极限知识点
各类极限知识点总结
各类极限知识点总结一、函数的极限1. 定义：给定函数f(x)，当x趋近于某一点a时，如果函数值f(x)无论怎么接近a都会趋于一个确定的值L，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
通常情况下，我们也会将x趋近于a的这一过程称为x趋近于a时的极限，即x→a。
2. 性质：函数的极限有一些基本的性质，这些性质有助于我们计算和理解函数的极限。
比如极限的唯一性、极限的局部有界性、函数的连续性等。
3. 一些特殊函数的极限：（1）常数函数的极限；（2）幂函数的极限；（3）指数函数和对数函数的极限；（4）三角函数的极限；（5）复合函数的极限等。
二、无穷大和无穷小1. 定义：在极限的理论中，无穷大和无穷小是两个非常重要的概念。
当x趋近于某一点a 时，如果函数值f(x)可以任意增大，并且没有上界，则称f(x)是当x趋近于a时的无穷大。
反之，如果函数值f(x)可以任意接近于0，并且没有下界，则称f(x)是当x趋近于a时的无穷小。
2. 性质：无穷大和无穷小也有一些基本的性质，包括无穷大和无穷小的性质、无穷大与有界性的关系、无穷小的运算规律等。
3. 一些特殊函数的无穷大和无穷小：（1）常数函数的无穷大和无穷小；（2）幂函数的无穷大和无穷小；（3）指数函数和对数函数的无穷大和无穷小；（4）三角函数的无穷大和无穷小；（5）复合函数的无穷大和无穷小等。
三、极限的运算规律1. 四则运算的极限性质：加减乘除都有着相应的极限运算规律。
比如两个函数的极限之和等于它们的极限之和、两个函数的极限之积等于它们的极限之积等。
2. 复合函数的极限性质：当函数与另一个函数进行复合时，它们的极限也满足一定的规律。
比如复合函数的极限等于内函数的极限等。
3. 一些特殊函数的极限运算：（1）三角函数的加减角极限性质；（2）指数函数和对数函数的极限性质；（3）特殊组合函数的极限性质等。
四、常见的极限形式1. 0/0型：在计算函数的极限时，经常会遇到0/0型的不定式形式。
极限课总结知识点
极限课总结知识点一、极限的定义1. 函数在某一点的极限对于一个函数f(x)，当x无限接近于某一点a时，f(x)的值也随之接近于某一实数L，那么我们就称L为函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
2. 函数在无穷远点的极限当x无限增大或减小时，函数f(x)的极限称为函数在无穷远点的极限，记作lim(x→∞)f(x)=L或lim(x→-∞)f(x)=L。
二、求极限的方法1. 代入法通过直接代入极限点来计算函数的极限值，当函数在极限点存在定义且不为无穷大或无穷小时，可以使用这种方法进行计算。
2. 因子分解法对于复杂的函数，可以通过因式分解来简化函数的形式，然后再进行极限的计算。
3. 夹逼定理适用于复杂函数的极限计算，通过找到一个上下夹逼的函数，从而确定原函数的极限值。
4. 极限换元法通过对复杂函数进行变量替换，从而将原函数的极限转化为更简单的形式。
5. 极限运算法则函数与常数、多项式、指数函数、对数函数等之间的极限运算规律，包括四则运算、幂函数、指数函数、对数函数等的极限性质。
6. L'Hospital法则用于求解不定式极限，通常适用于求解0/0或∞/∞形式的不定式极限。
三、无穷小量与无穷大量1. 无穷小量当x趋于某一值a时，如果函数f(x)的极限值为0，则称f(x)是x趋于a时的无穷小量。
2. 无穷大量当x趋于某一值a时，如果函数f(x)的极限值为正无穷或负无穷，则称f(x)是x趋于a时的无穷大量。
四、极限的性质1. 极限存在性当左极限和右极限存在且相等时，称函数在该点处的极限存在。
2. 极限唯一性函数在某一点的极限值应该唯一，即对于同一个极限点，不可能存在多个极限值。
3. 夹逼准则如果在某一点附近三个函数之间的大小关系确定，且这三个函数的极限都存在，且都趋于同一个极限值，那么其中间的函数的极限值也必然等于这个极限值。
4. 极限的四则运算法则两个函数的极限存在时，它们的和、差、积、商的极限也存在，并且可以通过各个函数的极限来计算。
数学极限知识点总结
数学极限知识点总结一、极限的概念极限是一个重要的数学概念，它描述了一个函数在自变量趋近某个特定值时的行为。
具体地说，当自变量x在某一点a附近不断靠近，同时函数f(x)的取值也逐渐接近某个特定的数L时，我们就说函数f(x)在自变量x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义可以用符号表示为：对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε。
在这个定义中，ε和δ分别表示"误差"和"变化范围"，而当自变量x距离a足够近时，函数f(x)的取值与极限L的差异也会变得足够小。
换句话说，极限描述了函数在某点附近的稳定性和趋势。
在实际问题中，极限的概念常常用于描述随着自变量的变化，函数取值的趋势。
比如，在物理学中，我们可以用极限来描述速度、加速度、流体的流动等随着时间或空间的变化而变化的量。
而在工程中，极限也可以描述材料的强度、电路的稳定性等。
因此，极限是数学中一个十分重要、普遍且有广泛应用的概念。
二、极限的性质1.极限的唯一性如果一个函数在某点附近有极限，那么这个极限是唯一的。
换句话说，对于一个自变量x趋近于a的函数f(x)，其极限只能有一个确定的值。
这个性质使得我们可以不用担心在计算函数的极限时会出现多个可能的结果，从而保证了极限的一致性和确定性。
2.极限的局部保号性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则当L>0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都大于0；当L<0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都小于0。
这个性质表明了在极限存在的情况下，函数在足够靠近极限点的地方都具有一致的正负性。
3.极限的局部有界性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则存在一个正数M，使得a的某个邻域内函数的取值都在区间(-M,M)之间。
教资极限知识点总结
教资极限知识点总结一、极限概念1. 极限的定义极限是数学分析中的一个重要概念，用于描述函数在某一点附近的变化趋势。
数学上，对于一个函数f(x)，当x无限接近某一点a时，f(x)的取值会无限接近于某一特定的值L，这个值L就是函数f(x)在点a处的极限，通常用lim(x->a) f(x) = L来表示。
2. 极限存在性一个函数在某一点的极限存在的条件是：当x无限接近于该点时，f(x)的取值会趋于某一具体的值，即存在一个数L，使得对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
这个数L就是函数f(x)在点a处的极限。
3. 极限的性质（1）唯一性：若lim(x->a) f(x)存在，则函数f(x)在点a处的极限唯一。
（2）局部有界性：若lim(x->a) f(x)存在，则存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，函数f(x)有界。
（3）夹逼定理：若对于所有的x（a-h和a+h之间）都有g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim(x->a)g(x) = lim(x->a) h(x) = L，则lim(x->a) f(x) = L。
4. 极限的计算（1）利用函数性质：例如使用分解因式、换元等方法来计算。
（2）利用极限性质：例如夹逼定理、加减乘除等方法来计算。
（3）利用洛必达法则：当使用代入法计算不便或不可行时，可以使用洛必达法则来计算不定式的极限。
二、常见的极限1. 无穷大极限当函数f(x)在无穷远的点x=a处的极限满足lim(x->∞) f(x) = L或lim(x->-∞) f(x) = L时，称为无穷大极限。
2. 无穷小极限当函数f(x)在某一点x=a处的极限满足lim(x->a) f(x) = 0时，称为无穷小极限。
3. 函数的连续性函数f(x)在某一点x=a处连续的条件是lim(x->a) f(x)存在且f(a)存在且lim(x->a) f(x) =f(a)。
极限概念知识点总结
极限概念知识点总结一、极限的基本概念1.1 极限的引入极限的概念最早是在微积分的发展过程中被引入的。
当人们试图解决一些问题时，发现需要对一些数列、函数、变量等的趋势进行描述和分析。
例如，当我们用一个数列的前几项来逼近某个数时，我们希望能够明确当数列的项数趋于无穷时，该数列是否真的能够逼近这个数；再如，当我们试图分析一个函数在某一点的性质时，我们也会遇到极限的概念。
因此，为了能够更加准确地描述数学对象在某个方面的性质，人们引入了极限的概念。
1.2 极限的定义数列的极限是极限的最基本形式之一。
对于一个数列{an}，当n趋于无穷时，如果an可以无限地地接近某个确定的数a，则称a为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。
这个定义也可以推广到函数的极限、变量的极限等其他情形，如对于函数f(x)，当x趋于某一点c时，如果f(x)可以无限地地接近某个确定的数L，则称L为函数f(x)当x→c时的极限，记作lim（x→c）f(x)=L。
这就是极限的基本定义形式。
1.3 极限的性质极限具有一系列重要的性质，在实际应用中，这些性质被广泛地用于求解各种问题。
以下是一些极限的基本性质：1）唯一性：如果数列an有极限a，则这个极限是唯一的。
也就是说，一个数列只能有一个极限。
类似地，函数f(x)当x→c时的极限也是唯一的。
2）保号性：如果数列an的极限a>0（或a<0），则对于充分大的n，an>0（或an<0）。
3）夹逼准则：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim（n→∞）an=lim（n→∞）cn=a，那么必有lim（n→∞）bn=a。
这个性质在确定一些数列的极限时常常会被用到。
4）四则运算法则：如果lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，那么有lim（n→∞）（an±bn）=a±b，lim（n→∞）（an×bn）=a×b，lim（n→∞）（an÷bn）=a÷b（b≠0）。
极限基础知识点总结
极限基础知识点总结一、极限的概念1.1 极限的概念极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在数学中，极限通常表示某一数列或函数在自变量取某一值时，与另一给定值（通常是无穷大或无穷小）的距离在很小的范围内。
1.2 极限的符号表示当趋近的过程是无穷远时，称为无穷极限。
常用符号表示：1.3 极限的定义数列极限的定义：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时， a_n与特定数a的距离小于ε，即 |a_n - a|<ε。
函数在x=a处的极限定义：若对于任意ε>0，存在δ>0，当0< |x-a|<δ时， |f(x)-L|<ε。
1.4 极限的性质（1）唯一性：若极限存在，则唯一。
（2）局部有界性：若函数在某点处有极限，则函数在该点的去心邻域内有界。
（3）局部保号性：若函数在某一点有极限，则该点的去心邻域内函数与该点的极限保持同号。
二、极限的求解2.1 函数在无穷远处的极限当x趋于无穷大时，通常分析函数的渐近行为，例如当x趋近无穷大时，若函数趋近某一有限值，则说明函数有水平渐近线；若函数趋近无穷大，则说明函数有垂直渐近线。
2.2 无穷小的性质与判定无穷小在极限的计算中占有重要地位，一些基本的无穷小性质与无穷小的判定方法：2.3 函数的极限存在性判定对于一些特殊类型的函数，判断其在某一点是否存在极限，例如当x趋近某一值时，函数的变化趋势是否稳定，是否可以利用夹逼定理进行求解等。
2.4 极限存在性的定理弦截定理、单调有界定理、闭区间上连续函数的性质等有助于判断函数在某一点的极限是否存在。
三、极限的计算方法3.1 函数极限的基本运算法则函数极限的基本运算法则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数乘积与函数商的极限等。
3.2 极限的计算方法极限的计算方法包括利用函数的性质、夹逼定理、洛必达法则、泰勒展开等方法。
3.3 极限的分析对于一些复杂函数极限的计算问题，需要先进行极限的分析，例如观察函数的泰勒级数展开式，取其前几项进行计算等。
函数极限相关知识点总结
函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。
换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。
这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。
2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。
左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。
当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。
3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。
具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。
类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。
4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。
比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。
因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。
二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。
极限总结知识点专升本
极限总结知识点专升本一、极限的概念1. 一、数列极限1. 数列的概念数列是由一系列有序的实数按照一定的规律排列而成的序列，可以用通项公式$a_n$表示。
数列中的每个元素 $a_n$称为数列的项，顺序排列的数列称为有限数列，不按照顺序排列的数列称为无限数列，按顺序排列的数列元素个数没有限制。
2. 极限的概念对于数列${a_n}$来说，当$n$趋于无穷大的时候，如果$a_n$的值趋于一个确定的数$L$，那么称$L$为数列${a_n}$的极限，记作$\lim_{n \to \infty} a_n = L$。
其中，$L$为数列${a_n}$当$n$趋于无穷大时的极限。
3. 数列极限的性质(1) 数列极限的唯一性：若数列${a_n}$的极限存在，则极限唯一。
(2) 有界数列收敛性：有界数列必收敛。
2、函数极限1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的唯一元素上。
2. 极限的概念对于函数$f(x)$来说，当$x$趋于$a$的时候，如果$f(x)$的值趋于一个确定的数$L$，那么称$L$为函数$f(x)$在$x \to a$时的极限，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
其中，$L$为函数$f(x)$在$x \to a$时的极限。
3. 函数极限的性质(1) 函数极限的唯一性：若函数$f(x)$的极限存在，则极限唯一。
(2) 函数极限的局部性：函数$f(x)$的极限存在与否与$x$的取值点的邻域有关。
3、无穷小与无穷大1. 无穷小的概念当自变量趋于某一点时，如果函数值趋于0，那么称该函数是无穷小。
无穷小也可以表示为$x$趋于0时，函数值趋于0。
2. 无穷大的概念当自变量趋于某一点时，如果函数值趋于无穷大，那么称该函数是无穷大。
无穷大也可以表示为$x$趋于某一点时，函数值趋于无穷大。
4、极限的计算方法1. 无穷小的性质(1) 若$\lim_{x \to a} f(x) = A, \lim_{x \to a} g(x) = B$，则$\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) =A \pm B$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学第十三章-极限
考试内容：
教学归纳法.数学归纳法应用.
数列的极限.
函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.
考试要求：
(1) 理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
(2) 了解数列极限和函数极限的概念.
(3) 掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限.
(4) 了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.
§ 13.极限知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n取第一个m时结论正确；②假设当n k ( k N ,k 时，结论
n0)正确，证明当n k 1时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果
①当n n0 ( n0N )时，P(n)成立；
②假设当n k (k N ,k no)时，P(n)成立，推得n k 1时，P(n)也成立.
那么，根据①②对一切自然数n n0时，P(n)都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法：
①lim a n a n
②当n 时，a n a .
⑵几个常用极限：
①lim C C ( C为常数) n
a 1 ........
②lim w 0 (k N,k是常数)
n n k
③对于任意实常数，
当|a| 1 时，lim a n 0
n
当 a 1 时，若 a = 1,贝U lim a n 1 ；若a 1,贝U lim a n lim ( 1)n不存在
当a 1时，lim a n不存在n
⑶数列极限的四则运算法则：
如果lim a n a, lim b b b,那么n n
①lim (a n b n) a b
n
②lim (a n b n) a b
n
③lim 色a(b 0) n b n b
特别地，如果C是常数，那么
lim (C a n) lim C lim a n Ca. n n n
⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当q 1时，无穷等比数列的各项和为S —(q 1).
(化循环小数为分数方法同上式)
注：并不是每一个无穷数列都有极限 .
3. 函数极限；
⑴当自变量x 无限趋近于常数x 0 (但不等于x 0)时，如果函数f(x)无限趋进于一个常数 a,
就是说当x 趋近于x 0时，函数f(x)的极限为a .记作lim f(x) a 或当x
x o 时，f(x) a.
x x 0 注：当x x 0时，f (x)是否存在极限与 f(x)在x 0处是否定义无关，因为 x x 0并不要求 x x 0.(当然,f (x)在x 0是否有定义也与 f(x)在x 0处是否存在极限无关.函数f (x)在x 0 有定义是lim f (x)存在的既不充分又不必要条件 .)
X x 0
,
x 1 x 1 如P(x) 在x 1处无正义，但lim P(x)存在，因为在x 1处左右极限均等于夸. ⑵函数极限的四则运算法则：
如果 lim f (x) a, lim g(x) b ,那么
① lim (f (x) g(x)) a b
x x 0 ② lim (f (x) X x 0
g(x)) a b
③lim 也
x x
0 g(x) a (b 0) b
特别地，如果 C 是常数，那么 lim (C f (x)) x x 0 C lim f (x). x 5
lim[f(x)]n x x 0 [lim f(x)]n ( n x x 0
注：①各个函数的极限都应存在 .
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况
⑶几个常用极限：
小 1 ① lim 0 n x
② lim a x 0 (0v a < 1)； lim a x 0 ( a > 1)
x x
③ lim 业1响二1 x 0 x x o sinx
④ lim (1 1)x e, lim (1 x尸 e ( e 2.71828183) x x x 0
4. 函数的连续性：
⑴如果函数f( x), g (x)在某一点x x0连续，那么函数f (x) g(x), f(x) g(x)^f(x) (g(x) 0) g(x)
在点x x o处都连续.
⑵函数f (x)在点x x o处连续必须满足三个条件：
①函数f (x)在点x x0处有定义；②lim f (x)存在；③函数f (x)在点x x0处的极限值x x0
等于该点的函数值，即lim f(x) f(x0).
⑶函数f (x)在点x x°处不连续(间断)的判定：
如果函数f (x)在点x x。
处有下列三种情况之一时，则称x。
为函数f (x)的不连续点.
①f (x)在点x x0处没有定义，即f(x°)不存在；②lim f (x)不存在；③lim f (x)存在,
但Jim f (x) f(x0).
⑴零点定理：设函数 f (x)在闭区间［a,b］上连续，且f(a) f (b) 0.那么在开区间(a,b)内至少有函数f (x)的一个零点，即至少有一点(a v v b)使f( ) 0 .
⑵介值定理：设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且在这区间的端点取不同函数值，
f(a) A, f(b) B,那么对于A,B之间任意的一个数C ,在开区间(a,b)内至少有一点，使得f( ) C (a v v b ).
⑶夹逼定理：设当0 | x x01 时，有g(x)< f (x) < h(x)，且lim g(x) lim h(x) A,则
必有lim f (x) A.
X x0
注：|x x°|：表示以x0为的极限，则| x x0 |就无限趋近于零.(为最小整数)
6. 几个常用极限：
0,q
②lim
n
③lim
n
④lim
n
⑤lim
n
n
a
n!
k
n
n
a
ln n
血：0( 0,k为常数)
n
0(a
0(a
0)
1,k为常
数)
q n
①lim
n。