2018年高考数学江苏专版二轮专题复习 解析几何
2018年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略课件：专题十四 高考中的立体几何 精品
6分
(2)因为 PA⊥平面 PDC，CD⊂平面 PDC，所以 PA⊥CD.
因为四边形 ABCD 为矩形，所以 AD⊥CD. 因为 PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面 PAD，所以 CD⊥平面 PAD. 因为 CD⊂平面 ABCD，所以平面 PAD⊥平面 ABCD.
10 分 14 分
3．如图 14-4，正三棱柱 ABC-A1B1C1，点 D，E 分别是 A1C，AB 的中点．
1．(2016·苏锡常镇调研一)如图 14-2，已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是 平行四边形，PA⊥平面 ABCD，M 是棱 AD 的中点，N 是棱 PC 的中点．
(1)求证：MN∥平面 PAB； (2)若平面 PMC⊥平面 PAD，求证：CM⊥AD.
图 14-2
[证明] (1)取 PB 中点 E，连结 EA，EN，NM，在
热 点 题 型 · 探 究
专题十四 高考中的立体几何
专 题 限 时 集 训
题型一| 空间位置关系的证明
(2016·江苏高考)如图 14-1，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别 为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
图 14-1 求证：(1)直线 DE∥平面 A1C1F； (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F.
同理 BG⊥AD，又 BG∩CG＝G，因此 AD⊥平面 BGC.
5分
又 EF∥AD，所以 EF⊥平面 BCG.
7分
(2)在平面 ABC 内，作 AO⊥BC，交 CB 的延长线于 O.
由平面 ABC⊥平面 BCD，知 AO⊥平面 BDC.
9分
又 G 为 AD 中点，因此 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半. 11 分
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习课件：专题三 解析几何 第1课时 解析几何中的基本问题(基础课)
3．(2017·苏州考前模拟)在平面直角坐标系中，已知两点 P(0,1)， Q(3,6)，在直线 y＝x 上取两点 M，N，使得 MN＝ 2a(其中 a>0 为定值)，则当 PM＋NQ 取得最小值时，点 N 的坐标为________． 解析：(1)设点 A(1,0)，B(1＋a，a)，则 AB∥MN，且 AB＝MN， 所以四边形 ABNM 为平行四边形，所以 AM＝BN，又因为点 P 与 A 关于直线 y＝x 对称，所以 PM＝AM，所以 PM＋NQ＝AM ＋NQ＝BN＋NQ，所以当 B，N，Q 三点共线时，PM＋NQ 取 最小值为 BQ＝ a－22＋a－62.此时 BQ 方程为(a－6)x－(a －2)y＋3a＋6＝0，与直线 y＝x 联立解得 N3a＋4 6，3a＋4 6.
[题组练透] 1．(2017·南通一模)已知圆 C 过点(2， 3)，且与直线 x－ 3y＋3
＝0 相切于点(0， 3)，则圆 C 的方程为_______________． 解析：设圆心为(a，b)，
b－ 则 a
3·33＝－1，
a－22＋b－ 32＝a2＋b－ 32，
[题组练透] 1．已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为___．
解析：由题意知直线 l 与直线 PQ 垂直，所以 kl＝－k1PQ＝1.又直 线 l 经过 PQ 的中点(2,3)，所以直线 l 的方程为 y－3＝x－2，即 x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0
2.(2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系
xOy 中，已知 A，B1，B2 分别为椭圆 C：xa22＋by22＝
1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆 C 的右
焦点．若 B2F⊥AB1，则椭圆 C 的离心率是________． 解析：由题意得，A(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F(c,0)，所以―B2→F
2018版高考数学文江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题六 解析几何 第3讲 精品
(2)求四边形AEBF面积的最大值.
解析答案
热点二 定点、定值问题
1.由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)， 则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则 直线必过定点(0，m). 2.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、 角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的 参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.
押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆
锥曲线位置关系的综合考查.关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色.
押题依据
解析答案
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思维升华
解析答案
跟踪演练 2 已知抛物线：y2＝2px(p>0)的焦点 F 在双曲线：x32－y62＝1 的 右准线上，抛物线与直线 l：y＝k(x－2)(k>0)交于 A，B 两点，AF，BF 的 延长线与抛物线交于 C，D 两点. (1)求抛物线的方程； 解 双曲线：x32－y62＝1 的右准线方程为 x＝1， 所以F(1,0)，则抛物线的方程为y2＝4x.
所以 C(y421，－y41)，同理 D(y422，－y42)，
kCD＝－y421y4－1＋y422y42＝－y1y＋1y2y2＝2k，故kCkD＝2(定值).
解析答案
热点三 探索性问题 1.解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题 型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化. 其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定 系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元 素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数) 不存在. 2.反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.
2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题五 解析几何 第1讲 精品
解析 由已知，可设圆 M 的圆心坐标为(a，0)，a＞－2， （a＋2）2＋（ 3）2＝r2，
半径为 r，得|2a4－＋45|＝r， 解得满足条件的一组解为ar＝＝2－，1， 所以圆 M 的方程为(x＋1)2＋y2＝4. 答案 (x＋1)2＋y2＝4
T→A＋T→P＝T→Q，求实数 t 的取值范围.
解 (1)圆 M 的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝ 25，圆心 M(6，7)，半径 r＝5， 由题意，设圆 N 的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0). 且 （6－6）2＋（b－7）2＝b＋5.解得 b＝1， ∴圆 N 的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
2.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a， b)，半径为 r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 圆心为－D2 ，－E2，半径为 r＝ D2＋2E2－4F；对于二元二 次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件 B＝0， 是A＝C≠0， D2＋E2－4AF＞0.
(2)依题意得△OO1A 是直角三角形，
∴OO1＝ 5＋20＝5，
S△OO1A＝12·A2B·OO1＝12·OA·AO1，
因此 AB＝2·OOAO·1 AO1＝2×
5×2 5
5＝4.
答案 (1)45π (2)4
探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与 过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于 半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方 程时主要选择点斜式. (2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外 点距离，利用勾股定理处理.
高考总复习课程--2018年高考数学理第二轮复习江苏版
第14讲 解析几何2017新题赏析题一：已知抛物线C ：y 2=2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．题二：已知椭圆C ：2222=1x y a b +(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3(–1)，P 4(1，2)中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．题三：已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，焦点在x ． （1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交B N于点E．求证：BDE△与BDN△的面积之比为4:5．第1讲 解析几何2017新题赏析题一：解：（1）证明：①当x AB ⊥轴时，2=x 代入x y 22=得2±=y ． 所以O 在以AB 为直径的圆上．此时圆半径为2．②当AB 不垂直于x 轴时，设AB 的方程为()2-=x k y 且()()2211,,,y x B y x A ，由()222y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y ， 整理()22224240k x k x k -++= 所以 212212424k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，则()k x x k y y 242121=-+=+，()()21212224y y k x x =--=-． 从而12121-==⋅x x y y k k OB OA ，OA OB ⊥， 所以O 在以AB 为直径的圆上．（2） ①当x AB ⊥轴时，以AB 为直径的圆的圆心到()2,4-P的距离为2d =>，此时P 点不在圆上，与题意不符；②当AB 不垂直于x 轴时，由（1）知以AB 为直径的圆的方程为()()()()02121=--+--y y y y x x x x ． 即22224220k x y x y k k ++--=， 由于()2,4-P 在此圆上，所以代入上述方程得2k =-，或1k =．当1k =时，所求圆的方程为22620x y x y +--=，直线l 的方程为2y x =-． 当2k =-时，所求圆的方程为22902x y x y +-+=，直线l 的方程为24y x =-+． 题二：（1）解：由34,P P 两点关于y 轴对称，知 椭圆C 经过34,P P 两点， 又由于2222111314a b a b +>+=，知1P 不在椭圆C 上， 因此22211,131,4b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得224,1.a b ⎧=⎨=⎩ 故椭圆C 的方程为22=14x y +．（2）证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为12,k k ，若直线l 与x 轴垂直，设:l x t =，由题意，知0t ≠，且||2t <，可得点,A B的坐标分别为(t，(,t ．则121k k +==-， 得2t =，不符合题意．从而设:(1)l y kx m m =+≠， 由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得222(41)8440k x kmx m +++-=， 设()()2211,,,y x B y x A ，则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=-+， 2216(41)0k m ∆=-+>． ①121212121212121211112(1)()y y kx m kx m k k x x x x kx x m x x x x --+-+-+=+=++-+=由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=． 即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++． 解得12m k +=-． 代入①，知当且仅当1m >-时，0∆>，此时l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点(2，1-)．题三：解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意得2, a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得c 所以2221b a c =-=．所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）设(,)M m n ，则(,0)D m ，(,)N m n -．由题设知2m ≠±，且0n ≠．直线AM 的斜率2AM n k m =+，故直线DE 的斜率2DE m k n+=-．所以直线DE 的方程为2()m y x m n +=--． 直线BN 的方程为(2)2n y x m=--． 联立2(),(2),2m y x m n n y x m +⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得点E 的纵坐标222(4)4E n m y m n -=--+． 由点M 在椭圆C 上，得2244m n -=． 所以45E y n =-． 又12||||||||25BDE E S BD y BD n =⋅=⋅△，1||||2BDN S BD n =⋅△， 所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5．。
2018年江苏高考数学二轮复习：专题限时集训10平面解析几何有答案
专题限时集训(十) 平面解析几何(对应学生用书第103页)(限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(广东省汕头市2017届高三上学期期末)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝________.【导学号：56394076】－43 [由题意，知圆心为(1,4)，则有|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.] 2．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)若直线x ＋ay －2＝0与以A (3,1)，B (1,2)为端点的线段没有公共点，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [直线x ＋ay －2＝0过定点C (2,0)，所以－1a ∈(k CB ，k CA )＝(－2,1)⇒a ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.]3．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图10－13所示，“海宝”从圆心T 出发，先沿北偏西图10－13θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＝1213方向行走13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C处，点B ，C 都在圆T 上，则在以线段BC 中点为坐标原点O ，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中，圆T 的标准方程为________．x 2＋(y －9)2＝225 [TB 2＝TA 2＋AB 2－2TA ·AB cos A ＝169＋196－2×13×14×513＝225，OT ＝14－13×cos θ＝9，∴圆T 方程为x 2＋(y －9)2＝225.]4．(江苏省南京市2017届高考三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋1)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，35 [由题意，圆M ：(x ＋a ＋1)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)，圆心为M (－a －1,2a )， 从圆M 上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP ＝1.∵圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°， ∴|OM |≤2， ∴(a ＋1)2＋4a 2≤4， ∴－1≤a ≤35.]5．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________. －1 [由C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0得(x －1)2＋(y －2)2＝5， ∴圆心坐标是C (1,2)，半径是5，∵直线l ：mx ＋y －2m －1＝0过定点P (2,1)，且在圆内， ∴当l ⊥PC 时，直线l 被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长最短， ∴－m ·2－11－2＝－1，∴m ＝－1.]6．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为________．[6－2，6＋2] [在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1,1)，且AB ⊥AC ，如图所示，当BC ⊥OA 时，|BC |取得最小值或最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x 2＋y 2＝4，可得B (－3，1)或(3，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 2＋y 2＝1，可得C (1，3)或(1，－3)，解得BC min ＝3－2＋－32＝6－ 2.BC max ＝－3－2＋＋32＝6＋ 2.]7．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．32 [∵直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0的斜率乘积为k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝－1(k ＝0时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M (0,2)，N (2,0)．∴两条直线的交点在以MN 为直径的圆上．并且k MN ＝－1，可得MN 与直线x －y －4＝0垂直．∴点M 到直线x －y －4＝0的距离d ＝|0－2－4|2＝32为最大值．]8．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知直线2x －3y ＝0为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．213 [根据题意，双曲线的方程为：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 其渐近线方程为：y ＝±bax ，又由其一条渐近线的方程为：2x －3y ＝0，即y ＝23x ，则有b a ＝23，则其离心率e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝73，则有e ＝213.]9．(河北省唐山市2017届高三年级期末)设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为________．【导学号：56394077】x 29＋y 26＝1 [由题意，知|AF 2|＝|BF 2|＝|AB |＝|AF 1|＋|BF 2|， ① 又由椭圆的定义知，|AF 2|＋|AF 1|＝|BF 2|＋|BF 1|＝2a ， ②联立①②，解得|AF 2|＝|BF 2|＝|AB |＝43a ，|AF 1|＝|BF 1|＝23a ，所以S △F 2AB ＝12|AB ||AF 2|sin 60°＝43，所以a ＝3，|F 1F 2|＝32|AB |＝23，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝6，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.]10．(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，其渐近线与圆x 2＋y 2－6y ＋m ＝0相切，则m ＝________.8 [∵双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，∴c ＝3a ，∴b ＝22a ，取双曲线的渐近线y ＝22x .∵双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与x 2＋y 2－6y ＋m ＝0相切，∴圆心(0,3)到渐近线的距离d ＝r ， ∴38＋1＝9－m ，∴m ＝8.] 11．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则三角形F 1PF 2的面积为________3 [S △F 1PF 2＝b 2tanθ2＝1tan 30°＝ 3.]12．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________． 6 [∵抛物线方程为y 2＝6x ，∴焦点F (1.5,0)，准线l 方程为x ＝－1.5， ∵直线AF 的斜率为－3，直线AF 的方程为y ＝－3(x －1.5)， 当x ＝－1.5时，y ＝33， 由可得A 点坐标为(－1.5,33)， ∵PA ⊥l ，A 为垂足，∴P 点纵坐标为33，代入抛物线方程，得P 点坐标为(4.5,33)， ∴|PF |＝|PA |＝4.5－(－1.5)＝6.]13．(广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若S △ABC ＝3S △BCF 2，则椭圆的离心率为________．55[设椭圆的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 由x ＝－c ，代入椭圆方程可得y ＝±b 2a ，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，C (x ，y )，S △ABC ＝3S △BCF 2， 可得AF 2→＝2F 2C →，即有⎝⎛⎭⎪⎫2c ，－b 2a ＝2(x －c ，y )，即2c ＝2x －2c ，－b 2a ＝2y ，可得x ＝2c ，y ＝－b 22a ，代入椭圆方程可得，4c 2a 2＋b24a 2＝1，由e ＝c a ，b 2＝a 2－c 2，即有4e 2＋1－e 24＝1，解得e ＝55.]14．(四川省2016年普通高考适应性测试)如图10－14，A 1，A 2为椭圆图10－14x 29＋y 25＝1的长轴的左、右端点，O 为坐标原点，S ，Q ，T 为椭圆上不同于A 1，A 2的三点，直线QA 1，QA 2，OS ，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则|OS |2＋|OT |2＝________.14 [设Q (x ，y )，T (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，QA 1，QA 2斜率为k 1，k 2，则OT ，OS 斜率为k 1，k 2，且k 1k 2＝y x ＋3·yx －3＝y 2x 2－9＝－59， 所以OT 2＝x 21＋y 21＝x 21＋k 21x 21＝＋k 215＋9k 21，同理OS 2＝＋k 225＋9k 22，因此|OT |2＋|OS |2＝＋k 215＋9k 21＋＋k 225＋9k 22＝＋k 215＋9k 21＋45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2581k 215＋259k 21＝＋k 215＋9k 21＋81k 21＋255＋9k 21＝126k 21＋705＋9k 21＝14.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【导学号：56394078】[解] (1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4.6分(2)存在．当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，8分所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－x 1－t＋k x 2－x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒k 2－k 2＋1－2k 2t ＋k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，x 轴平分∠ANB .14分16．(本小题满分14分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图10－15，图10－15在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，求a ，b 的值；(2)设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB →＝12OC →，求直线AB 的斜率．[解] (1)由题意可知：椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝23，则b 2a 2＝59，① 由点C 在椭圆上，将⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53代入椭圆方程，4a 2＋259b 2＝1，②解得：a 2＝9，b 2＝5， ∴a ＝3，b ＝5，6分(2)法一：由(1)可知：b 2a 2＝59，则椭圆方程：5x 2＋9y 2＝5a 2，设直线OC 的方程为x ＝my (m ＞0)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ，5x 2＋9y 2＝5a 2，消去x 整理得5m 2y 2＋9y 2＝5a 2，∴y 2＝5a 25m 2＋9，由y 2＞0，则y 2＝5a 5m 2＋9， 由AB →＝12OC →，则AB ∥OC ，设直线AB 的方程为x ＝my －a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －a ，5x 2＋9y 2＝5a 2，整理得(5m 2＋9)y 2－10amy ＝0，由y 1＞0得y 1＝10am 5m 2＋9，10分由AB →＝12OC →，则(x 1＋a ，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，12y 2，则y 2＝2y 1， 则5a5m 2＋9＝2×10am5m 2＋9(m ＞0)， 解得m ＝35，则直线AB 的斜率1m ＝533；14分法二：由(1)可知：椭圆方程5x 2＋9y 2＝5a 2，则A (－a,0)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 由AB →＝12OC →，则(x 1＋a ，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，12y 2，则y 2＝2y 1，10分由B ，C 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x 22＋9y 22＝5a 2，5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－a 2＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222＝5a 2，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝a4，y 2＝5a43，则直线直线AB 的斜率k ＝y 2x 2＝533.直线AB 的斜率为533.14分17．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛) 已知点P 是椭圆C 上任一点，点P到直线l 1：x ＝－2的距离为d 1，到点F (－1,0)的距离为d 2，且d 2d 1＝22.直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B (A ，B 都在x 轴上方)，且∠OFA ＋∠OFB ＝180°.图10－16(1)求椭圆C 的方程；(2)当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；(3)对于动直线l ，是否存在一个定点，无论∠OFA 如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由． [解] (1)设P (x ，y )，则d 1＝|x ＋2|，d 2＝x ＋2＋y 2，∴d 2d 1＝x ＋2＋y 2|x ＋2|＝22，化简，得x 22＋y 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.3分(2)A (0,1)，F (－1,0)，∴k AF ＝1－00－－＝1，又∵∠OFA ＋∠OFB ＝180°，∴k BF ＝－1，BF ：y ＝－1(x ＋1)＝－x －1.代入x 22＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1 (舍)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－43，y ＝13，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，13，6分k AB ＝1－130－⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝12，∴AB ：y ＝12x ＋1.即直线l 方程为y ＝12x ＋1.7分(3)∵∠OFA ＋∠OFB ＝180°，∴k AF ＋k BF ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 方程为y ＝kx ＋b .代入x 22＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋12x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0.9分∴x 1＋x 2＝－2kb k 2＋12，x 1x 2＝b 2－1k 2＋12，∴k AF ＋k BF ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋b x 2＋1＝kx 1＋bx 2＋＋kx 2＋b x 1＋x 1＋x 2＋＝0，∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1) ＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b ＝2k ×b 2－1k 2＋12－(k ＋b )×2kb k 2＋12＋2b ＝0， ∴b －2k ＝0，12分∴直线AB 方程为y ＝k (x ＋2)， ∴直线l 总经过定点M (－2,0).14分18．(本小题满分16分)(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E ：x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)的焦点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆E 于P ，Q 两点，T 为弦PQ 的中点，M (－1,0)，N (1,0)，记直线TM ，TN 的斜率分别为k 1，k 2，当2m 2－2k 2＝1时，求k 1·k 2的值．图10－17[解] (1)因0＜b ＜2，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c ＝b ，所以2b 2＝4，即b 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.6分(2)法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，10分所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，又2m 2－2k 2＝1，所以x 1＋x 2＝－2k m ， 所以x 0＝－k m ，y 0＝m －k ·k m ＝12m， 则k 1·k 2＝12m－k m ＋1·12m－k m－1＝14k －4m ＝1－m －2k＝－12.16分法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y222＝1，两式作差，得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0， 10分又x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0， ∴x 0x 1－x 22＋y 0(y 1－y 2)＝0，∴x 02＋y 0y 1－y 2x 1－x 2＝0，又P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在直线y ＝kx ＋m 上， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝k ， ∴x 0＋2ky 0＝0，①又T (x 0，y 0)在直线y ＝kx ＋m 上，∴y 0＝kx 0＋m ，②由①②可得x 0＝－2km 1＋2k 2，y 0＝m1＋2k 2.16分以下同方法一．19．(本小题满分16分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为12，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(0,2)的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，求OA →·OB →的取值范围.【导学号：56394079】[解] (1)由题意得c a ＝12，且a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4分 (2)①当k 不存在时，A (0，－3)，B (0，3)， 6分∴OA →·OB →＝(0，－3)·(0，3)＝－3；②当k 存在时，设直线方程为y ＝kx ＋2，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝－16k 3＋4k 2，x 1x 2＝43＋4k 2，(i)10分又OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝1＋13＋4k 2－32k 2＋24－243＋4k 2＋4 ＝－3＋253＋4k2，(ⅱ)Δ＝256k 2－16(4k 2＋3)>0，从而k 2>14，(ⅲ)14分(ⅲ)代入(ⅱ)中OA →·OB →≤－3＋253＋1＝134，∴OA →·OB →∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，134.16分20．(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知平面直角坐标系xOy 内两个定点A (1,0)、B (4,0)，满足PB ＝2PA 的点P (x ，y )形成的曲线记为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)过点B 的直线l 与曲线Γ相交于C 、D 两点，当△COD 的面积最大时，求直线l 的方程(O 为坐标原点)；(3)设曲线Γ分别交x 、y 轴的正半轴于M 、N 两点，点Q 是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点，连接QN 交x 轴于点E 、连接QM 交y 轴于F .求证：四边形MNEF 的面积为定值．[解] (1)由题设知2x －2＋y 2＝x －2＋y 2，两边化简得x 2＋y 2＝4， ∴点P 的轨迹Γ的方程为x 2＋y 2＝4. 3分(2)由题意知OS ＝SD 2－OD 2＝3的斜率一定存在，设l ：y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0，∵原点到直线l 的距离d ＝|4k |1＋k 2，CD ＝24－d 2， ∴S △COD ＝12CD ·d ＝d 2－d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫d 2＋－d 222＝2. 6分 当且仅当d 2＝2时，取得“＝”，d 2＝2＜r 2＝4，∴当d 2＝2时，此时，16k 2k 2＋1＝2⇒k 2＝17⇒k ＝±77. ∴直线l 的方程为y ＝±77(x －4)． (3)设S MNEF ＝S △MNE ＋S △MEF ＝12ME ·NF ， 设Q (x 0，y 0)，E (e,0)，F (0，f )(其中x 0＜0，y 0＜0，x 20＋y 20＝4)，8分 则QM ：y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得f ＝－2y 0x 0－2， ∴NF ＝2－－2y 0x 0－2＝x 0＋y 0－4x 0－2. QN ：y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0得e ＝2x 02－y 0， 12分 ∴ME ＝2－2x 02－y 0＝4－x 0＋y 02－y 0. ∴S MNEF ＝12ME ·NF ＝12·x 0＋y 0－4x 0－2·x 0＋y 0－4y 0－2＝2·x 0＋y 0－2x 0－y 0－＝2·x 0＋y 0－2x 0－y 0－＝2·8－x 0＋y 0＋2x 0y 04－x 0＋y 0＋x 0y 0＝4(定值). 16分。
(江苏专版)2018年高考数学二轮复习6个解答题专项强化练(三)解析几何
6个解答题专项强化练(三) 解析几何1．已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0.(1)若a ＝－8，过点P (4,5)作圆M 的切线，求该切线方程；(2)若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA ―→·OB ―→＝－6(其中O 为坐标原点)，求圆M 的半径．解：(1)若a ＝－8，则圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，圆心M (1，0)，半径为3. 若切线斜率不存在，圆心M 到直线x ＝4的距离为3，所以直线x ＝4为圆M 的一条切线； 若切线斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －4)，即kx －y －4k ＋5＝0，则圆心到直线的距离为|k －4k ＋5|k 2＋1＝3，解得k ＝815，即切线方程为8x －15y ＋43＝0.所以切线方程为x ＝4或8x －15y ＋43＝0.(2)圆M 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1－a ，圆心M (1，0)，则OM ＝1，半径r ＝1－a (a <1)． 因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA ―→＝－MB ―→，且|MA ―→|＝|MB ―→|＝r ，则OA ―→·OB ―→＝(OM ―→＋MA ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝(OM ―→－MB ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝OM ―→2－MB ―→2＝1－r 2，又因为OA ―→·OB ―→＝－6，解得r ＝7，所以圆M 的半径为7.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1，0)，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA ＝DB ，求AB DF的值．解：(1)法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.法二：由题意，知2a ＝＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4，所以a ＝2. 又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)． ①当k ＝0时，AB ＝2a ＝4，FD ＝FO ＝1，所以AB DF＝4；②当k ≠0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，把直线AB 的方程代入椭圆方程，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以x 0＝－4k23＋4k 2，所以y 0＝k (x 0＋1)＝3k3＋4k2， 所以AB 的垂直平分线方程为y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2. 因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 23＋4k 2，0，所以DF ＝－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k23＋4k 2.又因为AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝12＋12k23＋4k2，所以AB DF＝4.综上，得AB DF的值为4.法二：①若直线AB 与x 轴重合，则AB DF＝4； ②若直线AB 不与x 轴重合，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，所以x 1－x 2x 04＋y 1－y 2y 03＝0，所以直线AB 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 04y 0，所以直线AB 的垂直平分线方程为y －y 0＝4y 03x 0(x －x 0)．因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 04，0，所以DF ＝x 04＋1.因为椭圆的左准线的方程为x ＝－4，离心率为12，由AFx 1＋4＝12，得AF ＝12(x 1＋4)， 同理BF ＝12(x 2＋4)．所以AB ＝AF ＋BF ＝12(x 1＋x 2)＋4＝x 0＋4，所以AB DF＝4. 综上，得AB DF的值为4.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM ―→·AB ―→＝－32b 2.(1)求椭圆的离心率；(2)若a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC .记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．解：(1)由题意，A (a,0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2. 所以OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，AB ―→＝(－a ，b )．因为OM ―→·AB ―→＝－32b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2， 整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b .因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c . 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ，D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2. 直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，所以k 1k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12m －x 1－12mx 2＋m m －x 1－x 2＝14x 1x 2－12m x 1＋x 2＋12x 1＋m m －x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12m －x 2＋m m －x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1k 2为定值14.法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.设C (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －x 0＋y 0，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0或x ＝2y 0. 所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 0，12x 0.所以k 1k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1k 2为定值14.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1,0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→.求证：λ＋μ为定值；②若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．解：(1)由题设知c ＝1，－a 2c＝－2，解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)①证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线l 的方程代入椭圆的方程得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2.由PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k 2＝－－4－1＝－4(定值)．②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22， 当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，∴x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k2，故△AOB 的面积S ＝OA ·OB2＝k 2＋2k 2＋k 2＋.令t ＝k 2＋1∈(1，＋∞)， 故S ＝t 2t －t ＋＝12＋1t －1t2. 再令u ＝1t∈(0,1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫u －122＋94∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 2＝4，b 2＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，所以F 的坐标为(1,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋1， 代入椭圆方程，消去x ，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0， 则y 1＝－3m ＋61＋m 24＋3m 2，y 2＝－3m －61＋m 24＋3m 2. 若QF ＝2FP ，则－y 2＝2y 1，即y 2＋2y 1＝0， 所以－3m －61＋m 24＋3m 2＋2×－3m ＋61＋m24＋3m 2＝0， 解得m ＝255，故直线l 的方程为5x －2y －5＝0.(2)由(1)知，y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，所以my 1y 2＝－9m 4＋3m 2＝32(y 1＋y 2),所以k 1k 2＝y 1x 1＋2·x 2－2y 2＝y 1my 2－y 2my 1＋＝32y 1＋y 2－y 132y 1＋y 2＋3y 2＝13， 故存在常数λ＝13，使得k 1＝13k 2.6.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝12，左准线方程为x ＝－8.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，I 1，I 2分别为△F 1AF 2，△F 1BF 2的内心. ①求四边形F 1I 1F 2I 2与△AF 2B 的面积比；②是否存在定点C ，使CA ―→·CB ―→为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c ＝8，解得a ＝4，c ＝2，故b ＝23，所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)①设△F 1AF 2的内切圆半径为r ，则S △F 1I 1F 2＝12·F 1F 2·r ＝12·2c ·r ＝2r ，S △F 1AF 2＝12·(AF 1＋AF 2＋F 1F 2)·r ＝12·(2a ＋2c )·r ＝6r ，∴S △F 1I 1F 2∶S △F 1AF 2＝1∶3， 同理S △F 1I 2F 2∶S △F 1BF 2＝1∶3， ∴S 四边形F 1I 1F 2I 2∶S △AF 2B ＝1∶3.②假设存在定点C (s ，t )，使得CA ―→·CB ―→为常数．若直线AB 存在斜率，设AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，由此得x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，∴CA ―→·CB ―→＝(x 1－s ，y 1－t )·(x 2－s ，y 2－t ) ＝(x 1－s )(x 2－s )＋(y 1－t )(y 2－t )＝(x 1－s )(x 2－s )＋[k (x 1＋2)－t ][k (x 2＋2)－t ] ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k 2－tk －s )(x 1＋x 2)＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝1＋k216k 2－483＋4k 2＋2k 2－tk －s －16k23＋4k2＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝－12tk －12s －333＋4k＋s 2＋t 2＋4s －5. ∵与k 无关，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12t ＝0，－12s －33＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0，此时CA ―→·CB ―→＝－13516；若直线AB 不存在斜率，则A 与B 的坐标为(－2，±3)，CA ―→·CB ―→＝(s ＋2，t －3)·(s ＋2，t ＋3)＝(s ＋2)2＋t 2－9，将⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0代入，此时CA ―→·CB ―→＝－13516也成立．综上所述，存在定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－114，0，使得CA ―→·CB ―→为常数．。
2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题四 立体几何 精品
考点整合
1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直 平行六面体、长方体之间的关系.
2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch(c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12ch′(c 为底面周长，h′为斜高)； ③S 台侧＝12(c＋c′)h′(c′，c 分别为上下底面的周长，h′为斜高)； ④S 球表＝4πR2(R 为球的半径).
(2)(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线， 有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的 角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)
法二 在线段 CD 上存在点 N，且当 N 为 CD 的中点时，D1N∥平面 A1BC， 证明如下： 取 C1D1 的中点 M，连接 AN、A1M、D1N、MC， 因为四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AB∥CD，AB ＝1，CD＝2，所以 A1B1∥C1D1，A1B1＝1，C1D1 ＝2，所以 A1B1∥MC1 且 A1B1＝MC1，所以四边 形 A1B1C1M 为平行四边形，
(2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)； ③V 球＝43πR3.
3.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α， b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
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6个解答题专项强化练(三) 解析几何1．已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0.(1)若a ＝－8，过点P (4,5)作圆M 的切线，求该切线方程；(2)若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA ―→·OB ―→＝－6(其中O 为坐标原点)，求圆M 的半径．解：(1)若a ＝－8，则圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，圆心M (1，0)，半径为3. 若切线斜率不存在，圆心M 到直线x ＝4的距离为3，所以直线x ＝4为圆M 的一条切线；若切线斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －4)，即kx －y －4k ＋5＝0，则圆心到直线的距离为|k －4k ＋5|k 2＋1＝3，解得k ＝815，即切线方程为8x －15y ＋43＝0. 所以切线方程为x ＝4或8x －15y ＋43＝0.(2)圆M 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1－a ，圆心M (1，0)，则OM ＝1，半径r ＝1－a (a <1)． 因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA ―→＝－MB ―→，且|MA ―→|＝|MB ―→|＝r ，则OA ―→·OB ―→＝(OM ―→＋MA ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝(OM ―→－MB ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝OM ―→2－MB ―→2＝1－r 2，又因为OA ―→·OB ―→＝－6，解得r ＝7，所以圆M 的半径为7. 2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1，0)，且经过点⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA ＝DB ，求ABDF 的值．解：(1)法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.法二：由题意，知2a ＝(1＋1)2＋⎝⎛⎭⎫322＋(1－1)2＋⎝⎛⎭⎫322＝4，所以a ＝2.又c ＝1，a2＝b 2＋c 2，所以b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)．①当k ＝0时，AB ＝2a ＝4，FD ＝FO ＝1，所以ABDF ＝4；②当k ≠0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，把直线AB 的方程代入椭圆方程，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以x 0＝－4k 23＋4k 2，所以y 0＝k (x 0＋1)＝3k3＋4k 2， 所以AB 的垂直平分线方程为y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋4k 23＋4k 2.因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝⎛⎭⎫－k23＋4k 2，0，所以DF ＝－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k 23＋4k 2.又因为AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12＋12k 23＋4k 2，所以ABDF＝4. 综上，得ABDF 的值为4.法二：①若直线AB 与x 轴重合，则ABDF ＝4；②若直线AB 不与x 轴重合，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，两式相减得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，所以(x 1－x 2)·x 04＋(y 1－y 2)·y 03＝0，所以直线AB 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 04y 0，所以直线AB 的垂直平分线方程为y －y 0＝4y 03x 0(x －x 0)．因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝⎛⎭⎫x 04，0，所以DF ＝x 04＋1. 因为椭圆的左准线的方程为x ＝－4，离心率为12，由AF x 1＋4＝12，得AF ＝12(x 1＋4)，同理BF ＝12(x 2＋4)．所以AB ＝AF ＋BF ＝12(x 1＋x 2)＋4＝x 0＋4，所以ABDF ＝4. 综上，得ABDF 的值为4.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM ―→·AB ―→＝－32b 2.(1)求椭圆的离心率；(2)若a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC .记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．解：(1)由题意，A (a,0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2. 所以OM ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，AB ―→＝(－a ，b )． 因为OM ―→·AB ―→＝－32b 2，所以⎝⎛⎭⎫a 2，b 2·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2， 整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b .因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c . 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32.(2)证明：法一：由a ＝2得b ＝1， 故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ，D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立方程⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2. 直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，所以k 1k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1k 2为定值14.法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.设C (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1. 因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0.联立方程⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0或x ＝2y 0.所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫2y 0，12x 0. 所以k 1k 2＝12x02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1k 2为定值14.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1,0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→.求证：λ＋μ为定值；②若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围． 解：(1)由题设知c ＝1，－a 2c ＝－2，解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)①证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线l 的方程代入椭圆的方程得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.由PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k 2＝－－4－1＝－4(定值)．②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22， 当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1k x ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，∴x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1， 同理x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k 2， 故△AOB 的面积S ＝OA ·OB 2＝(k 2＋1)2(2k 2＋1)(k 2＋2).令t ＝k 2＋1∈(1，＋∞)， 故S ＝t 2(2t －1)(t ＋1)＝12＋1t －1t2. 再令u ＝1t ∈(0,1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫u －122＋94∈⎣⎡⎭⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎡⎦⎤23，22.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 2＝4，b 2＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，所以F 的坐标为(1,0)， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋1， 代入椭圆方程，消去x ，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0， 则y 1＝－3m ＋61＋m 24＋3m 2，y 2＝－3m －61＋m 24＋3m 2.若QF ＝2FP ，则－y 2＝2y 1，即y 2＋2y 1＝0， 所以－3m －61＋m 24＋3m 2＋2×－3m ＋61＋m 24＋3m 2＝0，解得m ＝255，故直线l 的方程为5x －2y －5＝0. (2)由(1)知，y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2， 所以my 1y 2＝－9m 4＋3m 2＝32(y 1＋y 2),所以k 1k 2＝y 1x 1＋2·x 2－2y 2＝y 1(my 2－1)y 2(my 1＋3)＝32(y 1＋y 2)－y 132(y 1＋y 2)＋3y 2＝13， 故存在常数λ＝13，使得k 1＝13k 2.6.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝12，左准线方程为x ＝－8.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，I 1，I 2分别为△F 1AF 2，△F 1BF 2的内心. ①求四边形F 1I 1F 2I 2与△AF 2B 的面积比；②是否存在定点C ，使CA ―→·CB ―→为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意⎩⎨⎧c a ＝12，a2c ＝8，解得a ＝4，c ＝2，故b ＝23，所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)①设△F 1AF 2的内切圆半径为r ， 则S △F 1I 1F 2＝12·F 1F 2·r ＝12·2c ·r ＝2r ，S △F 1AF 2＝12·(AF 1＋AF 2＋F 1F 2)·r ＝12·(2a ＋2c )·r ＝6r ，∴S △F 1I 1F 2∶S △F 1AF 2＝1∶3， 同理S △F 1I 2F 2∶S △F 1BF 2＝1∶3， ∴S 四边形F 1I 1F 2I 2∶S △AF 2B ＝1∶3.②假设存在定点C (s ，t )，使得CA ―→·CB ―→为常数．若直线AB 存在斜率，设AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 216＋y212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0， 由此得x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，∴CA ―→·CB ―→＝(x 1－s ，y 1－t )·(x 2－s ，y 2－t)＝(x 1－s )(x 2－s )＋(y 1－t )(y 2－t )＝(x 1－s )(x 2－s )＋[k (x 1＋2)－t ][k (x 2＋2)－t ]＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k 2－tk －s )(x 1＋x 2)＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝(1＋k 2)(16k 2－48)3＋4k 2＋(2k 2－tk －s )(－16k 2)3＋4k 2＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝－12tk －12s －333＋4k 2＋s 2＋t 2＋4s －5.∵与k 无关，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12t ＝0，－12s －33＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0，此时CA ―→·CB ―→＝－13516；若直线AB 不存在斜率，则A 与B 的坐标为(－2，±3)，CA ―→·CB ―→＝(s ＋2，t －3)·(s ＋2，t ＋3)＝(s ＋2)2＋t 2－9，将⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0代入，此时CA ―→·CB ―→＝－13516也成立．综上所述，存在定点C ⎝⎛⎭⎫－114，0，使得CA ―→·CB ―→为常数．。