例2.如图2，两个同心圆被两条半径截得的的长为6πcm, 的长为10πcm，若AB=12cm,求图中阴影部分的面积。

解：设∠O=α，由弧长公式得6π= , 10π= ,

∴OA= , OB= .

又∵AB=OB-OA,

∴12= - ,

∴α=60°,

∴OA= =18, OB= =30.

∴阴影部分的面积为：- = =96π

说明：本题主要考察弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。

例3.求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半.

分析:外切正多边形可分成与边数相同个数的等腰三角形,其面积之和为正多边形的面积,而每个小三形的面积恰是边长与圆半径积的一半,故题易证.

证明:设外切多边形周长为P,内切圆⊙O半径为R,连结O与正多边形的各顶点及切点,如图

∵OM⊥AB,ON⊥BC,……,

∴S△OAB= OM·AB＝R·AB,

= ON·BC＝R·BC……,

S

△OBC

∴正多边形ABCD……面积为S= R(AB+BC+……)= R·P.

说明：圆的外切（或内接）正多边形的周长.面积的计算要通过所分成的n个等腰三角形进行，这也是由复杂到简单的一种转化，象四边形的问题一样，正n边形的问题首先应转化为三角形的问题，转化是解决数学问题的关键。

例4.已知如图⊙O1为含120°弧的弓形的直径最大的内切圆，求证：这个内切圆的周长等于弧长的。

分析：欲证内切圆的周长和含此内切圆弓形的弧之间的关系，需求出：内切圆⊙O1的周长2πr，及弓形的弧AB的长，找到r与⊙O的半径R的关系，结论易证。

证明：设⊙O1切弓形于C、D，OA=R，O1C=r，

∵∠AOB=120°，∴的长= ×= πR，

又∵∠OAB= (180°-120°)=30°，∴OC= OA= R,

r= (OD-OC)= (R- R)= R,

∴

又⊙O1的周长=2πr=2π·R= πR,

∴⊙O1的周长等于弧长的.

例5.已知如图半径OA=6cm,C为OB的中点,∠AOB=120°,求阴影部分面积S阴影ABC.

分析:欲求S阴影ABC,从图形上看是不规则图形,所以问题的关键是将不规则的图形转化为规则图形面积的和或差，观察图形会发现S阴影=S扇形OAB-S△ACO,故可求得.

解:由图示可知S阴影ABC=S扇形-S△ACO,

而S扇形OAB= =12π(cm2),

∴S△ACO= ×6×3·sin60°= (cm2),

∴S阴影ABC=(12π- )cm2.

说明：求阴影部分的面积，最关键的就是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差，以上为例，S阴影可以折分为S扇形OAB与S DAOC的差，也可以折分为S DABC与S弓形AB 的和，但因为这两个面积，求起来较繁锁，所以到底用哪种方法，要有所选择。

例6.如图,若正六边形的面积为6 ,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积.

分析：如下图，线段OC是正六边形的边心距，由内接正三边形的边长，则线段OC可以将两图形联系起来。

解:如图,设AB是正六边形的一条边长,C点为切点,CD为正六边形内切⊙O的内接正三角形的一条边长,过O点作OE⊥CD于E,分别连结OA、OB、OC、OD.

∴OC=R,AB=a6,BC= a6,∠BOC=30°,

CD=a3,CE= a3,OE=r3,∠COE=60°,

∵S6=6·S△OAB,∴S6=6×a6·OC=6 ,

∵OC=BC·cot30°,∴OC= a6,

∴6×a6·a6=6 ,∴a6=2,∴OC= ,

∵OE=OC·cos60°,∴OE= ,

∵CE=OC·sin60°,∴CE= ,∴CD=2CE=3,

∴S3=3×CD·OE,∴S3=3××3×= .

说明:

(1)此例涉及到正多边形的有关计算,其中涉及的是正六边形与正三角形.

(2)因此例的条件中涉及到正六边形的内切圆及内切圆的内接正三角形,所以它有一个图形之间相互转化问题,即正六边形的边心距是正三角形的半径,这种转化可以沟通两个正多边形之间的关系.

例7.如图,PA,PB分别切圆O于A、B,并且∠AOB是钝角,如果四边形PAOB的周长和

面积分别为8(1+ )和16 ,求劣弧AB与两切线所夹部分的面积,(即阴影面积)

解:连结OP ，

∵ PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B, ∴ ∠OAP=∠OBP=90°, 又PA=PB,AO=BO

∴ Rt △PAO ≌Rt △PBO,

∴ Rt △PAO 的面积= ×四边形PAOB 的面积=8 .

又Rt △PAO 的面积= ×AO ·PA,

∴ OA ·PA=16 . 已知OA+PA=

×8(1+

)=4(1+ ).

∴ OA 、PA 为方程x 2-4(1+ )x+16

=0的两根，

解得x 1=4，x 2=4 ，但∠AOB 是钝角，∴ PA>OA,

∴ PA=4

,OA=4.

在Rt △PAO 中,tan ∠POA= = .

∴ ∠POA=60°,∠AOB=120°, 扇形OAB 的面积=

×42π=

π.

∴ 劣弧AB 与两切线所夹部分的面积为16 - π.

说明:求阴影部分的面积,首先要观察它的构成,是由四边形AOBP 的面积去掉扇形AOB 的面积.具体求它们的值时,尚须连结OP,构造直角三角形. 例8.如图,∠AOB=90°,AC ∥OB,OA=1, 是以O 为圆心的弧, 是以A 为圆心的弧,求图中阴影部分ABC 的面积.

分析：思考怎样转化为规则图形的面积运算？规则图形的面积如何计算？ 解:连结AB,

∵ △AOB 为等腰直角三角形, ∴ AB=

,

∵ ∠C=90°,OA=OB=1, ∴ S 扇形OAB = πR 2= , S 扇形ABC =

π(

)2=

,

S 弓形AmB =S 扇形OAB -S △AOB = - AO ·BO=

-

.

S 阴影=S 扇形ABC -S 弓形AmB

= -( - )

=

说明：

（1）求阴影部分的面积，涉及到扇形、圆形、弓形、梯形、三角形面积及弧长、周长等知识。

（2）进行分析时，一般注意：

第一：求阴影部分的面积，因不是一个规则的图形，不易直接求，需要从整体结构进行分析，将图形分解，转化为规则的能操作的基本图形，运用好面积的割补方法。

第二：求阴影部分的面积，可转化为先求空白部分的面积，再进行面积的加减运算。测试

选择题

1．已知两圆的直径分别为20cm和8cm，一条外公切线为8cm，则这两圆的位置关系是（）

A、相离

B、外切

C、相交

D、内切

2．下列说法正确的是（）

A、各边相等的圆外切多边形是正多边形；

B、任何正n边形都既是中心对称图形又是轴对称图形；

C、任何一个正多边形绕中心旋转，都与原来的正多边形重合；

D、任何正多边形都相似。

3．如果一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，则这个正多边形的边数为

（）

A、16

B、18

C、20

D、22

4．正六边形的边长为1，则它的面积为（）

A、3

B、2

C、3

D、

5．正六边形的内切圆的半径与外接圆的半径之比是（）

A、1∶

B、2∶

C、∶1

D、

∶2

6．如图，已知点A在两个同心圆的大圆上，ABC是小圆的割线，且

AB·AC=8，则圆环的面积为（）

A、4π

B、8π

C、12π

D、16π

7．扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为（）

A、7cm

B、cm

C、(14+7 )cm

D、7 cm

8．扇形的圆心角是150，面积是60πcm2, 则扇形的弧长为（）

A、6πcm

B、8πcm

C、10πcm

D、12π

cm

9．正三角形的边心距、半径和高的比是（）

A、1∶2∶3

B、1∶∶

C、1∶∶3

D、1∶2∶

10．如图3，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相

外切，其直径之和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b, 则

a与b之间的关系是（）

A、a=b

B、a=nb

C、a= b

D、a=πb

答案与解析

答案：1.C 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.A 8.C9.A10.A 解析：

1.关键是求出O1O2，∵O1O22=(R-r)2+82=36+64=100，

∴O1O2=10，

R+r=14，R-r=6，则R-r

∴两圆相交。

2.选项为C。

反例：

A，菱形各边相等，四边可以与同一圆相切，但不是正四边形。

B，正三角形不是中心对称图形。

D，边数不同，不可能相似。

3.设正多边形边数为n，外角和为360°，内角和为(n-2)·180°，

则一个外角度数为，一个内角，

∴= ·

∴n=22。

6.如图：作AE切小圆于E，连AO，OE，则AE2=AB·AC=8，

S

圆环=OA 2π-OE2π=(OA2-OE2)π=AE2π=8π。

7.设扇形半径为R，圆心角为n，

则

解得R=7。

8.解：=60π，∴R=12，

∴l= =10π。

9.解：如图2，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高，设OD=r，则AO=OB=2r，AD=3r，

∴OD∶BO∶AD=r∶2r∶3r=1∶2∶3。故选A。

10 解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r，由题意，得a=πR.

∴R= ，∴小圆的半径r= ，

∴每个小半圆的弧长为π·= ，

∴n个小半圆的总弧长b=n·=a，即b=a，故选A。

评注：本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通

过弧长和半径之间的关系求解。

中考解析：

例1.(杭州市)已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值。

解：设正三角形边长为a，则周长为c1=3a，面积S1= a2；

又设正六边形边长为b，则周长为c2=6b，面积S2= b2

由c1=c2，得a=2b,

S1:S2= a2: b2= b2: b2= .

则它们的面积的比值为

考点：正多边形的面积求法

评析思路：问题的关键是根据周长的关系求出正三角形和正六边形的边长的关系，分别求出正三角形的面积，正六边形的面积，然后可知它们比值。

例2.(吉林省)如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB 长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为（）cm2

A、B、C、800πD、500π

考点：环形，扇形的面积。

评析思路，利用扇形面积的求法，分别求出大扇形，小扇形的面积，然后求差即可。也可以用环扇的面积等于圆环的面积的三分之一。答案为A。

例3.（贵阳市）如图，正方形的边长为2，分别以两个对角顶点为圆心，2为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（）.

（A）4-2 （B）2 -4（C）-2（D）2(4- )

考点：圆的面积正方形面积

评析：连正方形对角，重新拼图知，阴影部分面积等于半圆面积与正方形面积的差。答案为B。

例4.（重庆市）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD= ，以BC

的中点E为圆心的弧MPN与AD相切，则图中阴影部分的面积为（）

（A）（B）（C）（D）

考点：矩形的性质、扇形面积的求法

评析思路：由条件可知道扇形半径为AB长，而E又是BC的中点根据矩形的对边相等

可知BE= ，再利用直角三角形边角的关系，易求得∠BEM=∠CEN=30°，∴∠MEN=120°，扇形面积是半径是1的圆面积的。

说明：此小题也是一个综合型小题，只有掌握扇形面积的求法，

才能找到解决问题的办法。答案为D。

例5. (北京市东城区)如果圆锥的底面半径为5，母线长为10，

那么圆锥的侧面展开图的面积是.

考点：扇形面积计算圆锥侧面展开图

评析：圆锥侧面展开图是一个扇形，扇开的弧长为圆锥底面

周长，扇形的半径为圆锥的母线长，根据扇形面积公式得

，所以答案为50π。

黄金分割、黄金数、黄金长方形

1.黄金分割和黄金长方形

17世纪欧洲著名科学家开普勒曾说过：“几何学有两个宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割”。什么是黄金分割？给定一条线段AB，见（图）

（1）过B作BD⊥AB，截BD= AB；

（2）连AD，以D为圆心，BD为半径画弧交AD于E；

（3）以A为圆心，AE为半径画弧交AB于C，则C点将线段AB作黄金分割。C点是线段AB的黄金分割点。线段AC和AB之比，即大约等于0.618.

黄金分割是个非常古老的数学问题。2500年前的古希腊毕达哥拉斯学派是以五角星为他们的派徽。画一个五角星，见(图)，用尺子量一下GJ、GK和GL的长度，求比值和，你会发现它们大约都等于0.618，也就是说，这都是黄金分割。

你也许会问：这个0.618是怎样来的呢?下面介绍它的来历：任取一条线段AB，我们想在线段AB上找一点C使得。

满足上面比式的分点C可以用代数方法求得：

设AB＝L，AC＝x，此时CB＝L-x，(如图)，上述的比式就变成为，

交叉相乘得L2-Lx=x2,

整理得x2+Lx-L2=0.

这是一个一元二次方程，用求根公式可得

x=

= L

≈0.618L.

从这里可以看出0.618是的近似值。C点是线段AB的黄金分割点，把或

0.618叫做黄金数。

2.神庙、雕塑和优选法

黄金分割非常重要，它在数学、美术、建筑等方面有着广泛的应用。比如，古代希腊人就已经发现：如果一个长方形的长和宽是由黄金分割来组成的话，看上去比其他长方形更协调、更好看。古希腊的一些著名建筑，它的高与长之比恰好是0.618。希腊的巴台农神庙，是两千多年前的古希腊建筑，它的高和宽之比就是0.618。

古希腊人还认为，最优美的人体应该是肚脐把身长作黄金分割。保存下来的古希腊雕塑作品充分说明了他们的观点。著名的雕塑作品“执矛者”、“宙斯”以及那爱与美之神“维纳斯”，无不表现出最美的人体。

北京城的内城建筑也用到黄金分割。北京的正阳门是北京内城的正南门，而大明门(后曾改称“大清门”、“中华门”，现已不存在了)才是进入皇宫的南大门。然后顺着御道北上，依次经过天安门、端门、午门、太和门到达太和殿。景山是整个皇宫的屏风。从大明门

到景山总长为5里，从大明门到太和殿庭院中心的距离是3.09里。两者之比＝0.618.

太和殿庭院中心是皇宫南北长的黄金分割点。

黄金分割是最美的分割，在很长时间内曾统治着西方世界的建筑美学观点。法国的巴黎圣母院就是一个杰出的代表。它的整个结构是按着黄金长方形建造的。文艺复兴时期的画家也掌握着这个奇妙的比例。达·芬奇闻名于世的作品《蒙娜丽莎》就是按着黄金分割的比例来构图的。

不知你注意过没有?有经验的报幕员自有她的风度。一上台，她不走到台口的中央，而是站在离右边(或左边)三分之一多一点的地方，使观众感到她十分大方，十分恰当，十分和谐。用数学观点来解释，她站的位置恰好是“黄金分割点”。

黄金分割是个很古老的数学问题，过去人们大多是从美学角度来研究它。近几十年数学上出现一个新的数学分支——最优化方法，它给黄金分割找到了新的用途。

从1970年开始，我国著名数学家华罗庚教授推广的优选法，就是最优化方法的一种。优选法是一种又快又省的试验方法。下面举一个例子：比如要配制一种农药来治虫，兑多少水合适?水兑多了，农药的浓度太低，杀不死害虫；水对少了，农药的浓度过大，既浪费农药，又给农作物造成药害。农药和水配成什么比例最合适，是需要通过试验来确定的。

如果预先知道稀释倍数在1000到2000之间，这就出新一个问题：怎样才能用最少的试验次数，找出最理想的数据呢?可以把稀释倍数1000和2000看作是线段AB的两个端点，

见图，选择AB的黄金分割点C作为第一个试点。

C点的数值是可以算出来的：1000+(2000-1000)×0.618＝1618.用

稀释1618倍进行试验，如果试验结果是水对多了，可以进行第二次

试验。第二次试验点应该选择AC的黄金分割点D，D的位置是

1000+(1618-1000) ×0.618＝1382。如果D点还不理想，可以按求黄

金分割点的方法继续试验下去。另一种情况是水兑少了，这时在进

行第二次试验时，试验点应该选择CB的黄金分割点。用这种试验方法，可以很快地找到合适的浓度数据。这种方法每次都要用到黄金数0.618，所以又把这种方法叫做“0.618法”。

3.无处不在的黄金分割

放开我们的眼界，我们会发现黄金分割是无处不在。先从生物方面说起：本书在前面(第二章、惊人的兔生兔)提到了兔子的繁殖是按着费波纳契数列来增长的。费波纳契数列是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，.....

每相邻两项之比

.....

这个比值越来越靠近0.618.

英国的T·W·汤姆森爵士指出，如果一棵树始终保持幼时长高和长粗的比例往上长，那么它终将因为自己长的“细高个”而翻倒，因此，他选择了长高和长粗的最佳比为0.618.有人研究过小麦和水稻的茎节，发现有些品种相邻两节长度之比为1:1.618。

许多植物萌生的叶片、树权和花瓣都是接着黄金分割的角度伸展的：从上往下看时，他们把水平面360°分成222.5°和137.5 °(360×0.618＝222.5)。任意两个相邻的叶片(枝头或花瓣)都沿着这两个角度伸展。这样它们不相互重叠，有利于进行光合作用。像蓟草，梨树枝和玫瑰花瓣。

做一个黄金长方形，见图所示。在这个黄金长方形的内部做一个正方形，可以证明剩下的小长方形仍然是一个黄金长方形。在这个小的黄金长方形内再做一个小的正方形，又可得到一个更小的黄金长方形……依次连接这些正方形一条对角线的两个端点，可以得到一条光滑的曲线，这条曲线叫做“黄金螺线”。

黄金螺线有好多别的名字，比如“对数螺线”，“等角螺线”，“生长螺线”等等，说明他有许多重要的性质。蕨类植物的琴状梢头，其螺线就是黄金螺线。向日葵不但葵盘上有一左一右的黄金螺线，而且每朵小花或果花上也有两条黄金螺线。有一种叫梭尾法螺的海螺，它上面有许多条黄金螺线。

人体最感到舒服的温度约为23°C，也是正常体温37°C黄金分割点，因为23＝37×0.618.科学家发现，人精神愉快时，人的脑电波频率的下限为8赫兹，上限为12.9赫兹，两者之比约为0.618。

北纬30度是非常有趣的地区。我国好茶的产地，如杭州、屯溪、祁门都位于北纬30度附近; 我国的旅游胜地，如黄山、庐山、九寨沟在此纬度上；太湖、洞庭湖也在这个纬度上；我国的一些大城市，如上海、武汉、重庆、拉萨也位于北纬30度附近；一些航天发射中心，如中国的西昌，美国的休斯敦、亚特兰大也同样位于北纬30度附近。地球是一个椭

球体，纬度是椭球面的法线与赤道平面的交角。北纬30度差不多是把北半球投影这个半椭圆分成1比0.618，这里又出现了黄金数。

黄金数、黄金分割，你真是无处不在。