云南省昆明市2021届高三教学质量检查第二次统考理数试题
云南省昆明市2021届新高考二诊数学试题含解析
云南省昆明市2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，求()f x '，利用导数判断函数为单调递增，从而可得2ln(1)2xx x +>-，设()()ln 1g x x x =+-，利用导数证出()g x 为单调递减函数，从而证出0,ln(1)x x x ∀>+<，即可得到答案. 【详解】0x >时，22x x x >-令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，求导21()111x f x x x x '=-+=++ 0x ∀>，()0f x '>，故()f x 单调递增：()(0)0f x f >=∴2ln(1)2x x x +>-，当0x >，设()()ln 1g x x x =+-，()11011x g x x x-'∴=-=<++ ， 又()00g =Q ，()()ln 10g x x x ∴=+-<，即0,ln(1)x x x ∀>+<，故2ln(1)2x x x x >+>-. 故选：D 【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.2．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断. 【详解】由于0.2110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120.2-==， 1133log 2log 10<=故b a c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.3．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ） A ．5ln 2+ B ．5ln 2- C ．3ln 2+ D ．3ln 2-【答案】A 【解析】 【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值． 【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．4．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C 【解析】 【分析】把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可． 【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，，∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．5．已知向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，，则向量OA u u u r 在向量OB uuu r 上的投影是（ ）A． B．C ．25-D ．25【答案】A 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算求解OB uuu v ，再利用向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影公式即得解 【详解】由于向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v， 故()21OB =u u u v，向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影是OA OB OB⋅==u u u v u u u vu u u v . 故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.6．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）A ．54B ．58C ．516D ．532【答案】C 【解析】 【分析】 根据551[(21)1]32x x =-+，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】 因为551[(21)1]32x x =-+，所以二项式5[(21)1]x -+的展开式的通项公式为：55155(21)1(21)r r r r r r T C x C x --+=⋅-⋅=⋅-，令3r =，所以2235(21)T C x =⋅-，因此有32255111545323232216C C a ⨯=⋅=⋅=⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力7．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ）A ．±1B ．)1±C ．)1±D ．【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，22a PN c =，12abF N c=，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==，故24PF a =，在1Rt MOF ∆中，1sin a MFO c ∠=，故1cos b MFO c ∠=，故22a PN c=，12ab F N c =， 根据勾股定理：242242162a ab a c c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得31b a =+. 故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 8．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS ，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+，所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则A B I元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项. 【详解】由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B 表示函数2xy =的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点B ，所以两个集合有两个公共元素，所以A B I 元素个数为2， 故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题. 10．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）AB．2C ．52D ．54【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解. 【详解】由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z43(43)(1)1717,12222||2i i i i z i i z ----====-+∴==故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.11．若双曲线22214x y a -=）A．B．C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a=+=，∴22a =，∴c =故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积. 【详解】 由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形， 侧棱长为4，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为120o ，由正弦定理可得2324sin120AD ==o，解得2AD =， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心， 所以222222OA =+=该几何体外接球的表面积为：(24232S ππ=⋅=.故选：C 【点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届高三数学第二次模拟试题 理(含解析)
2021届高三数学第二次模拟试题 理（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ） A. 1 B. -1C. 3D. -3【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解.【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-， 由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题.2.若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =（ ）A. {0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {0,1,2,4}D. {1,2,4}【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合B ，再求并集即可.【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3.向量(2,)a t =，(1,3)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是（ ） A. 23t <B. 32>t C. 23t <且6t ≠- D. 6t <-【答案】C 【解析】 【分析】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解. 【详解】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，230a b t =-+<，得23t <. 向量()2,a t =，()1,3b =-共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b =-. 所以23t <且6t ≠-. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4.双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于（ ）25B.45C.2545【答案】A 【解析】 【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线2214x y -=的顶点为()2,0±.渐近线方程为：12y x =±.双曲线221 4xy-=的顶点到渐近线的距离等于255114=+.故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C．考点：排列数组合数公式及运用．6.已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A.5603B. 200C.5803D. 240【答案】B【解析】【分析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解.【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为()284202+⨯=，故体积为：2010200⨯=.故选B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题.7.下列函数中，最小正周期为π，且图象最新直线3x π=对称的函数是（ ）A. )32sin(2π+=x y B. )62sin(2π-=x yC. 2sin()23x y π=+D. 2sin(2)3y x π=-【答案】B 【解析】试题分析：首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期为4，故排除C ；将3x π=分别代入A ，B ，D ，得函数值分别为0,2,3，而函数()sin y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值，故选B ． 考点：三角函数的周期性、对称性．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A. 20i <，1S S i=-，i i 2= B. 20i ≤，1S S i=-，i i 2=C. 20i <，2SS =，1i i =+ D. 20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ， 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9.已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则tan 2α的值为（ ） A.45B. 237-C. 724-D. 249-【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-.34sin tan cos ααα==-.232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10.P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（ ） A.2513 B.35C.1225πD.35π【答案】B 【解析】 【分析】先求得M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【详解】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上， 即应有222(14)x y r r +=， 那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型的求解，涉及轨迹问题，是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=. 则4,42121-==+x x k x x ，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥ ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确.故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.12.已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式1221()()f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,]e -∞ B. (,)e -∞C. (,)2e-∞ D. (,]2e -∞ 【答案】D 【解析】 【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数a 的取值范围即可. 【详解】不等式()()12210f x f x x x -<即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立， 构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'20xg x e ax =-≥恒成立，即2xe a x≤恒成立，令()()02xe h x x x =>，则()()21'2x e x h x x-=， 当01x <<时，()()'0,h x h x <单调递减；当1x >时，()()'0,h x h x >单调递增；则()h x 的最小值为()11212e eh ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 32sin a c A =，7c =ABC ∆33，a b +的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由正弦定理边化角可得3π=C ，由面积公式和余弦定理列方程可得a b +.【详解】由32sin a c A=，结合正弦定理可得332sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=. 在锐角三角形ABC 中，可得3π=C .所以ABC ∆的面积1333sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.14.在三棱锥S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=︒，2=AC ，13=BC ，29SB =SC 与AB 所成角的余弦值为__________．17【解析】【详解】如图,取A 为原点、AB 和AS 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.则点()()130,17,0,0,0,23,2,,01717B S C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,故132,,231717SC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝,()0,17,0AB =.于是,所求夹角的余弦值为1717SC AB SC AB⋅=. 故答案为：1715.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为(n)f ，则()f n =__________．【答案】7,2n-1; 【解析】解：设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1；n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，h （3）=h （2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h（n-1）+1=2n -1， 故答案为：7；2n -1．16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是5)A ，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________．【答案】29π【解析】 【分析】3,1,5. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体3,1,53153++=，所以球半径为23，体积为34932r ππ=.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分） 17.设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =. （1）求证{3}n a -是等比数列，并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）113()3n n a -=+（2）313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据条件可得()11333n n a a +-=-，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵1123n n a a +=+，14a =， ∴()11333n n a a +-=-，故{}3n a -是首项为1，公比为13的等比数列， ∴1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故0111113...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131333112313nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-.【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题.18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N μσ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%； （i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） （ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y .（说明11()1()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6ϕ=，(0.6554)0.4ϕ=） 【答案】（1）103；（2）（i ）117;(ii) 58. 【解析】 【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令11030.725719.3x -=计算1x 的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ，根据题意，111103()110.419.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.619.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭.由()0.72570.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分.（ⅱ）因为24,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()442355i iiP Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4i =. 所以Y 的分布列为 Y 01234P 816252166252166259662516625所以()28455E Y =⨯=. 【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．19.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ； （2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】 【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点，∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ， 又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ， ∴()2,0,2PB t =-，()0,1,1MN =. ∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010， ∴由1010PB MN PB MN⋅=得2t =. 设(),,m x y z =为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-，()0,1,1MN =.由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()1,1,1m =-，3m =，∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角， 则3cos 3AP m AP mθ⋅==，∴sin θ=【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20.动点(,)M x y 2222(22)(22)6x y x y -+++=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知(22,0)D ，直线l ：22y kx k =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DB λ=且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）7k >7k <【解析】 【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解. 【详解】（1）解：M 点的轨迹是以()22,0，()22,0-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=.（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=得12y y λ=-……① 由12λ<<得0k ≠，由2y kx k =-得22y kx k+=代入2219x y +=整理()22219420k yky k ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立， 由根与系数的关系得1224219ky y k+=-+……③12219y y k =-+……④ 由①③得()142119k y k λλ=-+，()242119ky k λ=-+()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k 的取值范围是7k >7k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()ln()xf x e x m =-+，其中1m ≥.（1）设0x =是函数()f x 的极值点，讨论函数()f x 的单调性； （2）若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<， （i ）求参数m 的取值范围； （ii ）求证：2121ln(1)1x x ex x e ---+>-.【答案】（1）见解析；（2）（i ）e m >，（ii ）见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数导数，由()'0011f m=-=可得解，进而得单调区间； （2）（i ）分析函数导数可得函数单调性，结合,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，可得解；（ii ）先证当m e =时，若()ln()0xf x ex e =-+=，得存在3()(0)0f x f ==，进而证31x <-，再证e m >时，11x <-，可得211t x x =->，构造函数()ln(1)th t e t =-+，利用函数单调性即可证得.【详解】（1）()1'xf x e x m=-+，若0x =是函数()f x 的极值点，则()'0011f m=-=，得1m =，经检验满足题意， 此时()1'1xf x e x =-+，()'f x 为增函数， 所以当(1,0),'()0x f x ∈-<，()f x 单调递减； 当(0,),'()0x f x ∈+∞>，()f x 单调递增 （2）（i ）1m ≥， ()1'xf x e x m=-+， 记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x m =+>+，知()'f x 在区间(),m -+∞内单调递增. 又∵()1'010f m=->， ()1'101m f e m -=+-<-， ∴()'f x 在区间()1,0m -内存在唯一的零点0x ，即()0001'0x f x e x m =-=+，于是001x e x m=+， ()00ln x x m =-+.当0m x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减； 当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，易知,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，解得e m >. （ii ）当me =时有()ln()xf x ex e =-+，令()ln()0x f x e x e =-+=.由（i ）中的单调性知，存在3()(0)0f x f ==，当3(,0),()0x x f x ∈<. 111(1)ln(1)ln(1)ln1.7022ef e e e -=--<--<-=<，所以31x <-.下证当e m >时，11x <-.由()ln()ln()x xf x e x m e x e =-+<-+，所以33333()ln()ln()0x xf x e x m e x e =-+<-+=，由（i ）知，当12(,),()0x x x f x ∈<，得131x x <<-..所以211x x ->，令211t x x =-> 要证2121ln(1)1x x ex x e ---+>-，即证ln(1)1t e t e -+>-.令1()ln(1),'()1tth t e t h t e t =-+=-+单调递增，且1'(1)02h e =->， 所以'()0,()h t h t >单调递增，所以()(1)ln 21h t h e e >=->-.得证.【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围.【答案】（1）1C 的极坐标方程为θρcos 2=，2C 的极坐标力程为3cos sin ρθθ=+（2）3(1,1)OA OB-∈- 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可； （2）设3C 极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，分别与1C 和2C 的极坐标方程联立，可得2cos OA α=和3cos sin OB αα=+，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+.（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+，所以32cos cos sin OA OB ααα-=--2cos 4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB -∈-. 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲（1）已知+∈R c b a ,,，且1a b c ++=，证明9111≥++cb a ； （2）已知+∈Rc b a ,,，且1abc111a b c a b c≤++.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由111a b c a b c a b ca b c a b c++++++++=++展开利用基本不等式证明即可； （2）由11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭11112222ab ac bc ⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为精品 Word 可修改 欢迎下载 111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++111b c a c a b a a b b c c =++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++≥， 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立. （2）因为11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭11112222ab ac bc ⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， 又因为1abc ，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111c b a a b c ++≥. 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.。
云南省昆明市届高三第二次教学质量检测数学试题（理科）
云南省昆明市届高三第二次教学质量检测数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试用时120分钟。
注意事项： 1．答题前，考生务必用黑氏以碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．每小题选出答案后，用2B 氏风吹草动笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 答在试卷上的答案无效.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次重复试验中恰好发生k 334R V π=球第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合T S xxx T x x S ⋂<+-=>+=则},022|{},0)1(log |{2等于 （ ）A ．（0，2）B ．（－1，2）C ．（－1，+∞）D ．（2，+∞）2．若a bi a i i ,11+=+-、R b ∈，则ba的值是 （ ）A ．1B ．0C ．－1D ．－23．下列四个函数①3x y =；②x y 3sin =；③xx y 2+=；④2x x e e y --=中，奇函数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．等差数列}{n a 的公差为2，若a 1、a 3、a 4成等比数列，则a 2=（ ）A ．－6B ．－8C ．8D ．65．某校要从高一、高二、高三共年名学生中选取50名组成访问团，若采用下面的方法选取：先用分层抽样的方法从人中剔除7人，剩下的2000人再按简单随机抽样的方法进行，则每人入选的概率 （ ） A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等且为200750D ．都相等且为401 6．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题是 （ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α C ．若α∥β，α∩γ=m ，β∩γ= n ，则m ∥n D ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β 7．已知直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量AB 、OB 满足||||OB OA OB OA -=+，则实数a 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．6或－6D ．2或－28．将函数x x f 2sin )(=的图象按向量)0,4(π=n 平移得到)(x g 的图象，则函数)(x f 与)(x g 的图象（ ）A ．关于直线83π=x 对称 B ．关于直线43π=x 对称C ．关于直线4π=x 对称 D ．关于y 轴对称9．已知81010221010,)1()1()1()3(a x a x a x a a x 则+++++++=+ =（ ）A ．180B ．135C ．9D ．410．已知)(x f y =是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是)1(),(1+==-x f y x f y 且 的图象过A （－4，0），B （2，3）两点，若3|)1(|1≤+-x f ，则x 的取值范围是（ ） A ．[0，3] B ．[－4，2] C ．[1，3] D ．[－1，2]11．将5名同学分配到A 、B 、C 三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 宿舍，那么不同的分配方案有 （ ） A ．76 B ．100 C ．132 D ．150 12．已知F 1、F 2分别是双曲线)0(122>=-m my x 的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一||122PF PF 的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围为 （ ）A ．]2,1(B ．]3,0(C ．]3,1(D ．（1，+∞）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案直接填在答题卡上. 13．抛物线x y 42=上的点M 到焦点F 的距离为4，则点M 的横坐标是 . 14．若函数52(2)(|1|≤≤-=-x x f x ），则)(x f 的值域为 .15．若球O 的表面积为16π，边长为2的正三角形ABC 的三个顶点在球O 的表面上，则球心O到平面ABC 的距离为 . 16．已知函数2222,0)1(,0)0(,0),3(23)(b a a f f c b a a c bx ax x f ++≥≥=++≥++=则若的最小值为 .三、解答题：本大题有6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知△ABC 中，BC BA ⋅=1，若△ABC 的面积为S ，且2363≤≤S （I ）求角B 的取值范围； （II ）)4sin(12cos 2sin π+++B B B 求的取值范围.18．（本小题满分12分）已知矩形ABCD ，AD =2AB =2，点E 是AD 的中点，将△DEC 沿CE 折起到△D ′EC 的位置，使二面角D ′—EC —B 是直二面角.（I ）证明：BE ⊥C D ′（II ）求二面角D ′—C —E 的大小.19．（本小题满分12分） 如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到D ）. 在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.（I ）求点P 恰好返回到A 点的概率；（II ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的数学期望.20．（本小题满分12分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=（I ）若存在]1,0[0x 使不等式0)(0≤-m x f 能成立，求实数m 的最小值；（II ）关于x 的方程]2,0[)(2在a x x x f ++=上恰有两个相实根，求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分12分）C D A B已知F 1、F 2是椭圆12222=+by a x 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 22,1(-）在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足02=+M F PM ；⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，一直线l : y =kx +m 与⊙O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B .（I ）求椭圆的标准方程； （II ）当λ=⋅OB OA ，且满足4332≤≤λ时，求△AOB 面积S 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足).2(22,111≥-+==-n n a a a n n（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 中b 2=4，前n 项和为S n ，且*),()(4N n n a n n b n nS ∈+=-证明：.35)11(2321<+≤n b n b云南省昆明市届高三第二次教学质量检测数学试题（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．D 2．B 3．C 4．A 5．C 6．C 7．D 8．A 9．A 10．D 11．B 12．C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．3 14．[1，16] 15．362 16．24 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：（本小题满分12分） （I ）1=⋅BC BA1cos ||||=⋅⋅∴B BC AB …………………………………………①又S B BC AB =sin ||||21……………………………………② ∴由②①得tan B =2S又2363≤≤S),0(3tan 33π∈≤≤∴B B 且]3,6[ππ∈∴B ……………………………………………………6分（II ）B B B B B B B B B B cos 2222cos 2)cos (sin 22cos 2cos sin 2)4sin(12cos 2sin 2==++=+++π23cos 21]3,6[)(≤≤∴∈B B I ππ由]6,2[)4sin(12cos 2sin 的取值范围为π+++∴B B B ……………………………12分18．（本小题满分12分）解：（I ）∵AD =2AB =2，E 是AD 的中点， ∴△BAE ，△CDE 是等腰直角三角形，∠BEC =90°，即BE ⊥EC 又∵平面D ′EC ⊥平面BEC ，面D ′EC ∩面BEC =EC ∴BE ⊥面D ′EC ，∴BE ⊥CD ′……………………………………5分 （II ）法一：设M 是线段EC 的中点，过M 作MF ⊥BC垂足为F ，连接D ′M ，D ′F ，则D ′M ⊥EC . ∵平面D ′EC ⊥平面BEC ∴D ′M ⊥平面EBC∴MF 是D ′F 在平面BEC 上的射影，由三垂线定理得： D ′F ⊥BC∴∠D ′FM 是二面D ′—BC —E 的平面角. 在Rt △D ′MF 中，D ′M =21EC =22，MF =21AB =212arctan ,2tan ='∠∴='='∠FM D MFMD FM D ， ∴二面角D ′—BC —E 的大小为2arctan .…………………………………………12分法二：如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过E 垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系.则B （2，0，0），C （0，2，0），D ′（0，22，22）设平面BEC 的法向量为)1,0,0(1=n ；平面D ′BC 的法向量为),,(2222z y x n =33||||,cos ),1,1,1(1022220220),22,22,0(),0,2,2(21212122222222=⋅⋅>=<∴==⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⎪⎩⎪⎨⎧='⋅=⋅-='-=n n n n n n n x z y y x C D n BC n C D BC 得取∴二面角D ′—BC —E 的大小为.33arctan……………………12分 19．（本小题满分12分） 解：（I ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为31621==P因为只投掷一次不可能返回到A 点；若投掷两次点P 就恰好能返回到A 点，则上底面出现的两个数字应依次为： （1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为313)31(22=⋅=P 若投掷三次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字应依次为： （1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为913)31(33=⋅=P若投掷四次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1）其概率为811)31(44==P所以，点P 恰好返回到A 点的概率为81378119131432=++=++=P P P P ……7分 （II ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种， 因为，71)4(,73)3(,73)2(======ξξξP P P所以，E ξ=2·73+3·73+4·71=716………………………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（I ）依题意得m x f ≤min )(为增函数故时当的定义域为得令)(,0)(]1,0[},1|{)(0,20)(,12)1(2)(x f x f x x x x f y x x f xx x f >'∈∴->=-=='+-+='1,1,1)(min 的最小值为即m m x f ≥∴=∴………………………………6分（II ）依题意得，]2,0[)1ln(2)1(在a x x =+-+上恰有两个相异实根， 令11)()1ln(2)1()(+-='+-+=x x x g x x x g 得 ,0)(,11,0)(,1<'<<->'>∴x g x x g x 时当时当故)(x g 在[0，1]上是减函数，在]2,1(上是增函数，)2()1(),2()0(g a g g g ≤<∴>]9ln ,4(ln ,3ln 232ln 2232e e a a ∈-≤<-∴即………………………………12分21．（本小题满分12分） 解：（I ）02=+M F PM ∴点M 是线段PF 2的中点 ∴OM 是△PF 1F 2的中位线又OM ⊥F 1F 2 ∴PF 1⊥F 1F 21,1,21211122222222===⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=∴c b a cb a b ac 解得∴椭圆的标准方程为222y x +=1………………………………………………5分（II ）∵圆O 与直线l 相切111||222+==+k m k m 即0224)21(:1222222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kmx x k y m kx y y x 消去∵直线l 与椭圆交于两个不同点，002>⇒>∆∴k设),(),,(2211y x B y x A1214321132211211)())((2122,2142222221212222121221212221221≤≤∴≤++≤∴=++=⋅+⋅=⋅+-=+++⋅=++=⋅+-=⋅+-=+k k k kk y y x x OB OA k k m x x km x x k m kx m kx y y k m x x k km x x λ1||21⋅⋅==∆AB S S ABO 32)2(,46)43(,]2,43[]2,43[,142,243,1)(4)(221224)214(1214)(12124242422222212212==∈+=≤≤+=+++=+-⋅-+-⋅+⋅=⋅-+⋅+⋅=S S u S u u u S u k k u k k k k k m k km k x x x x k 单调递增在关于则设3246≤≤∴S ……………………………………………………………………12分22．（本小题满分14分） 解：（I ）解法一、)2(221≥-+=-n n a a n n ……………………① 121-+=+n a a n n ………………………………②②－①得12211+-=--+n n n n a a a a)1(2111+-=+-∴-+n n n n a a a a}1{1+-∴-n n a a 为公比为2，首项为2的等比数列. )2(,1211≥-=-∴--n a a n n n 递推叠加得)1(,2≥-=∴n n a n n ………………………………………………6分 解法二、)2(221≥-+=-n n a a n n ……………………① 设))1((21y n x a y xn a n n +-+=++-即x y xn a a n n 221-++=-与①式比较系数得：x =1，y =0)1(21-+=+∴-n a n a n n∴数列{n a n +}是以首项a 1+1，公比为2的等比数列，即n n n n a 2221=⨯=+-)1(,2≥-=∴n n a n n ………………………………………………6分 （II ）n n nn nb n S bn n S n a 24)(4=∴+=-- n n nb n S =-∴22……………………………………② 由②可得：11)1()1(22+++=+-∴n n b n n S ………………③ ③－②，得n n n nb b n b -+=-++11)1()1(2 即02)1(1=+--+n n nb b n ………………………………④ 又由④可得02)1(12=++-++n n b n nb ………………⑤ ⑤－④得0212=+-++n n n nb nb nb 即}{*)(0211212n n n n n n n n b N n b b b b b b b ∴∈-=-∴=+-+++++是等差数列.n b b b n 2,4,221=∴==n n n r r n n n n n b n nC n C n C n C C n b n )21()21()21(21)211()11(221021++++++=+=+12322101242121211)21()21()21(21),2,1(211222121!)1()1(2121)21(--++++<++++++∴==⨯⨯⨯⨯⋅<⋅+--⋅=⋅=n nn n r r n n n n r r r r r n r r rnn C n C n C n C C n r r n r n n n n C n C2321)211(35)411(32110=+≥+<-+=n C C n n n n n 又35)11(2335)211(2321<+≤<+≤∴n b n n b n 即………………………………14分。
云南省昆明市2021届新高考数学二模试卷含解析
云南省昆明市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．1 B．43C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果. 【详解】根据三视图可知：该几何体为三棱锥如图该几何体为三棱锥A BCD-，长度如上图所以111121,11222 MBD DEC BCNS S S∆∆∆==⨯⨯==⨯⨯=所以3 222 BCD MBD DEC BCNS S S S∆∆∆∆=⨯---=所以113A BCD BCDV S AN -∆=⋅⋅=故选：A 【点睛】2．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【解析】【分析】由题意可得，，时，，将换为，两式相除，，，累加法求得即有，结合条件，即可得到所求值．【详解】解：，即，，时，，，两式相除可得，则，，由，，，，，可得，且，则，则，故选：． 【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.3．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（ ） A ．[﹣3，2） B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0）【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}， 又因为M ＝{x|﹣1＜x ＜2}， 所以M∩N ＝{x|﹣1＜x≤0}. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】 【分析】2【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和， 又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.5．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】A 【解析】 【分析】先算出集合U A ð，再与集合B 求交集即可. 【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<ð，又因为{}|24{|2}xB x x x =<=<. 所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð. 故选：A. 【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题. 6．已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充分必要条件【答案】D 【解析】 【分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a 、b ，由大边对大角定理知“a b >”⇒“A B >”，“A B >”⇒“a b >”.因此，“a b >” 是“A B >”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 7．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐个验证即得答案. 【详解】对于A ，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误； 对于B ，()11x xf x-==，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误； 对于C ，当0x >时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；当0x <时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-；又0x =时，()()000f f -=-=.综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.又0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()f x Q 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确； 对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()111122f f -=>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误.故选：C .本题考查函数的基本性质，属于基础题.8．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2y x =的图象 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数得到())4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确故答案选D 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.9．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =+ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得022{820x x ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ．考点：函数的定义域．10．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】设()()g x xf x =，若函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以，函数()y xf x =的图象关于y 轴对称.所以，“()y f x =是奇函数”⇒“()y xf x =的图象关于y 轴对称”；若函数()y f x =是R 上的偶函数，则()()()()()g x xf x xf x xf x g x -=--=-==，所以，函数()y xf x =的图象关于y 轴对称.所以，“()y xf x =的图象关于y 轴对称”⇒“()y f x =是奇函数”.因此，“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等题.11．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．223B ．63C 3D ．13利用建系，假设AB 长度，表示向量AC u u u r 与BD u u u r，利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB Ì平面ABD 所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD 所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz - 如图设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===则()()()()0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0A B C D所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =---u u u r u u u r所以3cos ,3AC BD AC BD AC BD⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.12．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ） π【分析】根据正弦定理得到4sin cos sin 3sin B B C C =，化简得到答案. 【详解】由4cos sin 3b B C c =，得4sin cos sin 3sin B B C C =，∴3sin 22B =，∴23B π=或23π，∴6B π=或3π．故选：D 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省昆明市五华区2021-2022学年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②2． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．453．已知向量a ，b 夹角为30，()1,2a =，2b = ，则2a b -=( ) A ．2B ．4C ．23D ．274．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等5．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．26．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ） A ．2-或1B ．1-或2C ．1-或12D ．12-或1 7．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是A ．2-B ．72-C ．1D ．48．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ） A ．长轴在y 轴上的椭圆 B ．长轴在x 轴上的椭圆 C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线9．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A．B．13C．65-D．6511．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |﹣2|MN |，则（ ） A ．λ＜﹣16B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣1212．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ）A ．19B ．79-C ．23-D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省2021年高考数学二模试卷(理科) B卷
云南省2021年高考数学二模试卷（理科） B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·乌鲁木齐模拟) 已知复数（是虚数单位），则的共轭复数（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·河南模拟) 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|lg（x﹣2）≤1}，则（∁RA）∪B=（）A . （﹣1，12）B . （2，3）C . （2，3]D . [﹣1，12]3. （2分）已知，且，则k等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·深圳月考) 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第2018项为（）A . 2018B . 63C . 64D . 655. （2分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0无实根的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）如图所示的流程图中，输出的结果是（）A . 5B . 20C . 60D . 1207. （2分） (2016高一上·吉安期中) 函数f（x）=|x|+1的图象是（）A .B .C .D .8. （2分）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（）A . 4B .C .D . 69. （2分） (2019高三上·桂林月考) 已知变量，满足，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·宁波期中) 已知双曲线（，），A，B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上，P关于轴的对称点是Q，若直线，的斜率分别是，，且，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .11. （2分）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按照从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a2016的值为（）A . 2008B . 2015C . 2016D . 403212. （2分） (2017高二下·吉林期末) 奇函数定义域为，其导函数是 .当时，有，则关于的不等式的解集为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·葫芦岛月考) 函数的最小正周期为________.14. （1分） (2015高二下·福州期中) 函数f（x）= 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________．15. （1分） (2017高二上·邢台期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是A1B1上一点，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为，设三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径为a，则 =________．16. （1分） (2018高三上·镇江期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4(tanA＋tanB)＝＋，则cosC的最小值为________．三、解答题 (共7题；共80分)17. （10分） (2019高二下·台州期中) 已知正项等比数列中，，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18. （15分）(2017·衡阳模拟) 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；（3）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，记这两名学生成绩在[90，100]内的人数为X，求随机变量X的分布列和期望值．19. （15分） (2015高二上·安庆期末) 在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．（1）求EF的长（2）证明：EF∥平面AA1D1D；（3）证明：EF⊥平面A1CD．20. （10分） (2018高二上·江苏期中) 已知椭圆的焦点为，椭圆上一点满足 .（1）求椭圆方程；（2）求与椭圆有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程.21. （10分） (2020高二下·台州期末) 已知函数（1）讨论函数的单调性（2）若函数恰有一个零点，且．（i）求a的取值范围；（ii）求的最大值22. （10分） (2018高三上·牡丹江期中) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，求点到曲线的最小距离．23. （10分） (2016高一上·无锡期末) 已知函数f（x）=（）x﹣2x ．（1）若f（x）= ，求x的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0， ]都成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共80分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
云南省2021版高考数学二模试卷(理科)C卷
云南省2021版高考数学二模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2015高二下·泉州期中) 若复数（a∈R）是纯虚数，i是虚数单位，则a的值是（）A . 2B . 1C . ﹣1D . ﹣22. （2分）(2017·石嘴山模拟) 已知集合M={﹣1，0，1}，N={y|y=1﹣cos x，x∈M}，则集合M∩N的真子集的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分） (2018高三上·沈阳期末) 已知函数若方程恰有两个不同的解，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）等差数列的前项和为，已知，，则的值是（）A . 24B . 48C . 60D . 725. （2分） (2017高一下·丰台期末) 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是（）A . 96B . 128C . 140D . 1526. （2分） (2018高二上·长春月考) 如果执行下面的程序框图，那么输出的s＝（）．A . 10B . 22C . 46D . 947. （2分）(2019·天津模拟) 如图，，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，，点P 是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·奉贤模拟) 已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A . 0B .C . πD .9. （2分）实数x、y满足若目标函数取得最大值4，则实数a的值为（）A . -2B . 2C . 1D . -110. （2分） (2019高二下·南充月考) 抛物线的焦点为，准线为，、是抛物线上的两个动点，且满足 .设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）.A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共9分)11. （5分）下表是关于出生男婴与女婴调查的列联表晚上白天总计男婴45A B女婴E35C总计98D180那么A=________，B=________，C=________，D=________，E=________．12. （1分） (2019高一下·上海期末) 如果则 ________13. （1分） (2020高三上·安徽月考) 在展开式中，的系数为________.（用数字作答）14. （1分） (2017高一上·山西期末) 设函数f（x）= 的最大值为M，最小值为m，则M+m=________．15. （1分） (2019高三上·深圳月考) 已知关于x的方程在上有三个相异实根，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)16. （10分） (2017高一下·赣州期末) 已知向量 =（3，4）， =（﹣1，2）．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量﹣λ 与 +2 平行，求λ的值．17. （10分） (2018高一上·湖南月考) 如图，在圆锥中，是其底面圆的直径，点在底面圆周上运动（不与，重合），为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面 .18. （5分） (2017高三上·威海期末) 某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示：人文科学类自然科学类艺术体育类课程门数442每门课程学分231学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．（Ⅰ）甲至少选1门艺术体育类课程，同时乙至多选1门自然科学类课程的概率为多少？（Ⅱ）求甲选的3门课程正好是7学分的概率；（Ⅲ）设甲所选3门课程的学分数为X，写出X的分布列，并求出X的数学期望．19. （10分） (2018高一下·通辽期末) 已知等差数列的首项，公差，前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和为，求 .20. （10分） (2018高二上·抚顺期末) 点在椭圆：上，且点到椭圆两焦点的距离之和为。
云南省2021年数学高考理数二模考试试卷B卷
云南省2021年数学高考理数二模考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知集合，，那么（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·武汉模拟) 将二项式（x+ ）6展开式中各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高三上·金华期中) 已知实数x、y满足，若z=x﹣y的最大值为1，则实数b 的取值范围是（）A . b≥1B . b≤1C . b≥﹣1D . b≤﹣14. （2分） (2018高一上·吉林期末) 若直线与圆有两个不同的交点，则点圆C的位置关系是（）A . 点在圆上B . 点在圆内C . 点在圆外D . 不能确定5. （2分）设等比数列{an}的前6项和S6=6，且1﹣为a1 ， a3的等差中项，则a7+a8+a9=（）A . -2B . 8C . 10D . 146. （2分）在中，则“A>B”是“”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分又不必要条件7. （2分） (2018高三上·太原期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 80B . 160C . 240D . 4808. （2分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁二、填空题 (共6题；共9分)9. （1分） (2015高三上·厦门期中) 在极坐标系中，已知圆C经过点P（），圆心为直线ρsin （）=﹣与极轴的交点，则圆C的极坐标方程是________．10. （1分）(2017·成都模拟) 若复数z= （其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a=________．11. （2分） (2020高一下·东阳期中) 在中，A，B，C所对的边为a，b，c，点D为边上的中点，已知，，，则 ________； ________．12. （3分）用二分法研究函数f（x）=x3+3x﹣1的零点时，第一次经计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，这时可判断x0∈________．13. （1分） (2017高一下·广州期中) 已知向量满足，与的夹角为60°，则在方向上的投影是________．14. （1分）(2019·浙江模拟) 如图，过椭圆的左、右焦点F1 ， F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1 ，△BOF2的面积分别为S1 ， S2 ，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为________．三、解答题 (共6题；共55分)15. （10分）已知函数f（x）=sin2（ωx+π）+ sinωx•sin（ωx+ ）（ω＞0）的最小正周期为2π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的取值范围．16. （5分）(2016·城中模拟) 某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图，若规定成绩在75分以上（包括75分）的学生定义为甲组，成绩在75分以下（不包括75分）定义为乙组．（Ⅰ）在这30名学生中，甲组学生中有男生7人，乙组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；（Ⅱ）记甲组学生的成绩分别为x1 ， x2 ，…，x12 ，执行如图所示的程序框图，求输出的S的值；（Ⅲ）竞赛中，学生小张、小李同时回答两道题，小张答对每道题的概率均为，小李答对每道题的概率均为，两人回答每道题正确与否相互独立．记小张答对题的道数为a，小李答对题的道数为b，X=|a﹣b|，写出X 的概率分布列，并求出X的数学期望．附：K2= ；其中n=a+b+c+d独立性检验临界表：P（K2＞k0）0.1000.0500.010k0 2.706 3.841 6.63517. （10分）(2019·长春模拟) 如图，平面分别是上的动点，且 .（1）若平面与平面的交线为，求证：；（2）当平面平面时，求平面与平面所成的二面角的余弦值.18. （5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程．19. （10分）已知f（x）=xlnx．（1）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；（2）设实数a＞0，求函数F（x）= 在[a，2a]上的最大值．20. （15分） (2018高一下·彭水期中) 数列满足（，）， .（1）求，的值；（2）是否存在一个实数，使得（），且数列为等差数列？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由；（3）求数列的前项和 .参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共9分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共55分) 15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。
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4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2021年9月到2021年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（）
6．A
【解析】
由题意可得，圆心（0，3）到直线的距离为 ,所以 ，选A．
【点睛】直线与圆相交圆心角大小均是转化为圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式解决．
7．B
【解析】
初始值a=1,b=1,s=0,k=0
s=2,a=2,b=3,k=2,
s=7,a=5,b=8,k=4
s=20,a=13,b=21,k=6
（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；
（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用 表示所选3户中乙村的户数，求 的分布列和数学期望 ；
（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标 的方差的大小（只需写出结论）.
18．如图，在直三棱柱 中， 是 的中点.
A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
5．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（ ）
故选：D．
5．D
【解析】
由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，由侧视图为边长为 的正三角形，结合三视图的性质可知四棱锥底面是边长为 和 的矩形，四棱锥的高为 ，故四棱锥体积为 ，故选D.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
输出s=20,选B.
8．B
【解析】
与函数 的图象无公共点，且 ， ，即为 ，结合正切函数图象可得， ，不等式 的解集为 ，故选B.
9．C
【详解】
13．已知变量 ， 满足 ，则 的最大值为__________．
14．在 中，角 所对的边分别是 ，若 ， ，且 ，则 的面积等于__________．
15．如图，等腰 所在平面为 ， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，点 为 的中点.平面 内经过点 的直线 将 分成两部分，把点 所在的部分沿直线 翻折，使点 到达点 （ 平面 ）.若点 在平面 内的射影 恰好在翻折前的线段 上，则线段 的长度的取值范围是__________．
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，故选D．
考点：任意角的三角函数值．
4．D
【详解】
对于A，并无周期变化，故A错，
对于B，并不是不断减弱，中间有增强．故B错，
对于C，10月份的波动大小大于11月份，所以方差要大．故C错，
对于D，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．故D正确，
A． B． C． D．2
6．已知直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则实数 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C．9或 D．8或
7．执行下面的程序框图，如果输入 ， ，则输出的 （ ）
A．7B．20C．22D．54
8．若直线 与函数 的图象无公共点，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数 ，若方程 有两个解，则实数 的取值范围是（ ）
云南省昆明市2018届高三教学质量检查第二次统考理数试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 ， ，复数 ，则 （ ）
A．2B．1C．0D．
2．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若点 在角 的终边上，则 的值为（）
（1）求圆 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）已知 ， 是曲线 与 轴的两个交点，点 为圆 上的任意一点，证明： 为定值.
21．已知函数 ．
解不等式 ；
若a、 ， ， ，证明： ．
参考答案
1．A
【解析】
由题意得 ，所以 ，选A.
2．D
【解析】
由题意得 ，所以 ={-2，-1，0，1}，选D.
3．D
三、解答题
16．已知数列 中， ， 的前n项和 满足： ． 的前n项和 ．
17．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了 做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、 患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标 和 ，制成下图，其中“ ”表示甲村贫困户，“ ”表示乙村贫困户.若 ，则认定该户为“绝对贫困户”，若 ，则认定该户为“相对贫困户”，若 ，则认定该户为“低收入户”；若 ，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不 能脱贫户”.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 是正三角形，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）若 ，证明：当 时， .
20．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 .
A． B． C． D．
10．已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．定义“有增有减”数列 如下： ，满足 ，且 ，满足 .已知“有增有减”数列 共4项，若 ，且 ，则数列 共有（ ）
A．64个B．57个C．56个D．54个
二、填空题
12．已知向量 ， 满足 ，| ， ，则| __________．