中考数学二次函数-经典压轴题及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113

+113

+

3）点Q的坐

标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；

（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1

2

CD＝CE．利

用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；

（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛

物线的解析式联立，得出方程组

223

33

y x x

y x

?=--

?

=-+

?

，求解即可得出点Q的坐标．

【详解】

（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），

∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），

∵x 12+x 22﹣x 1x 2＝13， ∴（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2＝13， ∴m 2+3（m +1）＝13， 即m 2+3m ﹣10＝0， 解得m 1＝2，m 2＝﹣5． ∵OA ＜OB ，

∴抛物线的对称轴在y 轴右侧， ∴m ＝2，

∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3； （2）连接BE 、OE ．

∵在Rt △BCD 中，∠CBD ＝90°，EC ＝ED ， ∴BE ＝

1

2

CD ＝CE ． 令y ＝x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴A （﹣1，0），B （3，0）， ∵C （0，﹣3）， ∴OB ＝OC ，

又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ， ∴△OBE ≌△OCE （SSS ）， ∴∠BOE ＝∠COE ，

∴点E 在第四象限的角平分线上，

设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3， 得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝113

2

±， ∵点E 在第四象限， ∴E 113+113

+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．

∵S △ACQ ＝2S △AOC ， ∴S △ACF ＝2S △AOC ， ∴AF ＝2OA ＝2， ∴F （1，0）．

∵A （﹣1，0），C （0，﹣3）， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x ﹣3． ∵AC ∥FQ ，

∴设直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +b ， 将F （1，0）代入，得0＝﹣3+b ，解得b ＝3， ∴直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +3．

联立22333y x x y x ?=--?=-+?

，

解得11

312x y =-??=?，2223x y =??=-?，

∴点Q 的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）． 【点睛】

本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．

2．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；

（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；

②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2

y x 2x 3=--+.

（2）3210+. （3）①2S m 4m 3=---.

②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】

（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.

（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.

（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】

解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.

又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称， ∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.

∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.

∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10. ∴△PBC 的周长最小是：3210.

（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0）， ∴直线AD 的解析式为y=2x+6

∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()2

2

EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.

∴

()

22DEF AEF 1111

S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 3

2222

??=+=??+??=??=?---?=---.

∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()2

2S m 4m 3m 21=---=-++，

∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.

3．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．

①求线段PM 的最大值；

②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．

【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=9

4

；②P （2，﹣3）或（22﹣2）． 【解析】 【分析】

（1）根据待定系数法，可得答案；

（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】

（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，

得09303a b c a b c c -+=??++=??=-?

，解得123a b c =??

=-??=-?，

这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得

303k b b +=??=-?，解得1

3k b =??

=-?

， BC 的解析式为y=x ﹣3，

设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+9

4

， 当n=

32时，PM 最大=9

4

； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；

当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，

解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2

（不符合题意，舍），n 3

， n 2﹣2n ﹣

， P （

，

综上所述：P （2，﹣3）或（

，2﹣

）． 【点睛】

本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.

4．如图，抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点． (1)求点A 、B 、C 的坐标；

(2)点M(m ，0)为线段AB 上一点(点M 不与点A 、B 重合)，过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，可得矩形PQNM ．如图，点P 在点Q 左边，试用含m 的式子表示矩形PQNM 的周长；

(3)当矩形PQNM 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的△AEM 的面积； (4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G(点G 在点F 的上方)．若FG ＝

，求点F 的坐标．

【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周长＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝

﹣2；S＝1

2

；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)．

【解析】

【分析】

（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；

（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；

（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；

（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ＝DC＝2，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．

【详解】

(1)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)．

令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，

解得，x＝﹣3或x＝l，

∴A(﹣3，0)，B(1，0)．

(2)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．

∵M(m，0)，

∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周长＝2(PM+MN)＝(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2＝﹣2m2﹣8m+2．

(3)∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2(m+2)2+10，

∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．

∵A(﹣3，0)，C(0，3)，

设直线AC的解析式y＝kx+b，

∴

30

3

k b

b

-+=?

?

=

?

解得k＝l，b＝3，∴解析式y＝x+3，令x＝﹣2，则y＝1，∴E(﹣2，1)，

∴EM＝1，AM＝1，

∴S ＝

12AM×EM ＝12

． (4)∵M(﹣2，0)，抛物线的对称轴为x ＝﹣l ， ∴N 应与原点重合，Q 点与C 点重合， ∴DQ ＝DC ，

把x ＝﹣1代入y ＝﹣x 2﹣2x+3，解得y ＝4， ∴D(﹣1，4)， ∴DQ ＝DC ＝2． ∵FG ＝22DQ ， ∴FG ＝4．

设F(n ，﹣n 2﹣2n+3)，则G(n ，n+3)， ∵点G 在点F 的上方且FG ＝4， ∴(n+3)﹣(﹣n 2﹣2n+3)＝4． 解得n ＝﹣4或n ＝1， ∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)． 【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m 表示出矩形PMNQ 的周长．

5．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A 点的直线y=﹣

1

2

x ﹣1交于点C ． （1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=211

184

x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣

1

2

）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1）

【解析】

分析：（1）由待定系数法求解即可；

（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；

（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．

详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得

0421

01641a b a b --??

+-?＝＝

解得18

14a b ????

?-??

＝＝ ∴抛物线解析式为：y=

18x 2?1

4

x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=-1

41228

b

a -

=-?

＝1 （2）存在

使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小

∴取点C （0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O 与直线x=1的交点即为P 点．

设过点C′、O 直线解析式为：y=kx

∴k=-12 ∴y=-12

x

则P 点坐标为（1，-

12

） （3）当△AOC ∽△MNC 时，

如图，延长MN 交y 轴于点D ，过点N 作NE ⊥y 轴于点E

∵∠ACO=∠NCD ，∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似，∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN ⊥AC

∴M 、D 关于AN 对称，则N 为DM 中点 设点N 坐标为（a ，-1

2

a-1） 由△EDN ∽△OAC ∴ED=2a

∴点D 坐标为（0，-5

2

a?1） ∵N 为DM 中点 ∴点M 坐标为（2a ，3

2

a?1） 把M 代入y=18x 2?1

4

x?1，解得 a=4

则N 点坐标为（4，-3）

当△AOC ∽△CNM 时，∠CAO=∠NCM

∴CM ∥AB 则点C 关于直线x=1的对称点C′即为点N 由（2）N （2，-1）

∴N 点坐标为（4，-3）或（2，-1）

点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．

6．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。

（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标；

（Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式； （Ⅲ）若11,

0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值。

【答案】（Ⅰ）()0,3A ，(1,4)E ；（Ⅱ）2

1

4

y x x =-++；（Ⅲ）3b = 【解析】 【分析】

（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b 、c 的值，确定解析式，从而求出抛物线与y 轴交于点A 的坐标，运用配方求出顶点E 的坐标即可；

（Ⅱ）先运用配方求出顶点E 的坐标，再根据顶点E 在直线y x =上得出吧b 与c 的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A 位置最高，从而确定抛物线的解析式； （Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E 的坐标得出E 点关于x 轴的对称点E '的坐标，然后根据A 、P 两点坐标求出直线AP 的解析式，再根据点在直线AP 上，此时PA PE +值最小，从而求出b 的值. 【详解】

解：（Ⅰ）把点(-1,0)和(3,0)代入函数2

y x bx c =-++，

有10930b c b c --+=??-++=?

。解得2,3b c ==

2223(1)4y x x x ∴=-++=--+ (0,3),(1,4)A E ∴

（Ⅱ）由222424b c b y x bx c x +??=-++=--+ ???，得24,2

4b c b E ??+ ???

∵点E 在直线y x =上，2

424b c b +∴=

221111

(1)4244c b b b ∴=-+=--+

2110,(1)44A b ?

?∴--+ ??

?

当1b =时，点A 是最高点此时，2

1

4

y x x =-++

（Ⅲ）：抛物线经过点(1,0)-，有10b c --+=

1c b ∴=+

24,,(0,)2

4b c b E A c ??+ ???

2(2),,(0,1)2

4b b E A b ??

+∴+ ???

∴E 关于x 轴的对称点E '为2

(2)

,24b b ??+- ???

设过点A ，P 的直线为y kx t =+.把(0,1),(1,0)A b P +代入y kx t =+，得

(1)(1)y b x =-+-

把点2(2),24b b E '

??

+- ???

代入(1)(1)y b x =-+-.

得

2(2)(1)142b b b +??

=-+- ???

，即2680b b --=

解得，3b =

0,3b b >∴=.

3b ∴=+【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．

7．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．

（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．

【答案】（1）10500(3038)y x x =-+；（2）2a =． 【解析】 【分析】

（1）根据题意列函数关系式即可；

（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-20-a ）（-10x+500）=-10x 2+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+1

2

a ，且0＜a ≤6，则30＜35+

12a ≤38，则当1

352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=2，a 2=58，于是得到a=2． 【详解】

解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．

()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--

对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+1

2

a ≤38， 则当1

352

x a =+时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ?????

?+

---++= ? ????

?????

∴122,58a a ==（不合题意舍去），

∴2a =． 【点睛】

本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．

8．抛物线L ：y=﹣x 2+bx+c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B ． （1）直接写出抛物线L 的解析式；

（2）如图1，过定点的直线y=kx ﹣k+4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；

（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．

【答案】（1）y=﹣x 2+2x+1；（2）-3；（3）当2﹣1时，点P 的坐标为（02）和（022

）；当m=2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）． 【解析】

【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A （0，1）利用待定系数法进行求解可即得；

（2）根据直线y=kx ﹣k+4=k （x ﹣1）+4知直线所过定点G 坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S △BMN =S △BNG ﹣S △BMG =

12BG?x N ﹣1

2

BG?x M =1得出x N ﹣x M =1，联立直线和抛物线

解析式求得x=

2

28

k k -±-，根据x N ﹣x M =1列出关于k 的方程，解之可得；

（3）设抛物线L 1的解析式为y=﹣x 2+2x+1+m ，知C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0），再设P （0，t ），分△PCD ∽△POF 和△PCD ∽△POF 两种情况，由对应边成比例得出关于t 与m 的方程，利用符合条件的点P 恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．

【详解】（1）由题意知()1

211

b c ?-=??-??=?

，解得：21b c =??

=?， ∴抛物线L 的解析式为y=﹣x 2+2x+1；

（2）如图1，设M 点的横坐标为x M ，N 点的横坐标为x N ，

∵y=kx ﹣k+4=k （x ﹣1）+4，

∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G 坐标为（1，4）， ∵y=﹣x 2+2x+1=﹣（x ﹣1）2+2， ∴点B （1，2）， 则BG=2，

∵S △BMN =1，即S △BNG ﹣S △BMG =12BG?（x N ﹣1）-1

2

BG?（x M -1）=1， ∴x N ﹣x M =1，

由2

4

21

y kx k y x x =-+??=--+?得：x 2+（k ﹣2）x ﹣k+3=0， 解得：()

()2

2243k k k -±---=2282

k k -±-，

则x N 228k k -+-、x M 2

28k k ---

由x N ﹣x M =128k -， ∴k=±3， ∵k ＜0，

∴k=﹣3； （3）如图2，

设抛物线L 1的解析式为y=﹣x 2+2x+1+m ， ∴C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0）， 设P （0，t ），

（a ）当△PCD ∽△FOP 时，PC FO

CD OP

=， ∴

11

2m t t

+-=， ∴t 2﹣（1+m ）t+2=0①； (b)当△PCD ∽△POF 时，PC PO

CD OF

=， ∴

121m t t

+-=， ∴t=

1

3

（m+1）②； （Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时， △=（1+m ）2﹣8=0，

解得：21（负值舍去）， 此时方程①有两个相等实数根t 1=t 22， 方程②有一个实数根t=22

3

， ∴2﹣1，

此时点P 的坐标为（02）和（0，

22

3

）； （Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，

把②代入①，得：

19（m+1）2﹣1

3

（m+1）+2=0， 解得：m=2（负值舍去），

此时，方程①有两个不相等的实数根t 1=1、t 2=2，

方程②有一个实数根t=1，

∴m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；

综上，当m=22﹣1时，点P的坐标为（0，2）和（0，22

3

）；

当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．

【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN的面积求得点N与点M的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．

9．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．

①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存

在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为

2

8

，此时点P的坐

标为（3

2

，

15

4

）．

【解析】

【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；

（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；

②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．

【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

得

10

930

b c

b c

-++=

?

?

-++=

?

，解得：

2

3

b

c

=

?

?

=

?

，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），

∴点M的坐标为（1，6）；

当t≠2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，

∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，

∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，

又∵t≠2，

∴不存在；

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．

设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），

将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

得

30

3

m n

n

+=

?

?

=

?

，解得：

1

3

m

n

=-

?

?

=

?

，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），

∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∴S=1

2

PF?OB=﹣

3

2

t2+

9

2

t=﹣

3

2

（t﹣

3

2

）2+

27

8

；

②∵﹣3

2

＜0，

∴当t=3

2时，S取最大值，最大值为

27

8

．

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），

∴线段BC=2232

OB

OC +

=，

∴P点到直线BC的距离的最大值为27

292

8

32

?

=，

此时点P的坐标为（3

2

，

15

4

）．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．

10．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）判断△ABM的形状，并说明理由；

（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由见解析；（3）

当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．

【解析】

试题分析：（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，

进而得到△ABM是直角三角形；

（3）根据抛物线的平以后的顶点设其解析式为，

∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴，

方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可

试题解析：解：（1）∵点A是直线与轴的交点，∴A点为（-1，0）

∵点B在直线上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）

∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：

∴，解得：

∴抛物线的解析式为．

（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：

作BC⊥轴于点C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；

点M是抛物线的顶点，∴M点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，

∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；

∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．

（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为．

∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴

化简得：

∴＝＝

当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点

∴．

考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）