指数对数幂函数总结归纳
指数与指数幂的运算 【学习目标】
1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.? 2．理解指数函数的概念和意义,理解指数函数的单调性与特殊点.
3.理解对数的概念及其运算性质.? 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质,熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理,能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理。
5.会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质。
6.知道指数函数
与对数函数互为反函数(ａ>0，ａ≠1)。
【要点梳理】 要点一、幂的概念及运算性质
1．整数指数幂的概念及运算性质
2。分数指数幂的概念及运算性质
为避免讨论，我们约定ａ＞０，n,ｍ∈N ＊，且m n
为既约分数，分数指数幂可如下定义: 1n n
a a =()m
n m m n n a a a == -1
m
n m
n a a =
3．运算法则
当a ＞0,ｂ＞0时有:
（１）n m n m a
a a +=?； （2）()mn n m a a =;
(3）()0≠>=-a n m a a
a n m n m ，; （4）()m m m
b a ab =。
要点诠释：
（1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算；
（２）根式运算中常出现乘方与开方并存,要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换。如2442)4()4(-≠-；
(３）幂指数不能随便约分。如2
142)4()4(-≠-。 要点二、根式的概念和运算法则
1.n 次方根的定义：
若ｘn ＝y （n ∈N *
,ｎ〉1,y ∈R ），则x 称为ｙ的ｎ次方根,即ｘ=n y . n 为奇数时， y 的奇次方根有一个,是负数，记为n y ；零的奇次方根为零,记为00=n ；
n 为偶数时,正数y 的偶次方根有两个,记为n y ±;负数没有偶次方根;零的偶次方根为零,00n =。 ２.两个等式
(１)当1n >且*n N ∈时,n n a a =；
(2）???=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n
要点诠释：
①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值,尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数,可先写成||a 的形式,这样能避免出现错误.
②指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．
负指数幂化为正指数幂的倒数．
底数是负数,先确定符号,底数是小数，先要化成分数，底数是带分数（如
)，先要化成假分数（如15/4)，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．
在化简运算中,也要注意公式:
a 2－
b 2＝（a -b ）（a +b ），a 3－ｂ3＝(a -b )(a ２+ab +ｂ2）,a 3+b ３＝（ａ＋b )(a ２－ab +b 2)，
（a ±b )2＝ａ2±2a ｂ+b ２，(a ±b ）3＝a 3±3ａ２b ＋3ab 2±b 3,的运用,能够简化运算.
指数函数及其性质
【要点梳理】
要点一、指数函数的概念:
函数ｙ＝a x (ａ〉0且a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,a 为常数，函数定义域为Ｒ.
要点诠释:
（１)形式上的严格性:只有形如y ＝a ｘ(a 〉0且a ≠１)的函数才是指数函数．像23x y =?,12x y =，31x y =+等函数都不是指数函数.
(2)为什么规定底数a 大于零且不等于1：
①如果0a <,则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11,,24x x =
=???时,在实数范围内函数值不存在． ②如果1a =，则11x y ==是个常量,就没研究的必要了。而ａ=０时y=0没意义．
要点二、指数函数的图象:
y=a x
0 ａ>１时图象 －—-— 图象 (1)当底数大小不定时,必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论. （２)指数函数x y a =与1x y a ??= ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则:0＜b ＜a <１ 观察可知,底数越接近１，图象曲线越平缓，底数越远离1,图象曲线越陡, 而且指数函数都过点（0,1) 又即:ｘ∈（0，+∞)时，x x x x b a d c <<< (底大幂大) x ∈(－∞，0）时,x x x x b a d c >>>(底小幂小） 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较。 （2）中间量法: (3）分类讨论法 (４）比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为: ①若0A B A B ->?>；0A B A B - ②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断 1A B >,或1A B <即可． 对数及对数运算 【要点梳理】 要点一、对数概念 1.对数的概念 如果()01b a N a a =>≠，且,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:ｌog a N=b 。其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 要点诠释： 对数式log a Ｎ=b 中各字母的取值范围是:a>0?且a ≠1, N 〉0， b ∈R. ２。对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质: (1)0和负数没有对数，即0N >； (2）1的对数为０，即log 10a =； （3)底的对数等于1，即log 1a a =。 ３.两种特殊的对数 通常将以1０为底的对数叫做常用对数,N N lg log 10简记作。 以e （e 是一个无理数, 2.7182e =???）为底的对数叫做自然对数, log ln e N N 简记作. 要点二、对数的运算法则 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 （1） 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和; ()log log log a a a MN M N =+ (２) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数； log log log a a a M M N N =- （3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα= 要点诠释: (1)利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如:ｌog 2(-３）(—5)=l ｏg 2(-3)+ｌo ｇ2(—5）是不成立的,因为虽然lo ｇ２（—3)(-5)是存在的，但ｌo ｇ2（—3）与ｌog 2（-5)是不存在的. （２)不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： 错误1:l ｏg a (M ±Ｎ）=ｌｏg a M ±l ｏｇa N, 错误2: （M·N)=log a M·log a N ， 要点三、对数公式 1．对数恒等式: log log a b N a a N a N N b ?=?=?=? 2.换底公式 高考数学（指数、对数、幂函数）知识点总结2 整理人：沈兴灿 审核人：沈兴灿 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈. (2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈. （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ；规律：底数a 保持不变 3注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化。规律：底数a 保持不变 幂值 真数 （二）对数的运算性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是0，即01log =a (a ＞0,且a ≠1)；特殊地：ln10= (3)底的对数是1，即1log =a a (a ＞0,且a ≠1)；特别地：ln 1e = （三）对数运算法则。若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = （5）对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). a b b a log 1 log = (a ＞0,且 b ＞0). （6）指数恒等式：a N a N l o g = （由②N log b ①N a a b ==，,将②代入①得a N a N l o g =） C 咨询电话：4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ：：： a ：：： 1两种不同情况。 1、指数函数： 定义：函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数，指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于X 轴上方； （1）X 取任何实数值时，都有 a X A0 ； （2）图象都经过点（0, 1）； （2）无论a 取任何正数，X = 0时，y = 1 ； （3） y — 2 ， y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 （3）当 a > 1 时，｛ →, X 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — ［的图象正好相反； 当 0 ca c1 时，< X ￡ 0 ,贝U a x A 1 k （4） y =2X ， y=10X 的图象自左到右逐渐 （4）当a >1时，y =a x 是增函数， 当0cac1时，y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ：：;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 ， y = 0 a =1 时，y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ，y =Iog a X 在 上升，y = f l］的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y=2x和y=10x相交于（0，1）， 的图象在y =2x的图象的上方，当X ：：：0 ,刚好相反，故有1 0 2. 22及10 ^ ：：： 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a tl = N（a . 0且a ■■ 1）,那么数b就叫做以a为底的对数，记作b = Iog a N （a是底数，N是 真数，log a N是对数式。） 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如: 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成 比较好办。 解：设Iog 0.32 X ■? 0 时，y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象，可以画出任意一个函数y = a 示意图，如y =3x的图象，一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间，且过点（0, 1）,从而y = X 也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就 2015高考数学专题复习：指数函数 一，定义： 函数 叫做指数函数， R x ∈ 指出下列哪些是指数函数 （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y 4-= （4）x y )4(-= （5）x y π= （6）24x y = （7）x x y = （8） )121 ()12(≠> -=a a a y x 且. 填空：1.=?n m a a 2.=n a a 3. ()=m ab 4.=-m a = 5.=m n a 6.=- m n a 7.() =n m a = 8.= ? ? ? ??-m b a ()x a x f =，则有()()=?n f m f ()()=n f m f ()()=n m f 指出下列函数所经过象限及值域： （1）131 -=+x y （2）21 - =-x e y （3）23.0-=x y ()14+=x y π 练习： 1.下列命题中，正确的是 （ ） A ．函数x y 2=，当0 （4）91 32 2≥-x （5）124 32<--x x （6）3 3135≤?? ? ??-x 4.计算： （1）=3 28 (2)=- 2 1 25 (3)=??? ??-5 21 (4)=??? ??3 5 278 (5) 3 264- (6) =??32 3a a a (7) = ??2 3 3 2 a a a a (8) 2 133 2 3 121 )()1.0()4()4 1(---- ?b a ab = ( ) ()2 14 06 3 4 3383213212015238116--??? ??--+-+?+ ?? ? ??--= ==-+x x 10,25102则 (11) ==-x x 10,25102则 5.已知10<a ，且1≠a )的图像必经过点 9.（1）函数()x f 对任意实数满足()()()y x f y f x f +=?，且()643=f ，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值. （2）函数)(x f 满足：对任意的实数b a ,，都有,2)1(),()()(=?=+f b f a f b a f 且则)3()0(f f += 10.作出函数 x y 3=的图像并求值域 若函数 ()11x m f x a =+ -是奇函数，则m =__________ 12.若函数 )10(1)(≠>-+=a a b a x f x 且的图像经过第二、三、四象限，则一定有 （ ） A ．010><>b a 且 C ．010<<b a 且 13.函数b x a x f -=)(的图像如图，其中b a ,为常数，则下列结论正确的是 （ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10>< 指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值 （1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5）6323 1.512??= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b 指数与指数幂的运算 【学习目标】 1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算. 2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质． 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理. 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数 与对数函数互为反函数(a ＞0，a ≠1). 【要点梳理】 要点一、幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念及运算性质 2.分数指数幂的概念及运算性质 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且 m n 为既约分数，分数指数幂可如下定义： 3．运算法则 当a ＞0,b ＞0时有： （1）n m n m a a a +=?； （2）()mn n m a a =； （3）()0≠>=-a n m a a a n m n m ，； （4）()m m m b a ab =. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-； (3)幂指数不能随便约分.如2 142 )4()4(-≠-. 要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义： 若x n =y(n ∈N * ，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y . n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ； n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n =. 2．两个等式 （1）当1n >且*n N ∈时， ()n n a a =； （2）???=)(||) (,为偶数为奇数n a n a a n n 要点诠释： ①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误． ②指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算． 负指数幂化为正指数幂的倒数． 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如 )，先要化成假分数（如15/4）， 指数函数、对数函数及幂函数 Ⅰ.指数与指数函数 1.指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）()s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）1 m n n m a a - = （6）,||,n n a n a a n ?=? ?奇偶 2. 指数函数： 【基础过关】 类型一：指数运算的计算题 指数函数 0 此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1、526+的平方根是______________________ 2、 已知2=n a ，16=mn a ，则m 的值为………………………………………………( ) A ．3 B ．4 C ．3 a D ．6 a 3、化简 22 1 () 2b a b a ab b b a +---+-的结果是………………………………( ) A 、a a b -- B 、a b a -- C 、b a a -- D 、2b b a a +-- 4、已知0.001a =，求：413 3 3 223 33 8(12)24a a b b a a a b b -÷-++=_________________ 5、已知1 3x x -+=，求（1）1 12 2 x x - +=________________（2）332 2 x x -+=_________________ 6、若22y y x x -+=，其中1,0x y ><，则 y y x x --=______________ 类型二：指数函数的定义域、表达式 指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数 的图像及性质 函数) (x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 1、若集合A={ 113x x y -= },B={ 21},x s x A B =-?= 则____________________ 2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数 1(2)x y f -=的定义域是________ 3、下列函数式中，满足f(x+1)=1 2f(x)的是……………………………………………( ) 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 14 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但 y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210，，的图象的 认识。 图象特征与函数性质： 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10222--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ? ? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的 示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x =?? ? ? ? 13也由 关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0 故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求lo g .032524?? ? ? ? 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log .032524?? ? ? ?=x ，再改写为指数式就比较好办。 解：设log .032524?? ? ? ?=x 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x =1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1， 但y x =1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210，，的图 象的认识。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0 时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及 10222--<。 ②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间，且过点()01，，从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： () 313 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1 指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固 撰稿：刘杨审稿：严春梅责编：丁会敏 一、知识框图 二、目标认知 学习目标 1.指数函数 (1)通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景； (2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函 数的单调性与特殊点； (4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅 读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； (2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函 数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数 的单调性与特殊点； 3.反函数 知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1). 4.幂函数 (1)了解幂函数的概念； (2)结合函数的图象，了解它们的变化情况. 重点 指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理. 难点 指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质. 三、知识要点梳理 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： 高加索教育指数函数和对数函数总结练习典藏版 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，log 在a >1及 01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的 反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210，，的图象的认识。 图象特征与函数性质： 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10 22 2--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图， 如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x =?? ? ? ?13也由关于y 轴的对 称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以 a 为底N 的对数，记作 b N a =log （a 是底数，N 是真 数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零或负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算：() 3 13 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1 3、对数函数： 定义：指数函数y a a a x =>≠()01且的反函数 y x a =log x ∈+∞(,)0叫做对数函数。 1、对三个对数函数y x y x ==log log 212 ，， y x =lg 的图象的认识。 图象特征与函数性质： （1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y x =log 2与y x =lg 在点（1,0）曲线是交叉的，即当x >0时， y x =log 2的图象在y x =lg 的图象上方；而01< 函数（2）学案 主备人：_________ 编号：___005______ 【本课概论】 1、对数的定义：在方程N =x a 中，已知底数和幂，定义指数N log a x = 2、指数函数x a x f =) (，对数函数x x f a log )(=，幂函数a x x f =)( 【概念应用】 1、利用对数的降次特征化简大数据运算。 2、利用指数函数、对数函数和幂函数刻画数学模型。 【知识点及习题剖析】 对数 1、对数的定义与转化。 在N log a x =中，a 叫做底数，N 叫做真数，该式读作“x 等于N 以a 为底的对数” 其中a>0且a ≠1，真数N>0（若N=0或N<0则无意义） 指数式N =x a 与对数式N log a x =可相互转化。 例：将指数式64 1 26 = -，对数式416log 2 1-=分别转为对数式和指数式。 解：①6641 log 2-= ②16214 =??? ? ??- 剖析：指数式和对数式底数相等，真数与幂相等，指数与对数相等，不要搞混。 2、对数的运算法则（请自行用对数的定义推导）。 推导过程： 公式：①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log -log = ③M n M a n a log log = n M M a a log log n = ④x a a x a x a ==log log 例1：求 125log 3 log 30log 3 1022+-的值。 解：由公式②④③⑤得 原式=310log 3)5log 2(log 35log 310 log 1 3101010102==+=+? 剖析：合理运用公式。记住从对数里提为降次，放到对数里为升次。 *例2（应用）：已知5.145.23170log ,2416777216log 22== 求 5.2317016777216 的近似值。 解：5.95.14245 .2317016777216 log 2 =-=， 3.7144.110002 225.2317016777216105.9=≈==（实际724左右，误差2%以内） 剖析：合理运用对数及编制好的对数表可以极大地简化问题。 3、常用对数与自然对数。 定义：M M 10log lg =，称为常用对数。 M M e log ln =，称为自然对数，其中自然对数的底数e=2.718281828459…… 例1：求5100lg 解：5 2 5 100lg 100lg 5== 剖析：lg 和ln 只是一种简写的记法，对数公式完全可以套用。 例2：计算50lg 2lg )5(lg 2 ?+ 解： 1 2lg 5lg 2lg )5lg 2(lg 5lg 2lg 5lg 2lg )5(lg )15(lg 2lg )5(lg 原式22=+=++?=+?+=+?+= 剖析：遇到与lg 有关的问题，想尽一切办法将真数靠近10的幂（尤其是看到2和5）。 注意辨别：!15lg 2lg ,15lg 2lg ≠?=+ 一、指数函数 1．形如(0,0)x y a a a =>≠的函数叫做指数函数，其中自变量是x ，函数定义域是R ，值域是(0,)+∞． 2.指数函数(0,0)x y a a a =>≠恒经过点(0,1)． 3.当1a >时，函数x y a =单调性为在R 上时增函数； 当01a <<时，函数x y a =单调性是在R 上是减函数． 二、对数函数 1． 对数定义： 一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 即N a b =，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 b N a =log ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，b a N =与log a b N =所表示的是,,a b N 三个量之间的同一个关系。 2. 对数的性质： （1）零和负数没有对数；（2）log 10a =；（3）log 1a a = 这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。 3. 两种特殊的对数是：①常用对数：以10作底 10log N 简记为lg N ②自然对数：以e 作底（为无理数），e = 28…… ， log e N 简记为ln N ． 4.对数恒等式（1）log b a a b =；（2）log a N a N = 要明确,,a b N 在对数式与指数式中各自的含义，在指数式b a N =中，a 是底数，b 是指数，N 是幂；在对数式log a b N =中，a 是对数的底数，N 是真数，b 是以a 为底N 的对数，虽然,,a b N 在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求 对数log a N 就是求b a N =中的指数，也就是确定a 的多少次幂等于N 。 三、幂函数 1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y x α =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是 指数对数幂函数知识点总 结 篇一：指数、对数、幂函数知识点 指数、对数、幂函数知识归纳 知识要点梳理 知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果 ； 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子 叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. ； ，那么叫做的次方根，其中 2.n次方根的性质：(1)当为奇数时， ； (2)当为偶数时， 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：(1)(2)(3) 知点二：指数函数及其性质1.指数函数概念：一般地，函数变量，函数的定义域为 . 叫做指数函数，其中是自 1.(2013·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)= ( ) A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 D.e-x-1 2.（2013·上海高考文科·T8）方程 3.（2013·湖南高考理科·Ｔ16）设函数 f(x)?ax?bx?cx,其中c?a?0,c?b?0. 9x 的实数解为. ?1?3x 3?1 且a=b?，（1）记集合M??(a,b,c)a,b,c不能构成一个三角形的三条边长， 则(a,b,c)?M所对应的f(x)的零点的取值集合为____. （2）若a,b,c是?ABC的三条边长，则下列结论正确的是. （写出所有正确结论的序号） ①?x????,1?,f?x??0; ②?x?R,使得ax,bx,cx不能构成一个三角形的三边长；③若?ABC为钝角三角形，则?x??1,2?,使f?x??0. 知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若叫做底数， 叫做真数. ，则叫做以为底 的对数，记作 ， (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：2.几个重要的对数恒等式： ， ， . . 3.常用对数与自然对数： 常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 (其中 …). 4.对数的运算性质如果 ①加法： 指数函数和对数函数 y a a a x =>≠01且定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。a 必须a a >≠01且。 如果 a N a a =>≠()01且，那么数 b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对 数式。）由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在 求35x =中的x ，化为对数式x =log 35即成。 对数恒等式：由a N b N b a ==()log ()12a N a N log =对数的性质：①负数和零没有对数； ②1的对数是 零； ③底数的对数等于1。对数的运算法则： ()() log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ()log log log a a a M N M N M N R =?∈+，()() log log a n a N n N N R =∈+ () log log a n a N n N N R =∈+1 3、对数函数：定义：指数函数y a a a x =>≠()01且的反函数y x a =log x ∈+∞(,)0叫做对数函数。 1、对三个对数函数y x y x ==log log 212 ，，y x =lg 的图象的认识。： 4、对数换底公式： log log log log (.)log b a a n e g N N b L N N e N L N N = ===其中…称为的自然对数称为常数对数 27182810 由换底公式可得： L N N e N N n = ==lg lg lg ..lg 04343 2303 由换底公式推出一些常用的结论： （1） log log log log a b a b b a b a = =11或· （2）log log a m a n b m n b = （3）log log a n a n b b = （4） 2.1 对数与对数运算 1．对数的概念 一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log 381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x ＝N ?x ＝log a N ，从而得对数恒等式：a log a N ＝N . (2)“log ”同“＋”“×”“ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面． (3)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则 利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度． (1)基本公式 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和． ②log a M N ＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除数 的对数减去除数的对数． ③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数． (2)对数的运算性质注意点 ①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)． ②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a M N ＝ log a M log a N ，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式 在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底最新指数对数幂函数知识点总结
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